Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 125

1-ый тур

 

2015 

 

 

(в)

  Для  Ивана  Ивановича  существует  4  варианта  производства:  не  производить 

вообще, производить на первом заводе, производить на втором заводе и производить 
на обоих заводах сразу. Чтобы понять какой из вариантов предпочтительнее, решим 
отдельно  задачу  максимизации  прибыли  в  каждом  из  четырех  случаев.  Если  не 
производить вообще, прибыль равна 0. 

Если используется только первый завод, то из условия MR=MC находим, что       

2𝑞 + 1 = 37 − 2𝑞

 и оптимальным выпуском будет q=9, а прибыль будет равна 

(37 − 9) ⋅ 9 − 81 − 9 − 100 = 62.

 

Если используется только второй завод, то из условия MR=MC находим, что 

4𝑞 + 1 =

37 − 2𝑞

 и оптимальным выпуском будет q=6. Тогда его прибыль будет равна 

(37 − 6) ⋅ 6 − 2 ⋅ 36 − 6 − 28 = 80.

 

(+3 балла) 

Если используются оба завода, то необходимо найти, в какой пропорции 

они будут использоваться. При фиксированном суммарном выпуске q=q

1

+q

2

 

предельные издержки производства на каждом из двух заводов должны быть равны, 
откуда получаем 2q

1

+1=4q

2

+1. Поэтому   

𝑞

1

=

2𝑞

3

, 𝑞

2

=

𝑞
3

.

 

Тогда общие издержки равны 

𝑇𝐶(𝑞) =

2𝑞

2

3

+ 𝑞 + 128

 

Максимизируя прибыль, из условия MR=MC, получаем q=10.8, а соответствующая 
прибыль будет равна 

(37 − 10.8) ⋅ 10.8 −

2 ⋅ 10.8

2

3

− 10.8 − 128 =

 

1-ый тур

 

2015 

 

= (37 − 19) ⋅ 10.8 − 128 = 66.4. 

 

Итак,  видим,  что  прибыль  будет  наибольшей,  если  q=6.  Это  и  будет  количество 
сахара, которое продаст Иван Иванович. Цена на сахар в этом случае будет  

37 − 6 = 31.

 

 

 

1-ый тур

 

2015 

 

Задача №6.  Экономисты-неудачники                                           (25 баллов)

 

(а)

 Юный экономист  Митрофан П. анализировал отдачу от инвестиций в образование – 

прирост  доходов  после  окончания  университета.  Он  выяснил,  что  обладатели  диплома 
Престижных  университетов  зарабатывают  заметно  больше  своих  сверстников.  Однако 
обнаружились интересные детали. Люди, поступившие в Престижный университет, но по 
каким-то причинам выбравшие учебу в одном из Скромных университетов, зарабатывали 
не  меньше,  чем  выпускники  Престижных.  Более  того,  среди  выпускников  Скромных 
университетов зарабатывали больше те, кто подавал свои документы в Престижные, даже 
если  их  не  приняли  в  последние.  Узнав  об  этом,  Митрофан  П.  с  целью  увеличения 
будущих  заработков  отправил  документы  в  Престижный  университет  –  несмотря  на  то, 
что учиться в нем не планировал. 

Вопреки  ожиданиям,  он  потом  получал  такие  же  доходы,  как  средний  выпускник 

Скромных университетов.  

(б)

 Молодой экономист  Остап Б. решил создать стартап. Он разработал проект «iЯма». 

Проект  предполагал  разработку  за  счет  городского  бюджета  специального  приложения 
для смартфонов, который, находясь в автомобиле, с помощью встроенного акселерометра  
будет автоматически отсылать в городские дорожные службы GPS-данные о встреченных 
на дороге ямах, провалах и крупных трещинах в покрытии. Остап Б.  утверждал, что  эта 
разработка существенно сократит издержки на мониторинг покрытия и улучшит качество 
дорог во всем городе.  

Вопреки  ожиданиям,  после  открытия  продаж  этого  приложения,  дорожные  службы 

стали  чаще  чинить  дороги,  которые  находились  в  самом  хорошем  состоянии,  и  реже  – 
самые проблемные участки дорог. 

(в)

 Известный экономист Павел Иванович Ч., уволенный из университета, устроился на 

работу в правительство, в котором курировал вопросы социальной политики. В частности, 
он  выяснил,  что  почти  все  молодые  люди,  состоящие  на  учете  в  полиции,  регулярно 
смотрят  криминальные  боевики  в  кинотеатрах.  С  целью  снижения  преступности  с 
участием  подростков  и  молодежи  он  разработал  законопроект  о  существенном 
повышении возрастного ценза на соответствующие картины. 

Вопреки  ожиданиям,  преступность  после  этого  не  сократилась,  а  кое-где  даже 

выросла. 

Во  всех  случаях  действия  экономистов  не  привели  к  ожидаемому  результату. 

Объясните, для трех случаев - почему. 

 

Решение: 

 
(a)  Ошибка  экономиста  заключается  в  том,  что  он  принимает  сигнал  о 

индивидуальных  качествах  за  причину  высоких  заработков.  Из  эмпирических  фактов, 
приведенных  в  условии,  следует,  что  выпускники  престижных  университетов 
зарабатывают больше, чем выпускники скромных, не из-за качества образования, а из-за 
отбора на входе. Другими словами, изначальные характеристики абитуриента важнее, чем 
знания и навыки, полученные в университете. Однако помимо объективных способностей, 
тестируемых  на  входе  в  университет,  значение  может  иметь  субъективная  оценка 
собственных  способностей,  амбиции,  самоуверенность.  Эти  качества,  которые 
впоследствии помогают добиваться относительно более высоких заработков, отражаются 
подачей документов в престижный университет.   

(б)  Стартап,  очевидно,  столкнулся  со  смещением  выборки  маршрутов,  по  которым 

ездили автомобили, посылавшие сигналы в городские службы. Во-первых, это смещение 
на  уровне  покупки  –  приложения  устанавливали  только  те,  у  кого  был  автомобиль  и 
смартфон и готовность тратить собственные средства на решение общественных проблем. 

1-ый тур

 

2015 

 

Скорее всего, эти люди жили и работали в хороших районах с хорошими дорогами. Во-
вторых,  это  смещение  на  уровне  выбора  маршрута:  водители  будут  пытаться  избегать 
наиболее проблемных участков. 

(в)  Экономист  совершил  неправильный  вывод  о  причинно-следственной  связи  на 

основе  имевшихся  у  него  данных.  Не  молодые  люди  становились  преступниками  из-за 
просмотра  криминальных  боевиков,  а  смотрели  криминальные  боевики,  поскольку 
обладали склонностью к преступному поведению. Поэтому повышение ценза не вызвало 
ожидаемого  падения  преступности.  Если  же  предположить,  что  просмотр  фильмов 
определенного  содержания  и  личное  девиантное  поведение  до  определенной  степени 
являются субститутами – то неудивительно, что преступность могла даже возрастать. 

 
 

ХХ Всероссийская олимпиада школьников по экономике 

Заключительный этап 

 

 

 

Второй

 

тур 

Задачи 

 

Дата написания 

13 апреля 2015 г. 

Количество заданий 

6 

Сумма баллов 

150 

Время написания 

240 минут 

 

 

 

2-тур 

2015 

 

Задача №7.  Учитель и ученики                                                       (25 баллов)

 

Рассмотрим  модель  взаимодействия  учителя  и  учеников  в  обычном  классе  средней 

общеобразовательной 

школы. 

Для 

учеников 

пусть 

существуют 

следующие 

характеристики: усилия 

𝑒

𝑠

 и результаты 

𝑟

𝑠

= 𝑒

𝑠

−

𝑒

𝑠

2

𝑒

𝑡

 (успеваемость); для учителя: зарплата 

𝑤

,  усилия 

𝑒

𝑡

  и  полезность 

𝑈

𝑡

= 𝑤 ∙ 𝑟

𝑠

− 𝑒

𝑡

2

.  Зарплата  является  экзогенной  величиной, 

которую устанавливает администрация школы. Каждый из агентов выбирает свой уровень 
усилий,  максимизируя  при  этом  либо  результат  (ученики),  либо  полезность  (учитель). 
Порядок действий следующий: 



 

администрацией назначается некий уровень зарплаты для учителя; 



 

учитель выбирает уровень усилий; 



 

ученики выбирают уровень усилий.   

Учитель  и  ученики  знакомы  давно,  а  потому  знают,  какую  целевую  функцию 

максимизирует каждый из них. 

(а)

 Найдите равновесные уровни усилий для учителя и учеников. 

(б)

  Пусть  теперь  администрация  выбирает  уровень  зарплаты  учителя,  исходя  из 

максимизации  собственной  полезности 

𝑈

𝑎

= 𝑟

𝑠

+ 𝑈

𝑡

− 𝑤

2

32

⁄

.  Чему  равны  равновесные 

уровни зарплаты и усилий? 

(в)

  Вернемся  снова  к  первому  пункту.  Пусть  теперь  учителя  вообще  не  интересуют 

результаты  учеников: 

𝑈

𝑡

= 𝑤 64

⁄

− 𝑒

𝑡

2

,  однако,  если  учитель  будет  прикладывать  усилия 

меньше  чем  1/16,  то  его  уволят,  и  он не  будет  получать  зарплату.  Найдите  равновесные 
уровни  усилий  и  результаты  учеников  в  данном  случае.  Определите,  при  каком  уровне 
зарплаты учителю все равно, учитывать или нет результаты учеников. 

 

 

Решение: 

(а)  Согласно  заданному  порядку  действий  верна  обратная  индукция:  сначала  ученики 
определяют  оптимальный  уровень  своих  усилий,  максимизируя  свои  результаты  при 
заданном уровне усилий учителя: 

𝑟

𝑠

= 𝑒

𝑠

−

𝑒

𝑠

2

𝑒

𝑡

  → 𝑚𝑎𝑥

 

Функция результатов является квадратной с ветвями вниз относительно усилий учеников, 
следовательно, ее максимум находится в вершине: 

𝑒

𝑠

=

𝑒

𝑡

2

 

𝑟

𝑠

=

𝑒

𝑡

4

 

Теперь  учитель  максимизирует  свою  полезность,  зная  уровень  усилий  учеников  и  при 
заданной экзогенно зарплате: 

𝑈

𝑡

= 𝑤 ∙ 𝑟

𝑠

− 𝑒

𝑡

2

= 𝑈

𝑡

= 𝑤 ∙

𝑒

𝑡

4

− 𝑒

𝑡

2

  → 𝑚𝑎𝑥

 

Функция  полезности  учителя  является  квадратной  с  ветвями  вниз  относительно  усилий 
учителя, следовательно, ее максимум находится в вершине: 

𝑒

𝑡

= 𝑤 8

⁄

 

Тогда 

𝑒

𝑠

=

𝑒

𝑡

2

=

𝑤

16

; 

𝑟

𝑠

=

𝑒

𝑡

4

=

𝑤

32

; 𝑈

𝑡

=

𝑤

2

64

. 

(б) Поскольку учитель считает уровень зарплаты заданным, то новое условие – последний 
шаг  в  обратной  индукции:  теперь  администрация  максимизирует  свою  полезность,  зная, 
какие уровни усилий будут выбирать учитель и ученики: 

𝑈

𝑎

= 𝑟

𝑠

+ 𝑈

𝑡

−

𝑤

2

32

=

𝑤

32

+

𝑤

2

64

−

𝑤

2

32

=

𝑤

32

−

𝑤

2

64

  → 𝑚𝑎𝑥

 

2-тур 

2015 

 

Функция  полезности  администрации  является  параболой  с  ветвями  вниз  относительно 
зарплаты, следовательно, ее максимум находится в вершине: 

𝑤 = 1

 

Тогда 

𝑒

𝑡

= 𝑤 8

⁄ =

1

8

; 𝑒

𝑠

=

𝑒

𝑡

2

=

𝑤

16

=

1

16

. 

(в)  Так  как  учитель  не  хочет  быть  уволенным  и  не  получать  зарплату  (его  полезность 
тогда будет равна 0), то он будет прикладывать усилия больше либо равные 1/16. Так как 
в  функции  полезности  его  усилия  входят  в  виде  (

−𝑒

𝑡

2

)

,  то  ему  нет  смысла  выбирать 

уровень усилий больший 1/16. Следовательно, учитель будет выбирать 

𝑒

𝑡

=

1

16

.

 Тогда 

𝑒

𝑠

=

1

32

.

 Максимум полезности в этом случае равен 

𝑈

𝑡

=

𝑤

64

−

1

256

.

 

Найдем, при каком уровне зарплаты учителю будет все равно: 

𝑤

64

−

1

256

=

𝑤

2

64

 

𝑤 =

1
2

 

 

 

2-тур 

2015 

 

Задача №8.  Война?!                                                                           (25 баллов)

 

В  королевстве  еды  и  вина  правит  доблестный  король  Ешьдапей.  Жители  королевства 

умеют производить только еду и вино. При этом за один человеко-час можно произвести 
либо одну единицу еды, либо половину единицы вина. Также можно производить любую 
допустимую  комбинацию  двух  товаров,  учитывая  то,  что  альтернативные  издержки 
производства  каждого  из  товаров  постоянны.  Всего  в  распоряжении  короля  имеется  10 
человеко-часов  ежедневно.  Ешьдапей  размышляет  над  тем,  следует  ли  ему  вступать  в 
войну  с  очень  большим  соседним  королевством  вина  и  еды.  Чтобы  завоевать  H  земель 
соседнего  королевства,  Ешьдапею  нужно  навсегда  потерять  H  из  10  человеко-часов, 
которыми  он  располагает  ежедневно.  При  этом  H  завоёванных  территорий  приносят 
королю H новых человеко-часов ежедневно. Единственная разница между этими новыми 
жителями и жителями королевства еды и вина заключается в том, что за один человеко-
час  новые  жители  умеют  произвести  либо  не  более  одной  единицы вина,  либо  не  более 
половины единицы еды. Заметим, что Ешьдапей может указывать своим подданным, как 
им распределять свои силы между производством вина и еды. 

(а) 

Ешьдапей непременно хочет, чтобы еды и вина производилось равное количество и 

чем больше, тем лучше. Сколько земель тогда решит завоевать правитель королевства еды 
и вина? Приведите графическую иллюстрацию. 

(б)

  Как  изменится  решение  короля,  если  ради  завоевания  H  новых  земель,  ему  теперь 

придется  навсегда  потерять  2H  из  10  своих  человеко-часов?  Приведите  графическую 
иллюстрацию. 

(в)

 Теперь ради завоевания H новых земель, Ешьдапею придется навсегда потерять H2 

своих человеко-часов. Сколько новых земель решит завоевать король? 

 

Решение: 

 

(а)

 При отсутствии войны король Ешьдапей может добиться 

3

10





E

B

. 

При войне общее количество часов не меняется.  
Заметим, что жители королевства еды и вина умеют лучше производить еду, а жители 

королевства вина и еды умеют лучше производить вино. Следовательно, так как Ешьдапей 
имеет  возможность  «обменять»  H  своих  человеко-часов  на  H  человеко-часов  соседнего 
королевства, то  ему имеет  смысл  «обменять»  их так, чтобы всю еду  производили на его 
изначальной  территории,  а  чтобы  всё  вино  производили  на  завоёванной  территории. 
Другими словами, точка перелома новой КПВ должна находиться на прямой y = x, где y 
обозначает количество еды, а x — количество вина. В то же время в точке перелома x = H, 
а  y  =  10  −  H.  Следовательно,  оптимальным  H  будет  тогда,  когда  будет  выполняться 
следующее равенство. 

H = 10 – H. 

H = 5. 

Если Н=5, то можно обеспечить В=Е=5>10/3, если Н≠5, то из условия В=Е следует, 

что кто-то работает не по специальности. Поэтому В=Е<5. 

Приведем теперь графическую иллюстрацию.