Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 58

 

6 

При этом участникам не обязательно получать численное значение радиуса орбиты, они могут 

лишь  вычислить  его  отношение  к  современному  радиусу  орбиты  и  перейти  к  изменению 

видимых  размеров  Луны.  Последний  этап  решения  и  формулировка  ответа  оцениваются  в  2 

балла. 

 

3.  Условие.

  На  каких  широтах  на  Земле  высота  незаходящего  Солнца  в  течение  суток  может 

изменяться ровно в два раза? Рефракцией и видимыми размерами Солнца пренебречь. 

 

3.  Решение.

  По  условию  задачи,  Солнце  является  незаходящим  светилом,  а  его  высота  в 

верхней  кульминации  вдвое  больше,  чем  высота  в  нижней  кульминации  (обе  величины  – 

положительные).  Очевидно,  картина  может  наблюдаться  в  приполярных  широтах.  Запишем 

выражения  для  высоты  светила  в  верхней  и  нижней  кульминации,  справедливые  для  обоих 

полушарий Земли: 

 

h

В

 = 90

°

 – | 

δ

 – 

ϕ

 |, 

h

H

 = –90

°

  + | 

δ

 + 

ϕ

 |. 

 

Здесь 

δ

 – склонение светила, 

ϕ

 – широта места наблюдения. По условию задачи 

 

90

°

 – | 

δ

 – 

ϕ

 | = 2

⋅

 (–90

°

 + | 

δ

 + 

ϕ

 |) =  –180

°

 + 2 | 

δ

 + 

ϕ

 |. 

 

Отсюда мы получаем: 

 

2 | 

δ

 + 

ϕ

 | + | 

δ

 – 

ϕ

 | = 270

°

. 

 

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть несколько случаев, учитывая, что дело 

заведомо происходит вблизи полюсов Земли. Если предположить, что широта 

ϕ

 положительна, 

то  при  любых  возможных  склонениях  Солнца  (не  превышающих  по  модулю  величину 

ε

, 

равную 23.4

°

) величина (

δ

 + 

ϕ

) положительна, а величина (

δ

 – 

ϕ

) отрицательна. Тогда мы имеем 

 

3

ϕ

 + 

δ

 = 270

°

, 

ϕ

 = 90

°

 – 

δ

/3. 

 

 

7 

Учитывая,  что  широта  не  может  превышать  90

°

,  а  модуль  склонения  –  величину 

ε

,  получаем, 

что картина, описанная в условии задачи, может наблюдаться на широтах от (90

°

 – 

ε

/3) до 90

°

, 

т.е. от 82.2

°

 до 90

°

. 

Аналогичным  образом,  предполагая,  что  широта  места  наблюдения  отрицательна,  и 

раскрывая знак модуля в  уравнениях, получаем диапазон широт в южном полушарии: от –90

°

 

до  

–82.2

°

. 

 

3. Рекомендации для жюри. 

При решении задания участники олимпиады могут пользоваться 

как  универсальными  формулами  для  высот  светила  в  верхней  и  нижней  кульминации,  так  и 

более  привычными,  записанными  для  северных  умеренных  и  полярных  широт.  Во  втором 

случае  они  должны  указать,  что  ситуация,  описанная  в  условии  задачи,  симметрична 

относительно  смена  знака  широты,  и  существует  аналогичное  решение  в  южном  полушарии. 

Указание наличия двух решений оценивается в 2 балла. 

Правильные  выражения  для  высот  в  верхней  и  нижней  кульминации  (в  любом  из  двух 

видов)  оцениваются  в  2  балла,  запись  основного  уравнения,  отражающего  условие  задания  – 

еще  в  1  балл,  его  решение  с  учетом  всех  возможных  случаев  –  еще  в  2  балла,  формулировка 

окончательного ответа – в 1 балл.  

 

4. Условие. 

В  2012  году  произойдут  несколько  интересных  событий,  связанных  с  Венерой.  В 

частности,  3  апреля  планета  пройдет  по  звездному  скоплению  Плеяды,  а  6  июня  –  по  диску 

Солнца.  Нарисуйте  (в  одном  масштабе),  как  будет  выглядеть  Венера  в  телескоп  (с  прямым 

изображением)  во  время  этих  событий  при  наблюдении  из  средних  широт  северного 

полушария. Каковы будут видимый диаметр и фаза Венеры в эти дни? Орбиты Венеры и Земли 

считать круговыми и лежащими в одной плоскости. 

 

4.  Решение. 

Прохождение  Венеры  по  диску  Солнца  может  происходить  только  в  нижнем 

соединении Венеры. Прохождение Венеры по звездному скоплению Плеяды наступит 3 апреля, 

за  64  дня  до  прохождения  по  диску  Солнца.  Эта  величина  составляет  64/584  часть 

синодического  периода  Венеры.  Учитывая,  что  орбиты  Венеры  и  Земли  близки  к  круговым, 

получаем разность гелиоцентрических долгот Земли и Венеры 3 апреля: 

 

α

 = 360

°

 

⋅

 (64/584) = 39.5

°

. 

 

 

8 

α

γ

Солнце

Венера

Земля

d

l

l

1

2

 

 

На рисунке видно, что Венера в день прохождения по Плеядам будет вблизи своей наибольшей 

восточной элонгации. Расстояние между Венерой и Землей может быть вычислено по теореме 

косинусов 

 

d

2

 = 

l

1

2

 + 

l

2

2

 – 2

l

1

l

2

cos

α

 

 

и  составляет  0.64  а.е.  Похожее  значение  (0.69  а.е.)  мы  бы  получили  из  теоремы  Пифагора, 

предположив, что Венера находится в точности в наибольшей восточной элонгации. Здесь 

l

1

 и 

l

2

 – расстояния Венеры и Земли от Солнца. Угловой диаметр Венеры составляет 

 

δ

 = 

D

 / 

d

 = 26

″

. 

 

Здесь 

D

  –  диаметр  Венеры.  Приближенное  значение  для  случая  наибольшей  восточной 

элонгации  равно  24

″

.  Угол 

γ

  с  вершиной  в  центре  Венеры,  образованный  направлениями  на 

Солнце и Землю, также вычисляется из теоремы косинусов: 

 

cos 

γ

 = (

l

1

2

 + 

d

2

 – 

l

2

2

) / 2

l

1

d

. 

 

Подставляя  численные  значения,  мы  получаем  94.4

°

.  Если  бы  Венера  находилась  в  точке 

наибольшей  восточной  элонгации,  этот  угол  был  бы  равен  90

°

.  Величина  фазы  Венеры 

составляет 

 

F

 = (1 + cos 

γ

) / 2 = 0.46. 

 

В  момент  наибольшей  восточной  элонгации  фаза  равна  0.5.  Венера  выглядит  как  половина 

диска (точнее, чуть уже), выпуклостью вправо.  

 

9 

В  день  прохождения  по  диску  Солнца  фаза  Венеры  равна  нулю,  а  угловой  диаметр 

составляет 

 

δ

 = 

D

 / (

l

2

 – l

1

) = 60

″

. 

 

Венера в дни прохождения по Плеядам и по диску Солнца в едином масштабе будет выглядеть 

следующим образом: 

 

 

 

4.  Рекомендации  для  жюри.

  Решение  задачи  можно  вести  как  точным  образом,  так  и  в 

приближении,  что  Венера  3  апреля  находится  в  наибольшей  восточной  элонгации.  Полное 

правильное  точное  решение  оценивается  8  баллами,  правильно  выполненное  приближенное 

решение – 6 баллами.  

 

При  выполнении  точного  решения  вычисление  расстояния  между  Венерой  и  Землей  3 

апреля оценивается в 3 балла, вычисление углового диаметра Венеры в этот день – 1 баллом, ее 

фазы  –  еще  2  баллами.  При  использовании  приближения  наибольшей  восточной  элонгации 

Венеры  данные  три  этапа  оцениваются  соответственно  2,  1  и  1  баллом.  Для  обоих  методов 

решения 1 балл выставляются за правильное вычисление видимого диаметра Венеры 6 июня и 

еще 1 балл – за правильное выполнение рисунка. 

 

5.  Условие.

  Пролетая  точку  перигелия  орбиты,  комета  оказывается  в  противостоянии  с 

Солнцем  и  одновременно  «останавливается»  в  своем  видимом  движении  среди  звезд.  Каков 

эксцентриситет ее орбиты, если в это время она находится на том же расстоянии от Солнца, что 

и Марс? Орбиты Земли и Марса считать круговыми, комета движется в плоскости эклиптики. 

 

5.  Решение.

  В  момент,  описанный  в  условии  задачи,  комета  проходит  точку  перигелия  своей 

орбиты,  то  есть,  движется  в  пространстве  перпендикулярно  направлению  на  Солнце  и  Землю 

(учтем,  что  комета  располагается  в  плоскости  эклиптики  и  для  наблюдателей  на  Земле 

проходит точку противостояния с Солнцем).  

 

 

10 

Солнце

Комета

Земля

d

l

v

v

 

 

Земля находится на одной линии с Солнцем и кометой и также движется перпендикулярно этой 

линии.  По  условию  задачи,  на  небе  Земли  комета  в  этот  момент  не  движется  относительно 

звезд. Следовательно, скорости движения Земли и кометы, направленные вдоль параллельных 

линий, совпадают по величине: 

 

.

d

GM

v

=

 

 

Здесь 

M 

– масса Солнца, 

d

 – расстояние от Солнца до Земли. Комета находится в перигелии на 

расстоянии 

l

 от Солнца. Для ее скорости справедливо выражение 

 

.

)

1

(

e

l

GM

v

+

=

 

 

Отсюда мы получаем: 

 

e 

= (

l

/

d

) – 1 = 0.52. 

 

5.  Рекомендации  для  жюри.

  Первая  часть  решения  задачи  состоит  в  обосновании  того,  что 

Земля  и  комета  в  указанный  момент  движутся  в  параллельном  направлении  с  одинаковыми 

скоростями.  Эта  часть  решения  при  условии  полной  обоснованности  вывода  оценивается  в  4 

балла.  Правильная  запись  выражения  для  круговой  скорости  Земли  оценивается  в  1  балл,  для 

скорости  кометы  в  перигелии  –  в  2  балла  (она  может  приводиться  как  с  выводом,  так  и  без 

него). Формулировка окончательного ответа оценивается еще в 1 балл. 

 

6.  Условие.

  Представьте  себе,  что  радиус  звездного  диска  нашей  Галактики  изображен 

размером в радиус Земли. Какого размера станут звезды в этом масштабе? 

 

11 

 

6. Решение.

 Радиус звездного диска Галактики составляет около 15 кпк, в то время как радиус 

Земли около 6400 км. Вспомним, что 1 парсек включает в себя примерно 200 000 а.е. или 3

⋅

10

13

 

км.  Самые  большие  звезды  имеют  размер  около  1000  радиусов  Солнца,  в  то  время  как 

маленькие  звезды  –  белые  карлики,  величиной  с  Землю,  т.е.  около  0.01  радиуса  Солнца. 

Посчитаем, какого они станут размера. Солнце будет иметь радиус  

 

.

мкм

км

км

.

.

10

10

10

7

10

3

10

5

1

10

4

6

8

5

13

4

3

=

≈

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

 

 

Тогда самые большие звезды будут иметь радиус 10 мм, а самые маленькие – всего 0.1 мкм. 

 

6.  Рекомендации  для  жюри.

  Первая  часть  решения  состоит  в  вычислении  масштаба 

изображения или, то же самое, соотношения величин радиусов Галактики и Земли. Правильное 

вычисление масштаба оценивается в 4 балла. Оставшиеся 4 балла выставляются за вычисление 

размеров звезд в данном масштабе. Если  участник олимпиады в качестве звезды берет только 

Солнце, то за эту часть задания ему выставляется 2 балла (сумма – 6 баллов). При вычислении 

размеров  малых  и  больших  звезд  участник  олимпиады  может  взять  несколько  иные  размеры 

(например,  размеры  нейтронных  звезд  или  бурых  карликов  в  качестве  малых  звезд),  что  не 

может быть основанием для снижения оценки. 

 

11 

10 класс 

 

1.  Условие.

  Спутник,  движущийся  по  круговой  экваториальной  орбите  в  направлении 

вращения  планеты,  проходит  над  станцией  слежения  5  раз  в  звездные  сутки.  Над  станцией 

слежения  проходит  также  спутник,  движущийся  по  круговой  полярной  орбите  такого  же 

радиуса,  что  и  орбита  первого  спутника.  Как  часто  он  проходит  над  этой  станцией?  Форма 

планеты  –  сферическая,  действием  на  спутники  всех  других  тел,  кроме  этой  планеты, 

пренебречь. 

 

1.  Решение. 

Обозначим  звездные  сутки  как 

T

E

.  Синодический  период  обращения  спутника 

составляет 

S

  = 

T

E

 / 5.  Из  уравнения  синодического  движения  можем  вычислить  период 

обращения спутника: 

,

1

1

1

E

T

T

S

−

=

 

 

12 

,

S

1

1

T

1

S

T

T

T

S

E

E

E

+

=

+

=

 

.

T

6

1

S

T

S

T

T

E

E

E

=

+

=

 

Этот период будет одинаковым для обоих спутников, поскольку радиус орбит у них совпадает. 

Полярный  спутник  может  пройти  над  станцией  слежения  только  тогда,  когда  он  пересекает 

плоскость экватора. Причем это может произойти только в два момента звездных суток, когда 

сама станция слежения проходит через плоскость полярной орбиты спутника.   

Известно,  что  в  некоторый  момент  времени  полярный  спутник  проходил  над  станцией 

слежения. Через половину звездных суток

 

станция слежения вновь пройдет в плоскости орбиты 

полярного  спутника,  но  с  противоположной  стороны.  За  это  же  время  спутник  совершит  три 

полных  оборота  и  окажется  в  «начальной»  точке,  не  над  текущим  положением  станции 

слежения. Вообще, поскольку период спутника в четное число раз меньше периода обращения 

планеты,  он  не  сможет  пройти  над  станцией  слежения  в  точке,  противоположной  начальной. 

Через  звездные  сутки  после  начального  момента  спутник  совершит  точно  6  оборотов  и  вновь 

окажется в исходной позиции над станцией. Значит, он будет проходить над станцией 1 раз в 

звездные сутки. 

 

1. Рекомендации для жюри. 

Для решения задания участники олимпиады должны определить 

орбитальный период обоих спутников. Эта часть решения оценивается в 4 балла. Правильный 

вывод о частоте пролета спутника на полярной орбите над станцией слежения оценивается еще 

в 4 балла. 

 

2.  Условие.

  4  марта  2012  года  наступит  противостояние  Марса,  при  котором  он  будет 

располагаться на небе  в 4.6

°

 севернее эклиптики и иметь  угловой диаметр 13.9

″

. Каким будет 

угловое расстояние между Солнцем и Землей при наблюдении с Марса в этот день?  

 

2.  Решение.

  Марс  находится  в  противостоянии  с  Солнцем,  следовательно,  он  проходит  через 

плоскость,  перпендикулярную  эклиптике  и  содержащую  Солнце  и  Землю.  Изобразим  все  три 

тела в данной плоскости: 

 

Солнце

Земля

плоскость
эклиптики

Марс

β

γ

d

l

l

2

1

 

 

 

13 

Зная угловой диаметр Марса 

δ

, можно найти расстояние между Землей и Марсом:  

 

d

 = 

D

 / 

δ.

 

 

Здесь 

D

  –  диаметр  Марса.  Расстояние  получается  равным  0.67  а.е.  Обозначим  угловое 

расстояние  между  Марсом  и  линией  эклиптики  на  небе  Земли  как 

β

.  Расстояние  между 

Солнцем и Марсом 

l

2

, строго говоря, вычисляется по теореме косинусов 

 

l

2

2

 = 

l

1

2

 + 

d

2

 + 2

l

1

d

cos

β

, 

 

но с учетом малости угла 

β

 и близости его косинуса к единице: 

 

l

2

 = 

l

1

 + 

d

 = 1.67 а.е. 

 

Здесь 

l

1

 – радиус орбиты Земли, которую можно считать круговой. Искомое угловое расстояние 

между Солнцем и Землей на небе Марса вычисляется из теоремы синусов: 

 

sin 

γ

 = sin 

β

 (

l

1

/

l

2

). 

 

Угол 

γ

 составляет 2.8

°

. 

 

2.  Рекомендации  для  жюри.

  Для  решения  задачи  участники  олимпиады  должны  правильно 

представлять  конфигурацию  Солнца,  Земли  и  Марса  в  указанную  дату  (лучше  всего  – 

изобразить ее на рисунке). Выполнение этой части задания оценивается в 3 балла. Вычисление 

расстояния  между  Землей  и  Марсом,  исходя  из  значения  видимого  диаметра  Марса, 

оценивается  в  2  балла.  Если  вместо  этого  расстояния  используется  средняя  величина  для 

противостояний Марса (0.52 а.е.), указанные 2 балла не выставляются.  

Решение  треугольника  «Солнце-Земля-Марс»  может  быть  выполнено  разными 

способами:  двукратным  применением  теоремы  косинусов,  последовательным  применением 

теорем  косинусов  и  синусов,  а  также  упрощенно,  используя  малость  углов 

β

  и 

γ

.  Каждый  из 

этих способов считается верным, и его правильное выполнение оценивается в 3 балла. 

 

3.  Условие.

  В  октябре  2007  года  комета  Холмса  с  ядром  радиусом  3.3  км,  имеющая  блеск 

около  16

m

,  в  результате  взрыва  резко  разгорелась  до  2

m

.  Считая,  что  при  взрыве  все  ядро 

 

14 

распалось на одинаковые осколки, определите радиус этих осколков. Вклад частиц вне ядра в 

яркость кометы до вспышки не учитывать. 

 

3. Решение. 

Обозначим  через 

R

  первоначальный  радиус  кометы,  а  через 

r

  –  радиус  осколков. 

Пусть 

m

0

  и 

m

  –  звездные  величины  до  и  после  взрыва.  Изначальная  яркость  кометы 

пропорциональна видимой площади ее поверхности: 

 

J

0

 = 

C

 

π

 

R

2

. 

 

Здесь 

C

 – некая постоянная величина. Объем ядра кометы составлял 

 

V

 = 4/3 

π

 

R

3

. 

 

После взрыва комета распалась на 

N

 осколков с радиусом 

r

 и объемом 

V

/

N

: 

 

V

/

N

 = 4/3 

π

 

r

3

. 

 

Отсюда получаем: 

 

r

/

R

 = (1/

N

)

1/3

. 

 

Яркость  кометы  вновь  пропорциональна  видимой  суммарной  площади  осколков  с  той  же 

постоянной,  так  как  взрыв  кометы  произошел  быстро,  и  она  фактически  осталась  в  той  же 

точке пространства: 

 

J

 = 

N

 

C

 

π

 

r

2

 = 

J

0

 

N

1/3

. 

 

Из последних двух уравнений с учетом формулы Погсона имеем: 

 

.

.

J

J

R

r

)

m

m

(

.

6

4

0

0

10

5

2

10

0

−

−

⋅

=

=

=

 

 

Характерный радиус осколков ядра кометы составляет 8 мм. 

 

3.  Рекомендации  для  жюри. 

Основой  решения  задачи  является  понимание,  что  яркость 

кометного  ядра  при  его  фиксированном  положении  относительно  Солнца  и  Земли 

 

15 

пропорциональна  его  видимой  площади.  Этот  вывод  оценивается  в  2  балла.  Правильное 

выражение  для  соотношения  радиусов  кометы  и  ее  осколков  оценивается  еще  в  2  балла. 

Следующие 2 балла выставляются за получение соотношения яркостей кометы и ее осколков в 

зависимости  от  их  числа.  Последние  2  балла  ставятся  за  окончательное  вычисление  радиуса 

осколков. Следует принять во внимание, что участники олимпиады могут изменить структуру 

решения, выполняя его этапы в иной последовательности, что не может считаться недостатком 

решения.  

 

4. Условие.

 Два космических аппарата  улетают от Земли в противоположных направлениях с 

одинаковыми  скоростями  относительно  Земли.  На  одном  из  них  расположен  источник 

излучения, а на втором приемник. Приемник фиксирует то, что излучение до него доходит на 

другой  длине  волны.  Изменение  длины  волны 

∆λ

  составляет  0.1  от  самой  длины  волны 

λ

. 

Найдите скорости аппаратов относительно Земли. 

 

4.  Решение.

  Изменение  длины  волны  достаточно  большое,  но  все  же  заметно  меньше  самой 

длины волны. Поэтому мы можем использовать классические формулы для эффекта Доплера, 

считая  скорости  существенно  меньшими  скорости  света.  Скорость  удаления  аппарата  с 

приемником от аппарата с источником равна 

 

u

 = 

c

 

∆λ

 / 

λ

. 

 

Так  как  скорости  аппаратов  относительно  Земли  равны  и  направлены  в  противоположные 

стороны, их величины составляют 

 

v

 = 

u

/2 = 

c

 

∆λ

 / 2 

λ

 = 15 000 км/с. 

 

4.  Рекомендации  для  жюри.

  Для  решения  задачи  участники  олимпиады  должны  установить 

связь наблюдаемого изменения длины волны с относительной скоростью аппаратов (6 баллов) 

и  связь  с  этой  скорости  с  геоцентрическими  скоростями  аппаратов  (2  балла).  При  этом 

школьники  могут  пользоваться  релятивистским  выражением  для  эффекта  Доплера,  что  не 

может считаться ошибкой при условии правильных вычислений. 

 

5. Условие. 

Световой пучок падает вдоль оптической оси на сферическое зеркало диаметром 

d

 

с  радиусом  кривизны 

R

.  Определите  расстояние  фокуса  зеркала  от  центра  кривизны,  если  

d

 << 

R

. 

 

16 

 

5. Решение.

 Рассмотрим луч, идущий вдоль оптической оси на расстоянии 

h

 от нее. Этот луч 

отразившись  от  зеркала  пересечет  оптическую  ось  на  искомом  расстоянии 

x

  от  центра 

кривизны. Пусть угол отражения равен 

α

. Тогда  

 

sin 

α

 = 

h

/

R

. 

 

h

x

α

α

R

π − 2α

 

 

Обратим внимание, что угол между оптической осью зеркала и радиусом в точке касания также 

равен 

α

. Воспользуемся теоремой синусов: 

 

,

)

sin(

R

sin

x

α

π

α

2

−

=

 

 

α

α

α

α

2

1

1

2

2

2

sin

R

cos

R

sin

sin

R

x

−

=

=

=

. 

 

Таким образом, если диаметр зеркала много меньше, чем его радиус кривизны, то синус будет 

равен  нулю,  вторая  дробь  обратится  в  единицу,  и  лучи,  параллельные  оптической  оси,  будут 

собираться на расстоянии 

R

/2 от центра кривизны зеркала. 

 

5.  Рекомендации  для  жюри.

  Основой  решения  задачи  является  правильное  построение  пути 

луча,  идущего  на  некотором  расстоянии  от  оптической  оси  и  отраженного  сферическим 

зеркалом.  Этот  этап  оценивается  в  3  балла.  Дальнейшие  вычисления  и  получение  ответа 

оценивается  в  5  баллов.  Участники  олимпиады  могут  выполнять  его  как  с  помощью  теоремы 

синусов,  так  и  с  приближением  малых  углов  на  всех  этапах  решения,  что  также  считается 

правильным. 

 

 

 

17 

6.  Условие.

  Двойная  звезда  Поррима  (

γ

  Девы)  состоит  из  двух  одинаковых  компонент.  На 

рисунке приведены измеренные положения одной из звезд (маленькие крестики) относительно 

другой,  которая  считалась  неподвижной  и  помечена  большим  крестом.  Измерения 

производились в течение орбитального периода (169 лет). Усредненные положения показаны в 

виде  линии  эллипса.  Считая,  что  малая  ось  орбит  звезд  в  пространстве  лежит  в  плоскости 

рисунка, найдите наклон самой плоскости орбит к плоскости рисунка.  

 

 

 

6.  Решение. 

На  рисунке  показан  видимый  путь  одной  звезды  относительно  другой.  В 

реальности  обе  звезды  движутся  вокруг  центра  масс  по  орбитам  одинаковой  формы  в  одной 

плоскости, одновременно проходя перицентр. При этом эксцентриситет каждой из орбит будет 

равен  эксцентриситету  эллипса,  который  одна  звезда  описывает  вокруг  другой.  Поэтому  мы 

можем рассматривать данный эллипс в задаче и считать одну из звезд неподвижной. 

 

Из  рисунка,  данного  в  условии  задачи,  мы  можем  определить  три  параметра:  видимую 

большую  полуось  эллипса 

a

  –  3.12

″

,  видимую  малую  полуось  эллипса 

b

  –  1.65

″

,  видимое 

перицентрическое расстояние 

p

 – 0.36

″

.  

 

 

18 

 

По  условию  задачи,  малая  ось  орбит  звезд  лежит  в  плоскости  наблюдения  (перпендикулярна 

направлению  на  наблюдателя),  и  ее  видимые  размеры  соответствуют  пространственным. 

Большая  ось  эллипса  образует  с  картинной  плоскостью  угол 

i

,  и  ее  видимые  размеры 

уменьшаются из-за эффекта проекции: 

a

 = 

a

0

 cos 

i

. 

 

То же самое относится и к перицентрическому расстоянию: 

 

p

 = 

p

0

 cos 

i

. 

 

b

a

a

p

p

0

0

i

К наблюдателю

 

 

19 

Отсюда мы можем определить эксцентриситет орбит звезд: 

 

.

88

.

0

0

0

0

=

−

=

−

=

a

p

a

a

p

a

e

 

 

С другой стороны, большая полуось эллипса выражается из малой с помощью формулы: 

 

.

1

2

0

e

b

a

−

=

 

 

Отсюда мы получаем искомый угол наклона: 

 

.

26

1

arccos

arccos

2

0

O

b

e

a

a

a

i

=

−

=

=

 

 

Если  бы  орбиты  компонент  Порримы  лежали  в  плоскости  неба,  видимая  траектория  одной 

звезды относительно другой представляла бы более вытянутый эллипс, показанный на рисунке 

пунктирной  линией.  В  реальности,  линия  узлов  орбит  спутников  несколько  отличается  от 

малой  оси,  и  наклон  орбит  звезд 

γ

  Девы  к  плоскости  неба  немного  превышает  полученное 

значение. 

 

6.  Рекомендации  для жюри. 

Перед  решением  задачи  участники  олимпиады  должны  указать, 

что  эллипс, который  описывает  одна  звезда  относительно  второй,  подобен  эллипсам,  которые 

обе звезды в реальности описывают при движении вокруг общего центра масс. Данный вывод 

оценивается  в  1  балл.  Правильные  измерения  параметров  эллипса,  полученного  в  результате 

наблюдений,  оцениваются  еще  в  2  балла,  при  этом  сами  параметры  могут  отличаться  (в 

пределах  нескольких  процентов)  от  указанных  выше.  Вычисление  истинного  эксцентриситета 

орбит  звезд  (исходя  из  перицентрического  расстояния)  оценивается  в  2  балла,  вычисление 

большой полуоси из малой – еще в 2 балла. Наконец, еще 1 балл выставляется за окончательное 

вычисление угла наклона плоскости орбит звезд к картинной плоскости. Участники олимпиады 

могут вычислить вместо него угол наклона плоскости орбит звезд к лучу зрения – дополнение 

искомого угла до прямого (64

°

), что не может быть основанием для снижения оценки. 

 

 

 

 

 

20 

11 класс 

 

1.  Условие. 

Самолет  МиГ-29М  может  развивать  скорость  до  2500  км/ч.  Во  сколько  раз  это 

больше  (или  меньше)  скорости  движения  поверхности  на  экваторе  радиопульсара? 

орбитальной  скорости  аппарата  Dawn,  вращающегося  на  низкой  круговой  орбите  вокруг 

астероида Веста (масса 2.75

⋅

10

20

 кг, радиус 265 км)? 

 

1. Решение. 

Радиопульсар – это нейтронная звезда. Его радиус 

r

P

 составляет примерно 10 км. 

Периоды радиопульсаров 

t

P

 бывают от 0.001 до 10 секунд. Скорость поверхности на экваторе 

радиопульсара составит 

.

t

r

v

P

P

P

⋅

=

π

2

 

 

Минимальное значение (при периоде в 10 секунд) будет примерно 6 км/с или 22000 км/ч. Это 

почти в 10 раз больше скорости самолета. Максимальная скорость на экваторе радиопульсара 

будет  превышать  скорость  самолета  в  100000  раз.  Круговая  скорость  на  низкой  орбите  над 

Вестой, имеющей массу 

m

V

 и радиус 

r

V

, равна 

 

.

r

Gm

v

V

V

V

=

 

 

Численное значение составляет около 260 м/c или 1000 км/ч. Скорость самолета в 2.5 раза 

больше. 

 

1.  Рекомендации  для  жюри.

  Для  сравнения  скорости  самолета  со  скоростью  на  экваторе 

радиопульсара  необходимо  представление  о  природе  радиопульсаров.  Участники  олимпиады 

не  обязаны  брать  максимальное  или  минимальное  значение  периода,  достаточно  любого 

значения,  попадающего  в  нужный  интервал.  Сравнение  скоростей  самолета  и  поверхности 

радиопульсара  оценивается  в  4  балла.  Еще  4  балла  выставляются  за  правильное  сравнение 

скоростей самолета и аппарата Dawn.  

 

2. Условие.

 Марс, находясь в западной квадратуре, наблюдается в созвездии Стрельца. В каком 

созвездии  он  будет  находиться  во  время  последующего  противостояния?  Считать  орбиту 

Марса круговой и лежащей в плоскости эклиптики, орбита Земли также круговая.