|
3.2.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
Для проведения двухфакторного дисперсионного анализа необходимо подготовить данные, выбрать из меню Stat
>
ANOVA
> Balanced ANOVA
и заполнить открывшееся диалоговое окно.
Эта функция позволяет проводить, как одномерный, так и многомерный анализ дисперсии. Факторы могут быть связаны как перекрестно, так и иерархически, они могут быть детерминированными и случайными, однако данные должны быть сбалансированы. Это значит, что для каждого уровня A должны быть одинаковые уровни фактора B, и в том же количестве.
Диалоговое окно.
1. Отклики (Response
s
)
– выберите столбцы, содержащие выходные (зависимые) переменные. Система позволяет анализировать до 50 выходных переменных.
2. Модель (Model) –
укажите переменные или их комбинацию, которые включаются в модель.
3. Случайные факторы (Random Factors)
– укажите столбец, содержащий случайную переменную.
Пример 3
Пусть данные о проценте износа оборудования для 12 предприятий разных отраслей промышленности и форм собственности представлены в табл.1. Определим, как влияют отрасль промышленности, форма собственности и их взаимодействие на процент износа оборудование. Для этого выберем из меню Stat > ANOVA > Balanced ANOVA
и заполним диалоговое окно следующим образом
Responses: d
Model: field owner field*owner
Результаты дисперсионного анализа представлены на рис.4.
Analysis of Variance (Balanced Designs)
Factor Type Levels Values
field fixed 2 ПищеваяМашиностр
owner fixed 2 частнгосуд
Analysis of Variance for d
Source DF SS MS F P
field 1 102.08 102.08 2.14 0.182
owner 1 184.08 184.08 3.86 0.085
field*owner 1 90.75 90.75 1.90 0.205
Error 8 382.00 47.75
Total 11 758.92
Рис.4 Листинг результатов вычислений для двухфакторной модели
Проанализируем полученные результатs/
Для фактора отрасли P>
(
=0.05), значит принимается нулевая гипотеза о том, что фактор отрасли не влияет на уровень износа оборудования.
Для фактора формы собственности P>
(
=0.05), значит принимается нулевая гипотеза о том, что фактор формы собственности не влияет на уровень износа оборудования. Аналогичным образом делаем вывод о том, что на уровень износа оборудование не влияет взаимодействие факторов.
Для анализа многофакторных моделей по несбалансированным данным необходимо выбрать из меню Stat
>
ANOVA
>
General
Linear
Model
.
4 Выполнение дисперсионного анализа в Excel
Рассмотрим дисперсионный анализ на следующем примере: за месяц известны данные о выработке рабочего за время работы в первую и во вторую смены.
Таблица 2 - Исходные данные
Смена
|
Выработка рабочего, нормо-час |
1 |
12,1; 11,1; 12,6; 12,9; 11,6; 13,1; 12,6; 12,4; 11,6; 17,3; 12,9; 11,6; 12,4 |
2 |
9,9; 11,4; 13,4; 10,4; 12,9; 12,6; 13,9; 13,4; 12,4; 9,9; 10,2; 11,2; 9,7 |
Можно ли считать, что расхождение между уровнями выработки рабочего в первую и во вторую смены несущественно, т.е. можно ли считать, что генеральные средние в двух подгруппах одинаковы и, следовательно, выработка рабочего может быть охарактеризована общей средней.
Решение.
Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, рассчитаем среднюю выработку рабочих в каждой смене. Величина выработки в первую и вторую смены различна. Теперь возникает вопрос о том, насколько существенны эти расхождения, нужно проверить предположение о возможном влиянии сменности на выработку рабочих. Результаты расчетов сведены в таблицу 3.
Таблица 3 – Промежуточные расчеты для проведения дисперсионного анализа
Смена |
Средняя выработка, нормо-часы
|
Число смен в месяце
|
Сумма квадратов отклонений вариантов от групповой средней
|
Квадраты отклонений групповых средних от общей средней
|
1 |
12.6308 |
13 |
28.09 |
3,2001 |
2 |
11.6385 |
13 |
28.08 |
3,2008 |
Итого |
|
26 |
=56.1585 |
=6,4008 |
Используя данные таблицы, рассчитаем
и
.
Число степеней свободы для расчета внутригрупповой дисперсии равно (
) 24 (26-2), а для расчета межгрупповой дисперсии число степеней свободы равно
- 1 (2-1).
Рассчитаем значение критерия Фишера по следующей формуле:
(4)
В соответствии с числом степеней свободы для расчета внутригрупповой и межгрупповой дисперсий (24 и 1) в таблице F-распределения для α=5% находим Fтабл = 4.26.
При этом выдвигается две гипотезы. Нулевая гипотеза гласит о том, что различия выработки рабочего в первую и вторую смены несущественны. Альтернативная гипотеза: существуют существенные различия в значении выработки рабочего в первую и во вторую смены.
Так как расчетное значение критерия Фишера значительно меньше табличного значения критерия Фишера, то гипотеза о несущественности различия выработки рабочего в первую и вторую смены не опровергается, т.е. сменность не оказывает влияния на уровень выработки рабочего.
Для того, чтобы провести дисперсионный анализ в Excel, необходимо активировать команду «Анализ данных». Для этого проходится следующий путь: Сервис -> Надстройки -> Пакет анализа. После этого в меню «Сервис» появляется команда «Анализ данных» и выбирается команда «Однофакторный дисперсионный анализ».
Далее необходимо заполнить окно «Однофакторный дисперсионный анализ»:
«Входной интервал» - вводится ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные. Ссылка должна состоять не менее чем из двух смежных диапазонов данных, данные в которых расположены по строкам или столбцам.
«Группирование» - установите переключатель в положение. По столбцам или По строкам в зависимости от расположения данных во входном диапазоне.
«Метки в первой строке/Метки в первом столбце» - если первая строка исходного диапазона содержит названия столбцов, установите переключатель в положение Метки в первой строке. Если названия строк находятся в первом столбце входного диапазона, установите переключатель в положение Метки в первом столбце. Если входной диапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в выходном диапазоне будут созданы автоматически.
«Альфа» - введите уровень значимости, необходимый для оценки критических параметров F-статистики. Уровень альфа связан с вероятностью возникновения ошибки типа I (опровержение верной гипотезы).
«Выходной диапазон» - введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размеры выходной области будут рассчитаны автоматически, и соответствующее сообщение появится на экране в том случае, если выходной диапазон занимает место существующих данных или его размеры превышают размеры листа.
«Новый лист» - установите переключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа, начиная с ячейки A1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа в поле, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.
«Новая книга» - установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результаты анализа в ячейку A1 на первом листе в этой книге.
Пример заполнения окна «Однофакторный дисперсионный анализ» представлен на рисунке 2.
Рисунок 2 – Пример заполнения окна «Однофакторный дисперсионный анализ»
Результаты расчетов однофакторного дисперсионного анализа представлены на рисунке 3.
Однофакторный дисперсионный анализ |
ИТОГИ |
Группы |
Счет |
Сумма |
Среднее |
Дисперсия |
Столбец 1 |
13 |
164,2 |
12,63077 |
2,34064103 |
Столбец 2 |
13 |
151,3 |
11,63846 |
2,33923077 |
Дисперсионный анализ |
Источник вариации |
SS |
df |
MS |
F |
P-Значение |
F критическое |
Между группами |
6,400385 |
1 |
6,400385 |
2,73528203 |
0,111176312 |
4,259675279 |
Внутри групп |
56,15846 |
24 |
2,339936 |
Итого |
62,55885 |
25 |
Рисунок 3 – Результаты расчетов по однофакторному дисперсионному анализу
Интерпретация результатов:
«Группы» - данные по выработке в первую и вторую смены.
«Счет» - количество наблюдений в каждой из групп.
«Сумма» - сумма элементов каждой из групп.
«Среднее» - средняя выработка в каждой из групп.
«Дисперсия» - рассчитывается дисперсия по каждой из групп;
SS - сумма квадратов;
df - число степеней свободы;
MS – средний квадрат;
F – расчетное значение отношения Фишера;
P - уровень значимости для вычисленного F;
F критическое – табличное значение отношения Фишера.
Результаты расчетов аналогичны результатам, полученным при расчетах вручную.
Двухфакторный дисперсионный анализ в
MS
Exel
Используя данный предыдущего примера, предположим, что у нас есть данные о поле работников. Для проведения двухфакторного дисперсионного анализа в MSExel необходимо представить данные в виде перекрестной классификации:
1 |
2 |
муж |
12,1 |
9,9 |
11,1 |
11,4 |
12,6 |
13,4 |
12,9 |
10,4 |
11,6 |
12,9 |
13,1 |
12,6 |
12,6 |
13,9 |
жен |
12,4 |
13,4 |
11,6 |
12,4 |
17,3 |
9,9 |
12,9 |
10,2 |
11,6 |
11,2 |
12,4 |
9,7 |
13,1 |
12,6 |
В меню «Сервис» выбрать команду «Анализ данных» и команду «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями».
Далее необходимо заполнить окно «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями»:
«Входной интервал» - вводится ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные.Необходимо отметить не только сами числа, но и заголовок таблицы.
«Число строк для выборки» - необходимо ввести количество повторений в одной ячейке. (Для нашего примера - 7)
«Альфа» - введите уровень значимости, необходимый для оценки критических параметров F-статистики. Уровень альфа связан с вероятностью возникновения ошибки типа I (опровержение верной гипотезы).
«Выходной диапазон» - введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размеры выходной области будут рассчитаны автоматически, и соответствующее сообщение появится на экране в том случае, если выходной диапазон занимает место существующих данных или его размеры превышают размеры листа.
«Новый лист» - установите переключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа, начиная с ячейки A1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа в поле, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.
«Новая книга» - установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результаты анализа в ячейку A1 на первом листе в этой книге.
Пример заполнения окна «Однофакторный дисперсионный анализ» представлен на рисунке 2.
Рисунок 2 – Пример заполнения окна «Двухфакторный дисперсионный анализ»
Результаты расчетов двухфакторного дисперсионного анализа представлены на рисунке 3.
Дисперсионный анализ |
Источник вариации |
SS |
df |
MS |
F |
P-Значение |
F критическое |
Выборка |
0,001429 |
1 |
0,001429 |
0,000643 |
0,979986 |
4,259677 |
Столбцы |
6,412857 |
1 |
6,412857 |
2,884498 |
0,102366 |
4,259677 |
Взаимодействие |
3,862857 |
1 |
3,862857 |
1,73751 |
0,199898 |
4,259677 |
Внутри |
53,35714 |
24 |
2,223214 |
Итого |
63,63429 |
27 |
Рисунок 3 – Результаты расчетов по однофакторному дисперсионному анализу
Интерпретация результатов:
SS - сумма квадратов;
df - число степеней свободы;
MS – средний квадрат;
F – расчетное значение отношения Фишера;
P - уровень значимости для вычисленного F;
F критическое – табличное значение отношения Фишера.
4.
Задание по выполнению лабораторной работы
4.1.
Однофакторный дисперсионный анализ
Вы собираетесь открывать магазин одежды. Произведенный опрос среди предполагаемых покупателей позволил получить вам примерный уровень доходов респондентов в месяц, которые предпочитают одежду тех или иных торговых марок. Необходимо проверить, есть ли существенное различие в уровне доходов и маркой одежды, которую предпочитают покупатели. Выясните, какие торговые марки можно отнести к одной группе (по величине объема продаж) и предположите, как их можно сегментировать.
В табл.6 приведены варианты заданий.
Таблица 6.
Торговые марки |
M1 |
M2 |
M3 |
M4 |
M5 |
M6 |
M7 |
M8 |
M9 |
M10 |
M11 |
M12 |
555 |
1810 |
1749 |
2711 |
994 |
3687 |
566 |
4691 |
1679 |
861 |
1446 |
3543 |
426 |
1122 |
1746 |
2514 |
1085 |
2489 |
883 |
4130 |
2838 |
1074 |
1010 |
4828 |
349 |
2220 |
1509 |
2177 |
1215 |
2717 |
844 |
5328 |
3615 |
920 |
1414 |
5027 |
506 |
720 |
1949 |
2754 |
1024 |
4055 |
917 |
3268 |
2098 |
1192 |
1528 |
2937 |
550 |
2347 |
1673 |
2482 |
931 |
2485 |
850 |
3821 |
2602 |
970 |
1572 |
3067 |
443 |
1841 |
1275 |
2219 |
1242 |
2322 |
768 |
4132 |
2304 |
963 |
1538 |
4301 |
626 |
2250 |
1651 |
3065 |
948 |
3548 |
907 |
6429 |
2529 |
1417 |
1697 |
-393 |
582 |
2293 |
1745 |
2411 |
1041 |
3139 |
983 |
5833 |
2531 |
535 |
1223 |
1687 |
463 |
2550 |
862 |
2169 |
948 |
2258 |
855 |
3356 |
2784 |
1101 |
1072 |
3623 |
306 |
2977 |
831 |
2338 |
976 |
3327 |
794 |
2694 |
3646 |
1031 |
1725 |
3187 |
566 |
1542 |
1533 |
2415 |
998 |
2994 |
815 |
5074 |
4089 |
1011 |
1807 |
3353 |
569 |
3322 |
1432 |
2255 |
724 |
3783 |
760 |
3363 |
2603 |
1044 |
1512 |
4048 |
463 |
1441 |
1465 |
2527 |
952 |
3996 |
830 |
4852 |
2861 |
724 |
1623 |
3776 |
304 |
1952 |
1934 |
2446 |
998 |
3199 |
900 |
3316 |
2784 |
1327 |
1155 |
5251 |
528 |
1813 |
1813 |
2806 |
1115 |
4875 |
832 |
1985 |
2569 |
1199 |
1200 |
2009 |
496 |
617 |
1744 |
2618 |
834 |
2230 |
711 |
4547 |
3584 |
1206 |
1302 |
3480 |
648 |
2615 |
1151 |
2430 |
1034 |
3101 |
797 |
3293 |
2153 |
601 |
1304 |
4627 |
457 |
1777 |
876 |
2748 |
1018 |
4146 |
936 |
3922 |
3421 |
871 |
1687 |
2355 |
690 |
1420 |
1382 |
3110 |
1000 |
733 |
809 |
3086 |
4068 |
901 |
1428 |
2329 |
548 |
1843 |
1555 |
2996 |
834 |
3227 |
729 |
2447 |
3080 |
898 |
1433 |
3920 |
491 |
2574 |
940 |
2707 |
1165 |
2734 |
926 |
3524 |
2831 |
789 |
1440 |
1922 |
Вариант |
Торговые марки |
1 |
M1 |
M2 |
M3 |
M4 |
M5 |
M6 |
2 |
M2 |
M3 |
M4 |
M5 |
M6 |
M7 |
3 |
M3 |
M4 |
M5 |
M6 |
M7 |
M8 |
4 |
M4 |
M5 |
M6 |
M7 |
M8 |
M9 |
5 |
M5 |
M6 |
M7 |
M8 |
M9 |
M10 |
6 |
M1 |
M3 |
M4 |
M5 |
M9 |
M10 |
7 |
M1 |
M4 |
M5 |
M6 |
M9 |
M10 |
8 |
M1 |
M5 |
M6 |
M7 |
M9 |
M10 |
9 |
M1 |
M6 |
M7 |
M8 |
M9 |
M10 |
10 |
M1 |
M3 |
M5 |
M7 |
M9 |
M11 |
11 |
M2 |
M4 |
M5 |
M6 |
М11 |
М12 |
12 |
M2 |
M5 |
M6 |
M7 |
М11 |
М12 |
13 |
M2 |
M6 |
M7 |
M8 |
M10 |
M12 |
14 |
M2 |
M4 |
M6 |
M8 |
M10 |
M12 |
15 |
M2 |
M5 |
M7 |
M8 |
М11 |
М12 |
4.2 Двухфакторный дисперсионный анализ
В таблице приведены данные опроса 32 человек. Опрашиваемые были выбраны случайным образом из групп людей, которые формировались так, чтобы результаты опроса были сбалансированы по всем уровням факторов.
Таблица 7
Результаты опроса
Образование |
Сфера деятельн. |
Пол |
Положение |
Доход |
Расход |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Y1 |
Y2 |
Экономич. |
Финансы |
Муж. |
Руковод. |
852 |
650 |
Экономич. |
Финансы |
Жен. |
Руковод. |
750 |
700 |
Экономич. |
Производ. |
Муж. |
Руковод. |
210 |
140 |
Экономич. |
Производ. |
Жен. |
Руковод. |
180 |
160 |
Экономич. |
Сельск,х. |
Муж. |
Работник |
120 |
80 |
Экономич. |
Сельск,х. |
Жен. |
Работник |
130 |
120 |
Экономич. |
Образов. |
Муж. |
Работник |
210 |
180 |
Экономич. |
Образов. |
Жен. |
Работник |
190 |
170 |
Технич. |
Финансы |
Муж. |
Работник |
320 |
240 |
Технич. |
Финансы |
Жен. |
Работник |
240 |
220 |
Технич. |
Производ. |
Муж. |
Работник |
230 |
180 |
Технич. |
Производ. |
Жен. |
Работник |
140 |
130 |
Технич. |
Сельск,х. |
Муж. |
Руковод. |
350 |
300 |
Технич. |
Сельск,х. |
Жен. |
Руковод. |
360 |
320 |
Технич. |
Образов. |
Муж. |
Руковод. |
310 |
250 |
Технич. |
Образов. |
Жен. |
Руковод. |
310 |
300 |
Медицин, |
Финансы |
Муж. |
Руковод. |
540 |
450 |
Медицин, |
Финансы |
Жен. |
Руковод. |
450 |
420 |
Медицин, |
Производ. |
Муж. |
Руковод. |
310 |
210 |
Медицин, |
Производ. |
Жен. |
Руковод. |
405 |
380 |
Медицин, |
Сельск,х. |
Муж. |
Работник |
110 |
100 |
Медицин, |
Сельск,х. |
Жен. |
Работник |
120 |
110 |
Медицин, |
Образов. |
Муж. |
Работник |
210 |
180 |
Медицин, |
Образов. |
Жен. |
Работник |
180 |
170 |
Гуманит. |
Финансы |
Муж. |
Работник |
230 |
160 |
Гуманит. |
Финансы |
Жен. |
Работник |
240 |
220 |
Гуманит. |
Производ. |
Муж. |
Работник |
120 |
110 |
Гуманит. |
Производ. |
Жен. |
Работник |
125 |
120 |
Гуманит. |
Сельск,х. |
Муж. |
Руковод. |
280 |
180 |
Гуманит. |
Сельск,х. |
Жен. |
Руковод. |
300 |
280 |
Гуманит. |
Образов. |
Муж. |
Руковод. |
240 |
230 |
Гуманит. |
Образов. |
Жен. |
Руковод. |
230 |
200 |
Требуется методом двухфакторного дисперсионного анализа оценить степень влияния изучаемых факторов на результирующий экономический показатель. Первоначально оценить модель без взаимодействия факторов, затем с взаимодействием. Сравнить результаты. Сделать выводы. Варианты заданий приведены в табл.8.
Таблица 8
Варианты заданий
Вариант |
Первый фактор |
Второй фактор |
Отклик |
Вариант |
Первый фактор |
Второй фактор |
Отклик |
1 |
X1 |
X2 |
Y1 |
7 |
X1 |
X2 |
Y2 |
2 |
X1 |
X3 |
Y1 |
8 |
X1 |
X3 |
Y2 |
3 |
X1 |
X4 |
Y1 |
9 |
X1 |
X4 |
Y2 |
4 |
X2 |
X3 |
Y1 |
10 |
X2 |
X3 |
Y2 |
5 |
X2 |
X4 |
Y1 |
11 |
X2 |
X4 |
Y2 |
6 |
X3 |
X4 |
Y1 |
12 |
X3 |
X4 |
Y2 |
5.
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с вариантом задания выполнить однофакторный дисперсионный анализ, сделать выводы, написать отчет.
2. В соответствии с вариантом задания выполнить двухфакторный дисперсионный анализ, сделать выводы, написать отчет.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основную идею дисперсионного анализа, для решения каких задач он наиболее эффективен ?
2. Что показывает F отношение Фишера?
3. Каковы основные теоретические предпосылки дисперсионный анализ?
4. Произведите разложение общей суммы квадратов отклонений на составляющие в однофакторном дисперсионном анализе.
5. Как получить оценки дисперсий из сумм квадратов отклонений? Как получаются необходимые числа степеней свободы?
6. Приведите свой пример двухфакторного дисперсионного анализа.
7. На какие суммы разлагается общая сумма квадратов отклонений в двухфакторном дисперсионном анализе?
8. Поясните схему двухфакторного дисперсионного анализа.
9. Чем отличается перекрестная классификация от иерархической классификации?
10. Чем отличаются сбалансированные данные?
Литература
1. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. – М.: Наука. 1980.- 512с.
2. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: Методы планирования эксперимента. Пер. с англ. – М.: Мир, 1981.-520с.
3. Дэниел К. Применение статистики в промышленном эксперименте.-М.:Мир, 1979.-300с.
4. Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента.- М.:Мир, 1967.
Методические указания разработали: профессор, д.т.н. Цуканов А.В. и к.т.н., доцент, Русина Н.А.