Учебное пособие: Методические указания к выполнению лабораторной работе

Методические указания к выполнению лабораторной работе

«Построение двухфакторного эксперимента с использованием рототабельного центрально-композиционного плана»

по курсам «Планирование эксперимента»

для студентов специальности АСОИ иУ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение методики построения квадратичных моделей объектов на основе планов второго порядка, теории композиционного планирования.

Основные понятия

При исследовании экстремальной области часто интерес представляет оценка не коэффициентов полученной регрессионной модели, а самой функции отклика. Кроме того, на практике часто можно значительно упростить регрессионную модель путем поворота координатных осей, т.е. преобразованием координат. Рототабельное планирование, обеспечивающее погрешность предсказания выходной величины по уравнению регрессии, зависящую лишь от расстояния точки факторного пространства до центра эксперимента, позволяет предсказывать с одинаковой точностью значение функции отклика, а, следовательно, преобразовывать систему координат с целью упрощения уравнения регрессии.

Основным условием рототабельности планов является инвариантность нормированной информационной матрицы Ф и корреляционной матрицы Ф^-1 к вращению прямоугольных осей относительно начала координат, помещенного в базовую точку. Исходя из условия инвариантности матриц к вращению системы координат, точность оценок коэффициентов регрессии при вращении также не будет изменяться. Следует при этом отметить, что изменение момента масштаба входных переменных приводит к потере свойства рототабельности. Таким образом, необходимо поддерживать постоянство масштаба задания независимых переменных при проведении всего эксперимента.

Нормированная матрица Ф должна обладать некоторыми свойствами, чтобы быть инвариантной к ортогональному преобразованию (вращению).

Будем называть моментами плана элементы нормированной информационной матрицы:

а порядком момента величину:

Момент будет четным, если все степени p_j четные, и нечетные, если хотя бы одна степень p_j элемента нормированной информационной матрицы нечетна.

Для рототабельного плана второго порядка все нечетные моменты вплоть до четвертого порядка включительно должны быть равны нулю. К таковым относятся следующие моменты:

1. Первого порядка

2. Второго порядка

3. Третьего порядка

4. Четвертого порядка

Все четные моменты такого плана должны удовлетворять таким соотношениям:

1. Второго порядка

2. Четвертого порядка

Константа L₂ выбирается из условия выбора масштаба плана, а константа L₄ выбирается из условия невырожденности информационной матрицы.

Если все точки плана расположить на поверхности сферы с радиусом r и с центром в начале координат нормированного факторного пространства, то дли любой I -ой точки данного плана можно записать:

В соответствии с матрицей Фишера (подматрица с линейными членами):

Таким образом, точки рототабельного плана, в которых реализуются опыты, должны быть расположены на нескольких (как минимум двух) концентрических гиперсферах с общим центром.

Для построения рототабельного ЦКП второго порядка необходимо выбрать соответствующие значения «звездного» плеча a и количество центральных точек N₀ .

Запишем общие выражения для всех четных моментов

1. Нулевого порядка

2. Второго порядка

3. Четвертого порядка

Таким образом, NL₂ = 2ⁿ +2a² , NL₄ = 2ⁿ , 3NL₄ = 2ⁿ +2a⁴ .

Отсюда находим условие рототабельности:

или a⁴ = 2ⁿ .

Следовательно, чтобы ЦКП второго порядка обладал свойствами рототабельности, значение «звездного» плеча должно составлять:

Как и в случае ортогональных ЦКП, a зависит от числа n входных величин. Для определения числа опытов в центре плана («нулевой» точке) необходимо исходить из условия невырожденности информационной матрицы Фишера для рототабельных планов:

Из последнего соотношения видно, что для построения рототабельного ЦКП с невырожденной информационной матрицей Фишера достаточно в центре плана проводить один опыт. Увеличение числа N₀ опытов в центре плана приводит к увеличению числителя и позволяет усилить неравенство до требуемой степени.

Часто исследователя интересует информация о функции отклика в некоторой окрестности центра плана, т.е. требуется, чтобы информация о выходной величине, полученная на основании уравнения регрессии, была практически одинаковой (постоянной) внутри гипершара радиуса r = 1 для r Î [0,1]. Такое планирование называется униформ-рототабельным. Для его получения достаточно обеспечить равенство дисперсии в центре плана (r = 0) и на поверхности гиперсферы радиуса r = 1. Этого добиваются подбором числа наблюдений N₀ в центре плана.

В случае, когда число факторов велико, то в качестве «ядра» рототабельного ЦКП выбирается матрица ДФЭ. Оптимальное значение «звездного» плеча при этом определяется так:

В таблице приведены значения a и N₀ для РЦКП, причем значения N₀ приведены для униформ-рототабельного плана.

Для нахождения методом наименьших квадратов оценки коэффициентов регрессии будем исходить из известного соотношения:

СВ = F^T Y

откуда В

B = С^-1 F^T Y

Это равенство может быть переписано в виде

B = Ф^-1 F^T Y

где Ф^-1 – матрица, обратная нормированной информационной матрице Ф любого рототабельного плана.

Ввиду того, что подматрицы с линейными факторами, а также с их линейными взаимодействиями диагональные, то они легко обращаются (аналогично ортогональным планам).

В таблице приведена матрица рототабельного n-мерного плана второго порядка, в которой используется обозначение:

Запишем формулы для определения оценок коэффициентов:

Точность вычисленных оценок определяется их дисперсиями. Для определения дисперсий оценок коэффициентов воспользуемся таблицей, в которой представлена матрица Ф^-1 ,рассмотрев ее диагональные и недиагональные элементы. Поскольку в матрице недиагональные элементы не нулевые, то оценки коэффициентов регрессии квадратичных членов и оценка свободного члена остаются взаимозависимыми.

Исходя из системы оценок коэффициентов с учетом кратности m проведения опытов, получим:

Вторые слагаемые в выражениях оценок и обусловлены наличием корреляционной связи между ними. Найдем эту зависимость:

Поскольку остальные подматрицы нормированной матрицы Фишера Ф и обратной матрицы Ф^-1 диагональные или нулевые, то все остальные корреляционные моменты равны нулю. Из этого следует, что оценки коэффициентов и при факторах и их линейных взаимодействиях независимы. Поэтому их можно проверять независимо от полученных оценок других групп коэффициентов на статистическую значимость на основании t-критерия Стьюдента, как и при ортогональном планировании. Если какой-либо из коэффициентов или окажется статистически незначимым, то его можно исключить из уравнения регрессии, не пересчитывая оценки других коэффициентов. Значимость оценки свободного члена или оценки квадратичных коэффициентов регрессии должна проверяться при фиксированных значениях всех остальных коэффициентов из этой группы с помощью F-критерия. Если какая-либо из оценок коэффициентов или окажется статистически незначимой, то для ее исключения из уравнения регрессии требуется пересчет остающихся оценок данной группы.

Рассмотрим задачу проверки гипотезы адекватности полученной регрессионной модели, содержащей значимые коэффициенты. Вначале будем предполагать, что параллельные опыты не ставятся, т.е. m = 1. Тогда остаточная сумма квадратов может быть записана:

т.е. остаточная сумма разбита на сумму отклонений в точках ПФЭ (или ДФЭ), в «звездных» точках и на сумму отклонений опытных и расчетных значений выходной величины в центре плана. Y'_i

Перепишем последнее выражение в виде:

В данном выражении первые два слагаемых связаны с общим рассеянием результатов наблюдений отклика относительно оценки регрессионной модели. Общее рассеяние связано со случайными погрешностями наблюдений, возникающими в результате влияния неконтролируемых факторов и систематическими погрешностями в случае неадекватности регрессионной модели и функции отклика. Третий член остаточной суммы связан с дисперсией, характеризующейся только случайной погрешностью опыта. Следовательно, с дисперсией адекватности (остаточной дисперсией) связана сумма:

Подставим уравнение регрессии в это выражение:

и получим остаточную сумму квадратов, связанную с дисперсией адекватности и имеющую число степеней свободы:

Если в каждой точке рототабельного центрального композиционного плана проводилось m параллельных опытов, то, проделав аналогичные выкладки, можно получить выражение для остаточной суммы, связанной с дисперсией адекватности. Оно будет отличаться заменой результатов единичных наблюдений в точках плана на средние арифметические единичных наблюдений, а среднего арифметического y₀ из N₀ параллельных наблюдений в центре плана на общее среднее арифметическое из mN₀ таких наблюдений, т.е.:

Данная остаточная сумма имеет то же число степеней свободы f_ад, что и предыдущая.

Далее для проверки адекватности модели необходимо для отношения дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости применить F-критерий Фишера, как и в общем случае регрессионного анализа. Полученная адекватная модель позволяет не только предсказать с равной точностью независимо от направления значение величины отклика, но и оценить ординаты точки экстремума. Ввиду свойства рототабельности плана эта задача облегчается – можно от полинома второго порядка, полученного в результате эксперимента, преобразованием системы координат (поворотом координатных осей) перейти к стандартному каноническому уравнению.

ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

1. Составить матрицу планирования ортогонального центрально-композиционного плана для двух факторов с использованием дополнительного нулевого фактора (Х₀ =1).

2. Провести эксперимент, во всех точках факторного пространства, повторив 3 раза опыты во всех точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 согласно варианту, выданному преподавателем).

3. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена и, если необходимо, подобрать такое m (m – кратность проведения опытов, не больше 5), чтобы дисперсия была однородной.

4. Найти коэффициенты уравнения регрессии для нормализованной системы координат.

5. С помощью критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов регрессии.

6. Проверить адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.

7. Привести уравнение регрессии к натуральному виду.

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта).

2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных).

3. Основные теоретические положения (используемые формулы).

4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы).

5. Проверка ортогональности столбцов матрицы.

6. Результат проверки однородности дисперсии по критерию Кохрена.

7. Коэффициенты регрессии b_i .

8. Результат проверки значимости коэффициентов регрессии.

9. Результат проверки адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.

10. Уравнение регрессии в натуральном виде.

11. Ответы на контрольные вопросы.

12. Выводы по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Почему в планах второго порядка возрастает минимально необходимое количество точек в спектре плана? Как определяется число членов квадратичной модели?

2. В каких случаях используют квадратичную модель объекта?

3. Дайте определение ЦКП.

4. Цель натурализации уравнения регрессии.

5. Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы F?

6. Определение ОЦКП. Каким образом для ОЦКП выбирается числовое значение a (звездного плеча).

7. Объясните, почему точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для втузов. М.: Радио и связь, 1983.

3. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.