Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 3

Задача № 3 

 

3.1. Условие:

  

Ваня  купил  шарики,  красных  было  в  7  раз  больше,  чем  синих.  Пока  Ваня  шёл  домой, 

часть шариков лопнула, причём среди лопнувших шариков красных оказалось в 3 раза 

меньше, чем синих. Какое наименьшее количество шариков мог купить Ваня? 

 

Ответ: 

24

 

 

Решение.

  

Заметим, что лопнул хотя бы один красный шарик, а значит, синих лопнуло хотя бы три. 

Отсюда  синих  шариков  не  меньше  трёх,  следовательно,  красных  не  меньше 

7 ∙ 3 = 21

, то есть всего шариков должно быть хотя бы 24. Например, Ваня мог нести с собой 

21 красный шарик и 3 синих, а лопнул 1 красный шарик и все 3 синих. 

 

3.2. Условие:

  

Ваня  купил  шарики,  красных  было  в  5  раз  больше,  чем  синих.  Пока  Ваня  шёл  домой, 

часть шариков лопнула, причём среди лопнувших шариков красных оказалось в 3 раза 

меньше, чем синих. Какое наименьшее количество шариков мог купить Ваня? 

 

Ответ: 

18

 

 

3.3. Условие:

  

Ваня  купил  шарики,  красных  было  в  7  раз  больше,  чем  синих.  Пока  Ваня  шёл  домой, 

часть шариков лопнула, причём  среди лопнувших шариков красных оказалось в 4 раза 

меньше, чем синих. Какое наименьшее количество шариков мог купить Ваня? 

Ответ: 

32

 

 

3.4. Условие:

  

Ваня  купил  шарики,  красных  было  в  6  раз  больше,  чем  синих.  Пока  Ваня  шёл  домой, 

часть  шариков  лопнула,  причём  среди  лопнувших  шариков  красных  оказалось  в  5  раз 

меньше, чем синих. Какое наименьшее количество шариков мог купить Ваня? 

 

Ответ: 

35

 

 

 

Задача № 4 

 

4.1. Условие:

  

Ласточка, воробей и канарейка сели на три столба вдоль шоссе. Ласточка опустилась на 

столб, расположенный в 380 м от автобусной остановки; воробей  — на столб, который 

находится  в  450  м  от  остановки,  прямо  посередине  между  ласточкой  и  канарейкой. 

На

 

каком  расстоянии  от  остановки  находится  столб,  на  который  села  канарейка? 

Ответ

 

выразите в метрах, укажите все возможные варианты. 

 

Ответ: 

520, 1280

 

 

Решение.  

Раз воробей находится ровно посередине, то расстояние между ним и ласточкой равно 

расстоянию  между  ним  и  канарейкой.  Расстояние  между  воробьём  и  ласточкой 

составляет 

450  −  380  =  70

 метров (если птицы сидят по одну сторону от остановки)

 

либо

 

же

 

450  +  380  =  830

 метров (если птицы сидят по разные стороны от остановки). 

Тогда  канарейка  сидит  на  расстоянии  450  +  70  =  520  метров  (по  одну  сторону 

от

 

остановки) и 450 + 830 = 1280 метров (по разные стороны от остановки). 

 

 

4.2. Условие:

  

Ласточка,  воробей  и  канарейка  сели  на  три  столба  вдоль  шоссе.  Ласточка  опустилась 

на

 

столб, расположенный в 400 м от автобусной остановки; воробей — на столб, который 

находится  в  635  м  от  остановки,  прямо  посередине  между  ласточкой  и  канарейкой. 

На

 

каком  расстоянии  от  остановки  находится  столб,  на  который  села  канарейка? 

Ответ

 

выразите в метрах, укажите все возможные варианты. 

 

Ответ: 

870 и 1670

 

 

4.3. Условие:

  

Ласточка,  воробей  и  канарейка  сели  на  три  столба  вдоль  шоссе.  Ласточка  опустилась 

на

 

столб,  расположенный  в  530  м  от  автобусной  остановки;  воробей  —  на  столб, 

который

 

находится  в  410  м  от  остановки,  прямо  посередине  между  ласточкой 

и

 

канарейкой.  На  каком  расстоянии  от  остановки  находится  столб,  на  который  села 

канарейка? Ответ выразите в метрах, укажите все возможные варианты. 

 

Ответ: 

290 и 1350

 

 

4.4. Условие:

  

Ласточка,  воробей  и  канарейка  сели  на  три  столба  вдоль  шоссе.  Ласточка  опустилась 

на

 

столб, расположенный в 485 м от автобусной остановки; воробей — на столб, который 

находится  в  420  м  от  остановки,  прямо  посередине  между  ласточкой  и  канарейкой. 

На

 

каком расстоянии от остановки находится столб, на который села канарейка? Ответ 

выразите в метрах, укажите все возможные варианты. 

 

Ответ: 

355 и 1325

 

 

 

Задача № 5 

5.1. Условие:

  

В понедельник Оля начала тренироваться по следующей программе: 6 дней подряд идут 

тренировки,  потом  2  дня  отдыха,  потом  снова  6  дней  тренировок,  2  дня  отдыха  и  т.д. 

На какой день недели выпадет сотая по счёту тренировка?

 

Варианты ответов: 





 

Суббота 

(верно)

Решение

. 

Попробуем понять

,

 на какой цикл программы (т. е. отрезок из 8 дней, состоящий из 6 дней 

тренировок  и  2  дней  отдыха)  выпадает  сотая  тренировка  (не  сотый  день  программы). 

Разделив 100 на 6, узнаем, сколько циклов должно пройти до

 

наступления сотой тренировки 

– 16 и 4 в остатке. Это

 

значит, что 16 циклов будут полными и ещё четыре тренировочных

дня пройдёт до наступления сотого дня тренировок: 

16  ∙   (6  +  2)   +  4  =  132

 дня. Чтобы 

найти день недели, нужно посмотреть на остаток числа при делении на 7. При делении 132 

на 7 получаем в остатке 6, а значит, день недели – суббота. 

5.2. Условие:

  

В понедельник Оля начала тренироваться по следующей программе: 3 дня подряд идут 

тренировки,  потом  1  день  отдыха,  потом  снова  3  дня  тренировок,  1  день  отдыха  и  т.д. 

На

 

какой день недели выпадет сотая по счёту тренировка?

 

Варианты ответов: 



Воскресенье (верно)

5.3. Условие:

  

В понедельник Оля начала тренироваться по следующей программе: 7 дней подряд идут 

тренировки,  потом  3  дня  отдыха,  потом  снова  7  дней  тренировок,  3  дня  отдыха  и  т.д. 

На

 

какой день недели выпадет сотая по счёту тренировка?

 

Варианты ответов: 



 

Понедельник 



 

Вторник 

(верно)

5.4. Условие:

  

В понедельник Оля начала тренироваться по следующей программе: 8 дней подряд идут 

тренировки,  потом  3  дня  отдыха,  потом  снова  8  дней  тренировок,  3  дня  отдыха  и  т.д. 

На

 

какой день недели выпадет сотая по счёту тренировка?

 

Варианты ответов: 



 

Понедельник 

Вторник 



 

Среда  

(верно)

Задача № 6 

 

6.1. Условие:

  

Петя  задумал  натуральное  число  и  выписал  на  доску  суммы  каждой  пары  его  цифр. 

После

 

этого  он  стёр  некоторые  суммы,  и  на  доске  остались  числа  2,  0,  2,  2.  Какое 

наименьшее число мог задумать Петя?

 

 

Ответ: 

2000

 

 

Решение

.  

Так как среди сумм есть 0, в числе должно быть хотя бы две цифры 0. Если в числе всего 

три цифры, то получится три попарных суммы, а по условию их хотя бы четыре. Значит, 

в искомом числе должно быть хотя бы четыре цифры. Получить сумму

, 

равную 2,

 

можно 

либо как 

1  +  1

, либо как 

2  +  0

. Если в числе есть цифра 2, то

 

в нём окажутся четыре 

цифры, три из которых – 2, 0, 0, а значит, меньше

 

2000 число быть не может. При этом 

2000 отвечает  условию. Если же 2  получить как

 

1  +  1

, то потребуется хотя бы четыре 

цифры – 1, 1, 0, 0. При этом с их помощью не удастся получить попарные суммы 2, 0, 2, 

2, а значит, цифр должно быть хотя

 

бы 5, т. е. число точно будет больше 2000. 

 

6.2. Условие:

  

Петя задумал натуральное число и выписал на доску суммы каждой пары его цифр. После 

этого он стёр некоторые суммы, и на доске остались числа 1, 1, 1, 2. Какое наименьшее 

число мог задумать Петя?

 

 

Ответ: 

1001

 

 

6.3. Условие:

  

Петя задумал натуральное число и выписал на доску суммы каждой пары его цифр. После 

этого  он  стёр  некоторые  суммы,  и  на  доске  остались  числа  18,  16,  16,  16.  Какое 

наименьшее число мог задумать Петя?

 

 

Ответ: 

7799

 

 

 

6.4. Условие:

  

Петя задумал натуральное число и выписал на доску суммы каждой пары его цифр. После 

этого  он  стёр  некоторые  суммы,  и  на  доске  остались  числа  17,  17,  17,  16.  Какое 

наименьшее число мог задумать Петя?

 

 

Ответ: 

8889

 

 

 

Задача № 7 

 

7.1. Условие:

  

Столяр  взял  деревянный  квадрат  и  выпилил  из  него  4  равных  квадратика  поменьше, 

площадь  каждого  из  которых  составила  9

%

  от  площади  большого.  Оставшаяся 

от

 

первоначального квадрата площадь равнялась 256 см

2

. 

 

Найдите сторону первоначального квадрата. Ответ выразите в сантиметрах. 

 

Ответ: 

20

 

 

Решение.

 

 

Пусть сторона большого квадрата равна  10x. Площадь маленького квадрата  составляет 

9%  от  площади  большого,  то  есть 

9 100

⁄

∙ 100х

2

= 9х

2

.  После  того  как  убрали  четыре 

маленьких  квадрата,  по  условию  осталось 

100х

2

– 4 ∙ 9х

2

= 64х

2

= 256см

2

.  Значит,  

𝑥

2

  =  4

. Отсюда 

𝑥  =  2

 см, а вся сторона 

10𝑥  =  20

 см.

 

 

 

7.2. Условие:

  

Столяр  взял  деревянный  квадрат  и  выпилил  из  него  4  равных  квадратика  поменьше, 

площадь  каждого  из  которых  составила  10%  от  площади  большого.  Оставшаяся 

от

 

первоначального квадрата площадь равнялась 540 см

2

. 

 

Найдите сторону первоначального квадрата. Ответ выразите в сантиметрах. 

 

Ответ: 

30

 

 

7.3. Условие:

  

Столяр  взял  деревянный  квадрат  и  выпилил  из  него  4  равных  квадратика  поменьше, 

площадь  каждого  из  которых  составила  20%  от  площади  большого.  Оставшаяся 

от

 

первоначального квадрата площадь равнялась 500 см

2

. 

 

Найдите сторону первоначального квадрата. Ответ выразите в сантиметрах. 

 

Ответ: 

50 

 

7.4. Условие:

  

Столяр  взял  деревянный  квадрат  и  выпилил  из  него  4  равных  квадратика  поменьше, 

площадь  каждого  из  которых  составила  17%  от  площади  большого.  Оставшаяся 

от

 

первоначального квадрата площадь равнялась 512 см

2

. 

 

Найдите сторону первоначального квадрата. Ответ выразите в сантиметрах. 

 

Ответ: 

40

 

 

 

Задача № 8 

 

8.1. Условие:

  

На  острове  обитают  два  племени:  рыцари,  которые  всегда  говорят  правду,  и  лжецы, 

которые всегда лгут. Шестеро островитян выстроились в шеренгу на расстоянии 1 м друг 

от друга. 



 

Самый левый в ряду сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит 

на расстоянии 3 м от меня». 



 

Четвёртый  сказал:  «Мой  ближайший  соплеменник  в  этой  шеренге  стоит  на 

расстоянии 1 м от меня». 



 

Пятый сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит на расстоянии 

2 м от меня». 

Известно, что всего в шеренге три рыцаря и три лжеца. На каких местах 

гарантированно

 

стоят рыцари? 

 

Ответ:  

 

Решение.

  

Пронумеруем всех островитян слева направо. Пусть четвёртый – лжец. Тогда третий и пятый 

должны быть рыцарями, иначе бы четвёртый сказал правду.  

Если  первый  –  лжец,  то  его  утверждение  ложно  только  в  том  случае,  когда  второй  тоже 

является  лжецом.  Так  как  всего  лжецов  трое,  получается,  что  шестой  –  рыцарь,  но  тогда 

пятый солгал, ведь его ближайший соплеменник находится на расстоянии 1 м, а не 2 м. Если 

же  первый  –  рыцарь,  то  его  утверждение  опять  будет  ложно,  чего

 

тоже  быть  не  может. 

Получается,  что  четвёртый  точно  не  лжец.  Отсюда  следует,  что

 

рыцарем  является  третий 

либо пятый. Если это пятый, то третий тоже рыцарь, возникает такое же противоречие, что 

и в случае  с первым. Значит, третий и четвёртый всегда рыцари,  а

 

пятый  – лжец. Отсюда 

также  следует,  что  если  первый  –  рыцарь,  то  его  ближайший  соплеменник  стоит  на 

расстоянии 2 м (третий), а не 3 м, следовательно, первый – лжец. 

Первый, второй и шестой могут быть лжецами, например: ЛЛРРЛР, ЛРРРЛЛ. Здесь первая 

буква обозначает первого, вторая – второго и т. д.

 

 

8.2. Условие:

  

На  острове  обитают  два  племени:  рыцари,  которые  всегда  говорят  правду,  и  лжецы, 

которые всегда лгут. Шестеро островитян выстроились в шеренгу на расстоянии 1 м друг 

от друга. 



 

Самый левый в ряду сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит 

на расстоянии 3 м от меня». 



 

Четвёртый  сказал:  «Мой  ближайший  соплеменник  в  этой  шеренге  стоит 

на

 

расстоянии 1 м от меня». 



 

Пятый сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит на расстоянии 

2 м от меня». 

Известно, что всего в шеренге три рыцаря и три лжеца. На каких местах гарантированно 

стоят лжецы? 

 

Ответ:  

 

8.3. Условие:

  

На  острове  обитают  два  племени:  рыцари,  которые  всегда  говорят  правду,  и  лжецы, 

которые всегда лгут. Шестеро островитян выстроились в шеренгу на расстоянии 1 м друг 

от друга. 



 

Второй слева в ряду сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит 

на расстоянии 2 м от меня». 



 

Третий сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит на

 

расстоянии 

1 м от меня». 



 

Шестой  сказал:  «Мой  ближайший  соплеменник  в  этой  шеренге  стоит  на 

расстоянии 3 м от меня». 

Известно, что всего в шеренге три рыцаря и три лжеца. На каких местах 

гарантированно

 

стоят рыцари? 

 

Ответ:  

 

Решение.

  

Пронумеруем  всех  островитян  слева  направо.  Пусть  третий  –  лжец.  Тогда  второй  и 

четвёртый  должны  быть  рыцарями,  иначе  бы  третий  сказал  правду.  Второй  –  рыцарь,  а 

значит, он говорит правду, и его ближайший соплеменник стоит на месте с номером 4. Но 

это также значит, что первый – лжец, иначе он был бы рыцарем, стоящим ближе ко второму.  

Шестой не может быть рыцарем, поскольку тогда он бы солгал, так как третий – лжец и не 

может  быть  его  соплеменником.  Значит,  шестой  –  лжец.  Но  чтобы  он  солгал,  его 

соплеменник должен стоять ближе к шестому, чем третий. Так как четвёртый уже рыцарь, 

остаётся  только  пятый.  Возникает  противоречие:  в  ряду  четыре  лжеца  –  первый,  третий, 

пятый и шестой. 

Значит, третий точно рыцарь. Из его утверждения следует, что среди второго и четвёртого 

есть хотя бы один рыцарь. Второй не может быть рыцарем, поскольку тогда его ближайшим 

соплеменником был бы третий, который стоит рядом с ним, а второй говорит про четвёртого. 

Значит, второй точно лжец, а четвёртый точно рыцарь.  

Если шестой – рыцарь, то его ближайший соплеменник – четвёртый, но шестой говорит про 

третьего.  Возникшее  противоречие  свидетельствует  о  том,  что  шестой  точно  лжец.  Про 

первого  и  пятого  точно  нельзя  ничего  сказать,  так  как  условию  отвечают  расстановки 

ЛЛРРРЛ и РЛРРЛЛ. 

 

8.4. Условие:

  

На  острове  обитают  два  племени:  рыцари,  которые  всегда  говорят  правду,  и  лжецы, 

которые  всегда  лгут.  Шестеро  островитян  выстроились  в  шеренгу  на  расстоянии  1  м 

друг

 

от друга. 



 

Второй слева в ряду сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит 

на расстоянии 2 м от меня». 



 

Третий сказал: «Мой ближайший соплеменник в этой шеренге стоит на

 

расстоянии 

1 м от меня». 



 

Четвертый  сказал:  «Мой  ближайший  соплеменник  в  этой  шеренге  стоит  на 

расстоянии 3 м от меня». 

Известно, что всего в шеренге три рыцаря и три лжеца. На каких местах 

гарантированно

 

стоят лжецы? 

 

 

Ответ:  

 

 

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

1/15

Пригласительный

 (

пробный

) 

этап

 

ВсОШ

 

в

 

городе

Москве

, 

математика

, 7 

класс

, 2022

11 

май

 2022 

г

., 08:45 — 12 

май

 2022 

г

., 21:15

№

 1, 

вариант

 1

1 

балл

Таблица

 

 

разбита

 

на

 

четыре

 

квадрата

 

. 

Вика

 

вписала

 

в

 

клетки

 

таблицы

   

единицы

,   

двойки

,   

тройки

 

и

   

четвёрки

 

так

, 

что

 

в

 

каждом

 

столбце

,

в

 

каждой

 

строке

 

и

 

в

 

каждом

 

квадрате

 

 

все

 

числа

 

оказались

 

разными

. 

Хулиган

 

Андрей

 

стёр

 

часть

чисел

.

4 × 4

2 × 2

4

4

4

4

2 × 2

Помогите

 

Вике

 

восстановить

 

таблицу

: 

укажите

 

строки

 

и

 

столбцы

 

клеток

, 

в

 

которых

 

стояли

 

четвёрки

.

Строка

 

A

Строка

 

B

Строка

 

C

Строка

 

D

Столбец

 

1

Столбец

 

2

Столбец

 

3

Столбец

 

4

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

2/15

№

 1, 

вариант

 2

1 

балл

Таблица

 

 

разбита

 

на

 

четыре

 

квадрата

 

. 

Вика

 

вписала

 

в

 

клетки

 

таблицы

   

единицы

,   

двойки

,   

тройки

 

и

   

четвёрки

 

так

, 

что

 

в

 

каждом

 

столбце

,

в

 

каждой

 

строке

 

и

 

в

 

каждом

 

квадрате

 

 

все

 

числа

 

оказались

 

разными

. 

Хулиган

 

Андрей

 

стёр

 

часть

чисел

.

4 × 4

2 × 2

4

4

4

4

2 × 2

Помогите

 

Вике

 

восстановить

 

таблицу

: 

укажите

 

строки

 

и

 

столбцы

 

клеток

, 

в

 

которых

 

стояли

 

четвёрки

.

Строка

 

A

Строка

 

B

Строка

 

C

Строка

 

D

Столбец

 

1

Столбец

 

2

Столбец

 

3

Столбец

 

4

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

3/15

№

 1, 

вариант

 3

1 

балл

Таблица

 

 

разбита

 

на

 

четыре

 

квадрата

 

. 

Вика

 

вписала

 

в

 

клетки

 

таблицы

   

единицы

,   

двойки

,   

тройки

 

и

   

четвёрки

 

так

, 

что

 

в

 

каждом

 

столбце

,

в

 

каждой

 

строке

 

и

 

в

 

каждом

 

квадрате

 

 

все

 

числа

 

оказались

 

разными

. 

Хулиган

 

Андрей

 

стёр

 

часть

чисел

.

4 × 4

2 × 2

4

4

4

4

2 × 2

Помогите

 

Вике

 

восстановить

 

таблицу

: 

укажите

 

строки

 

и

 

столбцы

 

клеток

, 

в

 

которых

 

стояли

 

четвёрки

.

Строка

 

A

Строка

 

B

Строка

 

C

Строка

 

D

Столбец

 

1

Столбец

 

2

Столбец

 

3

Столбец

 

4

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

4/15

№

 1, 

вариант

 4

№

 2, 

вариант

 1

1 

балл

Таблица

 

 

разбита

 

на

 

четыре

 

квадрата

 

. 

Вика

 

вписала

 

в

 

клетки

 

таблицы

   

единицы

,   

двойки

,   

тройки

 

и

   

четвёрки

 

так

, 

что

 

в

 

каждом

 

столбце

,

в

 

каждой

 

строке

 

и

 

в

 

каждом

 

квадрате

 

 

все

 

числа

 

оказались

 

разными

. 

Хулиган

 

Андрей

 

стёр

 

часть

чисел

.

4 × 4

2 × 2

4

4

4

4

2 × 2

Помогите

 

Вике

 

восстановить

 

таблицу

: 

укажите

 

строки

 

и

 

столбцы

 

клеток

, 

в

 

которых

 

стояли

 

четвёрки

.

Строка

 

A

Строка

 

B

Строка

 

C

Строка

 

D

Столбец

 

1

Столбец

 

2

Столбец

 

3

Столбец

 

4

1 

балл

На

 

прямой

 

отмечены

 

точки

 

, 

именно

 

в

 

таком

 

порядке

. 

Точка

 

 

 

середина

 

отрезка

 

,

точка

   

 

середина

 

отрезка

 

.  

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

A, B, C, D

M —

AC

N —

BD

MN

AD = 68 BC = 20

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

5/15

№

 2, 

вариант

 2

№

 2, 

вариант

 3

1 

балл

На

 

прямой

 

отмечены

 

точки

 

, 

именно

 

в

 

таком

 

порядке

. 

Точка

 

 

 

середина

 

отрезка

 

,

точка

   

 

середина

 

отрезка

 

.  

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

A, B, C, D

M —

AC

N —

BD

MN

AD = 68 BC = 22

Число

1 

балл

На

 

прямой

 

отмечены

 

точки

 

, 

именно

 

в

 

таком

 

порядке

. 

Точка

 

 

 

середина

 

отрезка

 

,

точка

   

 

середина

 

отрезка

 

. 

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

A, B, C, D

M —

AC

N —

BD

MN

AD = 68 BC = 24

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

6/15

№

 2, 

вариант

 4

№

 3, 

вариант

 1

№

 3, 

вариант

 2

1 

балл

На

 

прямой

 

отмечены

 

точки

 

, 

именно

 

в

 

таком

 

порядке

. 

Точка

 

 

 

середина

 

отрезка

 

,

точка

   

 

середина

 

отрезка

 

. 

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

A, B, C, D

M —

AC

N —

BD

MN

AD = 68 BC = 26

Число

1 

балл

Паша

 

знает

 

скорость

 

своей

 

моторной

 

лодки

. 

Он

 

посчитал

, 

что

 

ему

 

потребуется

 

 

минут

, 

чтобы

 

проплыть

по

 

реке

 

от

 

причала

 

до

 

моста

 

и

 

обратно

, 

но

 

не

 

учёл

 

течение

 

реки

. 

Сколько

 

минут

 

на

 

самом

 

деле

потребуется

 

Паше

 

на

 

прохождение

 

задуманного

 

маршрута

, 

если

 

известно

, 

что

 

скорость

 

течения

 

ровно

в

   

раза

 

меньше

 

скорости

 

моторной

 

лодки

? 

Скорости

 

лодки

 

и

 

течения

 

постоянны

.

20

3

Число

 

или

 

дробь

1 

балл

Паша

 

знает

 

скорость

 

своей

 

моторной

 

лодки

. 

Он

 

посчитал

, 

что

 

ему

 

потребуется

 

 

минут

, 

чтобы

 

проплыть

по

 

реке

 

от

 

причала

 

до

 

моста

 

и

 

обратно

, 

но

 

не

 

учёл

 

течение

 

реки

. 

Сколько

 

минут

 

на

 

самом

 

деле

потребуется

 

Паше

 

на

 

прохождение

 

задуманного

 

маршрута

, 

если

 

известно

, 

что

 

скорость

 

течения

 

ровно

в

   

раза

 

меньше

 

скорости

 

моторной

 

лодки

? 

Скорости

 

лодки

 

и

 

течения

 

постоянны

.

28

3

Число

 

или

 

дробь

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

7/15

№

 3, 

вариант

 3

№

 3, 

вариант

 4

№

 4, 

вариант

 1

1 

балл

Паша

 

знает

 

скорость

 

своей

 

моторной

 

лодки

. 

Он

 

посчитал

, 

что

 

ему

 

потребуется

 

 

минут

, 

чтобы

 

проплыть

по

 

реке

 

от

 

причала

 

до

 

моста

 

и

 

обратно

, 

но

 

не

 

учёл

 

течение

 

реки

. 

Сколько

 

минут

 

на

 

самом

 

деле

потребуется

 

Паше

 

на

 

прохождение

 

задуманного

 

маршрута

, 

если

 

известно

, 

что

 

скорость

 

течения

 

ровно

в

   

раза

 

меньше

 

скорости

 

моторной

 

лодки

? 

Скорости

 

лодки

 

и

 

течения

 

постоянны

.

36

3

Число

 

или

 

дробь

1 

балл

Паша

 

знает

 

скорость

 

своей

 

моторной

 

лодки

. 

Он

 

посчитал

, 

что

 

ему

 

потребуется

 

 

минуты

, 

чтобы

проплыть

 

по

 

реке

 

от

 

причала

 

до

 

моста

 

и

 

обратно

, 

но

 

не

 

учёл

 

течение

 

реки

. 

Сколько

 

минут

 

на

 

самом

 

деле

потребуется

 

Паше

 

на

 

прохождение

 

задуманного

 

маршрута

, 

если

 

известно

, 

что

 

скорость

 

течения

 

ровно

в

   

раза

 

меньше

 

скорости

 

моторной

 

лодки

? 

Скорости

 

лодки

 

и

 

течения

 

постоянны

.

44

3

Число

 

или

 

дробь

1 

балл

Вдоль

 

дороги

, 

соединяющей

 

дома

 

Маши

 

и

 

Саши

, 

растут

 

деревья

: 

 

яблонь

 

и

 

 

тополей

. 

Когда

 

Маша

 

шла

в

 

гости

 

к

 

Саше

, 

она

 

фотографировала

 

все

 

деревья

. 

Сразу

 

после

 

десятой

 

яблони

 

память

 

на

 

телефоне

 

Маши

закончилась

, 

и

 

девочка

 

не

 

смогла

 

сфотографировать

 

оставшиеся

 

 

деревьев

. 

Когда

 

на

 

следующий

 

день

Саша

 

пошёл

 

в

 

гости

 

к

 

Маше

, 

он

 

срывал

 

по

 

одному

 

листу

 

с

 

каждого

 

дерева

, 

начиная

 

с

 

восьмой

 

яблони

.

Сколько

 

листов

 

сорвал

 

Саша

?

17

18

13

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

8/15

№

 4, 

вариант

 2

№

 4, 

вариант

 3

№

 4, 

вариант

 4

1 

балл

Вдоль

 

дороги

, 

соединяющей

 

дома

 

Маши

 

и

 

Саши

, 

растут

 

деревья

: 

 

яблонь

 

и

 

 

тополей

. 

Когда

 

Маша

 

шла

в

 

гости

 

к

 

Саше

, 

она

 

фотографировала

 

все

 

деревья

. 

Сразу

 

после

 

десятой

 

яблони

 

память

 

на

 

телефоне

 

Маши

закончилась

, 

и

 

девочка

 

не

 

смогла

 

сфотографировать

 

оставшиеся

 

 

деревьев

. 

Когда

 

на

 

следующий

 

день

Саша

 

пошёл

 

в

 

гости

 

к

 

Маше

, 

он

 

срывал

 

по

 

одному

 

листу

 

с

 

каждого

 

дерева

, 

начиная

 

с

 

восьмой

 

яблони

.

Сколько

 

листов

 

сорвал

 

Саша

?

17

19

13

Число

1 

балл

Вдоль

 

дороги

, 

соединяющей

 

дома

 

Маши

 

и

 

Саши

, 

растут

 

деревья

: 

 

яблонь

 

и

 

 

тополей

. 

Когда

 

Маша

 

шла

в

 

гости

 

к

 

Саше

, 

она

 

фотографировала

 

все

 

деревья

. 

Сразу

 

после

 

десятой

 

яблони

 

память

 

на

 

телефоне

 

Маши

закончилась

, 

и

 

девочка

 

не

 

смогла

 

сфотографировать

 

оставшиеся

 

 

деревьев

. 

Когда

 

на

 

следующий

 

день

Саша

 

пошёл

 

в

 

гости

 

к

 

Маше

, 

он

 

срывал

 

по

 

одному

 

листу

 

с

 

каждого

 

дерева

, 

начиная

 

с

 

восьмой

 

яблони

.

Сколько

 

листов

 

сорвал

 

Саша

?

17

15

13

Число

1 

балл

Вдоль

 

дороги

, 

соединяющей

 

дома

 

Маши

 

и

 

Саши

, 

растут

 

деревья

: 

 

яблонь

 

и

 

 

тополей

. 

Когда

 

Маша

 

шла

в

 

гости

 

к

 

Саше

, 

она

 

фотографировала

 

все

 

деревья

. 

Сразу

 

после

 

десятой

 

яблони

 

память

 

на

 

телефоне

 

Маши

закончилась

, 

и

 

девочка

 

не

 

смогла

 

сфотографировать

 

оставшиеся

 

 

деревьев

. 

Когда

 

на

 

следующий

 

день

Саша

 

пошёл

 

в

 

гости

 

к

 

Маше

, 

он

 

срывал

 

по

 

одному

 

листу

 

с

 

каждого

 

дерева

, 

начиная

 

с

 

восьмой

 

яблони

.

Сколько

 

листов

 

сорвал

 

Саша

?

17

20

13

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

9/15

№

 5, 

вариант

 1

№

 5, 

вариант

 2

№

 5, 

вариант

 3

1 

балл

На

 

урок

 

физкультуры

 

пришли

 

 

семиклассников

, 

некоторые

 

из

 

них

 

принесли

 

по

 

одному

 

мячу

. 

Иногда

в

 

течение

 

урока

 

кто

‑

нибудь

 

из

 

школьников

 

отдавал

 

свой

 

мяч

 

тому

, 

у

 

кого

 

мяча

 

не

 

было

. 

В

 

конце

 

урока

   

семиклассников

 

сказали

:

«

Я

 

получал

 

мяч

 

реже

, 

чем

 

его

 

отдавал

!»

.

Найдите

 

наибольшее

 

возможное

 

значение

  , 

если

 

известно

, 

что

 

никто

 

из

 

ребят

 

не

 

соврал

.

27

N

N

Число

1 

балл

На

 

урок

 

физкультуры

 

пришли

 

 

семиклассников

, 

некоторые

 

из

 

них

 

принесли

 

по

 

одному

 

мячу

. 

Иногда

в

 

течение

 

урока

 

кто

‑

нибудь

 

из

 

школьников

 

отдавал

 

свой

 

мяч

 

тому

, 

у

 

кого

 

мяча

 

не

 

было

. 

В

 

конце

 

урока

   

семиклассников

 

сказали

:

«

Я

 

получал

 

мяч

 

реже

, 

чем

 

его

 

отдавал

!»

.

Найдите

 

наибольшее

 

возможное

 

значение

  , 

если

 

известно

, 

что

 

никто

 

из

 

ребят

 

не

 

соврал

.

25

N

N

Число

1 

балл

На

 

урок

 

физкультуры

 

пришли

 

 

семиклассника

, 

некоторые

 

из

 

них

 

принесли

 

по

 

одному

 

мячу

. 

Иногда

в

 

течение

 

урока

 

кто

‑

нибудь

 

из

 

школьников

 

отдавал

 

свой

 

мяч

 

тому

, 

у

 

кого

 

мяча

 

не

 

было

. 

В

 

конце

 

урока

   

семиклассников

 

сказали

:

«

Я

 

получал

 

мяч

 

реже

, 

чем

 

его

 

отдавал

!»

.

Найдите

 

наибольшее

 

возможное

 

значение

  , 

если

 

известно

, 

что

 

никто

 

из

 

ребят

 

не

 

соврал

.

23

N

N

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

10/15

№

 5, 

вариант

 4

№

 6, 

вариант

 1

1 

балл

На

 

урок

 

физкультуры

 

пришли

 

 

семиклассников

, 

некоторые

 

из

 

них

 

принесли

 

по

 

одному

 

мячу

. 

Иногда

в

 

течение

 

урока

 

кто

‑

нибудь

 

из

 

школьников

 

отдавал

 

свой

 

мяч

 

тому

, 

у

 

кого

 

мяча

 

не

 

было

. 

В

 

конце

 

урока

   

семиклассников

 

сказали

:

«

Я

 

получал

 

мяч

 

реже

, 

чем

 

его

 

отдавал

!»

.

Найдите

 

наибольшее

 

возможное

 

значение

  , 

если

 

известно

, 

что

 

никто

 

из

 

ребят

 

не

 

соврал

.

29

N

N

Число

1 

балл

Дан

 

четырёхугольник

 

, 

в

 

котором

 

. 

Биссектриса

 

угла

   

пересекает

 

сторону

 

в

 

точке

  , 

а

 

продолжение

 

стороны

 

 

за

 

точку

   

 

в

 

точке

  . 

Оказалось

, 

что

 

. 

ABCD

AD ∥ BC

A

CD

X

BC

C —

Y

∠AXC = 90

∘

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

AB

AD = 16 CY = 13

Число

 

или

 

дробь

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

11/15

№

 6, 

вариант

 2

№

 6, 

вариант

 3

1 

балл

Дан

 

четырёхугольник

 

, 

в

 

котором

 

. 

Биссектриса

 

угла

   

пересекает

 

сторону

 

в

 

точке

  , 

а

 

продолжение

 

стороны

 

 

за

 

точку

   

 

в

 

точке

  . 

Оказалось

, 

что

 

. 

ABCD

AD ∥ BC

A

CD

X

BC

C —

Y

∠AXC = 90

∘

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

AB

AD = 17 CY = 14

Число

 

или

 

дробь

1 

балл

Дан

 

четырёхугольник

 

, 

в

 

котором

 

. 

Биссектриса

 

угла

   

пересекает

 

сторону

 

в

 

точке

  , 

а

 

продолжение

 

стороны

 

 

за

 

точку

   

 

в

 

точке

  . 

Оказалось

, 

что

 

. 

ABCD

AD ∥ BC

A

CD

X

BC

C —

Y

∠AXC = 90

∘

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

AB

AD = 18 CY = 15

Число

 

или

 

дробь

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

12/15

№

 6, 

вариант

 4

№

 7, 

вариант

 1

1 

балл

Дан

 

четырёхугольник

 

, 

в

 

котором

 

. 

Биссектриса

 

угла

   

пересекает

 

сторону

 

в

 

точке

  , 

а

 

продолжение

 

стороны

 

 

за

 

точку

   

 

в

 

точке

  . 

Оказалось

, 

что

 

. 

ABCD

AD ∥ BC

A

CD

X

BC

C —

Y

∠AXC = 90

∘

Найдите

 

длину

 

отрезка

 

, 

если

 

известно

, 

что

 

 

и

 

.

AB

AD = 19 CY = 16

Число

 

или

 

дробь

1 

балл

Семь

 

гномов

 

загадали

 

по

 

натуральному

 

числу

. 

Все

 

они

 

знают

, 

что

 

загадали

 

остальные

. 

Белоснежка

спросила

 

у

 

каждого

 

из

 

гномов

, 

какое

 

число

 

он

 

загадал

.

-

й

 

гном

 

промолчал

.

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

числу

 

первого

 

гнома

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

 

и

 

второго

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

 

и

 

третьего

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

, 

третьего

, 

четвёртого

, 

пятого

и

 

шестого

 

гномов

».

1
2
3
4
…
7

Известно

, 

что

 

сумма

 

семи

 

чисел

, 

загаданных

 

гномами

, 

составила

 

. 

Также

 

известно

, 

что

 

ровно

 

один

гном

 

соврал

. 

Какое

 

число

 

мог

 

загадать

 

совравший

 

гном

? 

Укажите

 

все

 

возможные

 

варианты

.

46

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

13/15

№

 7, 

вариант

 2

№

 7, 

вариант

 3

1 

балл

Семь

 

гномов

 

загадали

 

по

 

натуральному

 

числу

. 

Все

 

они

 

знают

, 

что

 

загадали

 

остальные

. 

Белоснежка

спросила

 

у

 

каждого

 

из

 

гномов

, 

какое

 

число

 

он

 

загадал

.

-

й

 

гном

 

промолчал

.

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

числу

 

первого

 

гнома

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

 

и

 

второго

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

 

и

 

третьего

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

, 

третьего

, 

четвёртого

, 

пятого

и

 

шестого

 

гномов

».

1
2
3
4
…
7

Известно

, 

что

 

сумма

 

семи

 

чисел

, 

загаданных

 

гномами

, 

составила

 

. 

Также

 

известно

, 

что

 

ровно

 

один

гном

 

соврал

. 

Какое

 

число

 

мог

 

загадать

 

совравший

 

гном

? 

Укажите

 

все

 

возможные

 

варианты

.

42

Число

1 

балл

Семь

 

гномов

 

загадали

 

по

 

натуральному

 

числу

. 

Все

 

они

 

знают

, 

что

 

загадали

 

остальные

. 

Белоснежка

спросила

 

у

 

каждого

 

из

 

гномов

, 

какое

 

число

 

он

 

загадал

.

-

й

 

гном

 

промолчал

.

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

числу

 

первого

 

гнома

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

 

и

 

второго

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

 

и

 

третьего

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

, 

третьего

, 

четвёртого

, 

пятого

и

 

шестого

 

гномов

».

1
2
3
4
…
7

Известно

, 

что

 

сумма

 

семи

 

чисел

, 

загаданных

 

гномами

, 

составила

 

. 

Также

 

известно

, 

что

 

ровно

 

один

гном

 

соврал

. 

Какое

 

число

 

мог

 

загадать

 

совравший

 

гном

? 

Укажите

 

все

 

возможные

 

варианты

.

54

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

14/15

№

 7, 

вариант

 4

№

 8, 

вариант

 1

№

 8, 

вариант

 2

1 

балл

Семь

 

гномов

 

загадали

 

по

 

натуральному

 

числу

. 

Все

 

они

 

знают

, 

что

 

загадали

 

остальные

. 

Белоснежка

спросила

 

у

 

каждого

 

из

 

гномов

, 

какое

 

число

 

он

 

загадал

.

-

й

 

гном

 

промолчал

.

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

числу

 

первого

 

гнома

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

 

и

 

второго

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

 

и

 

третьего

 

гномов

».

-

й

 

гном

 

сказал

: «

Моё

 

число

 

равно

 

сумме

 

чисел

 

первого

, 

второго

, 

третьего

, 

четвёртого

, 

пятого

и

 

шестого

 

гномов

».

1
2
3
4
…
7

Известно

, 

что

 

сумма

 

семи

 

чисел

, 

загаданных

 

гномами

, 

составила

 

. 

Также

 

известно

, 

что

 

ровно

 

один

гном

 

соврал

. 

Какое

 

число

 

мог

 

загадать

 

совравший

 

гном

? 

Укажите

 

все

 

возможные

 

варианты

.

58

Число

1 

балл

Обозначим

 

через

 

 

сумму

 

всех

 

нечётных

 

цифр

 

числа

  . 

Например

, 

 

 

.  

Вычислите

 

значение

 

суммы

 

 

 

.

s(n)

n

s(4) = 0, s(173) = 11,

s(1623) = 4

s(1) + s(2) + s(3)+ . . . +s(321)

Число

1 

балл

Обозначим

 

через

 

 

сумму

 

всех

 

нечётных

 

цифр

 

числа

  . 

Например

, 

 

 

.  

Вычислите

 

значение

 

суммы

 

 

 

.

s(n)

n

s(4) = 0, s(173) = 11,

s(1623) = 4

s(1) + s(2) + s(3)+ . . . +s(320)

Число

18.05.2022, 09:03

Сириус.Курсы — Открытая онлайн-школа развития таланта

15/15

№

 8, 

вариант

 3

№

 8, 

вариант

 4

1 

балл

Обозначим

 

через

 

 

сумму

 

всех

 

нечётных

 

цифр

 

числа

  . 

Например

, 

 

 

.  

Вычислите

 

значение

 

суммы

 

 

 

.

s(n)

n

s(4) = 0, s(173) = 11,

s(1623) = 4

s(1) + s(2) + s(3)+ . . . +s(322)

Число

1 

балл

Обозначим

 

через

 

 

сумму

 

всех

 

нечётных

 

цифр

 

числа

  . 

Например

, 

 

 

.  

Вычислите

 

значение

 

суммы

 

 

 

.

s(n)

n

s(4) = 0, s(173) = 11,

s(1623) = 4

s(1) + s(2) + s(3)+ . . . +s(323)

Число

Разбор заданий пригласительного этапа ВсОШ по

математике для 7 класса.

2021/22 учебный год.

Максимальное количество баллов — 8.

Критерии оценивания: точное совпадение ответа — 1 балл за каждое задание.

Содержание

7 класс, задача 1

2

1.1 1.2 1.3 1.4

7 класс, задача 2

5

2.1 2.2 2.3 2.4

7 класс, задача 3

7

3.1 3.2 3.3 3.4

7 класс, задача 4

8

4.1 4.2 4.3 4.4

7 класс, задача 5

9

5.1 5.2 5.3 5.4

7 класс, задача 6

10

6.1 6.2 6.3 6.4

7 класс, задача 7

13

7.1 7.2 7.3 7.4

7 класс, задача 8

15

8.1 8.2 8.3 8.4

1

7 класс, задача 1

Задача 1.1.

Таблица

4 × 4

разбита на четыре квадрата

2 × 2

.

Вика вписала в клетки таблицы

4

единицы,

4

двойки,

4

тройки и

4

четвёрки так, что в

каждом столбце, в каждой строке и в каждом квадрате

2 × 2

все числа разные.

Хулиган Андрей стёр часть чисел. Помогите Вике восстановить, в каких клетках стояли
четвёрки.

Постройте соответствие.

• В строчке

𝐴

четвёрка стоит

• В строчке

𝐵

четвёрка стоит

• В строчке

𝐶

четвёрка стоит

• В строчке

𝐷

четвёрка стоит

• в столбце

1

.

• в столбце

2

.

• в столбце

3

.

• в столбце

4

.

Ответ:

𝐴 − 4, 𝐵 − 1, 𝐶 − 3, 𝐷 − 2

.

Решение.

В четвёртом столбце уже стоит число 1, поэтому в верхнем
правом квадрате

2 × 2

число 1 будет стоять в клетке

𝐴3

.

По аналогичным соображениям в клетке

𝐷4

будет стоять

число 3.

2

В столбцах с номерами 1, 3, 4 и строках

𝐴, 𝐶, 𝐷

стоят три

числа

1

. Поэтому и в клетке

𝐵2

стоит число 1.

В клетке

𝐵1

не может стоять число 2, поэтому оно стоит в

клетке

𝐵4

. В клетке

𝐵1

стоит число 4, так как в этой строке

не хватает только его.

В четвёртом столбце число 4 может стоять только в клетке

𝐴4

. В нижнем правом квадрате

2 × 2

не хватает числа 2: в

строке

𝐶

оно стоять не может, поэтому оно стоит в клетке

𝐷3

.

В третьем столбце число 4 может стоять только в клетке

𝐶3

. Рассмотрев строки

𝐶

и

𝐷

, получаем, что в клетке

𝐶2

стоит число 3, а в клетке

𝐷2

— число 4.

3