Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 19

 

65 

2  этап  –

 

5  баллов.

 

Определение  и  анализ  отношения  угловых  скоростей  в  соединении  и 

противостоянии.  Этап  предполагает  правильное  экспериментальное  определение  этой 
величины.  Максимальная  погрешность  0.05,  диапазон  правильных  значений,  при  котором 
возможно дальнейшее решение данным способом: от –1.9 до –2.0. Это оценивается в 2 балла.

 

 

При  погрешностях  до

 

0.15  выставляется  1  балл).  При  вычислении  обратной  величины 

максимальная погрешность составляет 0.02, при погрешности до 0.05 выставляется 1 балл). 
Кроме  этого,  участник  должен  правильно  связать  эту  величину  с  радиусами  орбит  и  их 
отношением (3 балла).

 

 
3 

этап –

 

5 баллов.

 

Аналогично предыдущему этапу, должен быть правильно измерен другой 

наблюдательный параметр  (2 балла). В случае максимальной лучевой скорости допустимая 
погрешность составляет 0.2 км

/

с (1 балл при погрешности до 0.4 км

/

с). Далее должна быть 

восстановлена верная связь этого параметра с искомыми величинами (3 балла). 

 

 

4 этап –

 

4 балла (2+2).

 

Определение радиусов орбит обоих тел. Максимальная погрешность 

(без учета ошибок на предыдущих этапах) –

 

0.1 а.е. для ближнего и 0.2 а.е. для дальнего тела. 

Если  решение  велось  способом,  описанным  выше  (первым),  то  на  оценку  за  этот  этап  не 
влияет погрешность определения величины 

K

, 

если она оказалась близка к –

2. 

 

5 

 

 

XXX 

Всероссийская олимпиада по астрономии

 

Заключительный этап 

 

ФТ «Сириус»

, 27 

марта –

 

2 апреля

 2023 

г.

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ

 

ТУР

 

Класс: 

11

 

Страница: 

1

 

 

11.1. 

«В далеком созвездии Тау Кита»

 

В планетной системе около звезды 



 

Кита с массой 0.78 массы Солнца обращается несколько 

планет. Планета 

c

 

обладает круговой орбитой радиуса 0.195

 

а.е., планета

 

e

 

движется в той же 

плоскости и в том же направлении по эллиптической орбите с большой полуосью 0.538

 

а.е. и 

эксцентриситетом

 

0.18.  В  некий  момент  времени  произошло  великое  противостояние 

планеты 

e

 

для  наблюдателя  на  планете 

c

.  Какой  будет  фаза  планеты 

c

 

при  наблюдении  с 

планеты 

e

 

и  фаза  планеты 

e

 

при  наблюдении  с  планеты 

c

 

спустя  10  дней  после  великого 

противостояния?

 

 

11.2. 

Метеорное эхо

 

Радар, изучающий метеоры, фиксирует радиоэхо только тогда, когда направление от радара 
к  метеору  перпендикулярно  ионизационному  следу  метеора.  Радар,  расположенный  на 
широте  +52°,  направлен  в  точку  востока.  В  11

ч

02

м

 

местного  времени  2  июля  он  начинает 

получать  многочисленные  сигналы  от  метеоров,  проходящих  через  его  луч.  Радар 
поворачивают  на  40°  вдоль  горизонта  в  сторону  юга.  В  новом  положении  он

 

начинает 

обнаруживать  метеоры  того  же  потока  в  12

ч

42

м

.  Найдите  экваториальные  координаты 

(прямое восхождение и склонение) радианта этого метеорного потока.

 

Уравнением времени 

пренебречь.

 

 

11.3. 

Инфракрасная камера

 

ИК

-

камера  ASTRONIRCAM  2.5

-

м  телескопа  Кисловодской  горной  обсерватории  ГАИШ 

МГУ

 

не позволяет наблюдать в фильтре 

J

 

звезды ярче 9.0

m

 

из

-

за того, что при таком блеске 

поток  фотонов  за  минимально  возможное  для  камеры  время  накопления  полностью 
заполняет  ячейки  детектора,  и  дальнейшая  регистрация  фотонов  становится  невозможной. 
Оцените  аналогичную  предельную  звездную  величину  для  фильтра 

K

.  Детектор  камеры 

обладает  практически  постоянным

 

квантовым  выходом

 

во  всем  рабочем  интервале  длин 

волн, охватывающем обе полосы

. 

Считать, что фильтр 

J

 

полностью пропускает излучение с 

длинами волн от 1.17 до 1.34 мкм, а фильтр 

K

 

–

 

от 2.04 до 2.35 мкм, не пропуская излучение 

вне  этих  интервалов.  Учесть,  что  звездная  величина  звезды  Вега  (температура 

10000  K) 

равна 

0

m

 

в обеих спектральных полосах.

 

 

11.4. 

Горячая пыль

 

Измерения в ИК

-

диапазоне показали, что белый карлик окружает кольцо из темных пылинок 

с  температурой  не  более  1500 

K

.  Предполагается,  что  пылинки  попадают  в  кольцо  в 

результате  приливного  разрушения  пролетающих  мимо  астероидов.  Оцените  внутренний  и 
внешний радиусы кольца в километрах, если масса белого карлика 0.8 масс Солнца

, 

 

радиус 

белого  карлика  0.01  радиусов  Солнца,  его  температура  20000  K,  а  плотность  астероидов  1 
г/см

3

. 

 

39 

2 этап –

 

3 балла.

 

Определение прямого восхождения радианта. Из них 1 балл выставляется 

за

 

определение прямого восхождения Солнца в день наблюдения. По 1 баллу выставляется 

за

 

каждый  вариант  значения  прямого  восхождения.

 

Надо  учесть,  что  момент  летнего 

солнцестояния  мы  знаем  с  точностью  до  одних  суток.  Поэтому  участник  может  получить 
значения прямого восхождения в пределах ±4 минуты, что не влияет на оценку.

 

 

3  этап  –

 

4  балла.

 

Определение  склонения  радианта  для  случая  верхней  кульминации, 

точность  2



.  При  правильном  вычислении  склонения  выставляется  4  балла.  В  некоторых 

вариантах  выкладок  тригонометрические  функции  могут  давать  дополнительные  решения, 
как  показано  выше.  Если  участники  игнорируют  эти  дополнительные  решения,

 

то  оценка 

снижается на 1 балл.

 

Поскольку  часовой  угол  невелик,  параллактический  треугольник  довольно  узкий  и  может 
быть  приближен  плоским  треугольником.  Такие  приближенные  решения  оцениваются  в  2 
балла при итоговой погрешности не более чем на 5° и в 1 балл при погрешности в

 

пределах 

8°. Также 2 баллами за этап оценивается приведенное выше решение, основанное на длине 
суточной дуги, где погрешность составляет 4°. 

 

 

3 этап –

 

2 балла.

 

Доказательство того, что для случая прямого восхождения 17ч45м решений 

нет.

 

Здесь  участник  может  по  ошибке  перепутать  величины  азимутов  и  часовых  углов  и 

прийти  к  формальному  выводу,  что  радиант  метеорного  потока  вообще  не  может  быть  в 
нижней  кульминации,  даже  под  горизонтом  (например,  высоты  за  пределами  диапазона 
±

 

90°). Такое решение оценивается 1 баллом. 

 

 

41 

Система оценивания.

 

 

1  этап  –

 

2  балла.

 

Обоснованное  указание,  что  обе  фотометрические  полосы  попадают  для 

звезды  Вега  в  диапазон  Релея

-

Джинса.  Участник  может  этого  не  делать,  но  при  этом 

дальнейшие  расчеты  он  должен  выполнять  с  помощью  общей  формулы  Планка.  Если  в 
дальнейшем  участник  сразу  использует  формулу  Релея

-

Джинса,  не  обосновывая  ее 

применимость –

 

данный этап не засчитывается, последующие оцениваются в полной мере. 

 

 

2 этап –

 

3 балла.

 

Восстановление правильной зависимости потока фотонов от длины волны в 

области  применимости  закона  Релея

-

Джинса.  Он  может  использоваться  участником  как 

известный, может выводиться. Этап засчитывается только в случае верного характера закона 

(

n



~



–

3

)  или  корректного  расчета  по  формуле  Планка,  если  не  оговорена  применимость 

закона  Релея

-

Джинса  (см.  выше).  При  ином  характере  (иной  степени)  все  3  балла  не 

выставляются,  последующие  оцениваются  в  полной  мере  с  учетом  изменения  итогового 
ответа.

 

 

3  этап  –

  2 

балла.

 

Вычисление  отношения  потоков  фотонов  от  Веги  в  полосах 

J

 

и 

K

. 

При 

вычислениях участники должны воспользоваться полученной ранее зависимостью потока от 
длины волны

 

(в том виде, в каком они его получили, даже если она ошибочная) и разницу 

ширин  этих  полос.  Если  хоть  один  из  факторов  не  учитывается  –

 

данные  2  балла  не 

выставляются. Требуемая точность итогового вычисления –

 5%. 

 

4 этап –

 

3 балла.

 

Вычисление итоговой звездной величины в полосе 

K

, точность 0.1

m

. 

 

Вероятная  ошибка  участника:

 

путаница  в  звездных  величинах  и  вывод,  что  предельная 

величина в полосе 

K

 

будет  слабее, чем в полосе 

J

, 

и ответ около 10

m. 

Оценка за 4 этап не 

выставляется (0 баллов).

 

Система  оценивания.

 

Энергетический  подход  представляется  наиболее  простым  и 

эффективным  методом  решения  задачи,  хотя  нельзя  исключать  применения  участниками  и 
других  методик.  В  этом  случае  необходима  детальная  проверка  решения  с  выделением 
этапов,  аналогичных  по  смыслу  этапам  приведенного  выше  решения.  В  случае 
энергетического подхода система оценивания следующая:

 

1  этап  –

 

2  балла.

 

Правильное  выражение  для  потенциальной  энергии  в  поле  действия 

притяжения Солнца и тяги двигателя, формула (2) в решении. Константа 

C

 

в ней может быть 

принята  любой,  в  том  числе  и  нулевой,  и  в  этом  случае  не  записываться.  Участник  может 
записать  выражение  для  потенциальной  энергии  в  непосредственном  виде,  оно  может 
вытекать  из  его  расчетов.  Этап  засчитывается  только  в  случае  правильной  записи  обоих 
слагаемых формулы (2), в том числе их знаков, в противном случае этап не засчитывается (0 
баллов).  Обращаем  внимание,  что  значение  «критического»  расстояния 

R

C

 

в  решении, 

формула (3), сделано для описания возможно неправильного хода решения и от участников 
не требуется. 

 

2  этап  –

 

2  балла.

 

Применение  закона  сохранения  момента  импульса  и  выражение  для 

перпендикулярной  компоненты  скорости  в  зависимости  от  расстояния  до  звезды,  формула 
(4).  Так  же,  формула  может  быть  записана  в  чистом  виде

 

или  содержаться  в  выкладках 

участника. Этап засчитывается только при правильном написании, включая коэффициенты. 

 

3  этап  –

 

1  балл.

 

Запись  выражения  для  минимальной  полной  энергии  в  зависимости  от 

расстояния 

R

 

(формула  (5)  или  эквивалентное  ей  соотношение).  Фактически,  это 

объединение результатов, полученных на первых двух этапах решения. 

 

4 

этап  –

 

2  балла.

 

Формулировка  условия  экстремума  полной  энергии  на  расстоянии 

R

E

,  за 

которым аппарат улетит из Солнечной системы (формула (6)). 

 

5  этап  –

 

3  балла.

 

Критерий  энергетической  достижимости  предельного  расстояния 

R

E

 

(формула (7)), вычисление силы 

f

 

из этого критерия. 

 

 

51 

 

 

Система оценивания. 

 

 

1  этап  –

 

2  балла  (1+1).

 

Определение  абсолютной  звездной  величины  и  светимости 

сверхновой звезды, точность 10%. 

 

 
2 

этап  –

  1 

балл.

 

Запись  зависимости  светимости  звезды  за  счет  распада  никеля 

J

Ni

 

как 

функции  времени.  Она  может  быть  записана  как  известная  либо  выведена,  как  сделано  в 
решении выше. 

 

 

Вероятная  ошибка  участника:

 

опускание  одного  или  обоих  факторов 

ln2 

в  этой  формуле

. 

Оценка за этап не выставляется, при этом 3

-

й этап оценивается в полной мере. 

 

 

3 этап –

 2 

балла

. 

Определение массы никеля в момент вспышки сверхновой, точность 20%.

 

 

4  этап  –

 

2  балла.

 

Запись  зависимости  светимости  звезды  за  счет  распада  кобальта 

J

Co

 

как 

функции  времени.  Сдвиг  времени,  при  котором  относительное  содержание  кобальта 
экстраполируется  на  единицу,  может  быть  взято  в  интервале  от  нуля

 

до 

T

Ni

/ln2  (

период 

уменьшения количества никеля в 

e

 

раз). Участник олимпиады может указать, что это время 

мало и

 

на конечный ответ не влияет, и тогда этап может быть засчитан полностью. Если же 

эффект  запаздывания  полностью  игнорируется  или  временная  задержка

 

выходит  за  рамки 

этого интервала, оценка уменьшается на 1 балл. 

 

 

Вероятная ошибка участника:

 

опускание одного или обоих факторов 

ln2

. Оценка за этап не 

выставляется, 5 этап оценивается в полной мере. 

 

 

5 этап  –

 

3 балла.

 

Определение времени, через которое звезда в небе Земли ослабнет  до 0

m

, 

точность –

 

10 дней. При ошибке до 20 дней оценка уменьшается на 1 балл. 

 

 

Вероятная ошибка участника на этапах 

4-5:

 

предположение, что сверхновая меняет яркость 

только за счет одной из двух реакций. В этом случае в качестве ответа получается примерно 

10-

кратный период полураспада соответствующего изотопа (60 дней для никеля и около 770 

дней для кобальта). В этом случае 4 этап не засчитывается, за 5 этап ставится 1 балл. 

 

 

XXX 

Всероссийская олимпиада по астрономии

 

Заключительный этап 

 

ФТ «Сириус»

, 27 

марта –

 

2 апреля

 2023 

г.

 

ПРАКТИЧЕСКИЙ

 

ТУР

 

Класс: 

11

 

Страница: 

1

 

11.7. 

Двойная линия

 

С  помощью  спектрографа  высокого  разрешения  производятся  наблюдения 
некоторой  гравитационно

-

связанной  звездной  системы.  Оказалось,  что  линия 

поглощения водорода 

H



 

в ее спектре состоит из двух одинаковых по форме и 

глубине компонент. Зависимость центральной длины волны этих компонент от 
времени  приведена  на  рисунках.  Длины  волн  приведены  к  барицентру 
Солнечной  системы  (эффект  движения  наблюдателя  в  Солнечной  системе 
вычтен).  Известно,  что  система  состоит  из  сферических  компонент,  массы 
которых строго одинаковы, а орбиты круговые. Лучевая скорость центра масс 
системы  относительно  барицентра  Солнечной  системы  постоянна.  Исходя  из 
этого,  определите  минимально  возможную  полную  массу  системы.  Что  вы 
можете  сказать  о  входящих  в  нее  звездах?  Поверхность  каждой  звезды 
однородна,  осевым  вращением,  пятнами,  потемнением  к  краю  звезд 
пренебречь. 

 

11.

8. Перед посадкой

 

Космический  аппарат  готовится  совершить  посадку  на  поверхность  далекой 
планеты,  похожей  по  радиусу  и  массе  на  Землю.  Завершив  торможение 
двигателем  в  верхних  слоях  атмосферы,  аппарат  выключил  его,  раскрыл 
парашют  и  опускается  строго  вертикально.  Радиолокатор

 

непрерывно 

фиксирует  данные  о  высоте  аппарата  над  поверхностью.  Пользуясь 
приведенным  графиком,  определите  температуру  атмосферы  планеты,  считая 
ее  постоянной.  Влиянием  ветра  на  движение  аппарата  пренебречь.  При 
решении задачи считать, что:

 

 

13 

 

Сдайте этот лист вместе с

 

решением задания!

 

ШИФР

 

 

 

К заданию 

11.7. 

 

6563.090

6563.091

6563.092

6563.093

6563.094

6563.095

6563.096

6563.097

6563.098

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

6562.000

6562.200

6562.400

6562.600

6562.800

6563.000

6563.200

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Время, сутки

Д

л

и

на

 

во

л

ны

, 

А

1

2

 

 

 

66 

11 класс

 

 

11.7. Двойная линия

 

 

Условие. 

С  помощью  спектрографа  высокого  разрешения  производятся  наблюдения 

некоторой  гравитационно

-

связанной  звездной  системы.  Оказалось,  что  линия  поглощения 

водорода 

H



 

в  ее  спектре  состоит  из  двух  одинаковых  по  форме  и  глубине  компонент. 

Зависимость центральной длины волны этих компонент от времени приведена на

 

рисунках. 

Длины волн приведены к барицентру Солнечной системы (эффект движения наблюдателя в 
Солнечной  системе  вычтен).  Известно,  что  система  состоит  из  сферических  компонент, 
массы  которых  строго  одинаковы,  а  орбиты  круговые.  Лучевая  скорость  центра  масс

 

системы  относительно  барицентра  Солнечной  системы  постоянна.  Исходя  из  этого, 
определите  минимально  возможную  полную  массу  системы.  Что  вы  можете  сказать  о 
входящих  в  нее  звездах?  Поверхность  каждой  звезды  однородна,  осевым  вращением, 
пятнами, потемнением

 

к краю звезд пренебречь. 

 

 

6563.090

6563.091

6563.092

6563.093

6563.094

6563.095

6563.096

6563.097

6563.098

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

6562.000

6562.200

6562.400

6562.600

6562.800

6563.000

6563.200

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Время, сутки

Д

л

и

на

 

во

л

ны

, 

А

1

2

 

 

Решение.

 

С первого поверхностного взгляда может показаться, что система состоит из двух 

одинаковых звезд, которые каким

-

то образом двигаются вокруг общего центра масс. Однако 

такая  простая  картина  сразу  вступает  в  противоречие  с  наблюдательными  фактами.  Длина 
волны  первой  линии  в  течение  180  дней  наблюдений  меняется  крайне  слабо,  примерно  на 
0.001  А,  то  есть  лучевая  скорость  этой звезды  практически  постоянна.  А  вот  вторая звезда 
успевает  ее  существенно  изменить,  более  того,  проходит  целый  цикл  ее  колебания  в 
пределах  порядка  1А,  то  есть  в  1000  раз  сильнее,  чем  изменения  длины  волны  первой 
компоненты.

 

 

 

70 

может быть обычная звезда на главной последовательности, так как такие звезды с массой 2 
массы Солнца не могут быть горячее класса 

A

. Но это может быть гелиевая звезда, лишенная 

своей водородной оболочки другой компонентой кратной системы.

 

 

Вариант  же  холодной  звезды  с  такой  массой  был  бы  возможен  в  виде  красного  гиганта  с 
большим радиусом. Однако такой объект вряд ли смог бы существовать на орбите со звездой 
главной последовательности спектрального класса 

A 

в 1 а.е. друг от  друга. Итак, наиболее 

вероятный кандидат на роль тела 3 –

 

нейтронная звезда. 

 

 

Система оценивания. 

 

 

1 этап –

 2 

балла.

 

Вывод о наличии третьего тела в системе. Он должен быть обоснован одним 

из  двух  факторов  –

 

быстрым  вращением  звезды  2,  в  котором  не  участвует  звезда  1,  или 

движением  центра  масс  звезд  1

-

2  относительно  наблюдателя  с  переменной  лучевой 

скоростью. Если третье тело фигурирует в решении задачи без хотя бы одного из этих двух 
обоснований –

 

этап оценивается 1 баллом, остальные оцениваются в полной мере. 

 

 

Замечание:

 

любое решение задачи, в которой в системе есть только две звезды, оценивается 

не выше 2 баллов. 

 

 

2  этап  –

 

4  балла.

 

Оценка  минимальной  массы  одной  звезды  на  основе  быстрого  вращения 

звезды 2. Требуемая точность –

 

0.1 масса Солнца. 

 

 

Вероятная  ошибка  участника:

 

использование  радиуса  орбиты  одной  звезды  вместо 

расстояния  между  ними  в 

III 

законе  Кеплера,  что  в  итоге  дает  8

-

кратную  ошибку.  Этап 

оценивается не выше 1 балла. 

 

 

Замечание:

 

полученное  в  этом  этапе  ограничение  массы  звезд  снизу  не  оказалось 

решающим.  Ее  можно  далее  использовать  для  определения  угла  наклона  орбиты  к  лучу 
зрения, но и это не является необходимым в решении. Тем не менее, выполнение этого этапа 
обязательно,  так  как  факт,  что  данное  ограничение  массы  оказалось  более  мягким,  чем 
следующее, не является очевидным. 

 

 

3 этап –

  5 

баллов.

 

Оценка минимальной массы одной звезды на основе движения звезды 1. 

Требуемая точность –

 

0.4 массы Солнца. 

 

 

Замечание  по  точности: 

базовым  экспериментальным  фактом,  используемым  здесь, 

является крайне малое изменение длины волны линии первой звезды. Однако, эта величина

 

(



1

) 

входит в итоговое выражение в степени (–

1/2

), что позволяет определить массу звезды 

с точностью не хуже 20%. 

 

 

Вероятная  ошибка  участника:

 

использование  радиуса  орбиты  звезды  1  вместо  расстояния 

до центра системы 2

-

3 в 

III 

законе Кеплера, что в итоге дает ошибку в 3 с лишним раза. Этап 

оценивается не выше 2 баллов. 

 

 

Вероятная  ошибка  участника:

 

неправильное  определение  радиуса  орбиты  звезды  1  и  ее 

орбитальной  скорости  (например,  фактор  1

/2 

или  1

/3 

вместо  2

/3 

в  соответствующих 

формулах). Этап оценивается не выше 2 баллов. 

 

 

4 этап –

 

1 балл.

 

Вывод о минимальной суммарной массе системы. Оценивается только при 

правильном ответе с точностью до 20%.  

 

 

 

71 

Вероятное  неверное  выполнение  этапов  2

-4:

 

участник  опускает  факторы 

cos 

i

 

при  анализе 

движения  тел  2  и  1.  Полученные  значения  масс  интерпретируются  не  как  минимальные,  а 
как точные. В этом случае разность масс на 2 и 3 этапах может трактоваться как погрешность 
измерений или ошибок в вычислениях. Как возможное следствие,  участник может  выбрать 
значение  массы  одной  звезды  0.55  масс  Солнца  (2  этап),  так  как  оно  меньше,  а  в  условии 
требуется  найти  минимальное  значение  суммарной  массы.  В  этом  случае  этапы  2 
оценивается в 2 балла, этап 3 –

 

в 3 балла (при условии отсутствия иных ошибок), этап 4 не 

засчитывается.

 

 

5 этап –

 

1 балл.

 

Вывод о свойствах звезд 1 и 2.

 

 

6 этап –

 

2 балла.

 

Вывод о свойствах звезды 3. Указание только компактного объекта в виде 

нейтронной  звезды  или  черной  дыры  оценивается  в  1  балл.  Для  второго  балла  необходим 
критический анализ вариантов обычных звезд без линии 

H



 

в спектре.

 

 

Примечание:

 

если  в  результате  ошибочных  вычислений  массы  одной  компоненты 

получается  значение,  меньшее  1.4  массы  Солнца,  белый  карлик  в  качестве  звезды  3  также 
считается  правильным  ответом  на  данном  этапе  решения.  Но  это  также

 

оценивается  1 

баллом, для второго необходим анализ вариантов нормальных звезд. Если же масса одного 
тела получается еще меньше (например, 0.5

-

0.6 масс Солнца в соответствии с этапом 2), то 

участники  должны  рассмотреть  вариант  красных  карликов  и,  вообще  говоря,  прийти  к 
противоречию, так как линии водорода у них также крайне слабые, и становится непонятна 
природа звезд 1 и 2.