| Муниципальное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 6
Муромского района
Реферат
по математике
на тему: Способы устного решения квадратных уравнений.
Выполнила
ученица 8 «В» класса
Халинева Инна.
Проверила:
учитель математики
Шубина Ирина Николаевна.
г. Муром
2011г.
Содержание:
Введение………………………………………………………………..3
1.Историческая справка…………………………………………….....4
2. Определение квадратного уравнения, его виды…………………..5
3. Способы решения неполных квадратных уравнений…………….6
4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена………………………………………………………………..8
5. Решение квадратных уравнений по формуле……………………..9
6. Теорема Виета…………………………………………………...…11
7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………13
8. Способ переброски……………………………………………...…14
9. Закономерность коэффициентов………………………………….14
10. Дидактический материал……………………………………...…16
Заключение……………………………………………………………19
Список использованных источников…………...………………...…20
Цель:
Изучить и показать на примерах способы устного решения квадратных уравнений.
Задачи:
1. Проанализировать учебник алгебры для выявления в нем способов решения квадратных уравнений.
2. Показать виды и способы решения неполных квадратных уравнений.
3. Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений из курса 8 класса.
4. Изучить дополнительный материал.
5. Показать способы устного решения квадратных уравнений.
Актуальность темы:
Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Введение.
При изучении в школе квадратных уравнений, я очень заинтересовалась этой темой. Мне стало интересно узнать, какие же еще бывают способы решения квадратных уравнений.
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
В данной работе я изложила все известные виды и решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры. Также в этой работе я показала дополнительный материал, который не изучается в школьном курсе. Устное решение квадратных уравнений намного проще и быстрее, так как при решении уравнений не надо находить дискриминант и вычислять корни по формуле.
1. Историческая справка.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (
) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах=
b
или
Способ решения полных квадратных уравнений не сохранились.
Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду
, где
>0, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы уравнений вида
,
(буквами а,
b
и с
обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали) и отыскивает только положительные корни.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду
, было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г. Для квадратного уравнения
теорема Виета в современных обозначениях выглядела так:
корнями уравнения (а+
b
)
являются числа а
и b
.
2. Определение квадратного уравнения, его виды.
Определение
: Квадратным уравнением
называется уравнение вида
ax
2
+
bx
+
c
= 0,
где х
– переменная, а,
b
и с
– некоторые числа, причем, а
≠ 0.
Числа а,
b
и с -
коэффициенты квадратного уравнения. Число а
называют первым коэффициентом, число b
– вторым коэффициентом и число c
– свободным членом.
● Пример.
8x
2
– 7x
+
3 =0
В каждом из уравнений вида ax
2
+
bx
+
c
= 0, где а
≠ 0, наибольшая степень переменной x
– квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х
2
равен 1, называют приведенным квадратным уравнением
.
● Пример.
х
2
– 11х+
30=0, х
2
–8х=
0.
Если в квадратном уравнении ах2
+
bx
+
c
= 0, один из коэффициентов
b
или с
равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением
.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах
2
+ с
= 0, где с
≠ 0;
2) ах
2
+ b
х
= 0, где b
≠ 0
;
3) ах
2
= 0.
● Пример.
– 2х
2
+ 7 = 0, b
=
0;
3х
2
– 10х
= 0, с =
0;
– 4х
2
=
0, b
=
0; c
= 0.
3
.Способы решения неполных квадратных уравнений.
1.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах
2
+ с =
0 при с
≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения
на а.
Получается уравнение
х
2
= –
,
равносильное уравнению ах
2
+ с =
0.
Так как с
≠ 0, то –
≠ 0.
Если –
> 0, то уравнение имеет два корня:
х
=
–
и х
=
.
Если –
<
0, то уравнение не имеет корней.
Пример1.
Рассмотрим уравнение –3х
2
+
15=0.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –3:
–3х
2
= –15,
х
2
= 5.
Отсюда х
=
или х
=
–
и –
являются корнями уравнения –3х2
+ 15= 0.
Пример2.
Рассмотрим уравнение 4х
2
+ 3 = 0.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части
получившегося уравнения на 4:
4х
2
= –3,
х
2
= –
.
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение корней не имеет. Следовательно, равносильное ему уравнение 4х
2
+ 3 = 0 не имеет корней.
2.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах
2
+
bx
=
0 при b
≠ 0
раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
х(ах +
b
)=
0
Произведение х(ах +
b
)=
0 равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
х =
0 или ах +
b
=
0.
Решая уравнение ах +
b
=
0, в котором а
≠ 0, находим
a
х =
– b
,
х =
–
.
Следовательно, произведение ах
2
+
bx
=
0 обращается в нуль при х
= 0 и при
х =
–
. Корнями уравнения ах
2
+
bx
=
0 являются числа 0 и –
. Значит, неполное квадратное уравнение вида ах
2
+
bx
=
0 при b
≠ 0 всегда имеет два корня.
Пример.
Рассмотрим уравнение 4х
2
+ 9х
= 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х(
4х +
9)=
0.
Отсюда х =
0 или 4х +
9 = 0.
Решим уравнение 4х
+ 9 = 0:
4х
= – 9,
х
= –2
.
Ответ: х
=
0, х
=
–2
.
3.Неполное квадратное уравнение вида ах
2
=
0 равносильно уравнению х
2
=
0 и поэтому имеет один единственный корень 0.
4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.
Пример.
Рассмотрим уравнение 7х
2
– 6х
– 1= 0.
Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение
х
2
–
х
–
= 0.
Выделим из трехчлена х
2
–
х
–
квадрат двучлена. Для этого разность
х
2
–
х
представим в виде х
2
– 2·
х
, прибавим к ней выражение
и вычтем его. Получим
х
2
– 2·
х +
–
–
= 0.
Отсюда х
2
– 2·
х +
=
+
,
=
.
Следовательно, х
–
= –
или х
–
=
,
х
–
= –
или х
–
=
,
х =
–
или х =
1.
Уравнение имеет два корня: –
и 1.
5. Решение квадратных уравнений по формуле.
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение
ax
2
+
bx
+
c
= 0.
Разделив его обе части на а
, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение
х
2
+
х +
=
0.
Выделим из трехчлена х
2
+
х +
квадрат двучлена. Для этого сумму
х
2
+
х
представим в виде х
2
+2х∙
, прибавим к ней выражение
и вычтем его. Получим
х
2
+2х∙
+
–
+
=
0,
х
2
+2х∙
+
=
–
,
=
–
,
=
.
Уравнение
=
равносильно уравнению ax
2
+
bx
+
c
= 0. Число его корней зависит от знака дроби
. Так как а
≠ 0, то 4а
–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b
– 4ас.
Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax
2
+
bx
+
c
= 0. Его обозначают буквой D
, т.е.
D
= b
– 4ас.
Дискриминант квадратного уравнения
ax
2
+
bx
+
c
= 0 – выражение
b
– 4ас=
D
–
по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.
Различные возможные случаи в зависимости от значения D
.
1)
Если D
>0, то уравнение имеет два корня:
х
=
и х
=
.
Пример.
Рассмотрим уравнение 2x
2
–3x
+ 1= 0.
а=
2;
b
=
–3; с=
1,
D
=
b
– 4ас
=(–3)
– 4ас
= 9–8= 1; 2 корня.
х
=
=
==
0,5
х
=
=
==
1
Ответ: 0,5;1
2)
Если D
=
0, то уравнение имеет один корень:
х =
–
.
Пример.
Рассмотрим уравнение 9х
2
+6х+
1= 0.
а=
9;
b
=
6; с=
1,
D
=
b
– 4ас=
6
– 4ас
=36–36= 0; 1 корень.
х
= –
=
= – 0,3
Ответ: – 0,3
3)
Если D
<
0, то уравнение не имеет корней.
Пример.
Рассмотрим уравнение 2x
2
+ х+
2= 0.
а=
2;
b
=
1; с=
2,
D
=
b
– 4ас=
1
– 4ас
= 1 – 16= – 15; корней нет.
6. Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Приведенное квадратное уравнение х
2
– 7х +
10 =
0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. На примере видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Необходимо доказать, что любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни, обладает таким свойством.
Теорема
: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид:
х2
+
bx
+
c
= 0.
Обозначим второй коэффициент буквой р
, а свободный член буквой q
:
х2
+
px
+
q
= 0.
Дискриминант этого уравнения D равен p
2
– 4q
.
Пусть D > 0. тогда это уравнение имеет два корня:
х
=
и х
=
.
Найдем сумму и произведение корней:
х
+ х
=
+
==
–p
;
х
∙ х
=
∙
=
=
==
q
.
Следовательно,
х
+ х
=
–p
, х
∙ х
=
q
.
Пример.
Рассмотрим уравнение х2
– 3х
+ 2 = 0.
D
=1, уравнение имеет два корня. х1
= 2 и х2
= 1, p
=
–3; q
=
2.
По теореме Виета х
+ х
=
– p
,
значит 2 + 1= 3;
х
∙ х
=
q
,
значит 2 ∙
1= 2.
Следовательно х1
= 2 и х2
= 1 являются корнями уравнения х2
– 3х
+ 2 = 0.
При D
= 0 корни уравнения можно вычислить по формуле
х =
и x
=
.
Квадратное уравнение ax
2
+
bx
+
c
= 0 имеет корни х
и х
. равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид
х
+ х
=
–
, х
∙ х
= .
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
Теорема
: Если числа m
и n
таковы, что их сумма равна –p
,
а произведение
равно q
, то эти числа являются корнями уравнения х2
+
px
+
q
= 0.
По условию т + п =
– p
,
а т п =
q
.
Значит, уравнение х2
+
px
+
q
= 0 можно записать в виде х2
– (т + п) х + т п=
0.
Подставив вместо х число т, получим:
т2
– (т
+ п
) т
+ т п
= т2
– т2
– т п
+ т п
= 0.
Значит, число т
является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число п
также является корнем уравнения.
Пример.
Рассмотрим уравнение х2
+
3х
– 40=0.
D
=
32
+4 ∙40= 169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
х
=
; х
=
.
Отсюда х
=
–8; х
=
5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении
х2
+
3х
– 40=0 коэффициент р
равен 3, а свободный член q
равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2
+
3х
– 40=0.
Способы устного решения квадратных уравнений.
7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
1) Если а+
b
+
c
=
0, то х
=
1, х
=
.
Пример.
Рассмотрим уравнение х2
+
4х
– 5= 0.
а+
b
+
c
=
0, х
=
1, х
=
.
1+ 4+(–5)= 0.
Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D
=
b
– 4ас=
4
– 4∙1∙(–5)= 36.
х
=
=
=
– 5.
х
=
=
=
1.
Отсюда следует, что если а+
b
+
c
=
0,то х
=
1, х
=
.
2) Если b
= а+
c
, то х
=
–1, х
=
.
Пример.
Рассмотрим уравнение 2х2
+
8х
+6 = 0.
Если b
= а+
c
, то х
=
–1, х
=
.
8 =2 +6.
Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D
=
b
– 4ас=
8
– 4∙2∙6= 16.
х
=
=
=
–3.
х
=
=
=
–1.
Отсюда следует, что если b
= а+
c
, то х
=
–1, х
=
.
8. Способ переброски.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а
±b
+
c
≠0, то используется прием переброски:
2х
2
– 11х+
5=0 х
2
– 11х+
10= 0
х
=
10; х
=
1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.
Ответ: 5; 0,5.
9.Закономерность коэффициентов.
1) Если в уравнении ax
2
+
bx
+
c
= 0 коэффициент b
равен (а2
+
1), а коэффициент с
численно равен коэффициенту а
, то его корни равны
х
=
–а
; х
=
–
.
ax
2
+
(а2
+
1)∙ х+ а=
0
Пример.
Рассмотрим уравнение 6х2
+
37х
+6 = 0.
х
=
–6; х
=
–
.
2) Если в уравнении ax
2
– bx
+
c
= 0 коэффициент b
равен (а2
+
1),а коэффициент с
численно равен коэффициенту а,
то его корни равны
х
= а
; х
=
.
ax
2
– (а2
+
1)∙ х+ а=
0
Пример.
Рассмотрим уравнение 15х2
–226х
+15 = 0.
х
=
15; х
=
–
.
3) Если в уравнении ax
2
+ bx
– c
= 0 коэффициент b
равен (а2
–
1), а коэффициент с
численно равен коэффициенту а,
то его корни равны
х
=
–а
; х
=
.
ax
2
+ (а2
–
1)∙ х
– а=
0
Пример.
Рассмотрим уравнение 17х2
+288х
– 17 = 0.
х
=
–17; х
=
.
4) Если в уравнении ax
2
– bx
– c
= 0 коэффициент b
равен (а2
–
1), а коэффициент с
численно равен коэффициенту а,
то его корни равны
х
= а
; х
=
–
.
ax
2
+ (а2
–
1)∙ х
– а=
0
Пример.
Рассмотрим уравнение 10х2
–99 х
– 10 = 0.
х
=
10; х
=
–
.
10. Дидактический материал.
1. Решение неполных квадратных уравнений:
а) 4х2
–
100= 0, б) 2х2
+ 10х
= 0,
4х2
= 100, х
(2х+10) = 0,
х2
=25, х
= 0 или 2х
+10 = 0,
х
=5. 2х
= –10,
х
=
–5.
2. Решение квадратных уравнений по формуле:
а) 4х
2
+ 7х
+ 3 = 0.
D
=
b
2
– 4ас =
72
– 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D
>
0; 2 корня;
х
=
=
=
;
х
=
=
=
–1.
б) 4х
2
– 4х + 1 = 0,
D
=
b
2
– 4ас=
16 – 4∙4∙1 = 0, D
= 0; 1 корень;
х=
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:
а) х
2
– 9х
+ 14 =0. б) х
2
+3х
– 28 = 0.
х1
+х2
= 9, х
1
+х
2
= –3,
х1
· х2
= 14. х1
· х2
= –28.
х
=2; х
= 7.
4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:
а) 4х
2
– 12х
+8х
= 0. б) х
2
– 6х + 5= 0.
а+
b
+
c
=
0, х
=
1, х
=
. а+
b
+
c
=
0, х
=
1, х
=
.
х
=
1, х
=
2. х
=
1, х
=
5.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски.
а) 6х
2
– 7х
–3= 0.
х
2
– 7х
–18= 0,
D
=
b
2
– 4ас =
(– 7)2
– 4· 1 ·(–18) = 49 +72 = 121, D
>
0; 2 корня;
х
=
=
=
= –2;
х
=
=
=
Корни 9 и (–2).
Делим числа 9 и (–2) на 6:
х
=
х2
=
б) 2х2
– 11х
+15= 0,
х2
– 11х
+ 30= 0,
D
=
b
2
– 4ас =
(– 11)2
– 4· 1 ·30= 212 –120= 1; D
>
0; 2 корня;
х
=
=
х
=
=
Корни 5 и 6.
Делим числа 5 и 6 на 2:
х
=
х2
= 3.
6. Закономерность коэффициентов:
а) 5х2
+ 26х
+ 5= 0. б) 7х2
+ 48х
–7 = 0.
b
= (а2
+
1); b
= (а2
–1);
х
=
–5; х
=
–
х
=
–7; х
=
Заключение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax
2
+
bx
+
c
= 0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными. Способы решений таких уравнений различны: выделение квадрата двучлена, по формуле, по теореме Виета, способ переброски, способы основанные на свойствах и закономерностях коэффициентов квадратного уравнения.
В данной работе я изложила и показала на примерах все эти способы. Проанализировав дополнительный материал, и пришла к выводу, что с помощью устных способов решение квадратных уравнений намного проще и быстрее.
Таким образом, я считаю, что тема данного реферата полностью раскрыта.
При работе над данным рефератом, я узнала много нового из истории о квадратных уравнениях, а также научилась устно их решать. Полученные знания пригодятся мне в будущем при поступлении в высшее учебное заведение.
Список использованных источников:
1) Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова.
Издательство «Просвещение», Москва 2009 г.
2) http://arm-math.rkc-74.ru/DswMedia/resheniekvadratnyixuravneniyrazlichnyimisposobami.doc
3) http://edu.of.ru/attach/17/76716.doc
|