Глава
I
Математическое
моделирование
системных
элементов
Выдающийся
итальянский
физик и астроном,
один из основателей
точного естес-
твознания,
Галилео Галилей
(1564 - 1642гг.) говорил,
что "Книга
природы написана
на языке математики".
Почти через
двести лет
родоначальник
немецкой
классической
фи-
лософии
Иммануил Кант
(1742 - 1804гг.) утверждал,
что "Во всякой
науке столько
ис-
тины,
сколько в ней
математики".
Наконец, ещё
через почти
сто пятьдесят
лет, практи-
чески
уже в наше время,
немецкий математик
и логик Давид
Гильберт (1862 -
1943гг.) констатировал:
"Математика
- основа всего
точного
естествознания".
Приведенные
высказывания
великих ученых,
без дополнительных
комментариев,
дают полное
представление
о роли и значении
математики
как в научно-теоретической,
так и предметно-практической
деятельности
специалистов.
1.1.
Три этапа
математизации
знаний
Современная
методология
науки выделяет
три этапа
математизации
знаний: ма-
тематическая
обработка
эмпирических
(экспериментальных)
данных, моделирование
и относительно
полные математические
теории.
Первый
этап - это
математическая,
чаще всего
именно количественная
обработка
эмпирических
(экспериментальных)
данных. Это
этап выявления
и выделения
чисто фе-
номенологических
функциональных
взаимосвязей
(корреляций)
между входными
сигна-
лами
(входами µ
§)
и выходными
реакциями
(откликами
µ
§)
на уровне
целостного
объекта (явления,
процесса), которые
наблюдают в
экспериментах
с объектами-оригиналами
µ
§.
Данный этап
математизации
имеет место
во всякой науке
и может быть
определён как
этап первичной
обработки её
эмпирического
материала.
Второй
этап математизации
знаний определим
как модельный.
На этом этапе
не-которые
объекты выделяются
(рассматриваются)
в качестве
основных, базовых
(фун-даментальных),
а свойства
(атрибуты),
характеристики
и параметры
других объектов
исследования
объясняются
и выводятся
исходя из
значений,
определяемых
первыми (назовем
их оригиналами).
Второй этап
математизации
характеризуется
ломкой старых
теоретических
концепций,
многочисленными
попытками
ввести новые,
более глубокие
и фундаментальные.
Таким образом,
на "модельном"
этапе математизации,
т.е. этапе
математического
моделирования,
осуществляется
попытка теоретического
воспроизве-дения,
"теоретической
реконструкции"
некоторого
интересующего
исследователя
объек-та-оригинала
в форме другого
объекта -
математической
модели.
Третий
этап - это
этап относительно
полной математической
теории данного
уровня организации
материи в данной
или рассматриваемой
предметной
области. Тре-
тий
этап предполагает
существование
логически
полной системы
понятий и
аксиомати-
ки.
Математическая
теория даёт
методологию
и язык, пригодные
для описания
явлений, процессов
и систем различного
назначения
и природы. Она
даёт возможность
преодоле-
вать
узость мышления,
порождаемую
специализацией.
1.2.
Математическое
моделирование
и модель
Математическое
моделирование
- это теоретико-экспериментальный
метод позна-
вательно-созидательной
деятельности,
это метод
исследования
и объяснения
явлений, процессов
и систем
(объектов-оригиналов)
на основе
создания новых
объектов - матема-
тических
моделей.
Под
математической
моделью принято
понимать
совокупность
соотношений
(уравнений,
неравенств,
логических
условий, операторов
и т.п.), определяющих
характе-
ристики
состояний
объекта моделирования,
а через них
и выходные
значения -
реакции
µ
§,
в зависимости
от параметров
объекта-оригинала
µ
§,
входных воздей-
ствий
µ
§,
начальных и
граничных
условий, а также
времени.
Математическая
модель, как
правило, учитывает
лишь те свойства
(атрибуты)
объекта-оригинала
µ
§,
которые отражают,
определяют и
представляют
интерес с точки
зрения целей
и задач конкретного
исследования.
Следовательно,
в зависимости
от целей моделирования,
при рассмотрении
одного и того
же объекта-оригинала
µ
§
с различных
точек зрения
и в различных
аспектах,
последний
может иметь
различные
математичес-
кие
описания и,
как следствие,
быть представлен
различными
математическими
моделя-
ми.
Принимая
во внимание
изложенное
выше, дадим
наиболее общее,
но в то же время
строгое конструктивное
определение
математической
модели, сформулированное
П.Дж.Коэном.
Определение
2. Математическая
модель - это
формальная
система, представляю-
щая собой
конечное собрание
символов и
совершенно
строгих правил
оперирования
этими символами
в совокупности
с интерпретацией
свойств определенного
объекта некоторыми
отношениями,
символами
или константами.
Как
следует из
приведенного
определения,
конечное собрание
символов (алфавит)
и совершенно
строгих правил
оперирования
этими символами
("грамматика"
и "синтак-
сис"
математических
выражений)
приводят к
формированию
абстрактных
математичес-
ких
объектов (АМО).
Только интерпретация
делает этот
абстрактный
объект математи-
ческой
моделью.
Таким
образом, исходя
из принципиально
важного значения
интерпретации
в тех-нологии
математического
моделирования,
рассмотрим
ее более подробно.
1.3.
Интерпретации
в математическом
моделировании
Интерпретация
(от латинского
"interpretatio" - разъяснение,
толкование,
истолко-
вание)
определяется
как совокупность
значений
(смыслов), придаваемых
каким-либо
об-
разом
элементам
некоторой
системы (теории),
например, формулам
и отдельным
симво-
лам.
В математическом
аспекте интерпретация
- это экстраполяция
исходных положе-
ний
какой-либо
формальной
системы на
какую-либо
содержательную
систему, исход-
ные
положения
которой определяются
независимо
от формальной
системы. Следова-
тельно,
можно утверждать,
что интерпретация
- это установление
соответствия
между некоторой
формальной
и содержательной
системами.
В тех случаях,
когда формальная
система оказывается
применимой
(интерпретируемой)
к содержательной
системе, т.е.
ус-
тановлено
что между
элементами
формальной
системы и
элементами
содержательной
системы существует
взаимно однозначное
соответствие,
все исходные
положения фор-
мальной
системы получают
подтверждение
в содержательной
системе. Интерпретация
считается
полной, если
каждому элементу
формальной
системы соответствует
некото-
рый
элемент (интерпретант)
содержательной
системы. Если
указанное
условие наруша-
ется,
имеет место
частичная
интерпретация.
При
математическом
моделировании
в результате
интерпретации
задаются значе-
ния
элементов
математических
выражений
(символов,
операций, формул)
и целостных
конструкций.
Основываясь
на приведенных
общих положениях,
определим
содержание
интер-
претации
применительно
к задаче математического
моделирования.
Определение
3. Интерпретация
в математическом
моделировании
- это информа-
ционный процесс
преобразования
абстрактного
математического
объекта (АМО)
в кон-
кретную математическую
модель (ММ)
конкретного
объекта на
основе отображения
непустого
информационного
множества
данных и знаний,
определяемого
АМО и называе-
мого областью
интерпретации,
в кообласть
- информационное
множество
данных и зна-
ний, определяемое
предметной
областью и
объектом
моделирования
и называемое
об-
ластью значений
интерпретации.
Таким образом,
интерпретацию
следует рассматривать
как один из
основопола-
гающих
механизмов
(инструментов)
технологии
математического
(научного)
модели-
рования.
Именно
интерпретация,
придавая смысл
и значения
элементам
(компонентам)
ма-
тематического
выражения,
делает последнее
математической
моделью реального
объек-
та.
1.4.
Виды
и уровни интерпретаций
Создание
математической
модели системного
элемента -
многоэтапный
процесс. Основным
фактором,
определяющим
этапы перехода
от АМО к ММ,
является интер-
претация.
Количество
этапов и их
содержание
зависит от
начального
(исходного)
ин-
формационного
содержания
интерпретируемого
математического
объекта - математи-
ческого
описания и
требуемого
конечного
информационного
содержания
математичес-
кого
объекта - модели.
Полный спектр
этапов интерпретации,
отражающий
переход от АМО
- описания к
конкретной
ММ, включает
четыре вида
интерпретаций:
синтаксичес-
кую
(структурную),
семантическую(смысловую),
качественную(численную)
и количес-
твенную.
В общем случае,
каждый из
перечисленных
видов интерпретации
может иметь
многоуровневую
реализацию.
Рассмотрим
более подробно
перечисленные
виды интер-
претаций.
Cинтаксическая
интерпретация
Синтаксическую
интерпретацию
будем рассматривать
как отображение
морфоло-
гической
(структурной)
организации
исходного
АМО в морфологическую
организацию
структуру
заданного
(или требуемого)
АМО. Синтаксическая
интерпретация
может осуществляться
как в рамках
одного математического
языка, так и
различных
матема-
тических
языков.
При
синтаксической
интерпретации
АМО возможны
несколько
вариантов
задач реализации.
Задача
1. Пусть исходный
АМО не структурирован,
например, задан
кортежем элементов.
Требуется
посредством
синтаксической
интерпретации
сформировать
мор-
фологическую
структуру
математического
выражения
µ
§
(1)
Задача
2. Пусть АМО
имеет некоторую
исходную
морфологическую
структуру,
которая
по тем или иным
причинам не
удовлетворяет
требованиям
исследователя
(эксперта).
Требуется
посредством
синтаксической
интерпретации
преобразовать
в со-
ответствии
с целями и задачами
моделирования
исходную
структуру Stµ
§в
адекватную
требуемую
Stµ
§,т.е.
µ
§
(2)
Задача
3. Пусть АМО
имеет некоторую
исходную
морфологическую
структуру
Stµ
§,
удовлетворяющую
общим принципам
и требованиям
исследователя
с точки зрения
её синтаксической
организации.
Требуется
посредством
синтаксической
интерпретации
конкретизировать
АМО со структурой
Stµ
§до
уровня требований,
определяемых
целями и задачами
моделирования
µ
§
(3)
Таким
образом, синтаксическая
интерпретация
математических
объектов даёт
воз-
можность
формировать
морфологические
структуры АМО,
осуществлять
отображение
(транслировать)
морфологические
структуры АМО
с одного математического
языка на другой,
конкретизировать
или абстрагировать
морфологические
структурные
представ-
ления
АМО в рамках
одного математического
языка.
Семантическая
интерпретация
Семантическая
интерпретация
предполагает
задание смысла
математических
вы-
ражений,
формул, конструкций,
а также отдельных
символов и
знаков в терминах
сфе-
ры,
предметной
области и
объекта моделирования.
Семантическая
интерпретация
даёт возможность
сформировать
по смысловым
признакам
однородные
группы, виды,
клас-
сы и
типы объектов
моделирования.
В зависимости
от уровней
обобщения и
абстраги-
рования
или, наоборот,
дифференциации
или конкретизации,
семантическая
интерпре-
тация
представляется
как многоуровневый,
многоэтапный
процесс.
Таким
образом, семантическая
интерпретация,
задавая смысл
абстрактному
ма-
тематическому
объекту, "переводит"
последний в
категорию
математической
модели с
объекта-оригинала,
в терминах
которого и
осуществляется
такая интерпретация.
Качественная
интерпретация
Интерпретация
на качественном
уровне предполагает
существование
качествен-
ных
параметров
и характеристик
объекта-оригинала,
в терминах
(значениях)
которых и
производится
интерпретация.
При качественной
интерпретации
могут использоваться
графические
и числовые
представления,
посредством
которых, например,
интерпретиру-
ется
режим функционирования
объекта моделирования.
Количественная
интерпретация
Количественная
интерпретация
осуществляется
за счет включения
в рассмотрение
количественных
целочисленных
и рациональных
величин, определяющих
значение па-
раметров,
характеристик,
показателей.
В
результате
количественной
интерпретации
появляется
возможность
из класса,
группы или
совокупности
аналогичных
математических
объектов выделить
один един-
ственный,
являющийся
конкретной
математической
моделью конкретного
объекта-ори-
гинала.
Таким
образом, в
результате
четырех видов
интерпретаций
- синтаксической,
се-
мантической,
качественной
и количественной
происходит
поэтапная
трансформация
АМО,
например,
концептуальной
метамодели
(КММ) функциональной
системы µ
§
, в конкретную
математическую
модель (ММ)
конкретного
объекта моделирования.
Глава
II
Концептуальное
метамоделирование
функционирования
системного
элемента
2.1.
Системный
элемент как
объект моделирования
Понятие "элемент"
является одним
из фундаментальных
в общей теории
систем (ОТС)
- системологии.
Оно происходит
от латинского
"Elementarius" и имеет
смысл: начальный,
простой, простейший,
конечный,
неделимый,
лежащий в основе
чего-либо.Впервые
понятие "элемент"
встречается,
по-видимому,
у Аристотеля
в его работе
"Метафизика".
Согласно
ОТС, любая система
(обозначим
ее S),
независимо
от ее природы
и наз-
начения,
а также от
сознания
субъекта
(эксперта),
существует
только в структуриро-ванной
форме. Структурированность
выступает в
качестве
всеобщего
свойства мате-
рии
- ее атрибута.
Именно свойство
структурированности,
а следовательно,
и члени-
мости
целостной
системы S
на части µ
§
приводит к
образованию
компо-
нент-подсистем
µ
§
и элементов
µ
§
В целенаправленных
действующих
системах S
любой компонент
µ
§
целого характеризуется
как поведением,
так и строением.
В тех случаях,
когда при
моделиро-вании
рассматривается
(исследуется)
и поведение
(j)
и строение
(m),
компонент µ
§
определяется
как подсистема
системы S.
Если же рассмотрению
подвергается
только поведение
компонента
µ
§,
то его определяют
как элемент
µ
§
где Е - комплект
элементов,
выступающий
носителем
системы S.
Таким образом,
сущность
компонента
"подсистема"
дуальна. Для
вышерасположенных
компонент µ
§
подсистема
выступает
как элемент,
а для нижерасположенных
- как система.
В системологии
понятие "элемент"
трактуется
двояко - как
абсолютная
и как от-
носительная
категории.
Абсолютное
понятие элемента
определяется
физико-химичес-
ким
подходом,
относительное
- системологическим.
Понятие
абсолютного
элемента µ
§
связано с
определением
начального
мини-мального
компонента
системы S,
т.е. такой ее
части, которая
сохраняет
основные
свойства
исходной
целостной
системы S.
При таком подходе,
назовем его
молекуляр-
ным,
понятие "элемент"
включает в
себя и фиксирует
существенные
свойства целост-
ной
системы S.
Понятие
относительного
элемента µ
§
(µ
§)
связано с уровнем
познания
исходной
целостной
системы S.
При этом элемент
µ
§
рассматривается
как системная
категория,
зависящая
от "взгляда"
и "отношения"
к нему субъекта
(исследователя,
эксперта). Такой
подход к определению
элемента µ
§
назовем
системологическим.
При системологическом
подходе компонент
µ
§
является элементом
µ
§
(µ
§)
толь-
ко
в рамках данного
рассмотрения
на выделенном
уровне анализа.
Для системологи-
ческого
подхода понятие
элемента, как
относительной
категории,
может быть
сформу-
лировано
следующим
образом.
Определение
1. Элемент
- это относительно
самостоятельная
часть системы,
рассматриваемая
на данном уровне
анализа как
единое целое
с интегральным
поведени-
ем, направленным
на реализацию
присущей этому
целому функции.
С учетом
изложенного
выше, рассмотрим
элемент с точки
зрения целостности.
2.2.
Целенаправленность
системного
элемента
Фундаментальным
свойством
системного
элемента µ
§
является его
целенаправленность
и, как следствие,
способность
функционировать.
Под функциони-
рованием
принято принято
понимать
реализацию
присущей элементу
µ
§
функции, т.е.
возможность
получать некоторые
результаты
деятельности
системного
элемента µ
§,
определяемые
его целевым
назначением.
Целенаправленно
действующий
системный
элемент µ
§
должен обладать,
по край-
ней
мере, тремя
основными
атрибутами:
- элемент
µ
§
выполняет одну
или несколько
функций,
- элемент
µ
§
обладает
определенной
логикой поведения,
- элемент
µ
§
используется
в одном или
нескольких
контекстах.
Функция
указывает
на то, "что
делает элемент
µ
§".
Логика
описывает
внутренний
алгоритм поведения
элемента µ
§,
т.е. определяет
"как элемент
µ
§
реализует
свою функцию".
Контекст
определяет
конкретные
условия применения
( приложения
) элемента µ
§
в тех или иных
условиях, в
той или иной
среде.
Таким
образом, принимая
во внимание
изложенное,
можно определить
содержа-
тельно
что такое модель
функционирования
системного
элемента µ
§.
Определение
4. Модель
функционирования
элемента ( МФЭ
) -
это отражение
на неко-тором
языке совокупности
действий,
необходимых
для достижения
целей ( целевой
функции ), т.е.
результата
µ
§
функционирования
элемента µ
§.
МФЭ не учитывает
строение, а
также способы
и средства
реализации
элемента. Такая
модель устанавли-вает
факт "Что делает
элемент µ
§
для достижения
результата
µ
§",
определяемого
его целевым
назначением.
2.3.
Целостность
системного
элемента
Целостность
одно из основных
свойств (атрибутов)
системного
элемента. Она
от-
ражает
завершенную
полноту его
дискретного
строения. Правильно
сформированный
системный
элемент µ
§
(µ
§)
характеризуется
явно выраженной
обособленностью
(границами)
и определенной
степенью
независимости
от окружающей
его среды.
Относительная
независимость
системного
элемента
определяется
(характеризуется)
совокупностью
факторов, которые
назовем факторами
целостности.
Факторы
целостности
Полная
совокупность
факторов целостности
элемента µ
§
определяется
двумя группами,
которые назовем
внешние факторы
целостности
и внут-ренние.
Внешние
факторы
1. Низкий уровень
связности
(число взаимосвязей)
элемента µ
§
с ок-ружающей
его средой µ
§
, т.е. минимальная
внешняя связность
элемента µ
§.
Обозначив
полную совокупность
внешних связей
элемента µ
§
через µ
§,
рассматриваемый
фактор запишем
как условие
минимизации:
µ
§®
Min.
2. Низкий уровень
взаимодействия
µ
§
элемента µ
§
с окружающей
его средой
µ
§,т.е.
слабое взаимодействие,
определяемое
минимальной
совокупной
интенсивностью
обмена сигналами
µ
§
®
Min.
Внутренние
факторы 1.
Высокая степень
связности
друг с другом
частей, из
которых состоит
элемент µ
§,
т.е. суммарная
внутренняя
связность µ
§
максимальна
µ
§®Max.
2. Высокая
интенсивность
µ
§
взаимодействия
частей, из
которых состоит
элемент µ
§.
Иными словами,
имеет место
сильное внутреннее
взаимодействие
µ
§®Max.
Оценка
целостности
элемента
Перечисленные
выше факторы
могут быть
использова-
ны
для оценки
целостности
системного
элемента µ
§.
Такая оценка,
в определенной
мере, характеризует
степень "прочности"
элемента по
отношению
к окружающей
его
среде
µ
§.
Введем понятие
"прочность"
как показатель
внутренней
целостности
элемента и
определим
его через суммарную
композицию
показателей
взаимосвязей
µ
§
и взаимо-
действий
µ
§
всех частей,
из которых
состоит элемент
µ
§.
Прочность
элемента при
этом
определяется
выражением
µ
§
(1)
Для обобщенной
оценки внешних
взаимосвязей
µ
§
и взаимодействий
µ
§
элемента
µ
§
с окружающей
его средой µ
§
введем показатель
"сцепленности"
и определим
его как композицию
показателей
µ
§
и µ
§,
т.е.
µ
§
(2)
Полученные
показатели
прочности (1)
и сцепленности
(2) используем
для оценки
целостности
µ
§
элемента µ
§.
Такая оценка
определяется
отношением
вида
µ
§
(3)
т.е.
как отношение
прочности µ
§
элемента µ
§
к его сцепленности
µ
§
со средой µ
§.
С учетом (1) и
(2) выражение
(3) принимает
вид
µ
§
(4)
Уровни
целостности
элемента
Анализ
выражений (3)
и (4) дает возможность
ранжи-ровать
элементы µ
§по
уровням целостности
и качественно
определить их
устойчи-вость
по отношению
к окружающей
среде.
Случай
1. Если значение
показателя
прочности µ
§
элемента µ
§
превосходит
зна-
чение
показателя
сцепленности
µ
§
элемента µ
§
с его средой
µ
§,
т.е. µ
§
> µ
§,
а как
следствие
и µ
§
> 1, то элемент
µ
§
по своим целостным
свойствам
устойчив. В
рассмат-
риваемом
случае имеет
место супераддитивная
целостность.
Случай
2. Пусть
значения
показателей
прочности µ
§
и сцепленности
µ
§
равны,
т.е.
µ
§
= µ
§.
В этом случае
показатель
целостности
µ
§
= 1. Тогда элемент
µ
§
по сво-
им
целостным
свойствам
находится
на грани устойчивости.
Такой уровень
целостности
элемента µ
§
определим как
аддитивная
целостность.
Случай
3. Наконец,
пусть значения
показателя
прочности µ
§
элемента µ
§
ниже значений
показателя
сцепленности
µ
§
элемента µ
§
с его средой
µ
§.
В рассматривае-
мом
случае условия
записываются
в виде µ
§
< µ
§
и µ
§
< 1. При этом элемент
µ
§
по сво-
им
целостным
свойствам
не устойчив
к интегральному
вовлечению
(растворению)
в окружающей
среде µ
§.
Рассматриваемый
уровень целостности
элемента µ
§
определим
как
субаддитивная
целостность.
Таким образом,
введенный
показатель
µ
§
может использоваться
как критерий
оценки
качества
целостных
свойств элемента
µ
§,
а также для
сравнения
раэличных
элементов µ
§
(n
= 1, 2, ... , N) по критерию
целостности.
2.4.
Метод концептуального
метамоделирования
Концептуальное
метамоделирование
( КММ ) основано
на использовании
индук-
тивно-дедуктивного
подхода. Создание
КММ осуществляется
на основе
индуктивного
подхода ( от
конкретного
к абстрактному,
от частного
к общему ) посредством
обобще-
ния,
концептуализации
и формализации.
Использование
КММ предполагает
переходы от
общего к частному,
от абстракт-
ного
к конкретному
на основе
интерпретаций.
КММ
функционирования
системного
элемента µ
§
предполагает
описание динами-
ки
поведения на
заданном уровне
абстракции
с точки зрения
его взаимодействия
с окру-
жающей
средой, т.е. внешнего
поведения.
Математическое
описание такого
элемента должно
отражать
последовательность
причинно-следственных
связей типа
"вход - вы-
ход"
с заданной
временной
направленностью
из прошлого
в будущее. КММ
функциони-
рования
системного
элемента µ
§
должна учитывать
базовые концепции
и существенные
факторы, к числу
которых, в первую
очередь, следует
отнести следующие.
1. Элемент
µ
§,
как компонент
системы µ
§,
связан и
взаимодействует
с другими
компонентами
этой системы.
2. Компоненты
µ
§
системы µ
|