XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 21

M с удельной площадью поверхности пор S

уд

 = 500 м

2

/г. Известно, что все поры

материала M имеют форму цилиндров радиуса r, оси этих цилиндров параллельны...

5. Полые металлические кластеры

Поверхность полого высоко симметричного металлического кластера (ПМК) M

N(n,m)

 можно

представить в виде «выкройки» из плотноупакованного листа атомов металла M. Такая
«выкройка» состоит из 20 одинаковых равносторонних треугольников...

6. ДНК для хранения информации: от теории к практике

Молекулы ДНК обладают одной из самых больших плотностей хранения информации.
Недавно группа ученых предложила способ кодирования информации с использованием
адресной записи в короткие последовательности нуклеотидов...

7. Золотые октаэдры

Атомы золота могут образовывать кластеры в форме: а) октаэдра O с ребром n атомов;
б) правильного усеченного октаэдра TO с ребром m атомов и общим числом атомов.
Сколько атомов золота приходится на каждую грань октаэдрического кластера с ребром
в n атомов?..

8. Наноторы из нанотрубок: от больших к самому маленькому

Если вырезанную из листа графена фигуру свернуть и затем склеить по горизонтальному
«шву» как показано на рис., то мы получим углеродную нанотрубку. Сгибая эту трубку и
склеивая ее торцы, мы получаем углеродный нанотор...

9. Фуллерены

Молекулы фуллеренов представляют собой выпуклые многогранники, составленные из
атомов углерода* и имеющие только пяти- и шестиугольные грани. Воспользовавшись
теоремой Эйлера для выпуклых многогранников...

10. Изомерия икосаэдрических фуллеренов

Любой икосаэдрический фуллерен можно представить в виде «выкройки» на графеновой
плоскости. Общее число атомов при этом определяется по формуле. Изомерными
называются молекулы икосаэдрических фуллеренов, имеющие одинаковое число атомов
N...

162

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 1. G-квадруплексы 

 
Единичные 

нити 

ДНК* 

с 

определенным 

расположением 

гуанина G 

способны 

самопроизвольно сворачиваться в четырёхцепочечные спирали – обладающие повышенной 
устойчивостью G-квадруплексы,  которые участвуют во многих жизненно важных процессах 
и  широко  представлены  во  всех  известных  геномах.  При  этом  четыре  нуклеотида  G  из 
разных цепей образуют плоскую структуру, называемую G-квартетом (см. рис.). 
 

 

 

1.

 

Найдите  вероятность  того,  что  случайная  последовательность  ДНК  фиксированной 

длины  является  G-квадруплексом  с  взаимным  расположением  G-квартетов  и  петель 
как на рисунке. Считать, что: 



 

первый и последний символы в G-квадруплексе не являются гуанином; 



 

все  три  петли  G-квадруплекса  а)  могут  содержать  G  (2  балла)  и  б)  не 
содержат G. (2 балла) 

 

2.

 

Для случая (б) рассчитайте долю G в общем числе нуклеотидов нити ДНК, отвечающей 

G-квадруплексу.  (1  балл)  Во  сколько  раз  она  отличается  от  доли  нуклеотидов  G  для 
случайной последовательности ДНК? (1 балл) 

 
* Наследственную  информацию  в  ДНК-последовательности  можно  рассматривать  как 
строчку  текста,  записанную  четырьмя  буквами  –  A,  G,  T,  C,  которые  отвечают  четырем 
нуклеотидам. 
 
Всего – 6 баллов 
 

163

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 1. G-квадруплексы 

 

1.

 

Рассчитаем общее число нуклеотидов в последовательности: 

 

1 + 3·4 (G-области) + 3·3 (петли) + 1 = 23. 

 

Такая  нить  ДНК  может  иметь 

23

4

  варианта  записи  при  помощи  четырех  букв 

нуклеотидов. 
 

а)

 

Число  возможных  вариантов  G-квадруплексов  выбранной  структуры  равно 
произведению вариантов каждого из его фрагментов: 
 

9

3

3

3

4

9

3

1

4

1

4

1

4

1

3





















. 

 

По множителям: 
 

начало·G-область·петля·G-область·петля·G-область·петля·G-область·конец. 

 
Тогда вероятность  
 

 

8

14

23

9

10

35

,

3

4

9

4

4

9













a

P

. 

 

б)

 

Число возможных вариантов G-квадруплексов:  
 

11

3

3

3

3

3

1

3

1

3

1

3

1

3



















. 

 
Тогда вероятность  
 

9

23

11

10

52

,

2

4

3









a

P

. 

 

2.

 

Доля G в нити ДНК, отвечающей G-квадруплексу, составляет 

52

,

0

23

12





G



. В свою 

очередь, доля G в случайной последовательности равна φ = 0,25 (все четыре «буквы» 
в этом случае равновероятны). То есть, 

08

,

2

25

,

0

52

,

0









G

. 

 

164

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 2. Тетраэдры и пирамиды 

 

 

 

 

 

а 

б 

в 

Рис. Примеры моделей а) тетраэдрического Td

4

 и б) пирамидального P

4

 нанокластеров с 

длиной ребра n = 4 атома. в) Зависимости общего числа атомов в нанокластерах от длин 

их ребер. 

 
Два  школьника  получили  одинаковые  наборы  шариков  и  задание:  сложить  из  них  модели 
тетраэдрических и пирамидальных нанокластеров так, чтобы ни одного лишнего шарика не 
осталось. 
 
Оба  школьника  с  заданием  справились.  Первый  построил  пять  моделей  нанокластеров: 
тетраэдрическую Td

7

 и пирамидальные – P

x

, две P

2x

 и P

4x

. Второй школьник  сложил восемь 

моделей тетраэдрических нанокластеров: пять Td

x

, одну Td

x+7

 и две Td

4x

. 

 
Сколько шариков было в наборе? 
 
Всего – 5 баллов 









6

3

2

6

2

3

2

3

2

3

n

n

n

P

n

n

n

Td

n

n













 

165

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 2. Тетраэдры и пирамиды 

 
Запишем уравнение:  
 

x

x

x

x

x

x

Td

Td

Td

P

P

P

Td

4

7

4

2

7

2

5

2















 

 



 



 

 





 

 

























 

 

 





6

x

4

2

x

4

3

x

4

2

6

7

x

2

7

x

3

7

x

6

x

2

x

3

x

5

6

x

4

x

4

3

x

4

2

6

x

2

x

2

3

x

2

2

2

6

x

x

3

x

2

6

7

2

7

3

7

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3





















































 

 

 





 

 















  

 

 





x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4

2

4

3

4

2

7

2

7

3

7

2

3

5

4

4

3

4

2

2

2

3

2

2

2

3

2

504

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3













































 

504

217

132

6

504

9

72

34

2

3

2

3















x

x

x

x

x

x

 

0

208

60

28

2

3







x

x

x

 

0

52

15

7

2

3







x

x

x

 





0

52

15

7

2





 x

x

x

, 

41

52

7

4

15

2











D

, 

4

14

41

15







x

 

 
Всего в наборе 



















1496

204

2

30

84

2

16

8

4

7

P

P

P

Td

2018 шариков. 

 

166

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 3. Рост дендримера 

 
Рост  дендримера  –  макромолекулы  с  симметричной  древообразной  структурой с 
регулярными  ветвлениями  –  происходит  поэтапно,  поколение  за  поколением.  Число 
мономерных  звеньев,  присоединившихся  к  звену  предыдущего  поколения,  называют 
коэффициентом ветвления k. 
 

 

 

1.

 

Найдите максимальный размер молекулы дендримера (радиус R, число поколений i'), 

схема ветвления которого все еще отвечает представленной на рисунке. (3 балла) 
 

2.

 

По  какой  причине  дальнейший  рост  молекулы  приведет  к  изменению  величины  k? 

(1,5 балла) Рассчитайте k для поколения i’ + 1. (1 балл) 

 

3.

 

Выведите  и  постройте в  виде  графика  общий  вид  зависимости  k(i).  (2  балла)  Какова 

величина k для бесконечно больших молекул дендримера? (1,5 балла)  

 
Примите, что: 
 



 

в любом поколении молекула дендримера имеет форму сферы; 



 

радиус дендримера с каждым поколением увеличивается на l = 1 нм; 



 

радиус области, занимаемой одним мономерным звеном на поверхности молекулы, 

равен r = 0,25 нм. 

 
Всего – 9 баллов 

167

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 3. Рост дендримера 

 

1.

 

Число  мономерных  звеньев  в  поколении  i  при  условии  постоянного  значения 

величины  коэффициента  ветвления  k = 2  равно 

1

2

3







i

i

N

  (так  как  в  первом 

поколении число мономерных звеньев равно трем). 
 

Общая площадь поверхности молекулы i-го поколения составляет 

 

2

2

4

4

il

R

S

i









. 

 
При этом одно мономерное звено занимает площадь 

 

2

2

2

1

4

4

r

r

r

S















, где 

φ – доля площади, занимаемая кругом при плотном заполнении плоскости. 
 
Таким  образом,  максимальное  число  мономерных  звеньев  в  i-м  поколении 
составляет 

 

 

2

2

2

2

4

4

r

il

r

il

N

i











. 

 

Максимальным поколением с k = 2 будет поколение, для которого еще выполняется 
условие 

 

1

2

3

1

2

2











i

i

i

r

il

N

N



. 

 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

16,74  33,49  37,68  33,49  26,17  18,84  12,82  8,37 

5,30 

3,27 

1,98 

1,18 

0,69 

 
Тогда 

12

1

12

12









i

R

 нм. 

 

2.

 

Для поколений с i > i'  максимальное число мономерных звеньев, которое может быть 

размещено в слое, будет меньше, чем отвечающее условию k = 2. То есть, произойдет 
снижение величины коэффициента ветвления:  
 

38

,

1

6144

8490

12

13

13









N

N

k

. 

 

3.

 

Для 

14



i

 величина коэффициента ветвления составляет  

 

2

1

1

1



















i

k

i

. 

 
Построим график зависимости k(i) на основании всех данных, полученных ранее: 

168

 

 

 

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

2,1

0

10

20

30

40

50

i

k

 

 
Для  бесконечно  большой  молекулы  дендримера  значение  коэффициента  ветвления 
будет  стремиться  к

1

lim







i

i

k

,    то  есть  прирост  ветвей  будет  происходить  линейно, 

без разветвлений. 
 

169