содержание .. 153 154 155 156 ..

Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 155

Ответ. Уровень цен



Ставка реальной заработной платы



Выпуск в долгосрочном равновесии

Y= 40

Задача 4 (20 баллов).

Предположим, что спрос на продукцию монополиста внутри страны задан функцией

(

)

100





, где

–

цена на внутреннем рынке. Функция издержек монополиста

имеет вид:

( )

/ 2

TC Q



. Монополист может продавать свою продукцию как на

внутреннем рынке, так и на конкурентном рынке за рубежом по цене

. Монополист

выбирает объемы производства и продаж на двух рынках, максимизирующие его
прибыль.
(Вы можете предполагать, что такие объемы существуют в каждой и рассматриваемых
ниже ситуаций).

(3 балла)

(а) Докажите, что совокупный объем продаж монополиста при любых ценах

на зарубежном рынке и любом спросе на отечественном рынке не может быть равным
нулю.

(6 балла)

(б) Докажите, что монополист получает на каждом рынке, где он продает

свою продукцию, одну и ту же выручку от продажи последней ее единицы, которая к
тому же не ниже выручки от продажи этой единицы на том рынке, где продаж нет.

(4 балла)

(в) Докажите, что на каждом рынке, где осуществляются продажи, выручка

от продажи последней единицы будет равна предельным издержкам производства.

(4 балла)

(г) Докажите, что монополист заинтересован в продажах на отечественном

рынке тогда и только тогда, когда максимальная цена на зарубежном рынке будет ниже

100.

(3 балла)

(д) Как зависит объем продаж на отечественном рынке от цены за рубежом,

если продажи на обоих рынках положительны?

Решение:
(а)

От противного. Пусть



, тогда

 





1 балл

Покажем, что это решение не максимизирует прибыль фирмы, так как найдется
положительный выпуск

, приносящий более высокую прибыль.

Пусть





. Тогда

 





  



 

100

















при

100



. Это противоречит гипотезе о том, что нулевой выпуск приносит

максимальную прибыль. Таким образом, оптимальный объем продаж будет
положителен.

2 балла

(б)

Докажем первую часть утверждения. Пусть



. Покажем, что

 



. От противного, пусть

 



. Без ограничения

общности можем считать, что

 



. Поскольку мировой рынок

совершенно конкурентен, то

 



, для внутреннего рынка

 

100





Покажем, что перераспределив продажи в сторону рынка с большей величиной
предельной выручки (в данном случае в пользу внутреннего рынка), мы сможем
увеличить прибыль.

1 балл

Пусть















Поскольку совокупный выпуск при этом не изменился (













), то

издержки монополиста остались прежними, а прибыль будет меняться лишь в силу
изменения выручки:





 





 







100



























при

)

100

(





. Заметим, что множество решений данного неравенство не

пусто, поскольку по условию

 

100









2 балла

Итак, мы показали, что исходная прибыль при различных значениях предельной
выручки может быть увеличена. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Докажем

вторую

часть

утверждения.

Пусть



Покажем,

что

 









100

. Пусть это неверно

 





100

. Тогда

перераспределив продажи в пользу внутреннего рынка, мы сможем увеличить прибыль.

1 балл

Пусть













. Поскольку совокупный выпуск не изменился, то издержки

будут прежними, а изменение прибыли составит









100















при

}

100

max{(





2 балла

(в)

Пусть



. Покажем, что

 



, то есть



. От противного, пусть



. Без ограничения общности можно считать, что



. Покажем, что,

произведя дополнительный выпуск в объеме

и продав его за рубежом, монополист

смог бы увеличить свою прибыль:

1 балл









]

[



















при









. Заметим, что

множество решений данного неравенство не пусто, так как по условию



1 балл

Покажем, что аналогичное условие верно и для внутреннего рынка. Пусть



Покажем, что

 



, то есть

100





. От противного, пусть

100





. Без ограничения общности можно считать, что

100





. Покажем,

что, произведя дополнительный выпуск в объеме

и продав его на внутреннем рынке,

монополист смог бы увеличить свою прибыль:

1 балл





 











100





















при

)

100

(





. Множество решений данного неравенства не пусто, так как

по условию

100





1 балл

(г)

Пусть

100



. Покажем, что



. От противного, пусть



. Тогда в силу

пункта (а)





. При



имеем

 

100







, что противоречит

утверждению, доказанному в пункте (б).

2 балла.

Итак,



Покажем, что верно и обратное. Пусть



. Докажем, что

100



. От противного,

пусть

100



. Тогда

 

100











. В соответствии с

пунктом (б), предельные выручка на внутреннем рынке может быть ниже лишь при



. Полученное противоречие доказывает исходное утверждение.

2 балла

(д)

Если продажи на обоих рынках положительных, то согласно условию (б) имеем

 

100







, откуда находим





100





2 балла.

Таким

образом, повышение цены за рубежом приводит к падению продаж на внутреннем
рынке.

1 балл

Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик

работы может быть рассмотрен жюри, если на него есть ссылка в самой работе. То есть
участник конкретно указывает на какой-то материал в черновике. В черновике для
ясности его тоже нужно пометить.

Решение каждой задачи оценивается жюри в соответствии с количеством баллов,

установленных для задачи. По каким-то конкретным пунктам задачи полный балл
может быть не выставлен. Получение отрицательных баллов за задачу невозможно.

Проверка задач осуществляется Жюри олимпиады, согласно следующим

критериям оценивания решения задач:

Процент от

максимального

количества баллов

Правильность (ошибочность) решения

100

Полное  верное  решение.  В  логическом  рассуждении  и
решении  нет  ошибок,  задача  решена  рациональным
способом.  Получен  правильный  ответ.    Ясно  описан  способ
решения.

80-100

Верное  решение,  но  имеются  небольшие  недочеты,  в  целом
не  влияющие  на  решение,  такие  как,  небольшие  логические
пропуски, не связанные с основной идеей решения. Решение
оформлено  не  вполне  аккуратно,  но  это  не  мешает
пониманию решения.

65-80

Решение  в  целом  верное.  В  логическом  рассуждении  и
решении  нет  существенных  ошибок,  но  задача  решена
неоптимальным  способом  или  допущено  не  более  двух
незначительных

ошибок.

работе

присутствуют

арифметическая ошибка, механическая ошибка или описка
при переписывании выкладок или ответа, не исказившие
экономическое содержание ответа.

45-65

В  логическом  рассуждении  и  решении  нет  ошибок,  но
допускается  существенная  ошибка  в  математических
расчетах.  Отсутствует  график,  необходимый  для  понимания
решения. П

и объяснении сложного экономического явления

указаны не все существенные факторы.

30-45

Имеются существенные ошибки в логическом рассуждении и
в  решении.  Рассчитанное  значение  искомой  величины
искажает  экономическое  содержание  ответа.  Доказаны
вспомогательные  утверждения,  помогающие  в  решении
задачи.

0-30

Рассмотрены  отдельные  случаи  при  отсутствии  решения.
Отсутствие  окончательного  численного  ответа,  если  он
предусматривается  в  задаче.  Если  правильный  ответ
необоснованно  угадан,  а  решение  безосновательно  под  него
выстроено.

Решение неверное или отсутствует.

Задачи - 1-ый тур

Задача 1. (25 баллов)

Фирма A является единственным потребителем фактора

. Известно, что цена

единицы продукции, производимой фирмой А, равна 2, а производственная функция имеет вид

 





. Фирма B является единственным производителем фактора

, причем совокупные

альтернативные издержки найма фактора в количестве

представимы функцией

 



. Информация

о функциях

 

известна всем агентам. Каждая фирма стремится максимизировать свою

прибыль.

(a)

Предположим, что фирма А знает функцию совокупных альтернативных издержкек найма фактора

фирмы В. Предположим также, что фирма A выбирает цену единицы данного фактора, а затем фирма B,
принимая эту цену как данную, решает, какое количество данного фактора она готова произвести и продать
фирме A при этой цене. Найдите цену фактора, максимизирующую прибыль фирмы А, и количество
фактора, которое при этой цене продаст фирма B.

(б)

Предположим теперь, что фирма В знает производственную функцию фирмы А и выбирает цену

фактора, а фирма A, принимая эту цену как данную, решает, сколько фактора купить при этой цене. Найдите
цену, максимизирующую прибыль фирмы B и количество фактора, которе фирма A приобретет по этой
цене.

(в)

Если фирмы A и B объединились, то какое количество фактора будет производить интегрированная

фирма? Как соотносится прибыль новой компании с суммарной прибылью фирм в случаях (а) и (б)? Будет
ли полученное соотношение прибыли справедливо для любой возрастающей функции альтернативных
издержек?

(г)

Пусть взаимодействие фирмы А с поставщиком фактора производства

соответствует ситуации,

представленной в пункте (а). Однако правительство хочет, чтобы уровень занятости фактора

соответствовал значению, выбираемому интегрированной фирмой, рассмотренной в пункте (в). Можно ли
решить поставленную задачу за счет использования потоварного налога или потоварной субсидии с некой
фиксированной ставкой. Найдите соответствующую ставку налога/субсидии и укажите, кто должен платить
налог (получать субсидию) или покажите, что такого налога (субсидии) не существует.

Решение.

(a)

Постановка задачи фирмы В - 3 балла.

Фирма А выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы В, т.е. количество, которое фирма В
захочет продать при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается
функцией предложения. Найдем функцию предложения фирмы В, решив ее задачу максимизации прибыли:

 









max









Решение задачи фирмы В - 1 балл.

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть



Итак, функция предложения фирмы В имеет вид

 



Постановка задачи фирмы А - 3 балла.

Тогда фирма А будет выбирать цену, которая приносит ей максимальную прибыль с учетом данной
функции предложения поставщика фактора:

 





 













max













Решение задачи фирмы А. - 1 балл.

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть



Подставляя это значение в функцию предложения, находим

 



(б) Постановка задачи фирмы А - 2 балла.

Фирма B выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы A, т.е. количество, которое фирма А
захочет купить при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается

функцией спроса. Найдем функцию спроса фирмы А, решив ее задачу максимизации прибыли:

 

max





Решение задачи фирмы А - 1 балл.

Заметим, что целевая функция представима вогнутой функцией (парабола с ветвями вниз), а потому
условие первого порядка будет необходимым и достаточным. Выпишем условие первого порядка

 





, откуда находим





или

 





.Заметим, что полученное условие

справедливо при



. Если



, то величина спроса на фактор будет равна нулю.

Постановка задачи фирмы В - 3 балла.

Итак, выбирая цену фактора, фирма B будет решать следующую задачу

 









max





Итак, задача фирмы примет вид



 







max





Решение задачи фирмы В. - 1 балл.

Условие первого порядка:













Преобразовав, находим



или



. В соответствии с функией спроса на фактор

 









(в)

Постановка задачи интегрированной фирмы - 1 балл.

Задача интегрированной фирмы примет вид:

 









max









Решение задачи - 1 балл.

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть



В результате прибыль интегрированной фирмы составит





















Суммарная прибыль двух фирм в случаях (а) и (б) будет одинакова, поскольку совпало равновесное
количество фактора

























, что меньше прибыли, полученной

интегрированной фирмой.

Обобщение результата - 3 балла.

Данный результат несложно обобщить.
Суммарная прибыль двух фирм:

 





 





 















Поскольку интегрированная фирма выбирает уровень занятости фактора, максимизируя это выражение,
то она всегда может выбрать уровень занятости фактора, соответствующий выбору в случаях (а) или
(б), то есть прибыль интегрированной фирмы всегда не меньше, чем прибыль в случаях (а) и (б).
Более того, интегрированная фирма может (в некоторых случаях) выбрать другой уровень занятости,
который приносит более высокую прибыль по сравнению со случаями (а) и (б).

(г) Постановка задачи при наличии субсидии - 2 балла.

Поскольку  желаемый  уровень  занятости  превышает  фактический  (выбираемый  в  пункте  (а)),  то  для
увеличения  уровня  занятости  будем  субсидировать  использование  фактора  производства,  выплачивая
потребителю  этого  фактора  субсидию  со  ставкой

за каждую единицу фактора

. В итоге задача

фирмы А примет вид

 







  





















max















Решение задачи - 1 балл.

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть













Подставляя в функцию предложения, находим













при



Результат об инвариантности получателя субсидии - 2 балла.

Заметим, что не имеет значения, будет ли данную субсидию получать покупатель или поставщик фактора
производства. Обоснование.

Задача 2.

(20 баллов)

Рассмотрите совершенно конкурентную отрасль, где все фирмы максимизируют

прибыль и обладают одинаковыми технологиями производства. Известно, что средние издержки каждой
фирмы не зависят от объема производимой продукции и равны 16. Функция спроса на продукцию отрасли

имеет вид

 















В  этой  экономике  временной  горизонт  жизни  каждой  фирмы  составляет  два  периода,  а  ставка  процента
равна 20%. В настоящее время в отрасли работают 50 фирм.
Одна  из  действующих  фирм  может  в  первом  периоде  инвестировать  сумму

в научно-

исследоватетельские разработки, что позволит снизить издержки производства каждой единицы продукции
вдвое. Считайте, что новая технология появляется в том же периоде, когда были осуществлены инвестиции.
Однако в экономике не развита система защиты авторских прав, и потому во втором периоде все фирмы
получат доступ к новой технологии, причем абсолютно бесплатно.

(а)

Будет ли фирма в данных условиях инвестировать в новую технологию при



(б)

Как бы изменился ваш ответ на пункт (а), если бы фирма-инноватор получила патент на свое

изобретение и оставалась бы единственным пользователем данной технологии и во втором периоде?
Считайте, что получение патента не сопряжено ни с какими дополнительными издержками.

(в)

Пусть в отрасли вместо совершенной конкуренции имеет место сговор, т.е. все пятьдесят фирм

выбирают  выпуск  сообща,  руководствуясь  критерием  максимизации  их  совокупной  прибыли,  причем
подобное  поведение  фирм  имеет  место,  как  до  появления  инновационной  технологии,  так  и  после  ее
появления.  Выгодно  ли  в  этих  условиях  фирмам  принять  совместное  решение  об  инвестициях  в  создание
новой технологии?

Решение.

(a) Анализ равновесия в отрасли до внедрения инноваций - 4 балла.

До внедрения новой технологии все фирмы были в одинаковом положении и продавали продукцию по цене,
равной предельным издержкам производства. При этом прибыль каждой фирмы равнялась нулю, так как
предельные издержки были равны средним издержкам, т.е. рыночная цена в точности равнялась средним
издержкам.

Поиск равновесия после внедрения инноваций:



в первом периоде - 3 балла,

Если  фирма  инвестирует  в  инновационную  технологию,  то  она  сможет  единолично  обслуживать  весь
рыночный  спрос,  назначив  монопольную  цену,  которая  окажется  ниже  средних  издержек  производства
остальных конкурентов.
Действительно, монопольная цена может быть получена из решения задачи

















160

max















Итак,





. Объем продаж составит







Снижение

издержек

позволит

увеличить

прибыль

первом

периоде

на



























во втором периоде – 2 балла.

При этом во втором периоде прибыль вновь будет равна нулю, так как все фирмы смогут использовать
более совершенную технологию.

Итоговый вывод – 1 балл.

Таким образом, однопериодный выигрыш не покрывает расходов на инновации, а потому при данных
условиях нет смысла инвестировать в исследования и разработки.

(б) Анализ изменения прибыли после внедрения инноваций - 3 балла.

Если

фирма

получит

патент,

то

ее

приведенная

величина

прибыли

изменится

на























Итоговый вывод – 1 балл.

В этом случае фирме стоит инвестировать.

(в) Анализ равновесия в отрасли до внедрения инноваций - 2 балла.

Если в отрасли имел место сговор, то до получения патента прибыль в каждом периоде составляла











320

max











, откуда

















Поиск равновесия после внедрения инновации – 3 балла:

результате

внедрения

инновационной

технологии

прирост

прибыли

составит



 



































Итоговый вывод – 1 балл.

Таким образом, в случае сговора инвестиции в инновации оказываются убыточны.

(20 баллов)

В стране ТУТ население умеет производить лишь два товара, X и Y. При этом единственным

фактором производства является труд. Запас труда (измеряемый в человеко-часах) экономики равен 75.
Технология производства товара X задается функцией







, где

-количество человеко-

часов, используемых в производстве товара X, а

- объем выпуска товара X. Технология производства

товара Y задается функцией



(а)

Найдите уравнение, задающее кривую производственных возможностей (КПВ) страны ТУТ, и

изобразите КПВ графически.

(б)

Если население страны ТУТ предпочитает потреблять товары X и Y в пропорции один к одному и при

это стремится максимизировать потребление подобных наборов, то какое количество каждого товара будет
произведено в стране, если она не поддерживает торговые связи с другими государствами.
Проиллюстрируйте решение на графике.

(в)

Соседняя страна ТАМ обладает другой технологией производства товара X вида



и готова

поделиться своим ноу-хау со страной ТУТ при условии, что работники страны ТУТ отработают 36
человеко-часов на предприятиях страны ТАМ. Найдите и изобразите КПВ страны ТУТ с учетом новых
возможностей. Как изменится потребление страны ТУТ?

Решение.

(a) Уравнение КПВ – 3 балла.

Уравнение КПВ. Поскольку



, а совокупный запас труда в экономике равен 75, то





. Таким образом,





. Заметим, что полученная функция является

убывающей и строго выпуклой.

График – 3 балла.

 



(б) Расчет объемов потребления – 3 балла.

Если население стремится максимизировать количество наборов, включающих по единице каждого
товара, то



и, подставляя в уравнение КПВ, находим





. Решим полученное

уравнение, обозначив







, откуда









. Таким образом,



Иллюстрация на графике – 1 балл.
(в)

КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей – 6 баллов.

Поскольку стране ТУТ доступна как ее собственная технология производства, так и альтернативная, то
ее множество производственных возможностей будет объединением множеств, полученных при
использовании своей и чужой технологии.
При использовании технологии страны ТАМ имеем









, откуда





Итак, КПВ описывается условием





max















. Обозначим







при





100











. Поскольку





при



, то нас интересует лишь



Итак,





































max

(синяя кривая на графике)

График – 3 балла.

Заметим, что









Потребление страны ТУТ – 1 балл.

Находим

новую

точку

потребления

как

пересечение новой КПВ с прямой



Итак,





откуда



т.е.

потребление

каждого товара возрастет на единицу.

Задача 4.

(12 баллов)

Правительство страны OZ отчаялось бороться с уклонением от налогов и приняло

революционное решение: все налоги отменяются, а госрасходы будут финансироваться исключительно за
счет денежной эмиссии. Известно, что функция спроса на деньги (в реальном выражении) в данной

экономике имеет вид:

 





















, где



- темп инфляции,

- деньги в реальном выражении.

Считайте, что в соответствии с количественной теорией денег темп инфляции равен темпу роста денежной
массы.

(а)

Объясните, почему спрос на деньги может быть описан как убывающая функция темпа инфляции?

(б)

При каком темпе инфляции государственные расходы (в реальном выражении) достигнут максимального

значения?

Решение.

(а) Объяснение – 5 баллов.

В условиях высокой инфляции деньги теряют свою покупательную способность, а потому индивиды
предпочтут переключиться на активы, доходность по которым индексируется в соответствии с темпом
инфляции. Фактически темп инфляции является альтернативной стоимостью денег. Рост
альтернативной стоимости товара приводит к падению величины спроса.

(б) Постановка задачи – 6 баллов.

Поскольку госрасходы финансируются исключительно за счет прироста денежной массы, то





Поделив обе части равенства на

с учетом того, что







, находим









. В

равновесии спрос на деньги должен быть равен предложению денег, то есть

 





 

















Решение задачи – 1 балл.







 



содержание .. 153 154 155 156 ..