Учебное пособие: Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы»

Министерство образования Украины

Национальный технический университет Украины

«Киевский политехнический институт»

Институт телекоммуникационных систем

Теория электрических цепей и сигналов

Методические указания к курсовой работе

«РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ»

Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов

Рассмотрены и одобрены

на заседании института

телекоммуникационных сетей и систем

Протокол №________________________

от _________________________________

Киев - 2002г

УДК 621.395.001

Теория электрических цепей

Методические указания у курсовой работе

«РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ»

Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов

-НТУУ «КПИ», 2002г.

Методические указания включают три раздела:

Математические модели различных режимов работы электронных схем и

методы и алгоритмы расчета различных режимов работы электронных схем.

Методы и алгоритмы анализа чувствительности электронных схем.

Методы и алгоритмы оптимизации электронных схем.

Методические указания к курсовой работе предназначены для выполнения курсовой работы студентами института телекоммуникационных систем НТУУ «КПИ», по вышеупомянутой дисциплине, а также для самостоятельной работы при изучении курса.

Библиография назв.

Рецензенты:

ВВЕДЕНИЕ

Использование персональных электронных вычислительных машин (ПЭВМ) во всех областях человеческой деятельности - характер­ная черта научно-технической революции. ПЭВМ, особенно высоко­производительные, способствуют ускорению прогресса в радиоэлектронной промышленности. Использование ПЭВМ предполагает разработку соответствующего специализированного математического (методы, алгоритмы) и программного обеспечения.

Цель курса изложенного в методических указаниях - помочь в изучение электронных схем как объектов исследования и проектирования, получение навыков формулирования задач исследования и проектирования, овладение методами и алгорит­мами решения задач исследования в проектирования электронных схем, навыками реализации задач в виде программного обеспечения на ПЭВМ. Изложение курса базируется на знаниях студентами курсов математики, физики, теоретических основ электротехники, полупро­водниковых приборов, электронных цепей непрерывного и импульсно­го действия.

В методические указания входит изучение структур, режимов работы, качественных показателей, характеристик электронных схем. Про­цесса проектирования электронных схем, математических моделей компонентов электронных схем, математических моделей электронных схем, методов и алгоритмов анализа математических моделей элек­тронных схем, ознакомление с задачами автоматизации конструирова­ния и изготовления электронных схем, с принципами построения программ моделирования электронных схем и системами автоматизация проектирования.

ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

Транзисторный усилитель (ТРУ), представленный электрической принципиальной схемой (на рис. 1 ), в зависимости от характера вход­ного сигнала может работать в различных режимах. При отсутствии входного сигнала (или постоянном сигнале) усилитель нахо­дится в статическом состоянии (режим постоянного тока). При малом быстроизменяющемся входном сигнале допустимо считать, что транзис­тор проявляет только линейные динамические свойства, и усилитель работает в режиме линейного усиления. При большом быстроизменяющемся входном сигнале транзистор проявляет нелинейные динамические свойства, усилитель функционирует в динамическом нелинейном режиме. В зависимости от формы входного сигнала (гармонический, импульсный) функционирование усилителя может рассматриваться во временной или частотной областях.

Каждый режим работы усилителя можно представить соответствую­щей эквивалентной цепью (схемой) и математической моделью и оце­нить множеством качественных показателей (характеристик, схемных функций) и параметров. Качественные показатели определяются на основе математической модели и проверяются экспериментально. Все множество качественных показателей характеризует свойства и функциональные возможности усилителя в целом. К основным качественным показателем и параметрам усилителя относятся коэффициент передачи (коэффициент усиления) Кр , входное и выходное сопротивлени­ях Zвх, Zвых , динамический диапазон, коэффициент нелинейных искажений, коэффициент шума. Чтобы найти эти качественные показатели необходимо проанализировать усилитель в статическом режиме, в динамическом режиме во временной и частотной областях при большом и малом входных сигналах.

Эквивалентная схема ТРУ для каждого режима имеет свое мно­жество элементов (компонентов) и свою структуру (т.е. специфичное для режима соединение элементов). Так, например, режим малого входного сигнала представляется линейной эквивалентной схемой - соединением линейных элементов, статический режим - нелинейной эквивалентной схемой на постоянном токе и т.д.

Следует отметить, что отмеченные режимы характеризуют работу большинства электронных схем приемно-усилительных устройств и поэтому решение задач расчета схем в этих режимах имеет общее значение.

Множество качественных показателей, определяемых в соответ­ствующем режиме в представляющих задачи анализа, зависит от множества элементов и их параметров - d ^р _э , от структуры их соедине­ния - S ^p , типа входного сигнала (постоянный, частотный, временной):

К^р =F(S ^p , d ^р _э , U ^p ) (1)

где р - cоответствующий режим.

Динамические качественные показатели всегда зависят от исход­ного статического режима, что можно отразить зависимостью:

d ^р _э = ¦ ( К^ст )

Только в пассивных схемах статический режим может ха­рактеризоваться нулевыми значениями переменных. Соотношения вида (1) представляют основные задачи расчета, анализа качественных показателей ТРУ и электронных схем.

Большое значение при проектировании электронных схем имеет решение задач расчета чувствительности качественных показателей по параметрам элементов- S ^р _d , позволяющее определить допуска на параметры, и задач оптимизации, т.е. поиска множества опти­мальных параметров d ^р _опт , обеспечивающих необходимое откло­нение множества качественных показателей от заданных в техническом задании.

Из перечисленных режимов наиболее общим является динамичес­кий режим при воздействии большого сигнала, изменявшегося во вре­мени. Остальные режимы - частные от этого режима.

Динамический нелинейный режим (временная и частотная область) - при большом входном сигнале.

Статический ре­жим наблюдается, когда внешнее воздействие постоянно во времени.

Динамический линейный режим (временная и частотная область) - при малом входном сигнале.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ.

ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ.

Рис.2

В модели Эберса-Молла свойства элементов выражаются следующими соотношениями:

Iк=Iко•( e ^{(К1•Uкб)} -1)= ¦ _К ( U_кб ), К1=1/(m_к • j _Т ), (2)

Iэ=Iэо•( e ^{(К2•Uбэ)} -1)= ¦ _Э ( U_бэ ), К2=1/(m_э • j _Т )

J дк = a _N •I э ,

J дэ = a _I •I к ,

U_{R б} = i _{R б} •R _б

I ск = Ск (U кб )•dU кб /dt,

Ск (U кб )=C кб + Скд = С_о кб /(1-U кб / j _К )^0.5 + С_о кд •I к

С_о кд=К1/(2• p •F _{a i} )

Iсэ=Сэ(Uбэ)•dUбэ/dt,

Сэ(Uбэ)=Cэб+Сэд=С_о кб/(1-Uбэ/ j _К )^0.5 +С_о кд•Iэ

С_о эд=К2/(2• p •F _{a n} )

где, Uкб, Uбэ - напряжение коллектор-база, база-эмиттер соответственно;

К1, К2 - температурный потенциал;

j _т - контактная разность по­тенциалов;

Iко, Iэо - токи насыщения коллекторного и эмитерного переходов;

m_к , m_э - коэффициенты отражающие технологию изготовления транзиторов;

a _N , a _I - коэффициенты усиления по току при нормальном и инверсном режимах;

i _Rб - ток через резистор базы;

R_б - сопротивление базы;

С_о кб , С_о эб - барьерные ем­кости при нулевом смещении;

F _{a n} F _{a i} - предельные частота транзистора при нормальном и инверсном включениях.

Свойства остальных элементов эквивалентной cxeмы ТРУ (рис. 2) для динамического режима описываются соотношениями:

U_R1 = i _R1 •R₁ , U_R2 = i _R2 •R₂ , U_{R б} = i _{R б} •R _б , U_R3 = i _R3 •R₃ , U_R4 = i _R4 •R₄ , U_R5 = i _R5 •R₅ ,

U_R6 = i _R6 •R₆ , U_R7 = i _R7 •R₇

В общем виде можно записать для элементов схемы :

Резисторы: U_Ri = i _Ri •R_i , i - номер резистора (3)

Емкости: i _Cj =C_j • dUcj/dt , j - номер емкости

Источники постоянного тока: J₌ =const

Входное ток: J_~ = ¦ ( t ) =J_м •sin( w •t+ y _J ) - функция времени.

Элементы схемы (или ветви), соединяясь в узлах, образуют в схеме контура. Токи в узлах (сечениях) схемы и напряжения в контурах подчиняются, соответсвенно, первому и второму законам Кирх­гофа;

1. Алгебраическая cyммa токов i в любом узле (в замкнутом сечении) электрической схемы равна нулю (вытекающий ток из узла берется со знаком "+" , втекающий ток в узел берется со знаком "-" )

n

S i= 0 (4)

к =1

2. Алгебраическая сумма напряжений u ветвей в любом кон­туре электрической схемы равна нулю

n

S u = 0

к=1

Уравнения соединений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т.е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т.е. физического содержания ветвей. Поэтому при составлении урав­нений соединений удобно отвлекаться от вида и характеристик вет­вей цепи и заменять их линиями, соединяющими узлы, с сохранением числа ветвей и узлов. В результате получают так называемый линей­ный граф (топологический граф), который представляет совокупность или систему узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ребер) изображаемых отрезками линий, соединяющих любую пару узлов. Таким образом, элементами графа являются узел и ветвь (рис. 3) .

Объединенные множества уравнений ветвей (компонентных уравне­нии (2) , (3) и топологических уравнений (4) составляют мате­матическую модель схемы (ММС) для динамического режима при боль­шом сигнале. Если схема имеет l ветвей, то число уравнений к число переменных ММС равно l •2 при выборе независимых сечений и контуров. Для нашей схема при указанных стрелками направлениях токов уравнение (4) имеет вид :

Узел 1 i _R1 + i _С1 - J_~ =0

Узел 2 - i _{С 1} + i _R3 + i _R2 + i _{R б} =0

Узел 3 - i _{R б} + i _Ск + i _Сэ - i _К - i _Э - i _ДК - i _ДЭ =0 (5)

Узел 4 - i _R5 - i _{С 2} - i _Сэ + i _Э + i _ДЭ =0

Узел 5 i _R4 + i _{С 3} - i _Ск + i _К + i _ДК =0

Узел 6 - i _R4 - i _R2 - i _R7 + J₌ =0

Узел 7 - i _C3 + i _C4 - i _R6 =0

Кроме токов и напряжений ветвей, введем в рассмотрение новые переменные - потенциалы узлов j_i относительно базисного узла ( j ₀ =0 ) . В качестве базисного узла удобно взять узел, общий для входа и вы­хода схемы. Тогда согласно второму закону Кирхгофа, напряжения всех ветвей u и узловые потенциалы j_i связываются соотношениями : u _R1 = j₁ -j₀ , u _C1 = j₁ -j₂ , u _R2 = j₂ -j₆ , u _R3 = j₂ -j₀ , u _С3 = j₅ -j₇ u _Rб = j₂ -j₃ , u _R4 = j₅ -j₆ , u _R6 = j₇ -j₀ , u _R5 = j₀ -j₄ , u _C4 = j₇ -j₀ u _С2 = j₀ -j₄ , u _Cк = j₃ -j₅ , u _Cэ = j₃ -j₄ , u _Iк = j₅ -j₃ , u _Iэ = j₄ -j₃ u _Jдк = j₅ -j₃ , u _Jдэ = j₄ -j₃ (6)

Множества уравнений (5) и (6) можно записать в матричной форме в общем виде | A | • | i |=0 (7)

| u |=| A^t | • | j | (8)

где | i | = | i _R1 , i _С1 , i _R2 ……, J_~ , J₌ |^t - вектор токов всех ветвей схемы;

| u | = | u _R1 , u _С1 , u _R2 ……, u _Jдк , u _Jдэ |^t -вектор напряжений всех ветвей;

| j | = | j₁ , j₂ , j₃ , j₄ ,…. j_q |^t - вектор узловых потенциа­лов;

q - число узлов, t - знак транспонирования.

Матрица |A| , называемая матрицей инциденций узел-ветвь, для схемы представлена на рис.3 и характеризует ее структурные свойства. Матрице |A| и соотношениям (7)-(8) соответствует топологический (направленный) граф схемы, построенный на множестве переменных схемы i , u и j. Граф явля­ется геометрическим образом структуры схемы. На графе выделены узлы j₁ , j₂ , j₃ , j₄ , j₅ , j₆ , j₇ . Выбор направления токов в ветвях графа определяет систему независимых токов в напряжений в МУС. Выразим уравнения (5) используя уравнения (2),(3) и (6) . В результате получим систему уравнений (9) :

Узел 1 ( j₁ -j₀ )/R1 +С1•d( j₁ -j₀ )/dt - J_~ =0

Узел 2 - С1•d( j₁ -j₀ )/dt +( j₂ -j₀ )/R3 +( j₂ -j₆ )/R2 +( j₂ -j₃ )/Rб =0

Узел 3 - ( j₂ -j₃ )/Rб +Ск ¦ ( j₃ -j₅ )•d( j₃ -j₅ )/dt +Сэ ¦ ( j₃ -j₄ )•d( j₃ -

- j₄ )/dt- ¦ _К ( j₅ -j₃ )- ¦ _Э ( j₄ -j₃ ) - a _N • ¦ _{I э} ( j₄ -j₃ ) - a _I • ¦ _{I К} ( j₅ -j₃ )=0

Узел 4 - ( j₀ -j₄ )/R5-С2•d( j₀ -j₄ )/dt-Сэ ¦ ( j₃ -j₄ )•d( j₃ -j₄ )/dt+

+ ¦ _Э ( j₄ -j₃ )+ + a _I • ¦ _{I К} ( j₅ -j₃ )=0 (9)

Узел 5 ( j₅ -j₆ )/R4 +С3•d( j₅ -j₇ )/dt +Ск ¦ ( j₃ -j₅ )•d( j₃ -

-j₅ )/dt+ ¦ _К ( j₅ -j₃ )+ a _N • ¦ _Iэ ( j₄ -j₃ )=0

Узел 6 - ( j₅ -j₆ )/R4 -( j₂ -j₆ )/R2-( j₆ -j₀ )/R7+ J₌ =0

Узел 7 -С3•d( j₅ -j₇ )/dt +С4•d( j₇ -j₀ )/dt -( j₇ -j₀ )/R6 =0

Эти уравнения, называемые узловыми, составлены методом, по­добным методу узловых потенциалов для линейных цепей. Сис­тема (9) - это система алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений относительно переменных j₁ , j₂ , j₃ , j₄ , j₅ , j₆ , j₇ ,J₌ ,J_~ Она состоит из трех групп уравнений: линейных алгебраических (7) , линейных дифференциальных (1,2,6) , нелинейных дифференциальных (остальные уравнения). Соответственно, переменные делятся на линейные Xл=J₌ и J_~ , линейные дифференциальные Xлд= | j₁ , j₂ , j₆ , j₇ |^t нелинейные дифференциальные Xнд= | j₃ , j₄ , j₅ |^t .

С учётом сказанного система (9) может быть записана в сокращен­ном виде:

¦ л=( Xл, Xлд, Xнд)=0; ¦ лд=( Xл, X'лд, Xнд)=0

¦ нд=( Xл, Xлд, X'лд, Xнд, X'нд)=0 (10)

где -¦ л - линейный оператор; ¦ н - нелинейный оператор.

X'нд, X'лд - производные переменных по времени

Множество ветвей схеме (2)-(3) соответственно свойствам их уравнений, можно разделить на характерные подмножества ветвей: (11)

- источников тока J₌ , J_~ ;

- линейных резисторов R и проводимоcтей G ; U_R = i _R •R , или i _R =U_R •G ,где G=1/R

- нелинейных резисторов Iн= ¦ (U_R ) ;

- зависимых источников тока Iд= a •Iн ;

- линейных емкостей i _СЛ = Сл•d(Ucл)/dt ;

- нелинейных емкостей i _СН = Сн ¦ ( Ucн)•d(Ucн)/dt .

Этому разбиению соответствует разбиение топологической мат­рицы |A| на субматрицы и запись топологических урав­нений (7)-(8) в форме

Подставим уравнение (13) в соотношения (11) и результат в (12) . После преобразований получал матричное уравнение: (14)

|А_Е |•| i _Е |+|А_R |•|G|•|А^t _R |•| j |+|А_H |• ¦ (|А^t _H |•| j |)+|А_Д |• a • ¦ _Н (|А^t _Д |•| j |)+

+|А_СЛ |•|С_Л |•d(|А^t _CЛ |•| j |)/dt+|А_СН |•|С_Н ¦ (|А^t _CН |•| j |)|•d(|А^t _CН |•| j |)/dt = 0 Уравнение (14) - это записанное в более общей форме (с уче­том топологических субматриц) уравнение (9) . Подстановка суб­матриц и уравнений ветвей на основе (11), (2), (3) и последующее преобразование дадут в конечном итоге (9) . Уравнение (14) как и (9) можно представить в форме (10) .

Итак, уравнения (9), (6), (2), (3) составляют матема­тическую модель ТРУ в динамическом режиме, а соотношения (14), (13), (11) - математическую модель для динамического режима класса электронных схем, представляемого на основе множества ком­понентов (ветвей) вида (11) . Назовем эту модель ММС-ДР1(Математическая модель схемы - динамический режим 1).

Рис. 4

Выбор дерева на топологическом графе схемы определяет не только системы линейно-независимых уравнений, составленных по за­конам Кирхгофа, но, в конечном итоге, вид и свойства математичес­кой модели схемы.

Наиболее общие топологические свойства электронных схем представляются законами Кирхгофа в форме:

|П_i | =0, (15)

|Р_u |=0, (16)

где |П_i | , |Р_u | - матрицы сечений и контуров.

На самом деле, под |П| , и |Р| в дальнейшем подразумеваются матрицы главных сечений и контуров. Если обобщенные узлы, обра­зуемые сечениями графа, совпадают с вершинами (узлами) графа, то матрица |П| совпадает с |А| . Это случай построения канонических сечения и дерева. Построение дерева (имеется в виду фундаментальное дерево) разбивает ветви графа на ветви дерева (ребра) и ветви, не вошедшие в дерево, называемые хордами (связями). Уравнения Кирхгофа при этом принимают вид

При совпадении фундаментального дерева с деревом графа выполняется соотношение: p =- r ^t , r =- p ^t (19) С учетом этого соотношения (17)-(18) запишутся i _T = - p •i _X , u _Х = p ^t •u _Т (20) (21)

На основе уравнений (20)-(21) может быть составлена ММС в форме нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений (в ви­де уравнений переменных состояния [1,2,4,5] .

Рис.5

Соответствующая матрица сечений П для схемы

Емкостной контур (С2®Сэ®Ск®С3®С4) разорван включе­нием небольшого R7. Матрица |П| разбивается на ряд характерных субматриц

Подставим компонентные уравнения (11) в (20)-(21), в результате получим

С•d(Uc)/dt= p _CRX •G_Х • u_RX + p _CIH +I_H (u_H )+ p _CIД • a • I_H (22)

i _EB = p _EBRX •G _Х • u_RX + p _EBI • I_X ü

ý (23)

i _RB = p _RBRX •G _Х •u_RX + p _RBI •I_X þ

u_RB =R_B • i _RB

В этих уравнениях