Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 22

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 8.

Инвестиции с минимальным сожалением

(12 баллов)

Любой инвестор сталкивается с ситуацией, когда он жалеет о том, что вложил или

не вложил деньги в определенный актив. Если стоимость актива растет, инвестор,
не вложивший деньги в него, жалеет об этом; если же стоимость падает, сожаление
испытывают инвесторы, вложившие деньги. Будущее неопределенно, и потому пол-
ностью избежать сожаления не удастся. Разные портфели активов, однако, характери-
зуются разным потенциальным сожалением. В этой задаче вам предлагается найти
для нескольких примеров портфели активов, при которых потенциально возможное
сожаление

минимально

.

Доходности Сценарий 1 Сценарий 2

Акции Alset

+30

%

−10

%

Акции Drof

−20

%

+20

%

Представим себе инвестора, имеющего

1 млн руб. и рассматривающего инвести-
ции в два актива: акции компании Alset,
производящей электромобили, и компа-
нии Drof, производящей бензиновые автомобили. Цены на акции этих фирм обычно
движутся в противоположном направлении. В зависимости от ситуации на энергети-
ческих рынках может реализоваться Сценарий 1, при котором растут акции Alset, или
Сценарий 2, при котором растут акции Drof. Таблица возможных доходностей при-
ведена справа. (Например, в Сценарии 1 цена акций Alset вырастет на 30 %.) В момент
вложения средств инвестор не знает, какой сценарий реализуется.

Определим

сожаление

как разницу между максимальной прибылью при опреде-

ленном сценарии и фактической прибылью. Например, если инвестор вложит в акции
двух компаний по 0,5 млн руб. и реализуется Сценарий 1, инвестор получит прибыль
в размере

0,3 ⋅ 0,5 + (−0,2) ⋅ 0,5 = 0,05

млн руб, в то время как максимальная прибыль

при данном сценарии равна

0,3 ⋅ 1 = 0,3

(все надо было вкладывать в Alset). Cожале-

ние инвестора будет равно

0,3 − 0,05 = 0,25

млн руб. Если же реализуется Сценарий 2,

сожаление инвестора будет равно

0,2 ⋅ 1 − (0,2 ⋅ 0,5 + (−0,1) ⋅ 0,5) = 0,2 − 0,05 = 0,15

млн

руб. Максимально возможное (по всем сценариям) сожаление инвестора при равном
вложении средств будет равно max

(0,25; 0,15) = 0,25

млн руб.

а)

(4 балла)

Допустим, инвестор вкладывает в акции всю сумму. Определите, ка-

кую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать максимально
возможное в будущем сожаление.

б)

(3 балла)

Инвестор по-прежнему вкладывает всю сумму, но теперь есть Сцена-

рий 3, при котором происходит кризис и акции обеих компаний падают в цене:

Доходности Сценарий 1 Сценарий 2 Сценарий 3

Акции Alset

+30

%

−10

%

−30

%

Акции Drof

−20

%

+20

%

−20

%

Определите, какую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать
максимально возможное в будущем сожаление.

в)

(5 баллов)

Предположим, что в условиях пункта

б)

инвестор может не вклады-

вать часть денег в акции. Невложенные средства приносят доходность 0 % при любом
сценарии. Определите, какие доли средств инвестору следует вложить в Alset и Drof,
чтобы минимизировать максимально возможное в будущем сожаление.

Заключительный этап, 10 класс

26

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Решение

а)

Пусть

𝑥

— доля средств, вкладываемых в Alset. Если реализуется Сценарий 1,

сожаление будет равно

0,3 − (0,3𝑥 − 0,2(1 − 𝑥)) = 0,5 − 0,5𝑥

. Если реализуется Сценарий 2,

сожаление будет равно

0,2−(−0,1𝑥 +0,2(1−𝑥)) = 0,3𝑥

. Значит, максимальное сожаление

равно

𝑅

1

(𝑥) =

max

{0,5 − 0,5𝑥; 0,3𝑥}.

0,5 − 0,5 = 0,3𝑥

при

𝑥 = 5/8

, так что функцию сожаления можно переписать как

𝑅

1

(𝑥) = {

0,5 − 0,5𝑥, 𝑥 < 5/8;
0,3𝑥,

𝑥

⩾

5/8.

.

𝑅

1

(𝑥)

убывает при

𝑥 < 5/8

и растет при

𝑥 > 5/8

, значит, точкой минимума является

𝑥

∗

= 5/8

.

б)

При третьем сценарии сожаление будет равно

−0,2 − (−0,3𝑥 − 0,2(1 − 𝑥)) = 0,1𝑥

.

Значит, максимальное сожаление равно

𝑅

2

(𝑥) =

max

{0,5 − 0,5; 0,3𝑥; 0,1𝑥}.

Заметим, что при всех

𝑥 0,3𝑥

⩾

0,1𝑥

(сожаление при втором сценарии больше, чем при

третьем), так что

𝑅

2

(𝑥) = 𝑅

1

(𝑥)

. Значит, и оптимальное значение

𝑥

то же,

𝑥

∗

= 5/8

.

в)

Пусть

𝑥

и

𝑦

— доли средств, вкладываемые в акции Alset и Drof соответственно,

𝑥+𝑦

⩽

1

, тогда

1−𝑥−𝑦

не вкладываются никуда. При первом сценарии сожаление будет

равно

0,3 − (0,3𝑥 − 0,2𝑦)

, при втором

0,2 − (−0,1𝑥 + 0,2𝑦)

, при третьем

0 − (−0,3𝑥 − 0,2𝑦)

(так как максимальная прибыль при третьем сценарии равна 0, инвестор сожалеет,
что вообще вкладывал в акции). Тогда максимальное сожаление равно

𝑅(𝑥,𝑦) =

max

{0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦; 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦; 0,3𝑥 + 0,2𝑦}.

Нам нужно минимизировать эту функцию по

𝑥,𝑦

при ограничениях

𝑥,𝑦

⩾

0

,

𝑥 + 𝑦

⩽

1

.

Дальше двигаться можно несколькими способами.

Способ 1.

(Догадка + обоснование)

По аналогии с пунктом а), предположим, что минимальное сожаление достигается

тогда, когда сожаление одинаково при всех сценариях. Это происходит при

𝑥

и

𝑦

,

удовлетворяющих равенствам

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦 = 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦 = 0,3𝑥 + 0,2𝑦.

Решая эту систему, получаем

𝑥 = 0,5

,

𝑦 = 0,25

.

Сожаление при

(𝑥,𝑦) = (0,5,0,25)

равно

𝑅(0,5,0,25) =

max

{0,2; 0,2; 0,2} = 0,2

.

Докажем, что это действительно минимально возможное сожаление, то есть для

всех

𝑥,𝑦

⩾

0

,

𝑥 + 𝑦

⩽

1

,

𝑅(𝑥,𝑦)

⩾

0,2

.

Предположим противное. Тогда существуют некие

𝑥

0

,𝑦

0

, такие что

𝑅(𝑥

0

,𝑦

0

) < 0,2

.

Тогда, поскольку

𝑅

равно наибольшему из трех сожалений, сожаление

при каждом

сценарии

должно быть меньше 0,2. Но тогда

Заключительный этап, 10 класс

27

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

⎧
⎨

⎩

0,3 − 0,3𝑥

0

+ 0,2𝑦

0

< 0,2;

0,2 + 0,1𝑥

0

− 0,2𝑦

0

< 0,2;

0,3𝑥

0

+ 0,2𝑦

0

< 0,2

Складывая первые два неравенства, получаем

0,5−0,2𝑥

0

< 0,4

, откуда

𝑥

0

> 0,5

. Скла-

дывая вторые два неравенства, получаем

0,4𝑥

0

< 0,2

, откуда

𝑥

0

< 0,5

. Противоречие.

Значит, минимально возможное сожаление действительно равно 0,2 и достигается

при

𝑥

∗

= 0,5

,

𝑦

∗

= 0,25

.

Способ 2.

(Прямой анализ)

Обозначим за

𝑆

множество всех возможных портфелей

(𝑥,𝑦)

, то есть

𝑆 = {(𝑥,𝑦) ∶

𝑥,𝑦

⩾

0, 𝑥 + 𝑦

⩽

1}

. Это треугольник с вершинами в точках

(0,0)

,

(0,1)

,

(1,0)

.

Для каждого сценария

𝑖 = 1,2,3

найдем такое подмножество множества портфелей

𝑆

, что максимальное сожаление достигается при сценарии

𝑖

. Обозначим эти подмно-

жества за

𝑆

𝑖

.

Тогда

𝑆

1

определяется неравенствами

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

⩾

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

,

0,3 − 0,3𝑥 +

0,2𝑦

⩾

0,3𝑥 + 0,2𝑦

;

𝑆

2

определяется неравенствами

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

⩾

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

,

0,2+0,1𝑥 −0,2𝑦

⩾

0,3𝑥 +0,2𝑦

;

𝑆

2

определяется неравенствами

0,3𝑥 +0,2𝑦

⩾

0,3−0,3𝑥 +0,2𝑦

,

0,3𝑥 + 0,2𝑦

⩾

0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

.

Изобразим эти множества на графике.

𝑥

𝑦

𝑆

1

𝑆

3

𝑆

2

0,25 0,5

0,25

𝐴

Общая граница

𝑆

1

и

𝑆

2

определяется равенством сожалений при сценариях 1 и 2,

то есть равенством

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦 = 0,2 + 0,1𝑥 − 0,2𝑦

, что эквивалентно

𝑦 = 𝑥 − 0,25

.

Аналогичным образом получаем, что общая граница

𝑆

2

и

𝑆

3

описывается уравнением

𝑦 = 0,5 − 0,5𝑥

; общая граница

𝑆

1

и

𝑆

3

задается уравнением

𝑥 = 0,5

. Общая точка трех

множеств

𝐴(0,5; 0,25)

определяется равенством всех сожалений.

Тогда разобьем минимизацию

𝑅(𝑥,𝑦)

на два этапа: 1) проминимизируем сожале-

ние на каждом из множеств

𝑆

1

,

𝑆

2

,

𝑆

3

, получим три оптимальные точки; 2) из трех

полученных точек выберем ту, в которой сожаление наименьшее.

Этап 1.

На множестве

𝑆

1

(максимальное) сожаление равно

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

. Будем мини-

мизировать его графически. Для этого рассмотрим семейство «кривых безразличия»,
то есть линий, на которых сожаление одинаково. Они описываются уравнениями

Заключительный этап, 10 класс

28

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

𝑥

𝑦

𝑆

1

𝐴

𝑥

𝑦

𝑆

2

𝐴

𝑥

𝑦

𝑆

3

𝐴

Рис. 8.1:

Минимизация сожаления на каждом из множеств

𝑆

𝑖

графическим методом.

Кривые безразличия «действительны» только внутри множеств

𝑆

𝑖

, но продолжены

за пределы

𝑆

𝑖

для удобства восприятия рисунка. Стрелки показывают направление

убывания сожаления.

0,3−0,3𝑥 +0,2𝑦 = 𝑅

, где

𝑅

— константа, откуда

𝑦 = 1,5𝑥 +𝐶

, где

𝐶

— константа. Семейство

этих линий изображено красным цветом на рис. 8.1 слева. Сожаление

0,3 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦

возрастает по

𝑥

и убывает по

𝑦

, и значит, оно будет падать при движении вправо-вниз.

Стелка показывает направление убывания сожаления. Видно, что минимум достига-
ется в точке

𝐴

. (Здесь критически важно то, что наклон кривых безразличия меньше,

чем наклон возрастающего участка границы множества

𝑆

1

.)

Аналогичным образом с помощью графического метода находим, что минимум

сожаления на каждом из множеств

𝑆

2

,

𝑆

3

достигается в точке

𝐴

(см. рис. 8.1, в центре

и справа). Обратите внимание, что на разных графиках рис. 8.1 кривые безразличия
разные, так как сожаление задается разными формулами на разных множествах.

Этап 2.

На первом этапе мы получили, что минимум на каждом из множеств

𝑆

𝑖

достигается в одной и той же точке — точке

𝐴

. Значит, в точке

𝐴

максимальное со-

жаление меньше, чем в любой другой точке «большого» треугольника

𝑆

. Она и будет

ответом.

Ответ:

50% в акции Alset и 25% в акции Drof.

Примечание:

лабораторные исследования, проведенные экономистами и психо-

логами, показывают, что зачастую в условиях неопределенности люди действитель-
но ведут себя не так, чтобы максимизировать математическое ожидание полезности
или прибыли, а чтобы минимизировать возможное сожаление. Минимизацией сожа-
ления можно объяснить покупку людьми лотерейных билетов (их покупают, чтобы
потом не жалеть о том, что не купили), чрезмерно высокие по сравнению с предсказа-
ниями стандартной теории игр ставки в аукционах, и другие явления. Что же касает-
ся поведения инвесторов, то красноречивее всего о минимизации сожаления сказал
Гарри Марковиц, Нобелевский лауреат по экономике 1990 года. Марковиц получил
премию за создание теории оптимального портфеля, основанной на максимизации
математического ожидания прибыли. Сам он при этом признавался, что в жизни не
следовал своей теории, а минимизировал сожаление. Вот его слова²:

²Цитата из статьи «Too Proud to Stop: Regret in Dynamic Decisions» Филиппа Стрэка и Пола Виферса,

Journal of European

Economic Association

, 2020.

Заключительный этап, 10 класс

29

Задача 8

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

«Надо было рассчитать историческую ковариацию классов активов и провести эф-

фективную границу

[это он о своей теории].

Вместо этого я представил себе свое горе,

если бы фондовый рынок поднялся, а я в него не вложился, или если бы он опустился, а все
мои накопления были бы в нем. Моим намерением было свести к минимуму мое будущее
сожаление, поэтому я разделил свои сбережения 50/50 между облигациями и акциями».

(Впрочем, может быть, это было шуткой.)

Схема проверки

а)

• Сожаление при первом сценарии

0,5 − 0,5𝑥

—

1 балл.

• Сожаление при втором сценарии 0,3 —

1 балл.

• Доказательство, что минимум при равенстве —

1 балл.

• Ответ

𝑥 = 5/8

—

1 балл.

б)

• Сожаление при третьем сценарии

0,1𝑥

—

1 балл.

• Доказательство, что не повлияет на минимум (график или сравнение) —

1 балл.

• Утверждение, что ответ не изменится —

1 балл.

в)

• Сожаления для всех трех сценариев —

1 балл.

Если ошибка хотя бы в од-

ном, то балл не ставится.

• Предположение о равенстве всех трех условий в точке минимума —

1 балл.

• Нахождение ответа

𝑥 = 0,5

,

𝑦 = 0,25

—

1 балл.

• Доказательство, что это минимум —

2 баллa.

Частичные баллы за неполное до-

казательство не ставятся.

Заключительный этап, 10 класс

30

Задача 8

Заключительный этап

Екатеринбург, 20–26 марта 2021 г.

11 класс

Решения

Содержание

Первый тур

2

Задача 1.

Блиц

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Задача 2.

«Вычитание» КПВ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Задача 3.

Максимизируем выручку, чтобы максимизировать прибыль

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Задача 4.

Эксперимент с медицинским страхованием

. . . . . . . . . . . . . . .

12

Второй тур

15

Задача 5.

Макроэкономика коронакризиса

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Задача 6.

Две группы потребителей и потолок цены

. . . . . . . . . . . . . . .

17

Задача 7.

Люди и роботы: кто кого?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Задача 8.

Инвестиции с минимальным сожалением

. . . . . . . . . . . . . . . .

25

1

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 1.

Блиц

(12 баллов)

В первом задании олимпиады вам предлагается ответить на несколько не связан-

ных друг с другом коротких вопросов.

а)

(4 балла)

Экономические Ахиллес и черепаха.

В феврале 2020 года было опуб-

ликовано видео беседы известного экономиста М. с известным экономистом Г. Одной
из тем беседы стала экономическая гонка США и Китая. Экономист Г. заметил: «Ес-
ли ВВП на душу населения в США растет с темпом 2 % в год, а в Китае –– с темпом
6 % в год, то 4 % –– это скорость, с которой Китай догоняет США, и в конце концов, он
их догонит». Экономист М. парировал: «Если Китай, с ВВП на душу населения 10 000
долларов, растет на 6 % в год, он прибавляет по 600 долларов на человека. Если США,
c ВВП на душу населения 64 000 долларов, растут на 2 % в год, они прибавляют при-
мерно по 1 300 долларов на человека. Поскольку

1300 > 600

, Китай никогда не догонит

США». Если приведенные числовые данные верны и темпы прироста ВВП на душу
населения будут сохраняться, догонит ли Китай США? Если да, то в чем именно ошиб-
ка экономиста М.?

б)

(4 балла)

Психологическое ценообразование.

Во многих магазинах можно

встретить цены, которые немного меньше ближайших к ним целых или круглых чи-
сел: 999 руб., 19,95 $, 29,99 € и т. п. Самое распространенное объяснение использования
этой стратегии –– особенность психологии восприятия цены некоторыми потребите-
лями. Поняв, что это за особенность, изобразите возможный график кривой спроса,
отражающий ее. Из графика должно быть очевидно, почему описанная стратегия це-
нообразования оптимальна для продавцов. Особенность психологии людей словами
описывать не нужно, в ответе должен быть

только график

.

в)

(4 балла)

Парадокс вакцинации.

Допустим, в разгар эпидемии, вызванной ви-

русом X, становится доступной вакцина от вируса X, обладающая лишь частичной
эффективностью (например, 60 %). Приведите экономическое объяснение того, что
в результате появления такой вакцины заболеваемость вирусом X может парадок-
сальным образом вырасти, а не сократиться.

Решение

а)

Если приведенные числовые данные верны и темпы прироста ВВП на душу

населения будут сохраняться, Китай, конечно, догонит США. Принимая за нулевой
год тот, в котором ВВП на душу населения в США и Китае равны 64000 и 10000 соот-
ветственно, подушевой ВВП в США будет равен значению выражения

64000 ⋅ 1,02

𝑡

, а в

Китае —

10000⋅1,06

𝑡

, где

𝑡

— номер года. Ясно, что значение второго выражения при до-

статочно больших

𝑡

превысит значение первого. Ошибка экономиста М. заключается

в том, что он не учел, что в каждом году проценты будут считаться

от нового

уровня

подушевого ВВП. Например, во втором году ВВП Китая вырастет не на 600, а уже на

1,06 ⋅ 600 = 636

долл. на человека, и т.д. По-другому ошибку экономиста М. можно

сформулировать так: он перепутал простые и сложные проценты. (Когда мы говорим
о темпах прироста некой величины, всегда имеются в виду сложные проценты.)

б)

Подойдёт любая кривая спроса (с отрицательным наклоном!), такая что её эла-

стичность в точках, где цена принимает значение чуть ниже чисел, оканчивающихся

Заключительный этап, 11 класс

2

Задача 1

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

на ноль, по модулю гораздо больше, чем между этими числами. При этом график
может быть как с разрывами, так и без. Пример верных графиков:

в)

У вакцинированных больше стимулов к рискованному поведению (меньше сти-

мулов к осторожному поведению). Например, вакцинированные могут перестать но-
сить маски или начать встречаться большими компаниями. И при частичной эффек-
тивности вакцины такое рискованное поведение может привести к большему распро-
странению вируса.

Примечание:

Это сродни классическому эффекту Пельцмана — внедрение рем-

ней безопасности может привести к росту количества аварий и смертей через рост
рискованного поведения. Эффект Пельцмана прекрасно описан в книге С. Ландсбур-
га «Экономист на диване».

Схема проверки

а)

Объяснение, что Китай сможет догнать США, основанное на верном описании

механизма работы сложных и простых процентов (описание могло быть как словес-
ным, так и даваться в виде верных расчётов по цифрам из задачи) – 4 балла.

Если в качестве доказательства использовался только расчёт по приростам (с аргу-

ментом, что Китай догонит США в момент, когда приросты в денежном выражении
сравняются) – 2 балла.

Аргумент, что экономист М. неправ, потому что не учитывал население в США и

Китае – 0 баллов.

Заключительный этап, 11 класс

3

Задача 1