2 1 1 3 2 В Рис. 2. Логические взаимосвязи в стрелочном графе Фиктивным логическим операциям ставится в соответствие нулевая продолжительность выполнения, а изображаются они обычно пунктиром. Например, если работу С нельзя начать прежде, чем завершится операция А, а работу О нельзя начать до тех пор, пока не завершатся работы А и В, соответствующий стрелочный граф будет выглядеть следующим образом: Кроме того, в стрелочных графах для избежания неоднозначности используются фиктивные операции идентификации. В некоторых пакетах прикладных программ, используемых в сетевом анализе, операции обозначаются не с помощью букв или слов, а числами, обозначающими соответствующие им события. Если же две или более операций выполняются одновременно и имеют одни и те же начальное и конечное события, то компьютер не сможет отличить их друг от друга и не воспримет вводимую исходную информацию. Как показано на рис. 4, включение фиктивной операции идентификации позволяет решить данную проблему. На практике принято нумеровать события таким образом, чтобы номер конечного события был больше, чем номер начального события. 1 5 2 А С Фиктивная логическая операция 6 4 3 В D Рис. 3. Использование в стрелочном графе фиктивной логической операции Первый шаг после составления списка операций, входящих в проект, состоит в том, чтобы создать таблицу операций, в которой отражаются все операции, а также операции, непосредственно им предшествующие. В данный список не включаются фиктивные логические операции или операции идентификации. На основе полученного списка строится стрелочный сетевой граф, включающий действительные и фиктивные операции и отражающий установленные взаимосвязи между ними. После того, как закончено построение исходного графа, можно выявить и исключить из рассмотрения ненужные фиктивные операции. Затем для улучшения логической схемы исходный граф можно модифицировать и перекомпоновать. Фиктивная операция идентификации 3 3 1 1 А Заменяется на Рис. 4. Использование в стрелочном графе фиктивной операции идентификации Ненужные фиктивные логические операции можно выявить с помощью простого практического правила. Если единственной операцией, выходящей из некоторого узла, является фиктивная логическая операция, то по всей вероятности без нее можно обойтись. Пример 1. Компания "Эвриком" - это промышленная фирма, которая заключила контракт о производстве партии станков, предназначенных к использованию крупным предприятием обувной промышленности для массового производства обуви. Ниже перечислены операции, которые необходимо выполнить в процессе разработки и производства этих станков (табл. 1). Нужно изобразить операции с помощью стрелочного графа. Решение. Сетевой граф должен начинаться с единственного начального события, которое показано на рис. 5 кружочком, и заканчиваться единственным конечным событием. Построение графа мы начали с первого события. С этого события начинаются все операции, которым не предшествуют никакие виды работ. Начинать построение полезно с примерного эскиза будущего графа: F G 5 9 10 12 А B C E K L 1 2 3 4 7 13 14 D H I 6 8 11 J Рис. 5. Примерный эскиз графа для примера 1 Таблица 1. Таблица операций для задачи из примера 1 ОПЕРАЦИИ Непосредственно предшествующая операция А Составление сметы затрат В Согласованные оценки С Покупка собственного оборудования D Подготовка конструкторских проектов E Строительство основного цеха F Монтаж оборудования G Испытания оборудования H Определение типа модели I Проектирование внешнего корпуса J Создание внешнего корпуса K Конечная сборка L Контрольная проверка - A B B D C,E F D D H,I G,J K В соответствии с приведенной выше таблицей необходимо тщательно, переходя от одной операции к другой, проверить построенный в первом приближении граф. A B C F G K L 1 2 3 5 8 9 10 11 D E J 4 7 Фиктивная операция H I идентификации 6 Рис.6. Новый чертеж стрелочного графа для примера 1 Пример 2. Компания "Эвриком" является участником другого проекта, детали которого приведены ниже. Изобразим данный проект при помощи стрелочного графа. Решение Построение начинаем с начального события, обозначенного кружком 1. Из таблицы следует, что существуют три операции - А, В и С, которым не предшествует ни одна из операций. Поэтому из начального события выходят три стрелки. На первый взгляд таблица операций выглядит чрезвычайно простой, однако отразить присущую ей логику с помощью сетевого графа достаточно трудно, вследствие чего мы вынуждены использовать три фиктивные логические операции (см. рис. 7). Таблица 2. Таблица операций для примера 2 Операция Непосредственно Предшествующая операция Операция Непосредственно предшествующая операция A B C D - - - A,B E F G H B,C C D,E F,G 4 2 1 5 6 7 8 3 Рис. 7. Стрелочный граф для примера 2 1.2 Вершинные графы В этом типе сетевых графов операции представлены узлами графа, а стрелками изображаются их взаимосвязи. В таких графах не возникает необходимости вводить фиктивные операции. Как и в предыдущем случае, течение времени следует изображать в направлении слева направо. Пример 3. Обратившись к данным из примера 2, модифицируем полученную в этом примере схему, поставив в соответствие операциям узлы графа. A D Начальный BG узел E H C F Рис. 8. Вершинный граф Каждый из описанных типов графов имеет свои преимущества и недостатки. Обычно не имеет принципиального значения, какая из систем используется. Если в стрелочные графы приходится вводить достаточно большое число фиктивных операций, то гораздо более предпочтительным является выбор вершинного графа. Ниже приведено сравнение двух видов изображения операций и их основных особенностей (см. рис. 9). Ситуация Строчный граф Вершинный граф Операция QPQ зависит 1 2 3 PQ от операций P,Q Операция Х 1 Р X Р зависит 3 4 X от операций P,Q 2 QQ Операция Х,Y 1 Р X 4 Р X зависит 3 от операций P,Q 2 QY 5 QY Операция Х 1 Р 2 X 5 Р X зависит от операции P; 3 Q 4 Y 6 QY oперация Y зависит от операций Р и Q Рис. 9. Сравнение сетевых стрелочного и вершинного графов 1.3 Анализ критического пути После того как проведена идентификация операций, можно оценить их продолжительность. На основе продолжительности выполнения каждой операции и руководствуясь логической схемой, можно найти время выполнения проекта в целом. На данном этапе предполагается, что продолжительность выполнения каждой операции является фиксированной величиной, не испытывающей влияний неопределенности. В последнем разделе главы мы рассмотрим вопрос о том, какие поправки следует внести в этот анализ, чтобы учесть неопределенность времени выполнения операций. В каждом графе существует несколько возможных путей. Общее время, необходимое для того, чтобы пройти какой-либо путь, есть сумма времени выполнения всех операций, принадлежащих данному пути. Продолжительность выполнения всего проекта занимает наибольшее время. Более длительные операции называются критическими. Любая задержка срока начала или окончания выполнения этих работ повлечет за собой задержку срока выполненияпроекта в целом. Критические операции образуют непрерывную цепь, проходящую через весь граф. Эта цепь критических операций называется критическим путем. В каждом графе найдется, по крайней мере, один критический путь. Для того чтобы найти общую продолжительность выполнения проекта, нужно определить продолжительность критического пути. В большинстве графов идентифицировать все идущие сквозь граф пути, чтобы выявить среди них тот, который занимает наибольшее время, достаточно трудно. Существуют два возможных метода, позволяющих отследить движение времени в графе: 1. Определение для каждой операции наиболее ранних сроков начала и окончания ее выполнения. 2. Определение для каждого события наиболее раннего срока его наступления. Следует отметить, что второй метод может использоваться только в стрелочных графах. 1.4 Анализ критического пути с применением вершинных графов Пример 4. В табл. 3 указана продолжительность выполнения каждой операции проекта, о котором шла речь в примерах 2 и 3 Определим общую продолжительность выполнения проекта. Вершинный граф, соответствующий данному проекту, был построен в примере 3. Таблица 3. Операции и их продолжительность для примера 4 Операция Непосредственно Предшествующая Операция Время, дней A B C D T F G H - - - A,B B,C C D,E F,G 8 10 6 8 9 14 14 6 Решение Предположим, что каждая из исходных операций А, В и С начинается в нулевой момент времени. Это наиболее ранний срок начала этих Е5 операций. Наиболее ранний срок, к которому их выполнение может быть завершено, определяется следующим образом: Наиболее ранний срок окончания ЕР=ЕS+Продолжительность операции. Обычно найденные значения этих сроков наносятся непосредственно на граф, однако, мы занесем их сначала в таблицу, чтобы продемонстрировать методику проведения расчетов. Таблица 4. Расчет наиболее ранних сроков начала окончания операций для примера 4 Операция Продолжи-тельность, дней Наиболее ранний срок начала Наиболее ранний срок окончания Комментарии A B C D E F G H 8 10 6 8 9 14 14 6 0 0 0 10 10 6 19 33 0+8=8 0+10=10 0+6=6 10+8=18 10+9=19 6+14=20 19+14=33 33+6=39 Нельзя начать, пока не завершены А и В Нельзя начать, пока не завершены В и С Нельзя начать, пока не завершена С Нельзя начать, пока не завершены D и E Нельзя начать, пока не завершены F и G Ключ 0 8 обозначение ЕSEF A8 операции продолжительность 3 11 10 16 LSLF D8 0 10 11 19 19 33 Начальный B 10 G14 Узел 0 10 10 19 19 33 33 39 E9 H6 0 6 10 19 6 20 33 39 C6 F14 4 10 19 33 Рис. 10 Вершинный граф для примера 4 Наиболее ранние сроки начала и окончания операций занесены в вершинный граф, изображенный на рис. Нетрудно заметить, что операция Н завершится на 39-й день, следовательно, это значение дает нам искомую продолжительность выполнения проекта в целом. Таблица 5. Расчет наиболее поздних сроков начала и окончания операций для примера 4 Операция Продолжительность, дней Наиболее Поздний срок окончания Наиболее Поздний Срок Начала Комментарии H G F E D C B A 6 14 14 9 8 6 10 8 39 33 33 19 19 10 10 11 39-6=33 33-14=19 33-14=19 19-9=10 19-8=11 10-6=4 10-10=0 11-8=3 G нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала H F нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала H E нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала G D нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала G C нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала Е и F. В нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала D и E. Нужно использовать наименьший из этих сроков, равным 10 дням. А нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала D На данном этапе мы еще не можем определить критические операции. Чтобы это осуществить, необходимо для каждой операции рассчитать два срока, ей соответствующие, а именно наиболее поздний срок начала LS и наиболее поздний срок окончания LF операции. В данном случае процедуру расчетов мы начнем с последней операции в графе и предположим, что наиболее поздний и наиболее ранний сроки ее окончания совпадают. Затем вычитанием из этой величины продолжительности выполнения операций находим наиболее поздний срок ее начала. Ход выполнения расчетов показан в табл. 5. Критической является операция, для которой справедливы следующие соотношения: ЕS = LS и ЕF= LF, т. е. операция, для которой не существует резерва времени между наиболее ранним сроком ее начала и наиболее поздним сроком ее окончания. Нетрудно, заметить, что в нашем примере критическими являются операции В, Е, G и Н. Путь в вершинном графе, соединяющий эти операции, называется критическим путем. В нашем примере критическим является путь В-Е-G-Н. 1.5 Анализ критического пути с применением стрелочных графов Приведенная выше методика анализа аналогичным образом может использоваться. и для стрелочных графов. Значения сроков ЕS, ЕF, LS и LF записываются в графе вдоль стрелок, соответствующих операциям: [ES,EF] A 1 2 [LS,EF] Рис. 11. Нанесение на стрелочный граф сроков, соответствующих операциям Можно провести подобный анализ в терминах сроков наступления каждой события. Производится расчет наиболее раннего срока, к которому может завершиться каждое событие. Этот срок называется наиболее ранним сроком события (earliesteventtime - ЕЕТ). Общая продолжительность выполнения проекта определяется ЕЕТ конечного узла графа. ЕЕТ исходного события равен нулю. Для того чтобы выявить критические операции, необходимо, начиная с конца графа, вычислить наиболее поздние сроки событий (1аtest еventtime - LЕТ), к которым события могут закончиться. События, для которых выполняются соотношения LEТ начала- ЕЕTокончания + продолжительность = О или ЕЕТначала - LETокончания + продолжительность = О, являются критическими. Пример 5. Применив ЕЕТ и LЕТ, повторим задачу из примера 4 при условии, что продолжительность выполнения фиктивных операций равна нулю. Решение В первую очередь для каждого события вычислим значение наиболее раннего срока. Если некоторому событию соответствует более одной операции, появляется проблема выбора соответствующего значения. Поскольку событие считается незавершенным до тех пор, пока не будет завершено выполнение всех составляющих его операций, следует выбрать наибольшее из значений. Таблица 6. Расчет значений ЕЕТ для примера 5 Узел ЕЕТ, дней Комментарии 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0+10=10 0+6=6 0+8=8 или 10+0=10* 10+0=10* или 6+0=6 10+8=18 или 10+9=19* 19+14=33* или 6+14=20 33+6=39 Начальное событие ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции В ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции С ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции А. ЕЕТ узла 2 + продолжительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок, т. е. 10 дней ЕЕТ узла 2 + продолжительность фиктивной операции. ЕЕТ узла 3 + продолжительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок, т. е. 10 дней ЕЕТ узла 4 + продолжительность операции D ЕЕТ узла 5 + продолжительность операции Е. Выбирается максимальный срок, т. е. 19 дней ЕЕТ узла б + продолжительность операции С ЕЕТ узла 3 + продолжительность операции Р. Выбирается максимальный срок, т. е. 33 дня ЕЕТ узла 7 + продолжительность операции Н *Выбранное значение ЕЕТ Полученные значения сроков наносятся на стрелочный граф, как это показано на рис. 12. ЕЕТ последнего события равно 39 дням, которые также определяют общую продолжительность выполнения проекта. Чтобы определить критические операции, будем двигаться по графу начиная с конечного узла и вычисляя LЕТ каждого события. Предположим, что для конечного события ЕЕТ = LЕТ. Если в некоторый узел входит более одной стрелки, то возникает проблема выбора значения LЕТ. Так как событие должно завершиться к сроку, удовлетворяющему всем наиболее поздним срокам начала событий, которые выходят из данного узла для LЕТ, следует выбрать наименьшее значение. Найденные значения сроков наносятся на стрелочный граф, изображенный на рис. 12. 0 10 4 - наиболее ранний - наиболее позднийсрок события, срок события A 8 D 8 10 (стандартный срок, дней) 2 33 0 B 10 H 6 0 C 6 1 5 6 7 8 0 F 14 6 3 Рис. 12. Стрелочный граф для примера 5 с указанием ЕЕТ и событий Операция является критической, если для нее справедливы следующие соотношения: ЕЕТначала = LETначала и ЕЕТокончания = LЕТокончания LEТокончания - EETначала - Продолжительность = 0. Из рисунка 12 видно, что критическими, как и ранее, являются операции В, Е, G и Н. Любые замедления на критическом пути приведут к задержке срока выполнения, всего проекта. Между тем для некритических путей можно допустить некоторые задержки при выполнении составляющих их операций или пересмотреть график их выполнения. Запас времени, который существует в схеме проекта, называется резервом времени. Различают несколько видов резерва времени, возникающих под влиянием различных воздействий, которые оказывает запас времени на схему выполнения проекта. Общим резервом называется количество времени, на которое можно увеличить продолжительность операции в результате продления срока ее выполнения или пересмотра плана, не влияющего на продолжительность выполнения проекта в целом. Свободным резервом называется количество времени, на которое можно увеличить продолжительность операции в результате продления срока ее выполнения или пересмотра плана, не оказывающего воздействия на наиболее ранний срок выполнения любой последующей операции. Иногда используют третий вид, так называемый независимый резерв времени. Он не оказывает никакого влияния на предшествующие или последующие операции. Для любой операции Общий резерв времени = LЕTокончания - ЕЕТначала - Продолжительность, также Свободный резерв времени = ЕЕТокончания - ЕЕТначала – Продолжительность Независимый резерв = ЕЕТокончания-LETначала – Продолжительность. Иногда бывает полезно изобразить на графе имеющийся в наличии резерв времени, особенно если план выполнения операций необходимо пересмотреть. В этом случае одним из возможных методов является график Ганта. Таблица 7. Расчет значений ЕЕТ для примера 5 Узел LET,дней Комментарий 8 7 6 5 4 3 2 1 39 39-6=33 33-14=19 19-9=10 19-8=11 10-0=0* или 33-14=19 10-0=10* или 11-0=11 11-8=3 или 10-10=0* или 10-6=4 Конечный узел LЕТ = ЕЕТ LЕТ узла 8 – продолжительность операции Н LЕТ узла 7 – продолжительность операции G LЕТ узла б – продолжительность операции Е LЕТ узла 6 – продолжительность операции D LЕТ узла 5 – продолжительность фиктивной операции или LЕТ узла 7 – продолжительность операции F. Выбирается минимальный срок, т.е. 10 дней LЕТ узла 5 – продолжительность фиктивной операции или LЕТ узла 4 - продолжительность фиктивной операции Выбирается минимальный срок, т.е. 10 дней LЕТ узла 4 – продолжительность операции А или LЕТ узла 2 продолжительность операции В или LЕТ узла 3 – продолжительность операции С Выбирается минимальный срок, т.е. О дней *Выбранное значение LЕТ. Пример 6. По данным примера 5 для каждой операции найдем общий резерв времени. Операции, общий резерв времени которых равен нулю, являются критическими. На рис. 13 построен график Ганта, и отмечены, возможно наиболее ранние сроки начала операций. Таблица 8. Расчет резерва времени операций для примера 5 (дней) операция LET окончания LET начала продолжительность Общий резерв времени A B C D E F G H 11 10 10 19 19 33 33 39 0 0 0 10 10 6 19 33 8 10 6 8 9 14 14 6 3 0 4 1 0 13 0 0 Стандартные сроки Стандартные сроки СF 620 B E G H 10 19 33 39 Операции 10 20 30 40 Дни Рис. 13. График Ганта для примера 5 1.6 Стоимость проекта Общая стоимость проекта зависит от стоимости выполнения каждой операция, а также от любых дополнительных переменных или постоянных расходов. Так как необходимо завершить все операции, независимо от того, являются они критическими или нет, общая стоимость выполнения операций представляет собой арифметическую сумму отдельных значений стоимости каждой операции. Можно снижать продолжительность выполнения некоторых операций с помощью дополнительных ресурсов. Косвенным последствием такой меры является увеличение стоимости данных операций. Однако если операция критическая, то экономия времени ее выполнения может привести к общей экономии времени выполнения проекта в целом, а следовательно, и к снижению общей стоимости проекта. Возможный наименьший срок, к которому можно завершить операцию, получил название критического срока. В некоторых случаях завершить операцию можно только либо к стандартному, либо к критическому сроку их выполнения, но не между ними. Иногда, напротив, существует возможность постепенно уменьшать время выполнения операции до того момента, пока не будет достигнут критический срок ее выполнения. Рассмотрим, как действует уменьшение времени выполнения операций на календарный план, и стоимость выполнения проекта, принимая во внимание две различные цели: 1. Минимизацию общего времени выполнения проекта; 2. Минимизацию общей стоимости проекта. 1.7 Минимизация общей продолжительности проекта с минимальными дополнительными расходами Для этой цели необходимо обладать информацией о стоимости каждой операции, любом возможном уменьшении времени ее выполнения и о дополнительных издержках, связанных со снижением времени выполнения операции. Пример 7. Обратимся к данным примера 2. Ниже приводится дополнительная информация о стоимости операций и возможном уменьшении времени их выполнения. Показатели критических значений отражают минимальное время, за которое можно выполнить операцию, и общую стоимость выполнения операции в течение этого времени. Необходимо сделать выбор между стандартными значениями времени и издержек и их критическими значениями. Практически невозможно получить экономию времени выполнения операции в один день при пропорциональном возрастании ее стоимости. Помимо стоимости каждой операции необходимо учесть стоимость строительной площадки, составляющую 1000 руб. в день. 1. Каково минимальное время, в течение которого можно завершить проект? 2. Какова соответствующая минимальная дополнительная стоимость? Решение Минимальное время можно найти, рассчитав для всех, как критических, так и некритических операций, критическое время их выполнения. Ниже изображен стрелочный граф, построенный в примере 2. На граф нанесены значения ЕЕТ и LЕТ, найденные на основе критических значений времени выполнения операций. Нетрудно заметить, что ЕЕТ узла 8 равно 28 дням, поэтому минимальное время выполнения проекта также составляет 28 дней. Критический путь остается неизменным: В-Е-G-Н. Общую стоимость можно найти из следующего уравнения: Общая стоимость = Критическая стоимость операций + 28 х х Стоимость строительной площадки в день = 102 750 руб. + + 28 х 1000 руб. = 130750 руб. Таблица 9. Значения стандартных и критических сроков и соответствующих издержек выполнения операций для примера 7 ОПЕРА-ЦИЯ НЕПОСРЕДСТ-ВЕННО ПРЕДШЕ-СТВУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ СТАНДАРТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ Критическое значение ВРЕМЕ-НИ, ДНЕЙ СТОИМО-СТИ, РУБ. Времени, дней Стоимости, руб. A B C D E F G H - - - A,B B,C C D,E F,G 8 10 6 8 9 14 14 6 7500 8500 6000 13000 14000 14500 13500 5500 4 8 5 5 6 11 10 4 9000 11000 7000 16000 16500 18000 18750 6500 ОБЩИЕ ИЗДЕРЖКИ ВЫ-ПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ 82500 102750 A 4 0 8 4 - наиболее ранний - наиболее позднийсрок события, дней срок события, дней D 5 8 2 24 0 B 8 H 4 0 C 5 1 5 6 7 8 0 F 11 5 3 Рис. 14. Стрелочный граф для примера 7 с указанием критического времени Между тем найденное значение стоимости выполнения проекта в указанное время не является минимальным, поскольку необходимости использовать критические значения для некритических операций нет. Некритическими являются операции А, С, D и F. Поэтому необходимо найти эффект от использования соответствующих этим операциям некритических значений показателей. В случае, если существует возможность восстановить их стандартную продолжительность, не увеличивая при этом общую продолжительность выполнения проекта, можно будет одновременно достичь и экономию стоимости в результате использования ее некритических значений. Критические значения для операции А можно не использовать, поскольку увеличение продолжительности ее выполнения до 8 дней не меняет ЕЕТ узла 4, и, следовательно, не оказывает воздействия на выполнение остальных операций календарного плана. Использование некритических значений для операции А позволяет достичь экономии, составляющей 1500 руб. Увеличение продолжительности операции С с 5 до 6 дней приведет к увеличению значения ЕЕТ узла 3 до 6, однако не окажет воздействия на ЕЕТ узлов 5 и 7. Вследствие этого продолжительность выполнения проекта останется неизменной. Использование некритических значений, соответствующих операции С, позволит получить экономию 1000 руб. Если использовать некритические значения показателей операции D, то ЕЕТ узла 6 возрастет до 16 дней. Узел 6 принадлежит критическому пути, поэтому для того, чтобы достичь минимального общего времени выполнения проекта, составляющего 28 дней, необходимо применять критические значения времени и стоимости операции D. Использование некритических значений для операции F не изменит ЕЕТ узла 7 и не приведет к увеличению продолжительности проекта в целом. Используя для Fнекритические значения, мы сможем достичь экономии, составляющей 3500 руб. Минимальная стоимость выполнения проекта за 28 дней составит: 130750 - 1500 (А) - 1000 (С) - 3500 (Р) = 124750 руб. Стоимость выполнения проекта в стандартные сроки равна: 82500 (стоимость операций) + 39000 (стоимость строительной площадки)= = 121500 руб Следовательно, дополнительная стоимость, связанная с завершением выполнения проекта на 11 дней раньше, будет равна: 124750 - 121500 = 3250 руб. Пример 8. Обратимся к данным примера 1. В табл. 10 приводится дополнительная информация о стоимости операций и возможном сокращении времени их выполнения. Переменные накладные расходы составляют 300 руб. в неделю в течение всего времени выполнения проекта. 1. Определить стандартные значения общего времени выполнения и общей стоимости проекта. 2. Найти минимальное время, за которое можно выполнить данный проект, и соответствующее ему минимальное значение стоимости. Таблица 10. Стандартные и критические значения сроков выполнения и стоимости операций для примера 8 Операция Стандартное значение Возможное сокращение времени, недель Критичес-кое время, недель Дополнительные издержки сокращения времени на неделю, руб. Времени, недели Стои-мость, руб. A B C D E F G H I J K L 2 1 4 6 3 3 4 2 3 8 2 2 400 0 200 450 700 200 600 0 250 600 450 200 1 0 2 4 2 2 3 0 1 4 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 4 1 1 400 0 125 175 250 200 125 0 200 100 250 150 Стоимость операций 4050 20 15 12 3 2 0 L 2 K 2 G 4 F 3 C 4 B 1 A 2 D 6 E 3 24 J 8 1 2 3 5 8 9 10 11 22 I 3 9 H 2 4 7 12 0 6 Рис. 15. Стрелочный граф для примера 8 с указанием стандартных сроков - наиболее ранний- наиболее поздний срок события, срок события (стандартный срок, дней) Решение На рис. 15 воспроизведен стрелочный граф, построенный в примере 1. Для каждой операции на графе указаны значения ЕЕТ и LЕТ. Стандартный срок выполнения проекта составляет 24 недели, а соответствующий ему критический путь имеет следующий вид: А- B - D -1-]-К- L . Общая стоимость проекта составляет: 4050 (стоимость операций) + 24х300 (переменные накладные расходы) = 11250руб. Чтобы определить минимальное время, требующееся для выполнения проекта в целом, каждой операции поставим в соответствие минимальный срок ее завершения. На рис. 16 показаны значения этих сроков и итоговые значения ЕЕТ и LЕТ. Минимальная продолжительность проекта составляет 12 недель. В данном случае критическими оказываются следующие пути: А- B - D -1-]-К- L и А- B - D -Н-]-К- L . Проверим, можно ли, используя некритические значения для некоторых некритических операций, получить экономию денежных средств. Таблица 11. Использование некритических значений показателей для некритических операций из примера 8 Опера-ция Изменение продолжитель-ности Эффект Е F G С Увеличение на 2 недели Увеличение на1 неделю Увеличение невозможно Увеличение на 2 недели ЕЕТ узла 5 становится равным 7 неделям; ЕЕТ узла 8 становится равным 8 неделям, не влияя при этом на ЕЕТ узла 9, принадлежащего критическому пути; других воздействий нет. Е выполняется в стандартный срок ЕЕТ узла 8 становится равным 9 неделям. Операции Е, F и G становится критическими. На узел 5 не оказывается никакого воздействия. С выполняется в стандартный срок. Некритическими являются операции С, Е, F и G. Продолжительность операций в данном примере можно изменять по интервалам в одну неделю, так как единицей измерения продолжительности является неделя. В первую очередь рассмотрим операции, которые, если использовать их некритические значения, |могут принести наибольшую экономию денежных средств. Операции будем рассматривать в следующем порядке: Е (250 руб.), F (200 руб.), и С (125 руб.) или G (125 руб.). Минимальная стоимость выполнения проекта за 12 недель составила: (4050 (стандартная стоимость операций) + 1 • 400 (А) + 4 • 175 (В) + 1 • 200 (F) + 3 • 125 (G) + 1 • 200 (I) + 4 • 100 (J) + 1 • 250 (К) + 1 • 150 (L) (предельные издержки) + 12 • 300 ( переменные накладные расходы) = 4050 + 2675 + 3600 = 10325 руб. 10 6 5 2 1 0 L 1 K 1 G 1 F 1 C 2 B 1 A 1               содержание   ..  218  219  220   ..