БИЛЕТ
5 Изгиб.
Дифф. зав-ти
при изгибе.
dM = Q •
dz, Q = dM / dz, dQ / dz = d2M
/ dz2
= q.
производная
от изгибающего
момента по
абсциссе сечения
балки равна
поперечной
силе (теорема
Журавского);
вторая производная
от изгибающего
момента по
абсциссе сечения
балки равна
интенсивности
распределенной
нагрузки.
БИЛЕТ
6 Основные
гипотезы при
изгибе.
Принцип
Бернулли:
плоские сечения
до и после
деформации
остаются плоскими,
нормальными
к продольной
оси балки.
БИЛЕТ
12 Косой
изгиб. Определение
напряж.
БИЛЕТ
14
Напряженное
состояние в
данной точке
- совокупность
напряжений
на всех елементарных
площадках,
которые можно
провести через
какую-либо
точку тела.
Главные нормальные
напряжения
- если на грани
кубика других
нет (касательных
напряжений).
Тензор
напряжения
- перемещения
при данной
нагрузке ???
Закон
парности
касательных
напряжений.
Дан
брус произвольного
сечения.
A - площадь
сечения по
нормали
Aa
- площадь сечения
под углом a
к нормали. Aa=
A / cos a.
проекция
сил на направление
sa
:
sa•Aa
–
s1•A•cos
a
= 0
sa
= s1
•
cos2
a
проекция
сил на направление
ta
:
ta•Aa
–
s1•A•sin
a
= 0
ta
= 1/2 •s1
•
sin 2a
для
BD:
sb
= s1
•
cos2
(a+/2)=
s1
•
sin2
a
tb
= 1/2 •s1
•
sin 2(a+/2)
= –
1/2 •s1
•
sin 2a.
sa+
sb
= s1;
ta
= –
tbз-н
парности касат.
напряж.).
Из этого
закона следует,
что :
при a
= 90°
sa
= 0, ta=
0; при a
= 0 sa
= samax
= s1,
ta=
0; при a
= 45°
ta=
tamax=
s1
/ 2.
БИЛЕТ
15 Плоское
напряженное
состояние.
з-н
Гука для одноосного
напряженного
состояния :
e
= s
/ E; e
= Dl
/ l - относительное
удлинение
E
[Па, МПа]- модуль
продольной
упругости
(а также : модуль
упругости I
рода, модуль
Юнга).
s
[Па, МПа] - напряжение.
eў
= –m
•e;
eў
- относит. поперечная
деформация.
m
- коэфф-нт поперечной
деформации
(Пуассона).
обобщенный
з-н Гука для
плоского
напряженного
состояния :
e1
= s1
/ E –
m•s2
/ E
e2
= s2
/ E –
m•s1
/ E.
находим
напряжения
s1
и s2
:
s1
= E (e1
+ m•e2)
/ (1–
m2),
s2
= E (e2
+ m•e1)
/ (1–
m2).
БИЛЕТ
16 З-н
Гука для изотропного
материала.
Изотропный
материал
- материал,
свойства которого
одинаковы во
всех направлениях.
Для
объемного
напряженного
состояния :
e1
= (1 / E) •[s1
–
m•(s2
+ s3)],
e2
= (1 / E) •[s2
–
m•(s3
+ s1)],
e3
= (1 / E) •[s3
–
m•(s1
+ s2)].
Объем
кубика 1ґ1ґ1
после деформации
:
V = (1+e1)
ґ
(1+e2)
ґ
(1+e3)
»
1+ e1
+e2
+e3.
Относительное
изменение
объема :
u
= e1
+e2
+e3
= (1–2•m)
•(s1+s2+s3
) / E. Отсюда : коэфф-нт
Пуассона m
не может быть
больше 1/2.
з-н Гука
при сдвиге :
t
= G•g
g
- угол сдвига
[рад]
G
[Па]- модуль
сдвига (модуль
упругости 2
рода).
G
= E / [2•(1+m)]
удельная
деформация
при чистом
сдвиге :
u = t2
/ (2•G)
БИЛЕТ
17 Теории
(гипотезы)
прочностей.
Эквивалентое
напряженное
состояние -
состояние,
равноопасное
данному сложному
напряженному
состоянию,
но при одноосном
растяжении
(сжат.).
I-я гипотеза
прочности -
гипотеза
наибольших
нормальных
напряжений
:
“предельное
состояние
материала
при сложном
напряженном
состоянии
наступает
тогда, когда
наибольшее
нормальное
напряжение
достигает
предельного
напряжения
[s]
при одноосном
напряженном
состоянии”.
I-я гипотеза
устанавливает
критерий хрупкого
разрушения
(не для пластичных
материалов).
Если материал
имеет различные
[s]
на растяжение
и сжатие, то
:
max sр
Ј
[sр],
max sс
Ј
[sс].
II-я гипотеза
прочности -
гипотеза
наибольших
линейных
деформаций
:
Опыты
не подтверждают
эту теорию.
III-я гипотеза
прочности -
гипотеза
наибольших
касательных
напряжений
:
“прочность
материала
при сложном
напряженном
состоянии
считается
обеспеченной,
если наибольшее
касательное
напряжение
не превосходит
допускаемого
касательного
напряжения,
установленного
для одноосного
напряженного
состояния”.
tmax
= tэкв
Ј
[t].
Из закона
парности
касательных
напряжений
:
tmax
= s
/2 при a
= 45°
a
- угол между
нормалью и
сечением на
котором определяем
t.
|
БИЛЕТ
18
Гипотеза
теории кручения
(гипотеза плоских
и жестких
сечений): расстояния
между нормальными
сечениями
при кручении
не изменяются,
не изменяются
размеры сечений.
Кручение
бруса круглого
поперечного
сечения.
Касательные
напряжения
при кручении
:
t
= M•r
/ Ip
. r
- расстояние
от центра сечения.
M - приложенный
момент. r - радиус
сечения.
tmax
= M•r
/ Ip
= M / Wp
Ј
[t].
Wp
- полярный момент
сопротивления.
Для
круглого сплошного
сечения радиусом
r:
Wp
= Ip
/ r = pd4
/ (32•d/2)
= pd3
/16 »
0,2•d3.
Деформации
и перемещения
:
dj
/ dz = M / (G•Ip)
- выведено в
билете 19
Производная
угла закручивания
(взаимн. пов.)
:
dj
= M•dz
/ (G•Ip).
Деформация
вала на длине
z
(взаимный угол
поворота сечений)
:
j
= т!от0доz!
[M•dz
/ (G•Ip)].
Величина
G•Ip
- жесткость
вала при кручении.
Для вала
длиной l: j
= M•l
/ (G•Ip).
Относительный
угол закручивания
- угол
закручивания
на единицу
длины :
g
= j
/ l = M / (G•Ip).
Условие
прочности: g
Ј
[g];
[g]
- в °
/ на 1м длины.
Зависимость
t
от угла закручивания
:
g
= r•dj
/ dz из рисунка
билета 19.
з-н Гука
при сдвиге :
t
= G•g,
Ю
:t
= G•r•dj
/ dz.
БИЛЕТ
19 Кручение,
вывод рассчетн.
ф-лы для
касательных
напряжений.
gmaч
= r•dj
/ dz, аналогично
g
= r•dj
/ dz.
з-н Гука
при сдвиге :
t
= G•g,
отсюда :
t
= G•r•dj
/ dz. При кручении
деформации
сдвига прямо
пропорциональны
расстоянию
от центра тяжести
сечения.
Равнодействующий
момент касательных
напряжений
в сечении : M = Aт
(t•r)•dA;
(t•r)•dA
- элементарный
крутящий момент
внутренних
сил на площадке
dA.
M = G•dj
/ dz •Aт
(r2)•dA.
Полярный
момент инерции
сечения : Ip
= Aт
(r2)•dA.
dj
/ dz = M / (G•Ip);
t
= M•r
/ Ip
.
Условие
прочности.
tmax
= M•rmax
/ Ip
= M / Wp
Ј
[t].
Wp
- полярный момент
сопротивления.
Для круглого
сечения радиусом
r: Wp
= Ip
/ r.
БИЛЕТ
20 Кручение,
вывод ф-лы для
относительного
угла закручивания.
переписать
билет 19 до ф-лы
: dj
/ dz = M / (G•Ip)
и раздел “Деформации
и перемещения.”
билета
18.
БИЛЕТ
21 Внецентренное
растяжение.
В любом
поперечном
сечении стержня
возникает
продольная
сила N=F и изгибающие
моменты :
Mx
= F•yF
, My
= F•xF
. Напряжение
в точке (x,y) :
s
= N / A + Mx•y
/ Ix
+ My•x
/ Iy
.
Максимальные
напряжения
на угловых
точках :
s
= N / A ±
Mx
/ Wx
±
My
/ Wy
.
Wx
, Wy
- моменты сопротивлений
.
A - площадь
сечения.
По рисунку
- наибольшие
напряжения
- в точке E :
sE
= N / A + Mx
/ Wx
+ My
/ Wy
.
Алгебраически
наименьшие
напряж. - в точке
D :
sD
= N / A –
Mx
/ Wx
–
My
/ Wy
.
Условие
прочности :
N / A + Mx
/ Wx
+ My
/ Wy
Ј
[s].
В плоскости
нулевой
линии напряжение
равно 0.
Уравнение
нулевой линии
(x,y - координаты)
:
N / A + N•yF•y
/ Ix
+ N•xF•x
/ Iy
= 0; или :
xF•x
/ i2y
+ yF•y
/ i2x
+ 1 = 0; или :
x / a + y / b = 1, a = –
i2y
/ xF
, b = –
i2x
/ yF
.
a, b - отрезки
на осях координат
x, y.
Радиус
инерции сечения
: ix
= Ц(Ix
/ A), iy
= Ц(Iy
/ A),
размерность
- длина (обычно
сантиметр).
В центре
тяжести сечения
s
= N / A = F / A.
Для
прямоугольного
сечения :
Ix
= b•h3
/ 12, Iy
= b3•h
/ 12, Wx
= 2•Ix/h,
Wy
= 2•Iy
/ b
Wx
= b•h2
/ 6, Wy
= b2•h
/ 6; сторона bззоси
x, h зз
y.
Напряжение
в точке (x,y) :
s
= N / A + Mx•y
/ (b•h3
/ 12) + My•x
/ (b3•h
/ 12) =
= N / A + N•yF
•y
/ (b•h3
/ 12) + N•xF
•x
/ (b3•h
/ 12).
Максимальные
напряжения
на угловых
точках :
s
= N / A ±
Mx
/ (b•h2
/ 6) ±
My
/ (b2•h
/ 6) =
= N / A ±
N•yF
/ (b•h2
/ 6) ±
N•xF
/ (b2•h
/ 6).
|
БИЛЕТ
22 Изгиб
с кручением
бруса кругл.
сеч.
От изгиба
в точках C и D:
smax
= M / WX;
от кручения
по контуру
сечения:
t
max = T/WP
= T / (2•WX).
Напряженное
состояние в
точке C :
Главные
напряжения:
s1=smax
= (s
+ Ц(s2
+ 4•t2))
/2.
s3=smin
= (s
–
Ц(s2
+ 4•t2))
/2.
По
3-й гипотезе
прочности :
s1
–
s3
Ј
[s];
Ц(s2
+ 4•t2)
Ј
[s];
Ц(M2
+ T2)
/ WX
Ј
[s];
отсюда :
проектный
расчет: WX
= Ц(M2
+ T2)
/ [s];
если изгиб
в 2-х ^-ных
плоскостях,
то: M = Ц(M2X
+ M2Y).
БИЛЕТ
23 Ф-ла
Эйлера для
сжатого стержня
большой
гибкости.
Основной
случай продольного
изгиба
(закрепление
на 2-х опорах,
неподв. и подв.)
:
Критическая
сила
- FКР
:
наименьшаяая
сила, при которой
стержень теряет
способность
сохранять
прямолин.
форму.Предел
пропорциональности
sпц
:
напряжение
“до” которого
деформация
происходит
по закону Гука.
Пусть
потеря устойчивости
происходит
при напряжениях,
меньших предела
пропорцион-ности
sпц
материала
стержня. Тогда
- упругая линия
:
1/r
»
d2u
/ dz2
= M / (EJ); 1/r
- кривизна. M =
FКР•u.
Уравнеие
изогнутой
оси: d2u
/ dz2
= –
FКР•u
/ (EJ).
заменим:
k2
= F / (EJmin)
[при потере
устойчивости
попереч. сечения
поворач-ся
вокруг главной
оси с минимальным
моментом инерции
Jmin
], тогда :
uІ
+ k2•u
= 0; реш.ур.: u
= C•cos
(k•z)
+ D•sin(k•z).
Определение
C и D из условий
опор балки :
1) при z = 0,u
= 0;2) при z = l, u
= 0. Ю
С = 0, D•sin(k•z)=0.
D = 0 не подходит
т.к. нет прогиба
балки Ю
sin(k•z)=0;
Ю
k = np
/ l, Ю
FКР
= p2•Jmin•E•n2
/ l2
.
наи<ее
значение FКР
- при n = 1. FКР
= p2•E•Jmin
/ l2
.
u
= D•sin
(p
•
z / l) - изгиб с одной
полуволной.
Для любого
способа закрепления
концов балки
в ф-ле l заменим
lприв
= m
•
l. lприв
- приведенная
длина
m
- коэффициент
приведения
длины.
БИЛЕТ
24 Ф-ла
Эйлера для
критич. напряж.
Нормальное
напряжение
в поперечном
сечении сжатого
стержня, соответствующее
критическому
значению сжимающей
силы, наз-ют
критическим.
sкр
= Fкр
/ A, A - площадь
сечения.
Формула
Эйлера: FКР
= p2•E•Jmin
/ l2
.
sкр
= p2
•
E •
Jmin
/ [(m
•
l)2
•
A]; Jmin
/ A = i2min
.
Радиус
инерции сечения
: ix
= Ц(Ix
/ A), iy
= Ц(Iy
/ A),
размерность
- длина (обычно
сантиметр).
sкр
= p2
•
E •
i2min
/ [(m
•
l)2]
= p2
•
E / (m
•
l / imin)2
.
m
•
l / imin
= l
- гибкость
стержня :
безразмерная
величина,показ-ая
сопротивл-ть
потере устойч-ти,
зависит
от геометрич.
характеристик
стержня.
sкр
= p2
•
E / l2
. Пределы
применимости
формулы:
Ф-ла Эйлера
справедлива
лишь в пределах
применимости
з-на Гука, т.е.
при усл., что
критическое
напряж. не превыш.
предела
пропорциональности
материала
стержня.
sкр
Ј
sпц
, p2
•
E / l2
Ј
sпц
, l
і
p
•
Ц(E
/ sпц)
= lпред
.
lпред
- предельная
гибкость
(граничная
гибк.):
не зависит
от размеров,зависит
от свой-в материала.
Ф-ла Эйлера
применима,
когда гибкость
стержня і
предельн. гибк-ти
для материала
стержня:l
і
lпред
.
В случае
неприменим-ти
ф. Эйлера напряжения
опред. по эмпирическим
ф-лам sкр
= a –
b•l
, a и b - коэфф-ты,
определяемые
опытным путем.
Стержни
гибкости : 1.
большой (l
і
lпред)
- по ф. Эйлера
2. средней (l0
Ј
l
<
lпред)
- по эмпирич.
ф-ле. 3. малой (l
<
l0)-расчет
не на устойчив.,
а на проч.
БИЛЕТ
25 Напряжение
при движении
с ускорен.
Груз
весом G поднимают
вверх с ускорением
a.
Определить
напряяжение
в канате.
sd
- динамическое
напряжение,
A - площадь сечен.
sst
= G / A - напряжен.
при статич.
действии груза.
Kd
- динамический
коэффициент
sd•A
–
G•(1+
a / g ) = 0, sd
= G / A•(1+
a/g) = sst•Kd.
Kd
= (1+ a/g).
|
|