Учебное пособие: Методические указания для студентов дневного и вечернего отделений механико-математического факультета

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Ростовский государственный университет"

Методические указания

для студентов дневного и вечернего отделений

механико-математического факультета

ЗАДАЧИ К КУРСУ

“МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Ростов - на – Дону

2006

Печатается в соответствии с решением кафедры прикладной математики и программирования механико-математического факультета РГУ, протокол № 6 от "16" февраля 2006 г.

Аннотация

Методические указания предназначены для студентов старших курсов, специализирующихся на математическом моделировании поведения сложных динамических систем. В настоящих методических указаниях приведены примеры использования различных качественных методов исследования устойчивости динамических систем и их асимптотического анализа. В конец каждого параграфа вынесены индивидуальные задания для студентов.

Автор: А.Б. Усов

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Основные понятия математического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Методы исследования устойчивости динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений

равновесия по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Первый метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.3 Второй метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Метод пограничного слоя и его применение для исследования

модели, описываемой уравнением второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1 Первый итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2 Второй итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Введение

Предлагаемые методические указания являются дополнением опубликованных ранее по курсу “Моделирование динамических систем” методических указаний [1-3]. В [1] подробно изложены теоретические вопросы, связанные с составлением и исследованием дифференциальных моделей конкретных физических и социальных процессов, приведены основные теоремы Ляпунова, используемые при исследовании устойчивости равновесий динамических систем, в [2] – приведены асимптотические методы исследования динамических систем в случаях регулярного и сингулярного вырождений, подробно изложены теоретические основы метода пограничного слоя, в [3] – уделено больше внимания отдельным теоретическим вопросам, вскользь затронутым в [1,2]. Предлагаемые методические указания посвящены практическим вопросам исследования устойчивости динамических систем и вопросам асимптотического анализа таких систем при наличии малого параметра при старшей производной, в ней приведено большое количество примеров, иллюстрирующих применение изложенных в [1-3] теорем. В начале каждого параграфа приведены необходимые для проведения исследования теоретические положения, в конец вынесены индивидуальные задания, решение которых поможет лучше овладеть рассматриваемыми вопросами.

1 Основные понятия математического моделирования

Исследование любого объекта математическими методами может быть начато лишь с того момента, когда получено описание его существенных свойств на языке математических соотношений, то есть, описана его математическая модель.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя в себе некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Схема вычислительного эксперимента состоит в следующем.

Исследование объекта начинается с установления основных законов управления объектом и построения соответствующей математической модели, которая обычно представляет запись этих законов в форме системы уравнений. При выборе математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. На этом этапе требуется привлечение ЭВМ и как следствие развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. После написания и отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

К сожалению, построить решение дифференциальной модели в явном виде удается очень редко, поэтому особое значение приобретают качественные приемы исследования дифференциальных моделей, приемы, которые позволяют, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Вопросам практического применения таких методов и посвящены следующие параграфы работы.

2 Методы исследования устойчивости динамических систем

За последние годы значительно возрос интерес к теории устойчивости движения. Созданная в 90-х годах прошлого века великим русским ученым А.М. Ляпуновым эта теория нашла широкое применение в различных областях науки и техники. Начало современной теории устойчивости положил трактат А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения." (1892г.). Дальнейшее развитие идеи Ляпунова получили в работах русских ученых Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, М.Г. Крейн, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, Н.Н. Боголюбова, Б.П. Демидовича и многих других, в том числе ростовских ученых И.И. Воровича и В.И. Юдовича. При написании этой главы использовались работы Н.Г. Четаева [6], И.Г. Малкина [5], Б.П. Демидовича [4] и В.И. Юдовича [7]. Ниже приведены примеры использования различных метод Ляпунова.

В этой главе изучаются векторные дифференциальные уравнения вида

рассматриваемые в конечномерном пространстве Rⁿ или в банаховом пространстве X. Будем предполагать, что f(x,t) є C^0,1 _t,y , то есть вектор функция f(x,t) в рассматриваемой области непрерывна по t и непрерывно дифференцируема по x и, следовательно, выполнены условия теоремы Коши существования и единственности решений задачи Коши: для каждой пары значений (t₀ ,x₀ ) существует единственное решение уравнения (1) y=y(t), определенное в некотором интервале t є (t₀ -a, t₀ +b); a,b>0 и удовлетворяющее начальному условию y(t₀ )= y₀ . Если b=∞, то говорят, что решение неограниченно (бесконечно) продолжаемо вправо.

2.1 Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений равновесия по Ляпунову

Определение. Решение x₀ (t) t>0 дифференциального уравнения (1) назовем устойчивым по Ляпунову, если выполнено два условия:

1) Все решения дифференциального уравнения (1), которые мало отличаются от x₀ в начальный момент времени, определены для всех t>0, т.е. существует число δ₀ >0 такое, что если выполнено неравенство

|| x₀ (0) - x(0) || < δ₀

то решение x(t) уравнения (1) определено для всех t>0;

2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства

|| x₀ (0) - x(0) || < δ₀

следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство

|| x₀ (t) - x(t) || < ε

Определение. Решение назовем неустойчивым по Ляпунову, если нарушено хотя бы одно из требований предыдущего определения.

Разность x₀ (0) - x(0) назовем начальным возмущением, x₀ (t) - невозмущенным (основным) решением, x(t) – возмущенным решением, x₀ (t) - x(t) = y(t) - возмущением в момент времени t.

Вместо того, чтобы исследовать на устойчивость некоторое решение x₀ (t) дифференциального уравнения (1), удобно перейти к исследованию на устойчивость нулевого равновесия уравнения возмущений которое имеет вид

Очевидно, что если x₀ (t) есть решение уравнения (1), то y₀ =0 есть решение уравнения (2). Сформулируем определение устойчивости тривиального решения уравнения (2).

Определение. Тривиальное решение уравнения (2) назовем устойчивым по

Ляпунову, если:

1) существует число δ₀ >0 такое, что если выполнено неравенство

|| y₀ (0) || < δ₀

то решение y(t) уравнения (2) определено для всех t>0;

2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства

|| y₀ (0)|| < δ₀

следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство

|| y₀ (t)|| < ε

Определение. Основное решение уравнения (1) или, что то же самое тривиальное решение уравнения возмущений (2), назовем асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и возмущения затухают с течением времени, то есть ||x(t)|| → 0 при t → ∞.

Рассмотрим несколько примеров исследования устойчивости, исходя из определений.

Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение уравнения (3) имеет вид

Следовательно, если k<0, то нулевое решение уравнения (3) асимптотически устойчиво (δ=ε). Если k>0 (k=0), то нулевое решение неустойчиво (устойчиво, причем δ=ε, но асимптотически устойчивым не является).

Пример 2. Исследовать на устойчивость тривиальное решение дифференциального уравнения вида

Характеристическое уравнение уравнения (4) имеет вид

Если k>0, то λ₁ = ; λ₂ =- и общее решение уравнения (4) имеет вид

Постоянные C₁ и C₂ определяются начальными условиями уравнения (4), в общем случае они отличны от нуля. Первое слагаемое в (5) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нарушено второе условие в определении устойчивости по Ляпунову и нулевое равновесие уравнения (4) в этом случае неустойчиво по Ляпунову (более того, экспоненциально неустойчиво).

Если k=0, то общее уравнение (4) записывается в виде

Первое слагаемое в (6) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нарушено второе условие в определении устойчивости по Ляпунову и нулевое равновесие уравнения (4) в этом случае неустойчиво по Ляпунову.

Если k<0, то λ₁ = ; λ₂ = - и общее решение уравнения (4) имеет вид

Отсюда,

Следовательно, нулевое решение в этом случае устойчиво по Ляпунову, но асимптотически устойчивым не является.

Пример 3. Исследовать на устойчивость тривиальное решение дифференциального уравнения вида

Характеристическое уравнение уравнения (8) имеет вид

Отсюда, λ₁ =0. Если k<0, то λ₂ = ; λ₂ =- и общее решение уравнения (4) имеет вид

Второе слагаемое в (9) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нулевое равновесие уравнения (8) в этом случае неустойчиво по Ляпунову (экспоненциально неустойчиво).

В случае k=0, рассуждая аналогично примеру 2, получим, что нулевое равновесие неустойчиво по Ляпунову, а в случае k<0 - устойчиво по Ляпунову, но асимптотически устойчивым не является.

Упражнения для самостоятельной работы

Исходя из определения, исследовать на устойчивость нулевые равновесия следующих дифференциальных уравнений

2.2 Первый метод Ляпунова

В своей первой методе Ляпунов поставил и разрешил вопрос, когда линеаризованные уравнения полностью разрешают задачу об устойчивости и неустойчивости. Рассмотрим этот метод на примере автономной системы вида

Пусть x=a - некоторое равновесие системы, то есть f(a)=0. Введем возмущения

x(t)=a+y(t)

и перейдем к уравнению возмущений

Исследуем на устойчивость нулевое равновесие уравнения возмущений. Для этого линеаризуем уравнение (11), раскладывая функцию f в ряд Тейлора в точке y=0

Переход от уравнения (11) к линейному уравнению (12) называется линеаризацией. Идея первого метода Ляпунова заключается в исследовании на устойчивость равновесий линеаризованного уравнения.

Первая теорема Ляпунова о законности линеаризации. Если нулевое равновесие линеаризованного уравнения (12) асимптотически устойчиво, то и нулевое равновесие нелинейного уравнения (11) - асимптотически устойчиво.

Вторая теорема Ляпунова о законности линеаризации. Если среди собственных чисел линеаризованного уравнения (12) есть хотя бы одно, вещественная часть которого больше нуля, то нулевое равновесие нелинейной системы (11) неустойчиво.

Две сформулированные теоремы не дают ответа на вопрос, что будет, если одно из собственных чисел линеаризованного уравнения лежит на мнимой оси (его вещественная часть равна нулю), а все остальные собственные числа лежат в левой полуплоскости. Такой случай называется критическим. В критическом случае ответ на вопрос об устойчивости нельзя получить без учета нелинейных слагаемых, и необходимо использовать другие методы для исследования устойчивости.

При использовании первого метода Ляпунова в конечномерном случае часто используется следующее утверждение.

Утверждение. Если все собственные числа линейного уравнения (12) лежат в левой полуплоскости (их вещественные части строго меньше нуля), то нулевое равновесие линейного уравнения асимптотически устойчиво. Если среди собственных чисел линейного уравнения (12) есть хотя бы одно, вещественная часть которого строго больше нуля, то нулевое равновесие уравнения (12) неустойчиво.

Пример 1. Исследовать первым методом Ляпунова устойчивость всех равновесий системы

Для нахождения равновесий решим конечную систему вида

Имеем четыре равновесия:

(x=0; y=5), (x=0; y=-5), (x=5; y=0), (x=-5; y=0)

Исследуем на устойчивость первое равновесие - (x=0; y=5). Для этого перейдем в (13) к возмущениям

u=x; v=5+y

Уравнение возмущений примет вид

Линеаризуем уравнение возмущений (14), получим

Для нахождения собственных чисел линеаризованной системы λ_i решим уравнение

|A - λ_i E | =0 (15)

где А - матрица линеаризованного уравнения возмущений, Е - единичная матрица. Уравнение (15) примет вид

Отсюда,

Следовательно, равновесие (x=0; y=5) - неустойчиво.

Исследуем на устойчивость второе равновесие - (x=0; y=-5). Для этого перейдем в (13) к возмущениям

u=x; v=-5+y

Уравнение возмущений примет вид

Линеаризуя уравнение возмущений, получим

Характеристическое уравнение примет вид

Отсюда, как и в предыдущем случае получим, что

Следовательно, равновесие (x=0; y=-5) - неустойчиво.

Для третьего равновесия (x=5; y=0), переходя к возмущениям

u=5+x; v=y

получим систему

Линеаризуя, имеем

Характеристическое уравнение примет вид

то есть

Равновесие (x=5; y=0) - неустойчиво.

В случае (x=-5; y=0), переходя к возмущениям

u=-5+x; v=y

получим систему

Линеаризуем

Характеристическое уравнение примет вид

Равновесие (x=-5; y=0) – асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Отметим, что в этом примере первый метод Ляпунова позволил полностью решить задачу об устойчивости или неустойчивости по Ляпунову равновесий системы дифференциальных уравнений. В общем случае, это не всегда так. В критическом случае ответ на вопрос об устойчивости дает второй метод Ляпунова.

Упражнения для самостоятельной работы

Исследовать на устойчивость первым методом Ляпунова все равновесия систем

- Исследовать на устойчивость первым методом Ляпунова все равновесия следующих систем в зависимости от вещественного параметра k

2.3 Второй метод Ляпунова

Исследуем на устойчивость нулевое равновесие уравнения возмущений (2). Развитый Ляпуновым прямой метод (вторая метода Ляпунова) изучения устойчивости состоит в отыскании функций переменных (t,x), полные производные которых по времени в силу уравнения (2) обладают некоторыми свойствами.

Рассмотрим функцию V(x,t), которая непрерывно дифференцируема по t и по x=(x₁ ,x₂ ,...,x_n ). Пусть x^* - некоторое решение дифференциального уравнения (2). Найдем полную производную функции V по времени t на решении x^* .

Производной функции V(x,t) в силу дифференциального уравнения (2) назовем величину

Определение. Функция V(x,t), определенная в полуцилиндре D_0,r ={ (x,t): t>0; |x|<r; r>0; }, называется функцией Ляпунова, если V(0,t)=0 и V'(x,t) - знакопостоянна (либо меньше нуля, либо больше нуля, либо тождественно равна нулю).

Определение. Пусть функция W(x) не зависит от времени t, W(0)=0, и знакопостоянна. Для определенности пусть функция W(x) - знакоположительна. Будем говорить, что функция W положительно определенна (отрицательно определенна) , если W(x)>0 (W(x)<0) и W(x)=0 тогда и только тогда, когда x=0.

Определение. Функция V(x,t), определенная в полуцилиндре D_0,r , называется определенно положительной, если V(0)=0, и существует не зависящая от t определенно положительная функция W(x) такая, что для всех точек (x,t) из D_0,r ; r>0 выполнено неравенство V(x,t) ≥ W(x).

Если в качестве функции Ляпунова берется квадратичная форма, то вопрос о ее положительной определенности решается с помощью критерия Сильвестра.

Критерий Сильвестра. Квадратичная форма положительно определенна, если все главные миноры матрицы, отвечающей квадратичной форме, строго больше нуля.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть для данного уравнения возмущений (2) существует определенно положительная функция Ляпунова, производная которой в силу заданного дифференциального уравнения знакоотрицательна. Тогда нулевое равновесие уравнения возмущений устойчиво по Ляпунову.

Функция Ляпунова, о которой идет речь в теореме называется функцией Ляпунова первого рода.

Определение. Рассмотрим функцию V(x,t), определенную в полуцилиндре D_0,r и такую, что V(0,t)=0. Говорят, что функция V(x,t) допускает бесконечно малый высший предел при x → 0, (V(x,t) → 0 при x → 0), если для любого числа ε>0 существует число δ >0 такое, что из неравенства ||x||<δ следует неравенство |V(x,t)|<ε для всех t>0.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть для данного уравнения возмущений (2) существует положительно определенная функция Ляпунова, допускающая бесконечно малый высший предел при x → 0, и ее производная в силу дифференциального уравнения отрицательно определенна, тогда нулевое равновесие асимптотически устойчиво.

Функция Ляпунова, о которой идет речь в теореме называется функцией

Ляпунова второго рода.

Для обнаружения неустойчивости невозмущенного движения, достаточно указать всего одну траекторию, выходящую за заданную область, при сколь угодно малых возмущениях.

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть для данного уравнения возмущений (2) (функция f(x,t) - непрерывна по переменной t и непрерывно дифференцируема по переменной x) существует функция Ляпунова V(x,t), допускающая бесконечно малый высший предел при x → 0, и обладающая знакоопределенной производной в силу дифференциального уравнения V'(x,t). Если в любой достаточно малой окрестности нуля пространства Rⁿ при некотором значении t₀ , большем нуля найдется точка (t₀ ,x₀ ), для которой знак функции Ляпунова совпадает со знаком производной в силу дифференциального уравнения,

V(t₀ ,x₀ ) V'(t₀ ,x₀ ) >0,

То нулевое равновесие уравнения (2) неустойчиво по Ляпунову.

Функция Ляпунова, удовлетворяющая теореме Ляпунова о неустойчивости, называется функцией Ляпунова третьего рода.

Пример 1. Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия системы при различных значениях параметров a, b

Найдем равновесия из решения системы

Отсюда, если a≠0, то имеется равновесие (x=b/a; y=0). Если b<-a² , то есть равновесия

Исследуем устойчивость равновесия (x=b/a; y=0) вторым методом Ляпунова. Перейдем к возмущениям

и уравнению возмущений

Умножим первое уравнение на u, второе – на v. Сложим два получающихся уравнения, после преобразований получим

К выбору функции Ляпунова следует подходить творчески, в данном вопросе нет общепринятого подхода. В данном примере в качестве функции Ляпунова логично попробовать взять кинетическую энергию системы, потому что в левой части последнего равенства стоит знакоотрицательная функция. Итак, в качестве функции Ляпунова возьмем

Ясно, что таким образом выбранная функция Ляпунова является положительно определенной функцией. Эта функция удовлетворяет всем требованиям теоремы Ляпунова об устойчивости в случае, когда определяемая формулой (17) производная функции Ляпунова в силу дифференциального уравнения (16) является знакоотрицательной. Последнее условие будет выполнено в случае, когда

a+b/a>0

В этом случае равновесие (x=b/a; y=0) является устойчивым.

На устойчивость по Ляпунову остальные равновесия исследуйте самостоятельно.

Пример 2. Колебание маятника с трением.

Рассмотрим уравнение

где постоянная h играет роль коэффициента силы трения. Уравнение (17) описывает колебания маятника в среде с трением.

Исследуем на устойчивость нулевое равновесие уравнения (17) (очевидно, что оно существует). Найдем полную энергию системы (то есть интеграл системы (17)) и возьмем ее в качестве искомой функции Ляпунова второго рода

Производная функции E в силу дифференциального уравнения (17) имеет вид

Проверить самостоятельно, что функция E является функцией Ляпунова первого рода и, следовательно, нулевое равновесие уравнения (17) устойчиво по Ляпунову.

Попробуем построить функцию Ляпунова второго рода, то есть доказать асимптотическую устойчивость нулевого равновесия уравнения (17). Функцию Ляпунова второго рода будем разыскивать в виде

Здесь α₁ , α₂ - произвольные постоянные, подлежащие определению.

Потребуем, чтобы функция (18) удовлетворяла всем требованиям второй теоремы Ляпунова. Из этих требований получим систему неравенств, из которой определяются постоянные α₁ , α₂ . Если удастся найти хотя бы один набор этих постоянных, позволяющий удовлетворить условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, то нулевое равновесие уравнения (18) будет асимптотически устойчиво, в противном случае надо разыскивать функцию Ляпунова в другом виде.

Проверить самостоятельно, что в данном случае нулевое равновесие асимптотически устойчиво и постоянные α₁ , α₂ , например, определяются равенствами

α₁ = h/2; α₂ =h² /2

Для проверки воспользуйтесь критерием Сильвестра. Выпишите соответствующие определители и найдите одно из решений возникающих неравенств. Постоянные α₁ и α₂ определяются неединственным образом.

Упражнения для самостоятельной работы

Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия систем

- Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия следующих систем в зависимости от вещественного параметра k

3 Метод пограничного слоя и его применение для исследования

модели, описываемой уравнением второго порядка

Метод пограничного слоя является асимптотическим методом, который применяется в случае сингулярного вырождения для исследования как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных. Изучим метод пограничного слоя на примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

рассматриваемого с условиями

u(0)=0; u(1)=0 (20)

Предположим, что функции b(x), c(x), d(x) нужное число раз непрерывно дифференцируемы. Подробно опишем процедуру метода пограничного слоя [8], состоящую из первого и второго итерационных процессов.

3.1 Первый итерационный процесс

Пусть выполняется условие

c(x) ≠ 0; x є [0,1]

Тогда решение задачи (19),(20) ищется в виде ряда Тейлора по степеням малого параметра ε

Подставим разложение (21) в уравнение (19). Группируя члены при одинаковых степенях ε и приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих степенях, получим уравнения

. . .

из которых последовательно находятся функции u₀ , u₁ , . . .

(22)

. . .

Функции b(x), c(x), d(x) нужное число раз непрерывно дифференцируемы, поэтому формулы (22) имеют смысл. Таким образом, разыскивая решение задачи (19),(20) в виде ряда (21), удается удовлетворить уравнение (19) с любой степенью точности. Если бы оказались удовлетворены оба граничных условия (20), то ряд (21) являлся бы решением задачи (19),(20), то есть, если бы

f(0) = f(1) = 0,

то решение задачи (19),(20) было бы построено в виде ряда (21). Если же хотя бы одно из граничных условий (20) не выполняется, то ряд (21) не может служить хорошим приближением к решению задачи, по крайней мере, вблизи того конца отрезка, на котором не выполняется граничное условие (20). Решение везде внутри отрезка (x є [0,1]) близко к решению вырожденной задачи (задачи при ε=0), а вблизи концов отрезка претерпевает резкие изменения, описываемые функциями пограничного слоя, которые строятся в ходе второго итерационного процесса.

3.2 Второй итерационный процесс

Построим пограничный слой вначале вблизи левого конца отрезка. Решение задачи (19),(20) разыскивается в виде ряда

где u_i (i = 0, 1, 2, ...) - функции первого итерационного процесса, определяемые формулами (22); v_k (k = 0, 1, 2, ...) - функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя), подлежащие определению.

Подставим ряд (23) в (19) и учтем результаты первого итерационного процесса (формулы (22), по которым мы определили функции первого итерационного процесса). Ограничиваясь конечным отрезком ряда (23), получим уравнение

Выполним основную процедуру метода пограничного слоя - растяжение пограничного слоя, то есть сделаем замену переменных

x =ε t ; x € [0,1]; t € [0,∞)

В результате замены мы растянули отрезок x € [0,1], благодаря чему можно описать резкие изменения функции u, которые она претерпевает вблизи левого конца отрезка. Функции пограничного слоя зависят от растянутой переменной t.

При рассмотрении левого конца отрезка все функции, зависящие от переменной x в уравнении (24), разложим в ряды Тейлора по x в окрестности точки x=0, а затем в этих разложениях перейдем от переменной x к переменной t. В результате получим

Перейдем в (24) от производных по переменной x у функций пограничного слоя к производным по переменной t, используя формулы

Подставим разложения (25) в уравнение (24), и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения

. . .

Уравнение (26) - есть однородное уравнение с постоянными коэффициентами, в следующих приближениях получаются неоднородные уравнения с известной правой частью. Для вывода граничных условий при t=0 подставим ряд (25) в первое из условий (20) и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. Получим

. . .

Условие при t → ∞ получаем из требования убывания функций пограничного слоя внутри отрезка [0,1] (функции пограничного слоя не должны портить решения внутри отрезка). Таким образом, имеем условия

. . .

Алгоритм нахождения функций пограничного слоя вблизи левого конца отрезка состоит в следующем:

1) По формулам (22) находится функция u_i i=0.

2) Из решения задачи (26),(28),(29) (при i=0) определяется функция v_i i=0.

3) Переход на первый пункт алгоритма с увеличением значения переменной i (i=i+1).

Для явного решения задачи (26),(28),(29) в главном приближении (при i=0) положим b₀ =0. В результате получим задачу

В случае c₀ >0 общее решение последнего уравнения выражается тригонометрическими функциями и удовлетворить оба граничных условия не удается. Следовательно, в этом случае построить пограничный слой на левом конце отрезка нельзя и для решения задачи надо использовать другие асимптотические методы. Если же c₀ <0, то общее решение последнего уравнения имеет вид

где D₁ ,D₂ - произвольные постоянные. Удовлетворяя обоим граничным условиям, получим, что

Подставляя найденное решение в уравнение (27) (при i=1), определяем правую часть этого уравнения и дальше действуем согласно алгоритму.

Теперь рассмотрим правый конец отрезка. Решение задачи (19),(20) разыскивается в виде ряда

где u_i (i = 0, 1, 2, ...) - функции первого итерационного процесса; v_k , w_k (k = 0, 1, 2, ...) - функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя соответственно вблизи левого и правого концов отрезка).

Подставим ряд (64) в (53), учтем результаты первого и второго (вблизи левого конца отрезка) итерационных процессов. В результате получим уравнение

Выполним растяжение пограничного слоя вблизи правого конца отрезка по формуле

Все функции, зависящие от переменной x в (31) разложим в ряды Тейлора по x в окрестности точки x=1, а затем в этих разложениях перейдем от переменной x к переменной t, используя формулу (32). В результате получим

Перейдем в (31) от производных по переменной x у функций пограничного слоя к производным по переменной t. Подставим разложения (33) в уравнение (31), и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения

. . .

которые решаются с условиями

. . .

Алгоритм решения уравнения (19) с условиями (20)

состоит в следующем:

1) По формулам (22) находится функция u_i i=0.

2) Из решения задачи (26),(28),(29) (при i=0) определяется функция v _i i=0.

3) Из решения задачи (34),(35) (при i=0) определяется функция w _i i=0.

4) Переход на первый пункт алгоритма с увеличением значения переменной i (i=i+1).

Главный член асимптотики на правом конце отрезка находится аналогично левому концу отрезка, в результате в главном приближении асимптотика решения задачи (19),(20) (при b₀ =0; b₀ ⁰ =0; c₀ <0; c₀ ⁰ <0) запишется в виде

Самостоятельно исследуйте случай

Как видно из приведенного примера, метод пограничного слоя позволяет построить асимптотическое разложение решения не всегда, а только при выполнении некоторых условий на коэффициенты уравнения.

Пример 1. Методом пограничного слоя построить главные члены асимтотики решения задачи (ε << 1)

Первый итерационный процесс.

Решение задачи (36) ищется в виде ряда Тейлора по степеням малого параметра ε

Подставим разложение (37) в уравнение (36). Группируя члены при одинаковых степенях ε и приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих степенях, получим уравнения

. . .

из которых

Разыскивая решение задачи (36) в виде ряда (37), удается удовлетворить уравнение (36) с любой степенью точности. Если бы оказались удовлетворены оба граничных условия (36), то ряд (37) являлся бы решением задачи (36).

Так как оба граничных условия не выполненs, то необходимо ввести погранслойные поправки к решению вблизи обоих концов отрезка (точек x=0 и x=2).

Второй итерационный процесс

Построим вначале пограничный слой вначале вблизи левого конца отрезка. Решение задачи разыскивается в виде ряда

где v_k (k = 0, 1, 2, ...) - функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя), подлежащие определению. Ряд (38) выписан с учетом того факта, что функции первого итерационного процесса равны нулю.

Подставим ряд (38) в (36). Ограничиваясь конечным отрезком ряда (38) и выполнив растяжение пограничного слоя, то есть сделав замену переменных

x =ε t ; x € [0,1]; t € [0,∞)

перейдем в (36) от производных по переменной x к производным по переменной t, используя формулы

и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения пограничного слоя

. . .

Для вывода граничных условий при t=0 подставим ряд (38) в первое из условий (36), невязку в выполнении которого необходимо ликвидировать, и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε

. . .

Условия при t → ∞ для функций пограничного слоя получаем из требования убывания функций пограничного слоя внутри отрезка [0,2]. Граничные условия имеют вид условий (29).

Следовательно, отличны от нуля только погранслойные поправки к решению в главном приближении. В последующих приближениях получены однородные уравнения с однородными граничными условиями, поэтому все погранслойные поправки во всех приближениях, кроме главного приближения, тождественно равны нулю.

В главном приближении имеем задачу

Для нахождения общего решения задачи (39) выпишем характеристическое уравнение

Отсюда,

Следовательно,

В силу граничных условий

Теперь построим функции пограничного слоя вблизи второго конца отрезка (точки x=2). Решение задачи (38) разыскивается в виде ряда

где v₀ , w_k (k = 0, 1, 2, …) – функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя соответственно вблизи левого и правого концов отрезка).

Подставим ряд (41) в (38), учтем результаты второго (вблизи левого конца отрезка) итерационного процесса. В результате получим уравнение типа (31). Выполним растяжение пограничного слоя вблизи правого конца отрезка по формуле

Уравнения пограничного слоя вблизи правого конца отрезка примут вид

. . .

которые решаются с условиями

. . .

Следовательно, отличны от нуля погранслойные поправки к решению только в главном приближении. Они определяются из решения задачи.

Для нахождения общего решения задачи (42) выпишем характеристическое уравнение

Отсюда,

Следовательно,

В силу граничных условий

Общее решение задачи (36) с учетом формул (40),(43), получим

Упражнения для самостоятельной работы

Методом пограничного слоя построить асимтотики решений следующих задач (ε << 1)

Выяснить при каких значениях параметра k возможно построение методом пограничного слоя асимтотик решений следующих задач (ε << 1)

Литература

1. А.Б. Усов Моделирование динамических систем. Методические указания для студентов 3 курса механико-математического факультета. Ростов-на-Дону. УПЛ РГУ. 2000г. 31c.

2. А.Б. Усов Методы исследования динамических систем. Методические указания для студентов 3 курса механико-математического факультета. Ростов-на-Дону. УПЛ РГУ. 2001г. 27c.

3. А.Б. Усов Качественное исследование сложных систем. Методические указания для студентов дневного и вечернего отделений механико-математического факультета. Ростов-на-Дону. УПЛ РГУ. 2004г. 32c.

4. Б.П. Демидович Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472c.

5. И.Г. Малкин Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532с.

6. Н.Г. Четаев Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 176с.

7. В.И. Юдович Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов.: РГУ, 1984. 190с.