МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Преамбула

Для изучения профильных дисциплин специалистами в области ядерно-физических процессов, работающих на современных физико-энергетических установках, необходимы знания законов, описывающих свойства движения веществ в различных агрегатных состояниях.

Постановка курса имеет целью углубление знаний в области теоретической физики и дает возможность решения широкого круга прикладных задач движения сплошных сред.

В задачи изучения дисциплины входят: овладение студентами и использование в практической деятельности основных законов механики сплошных сред; овладение различными методами решения фундаментальной системы гидродинамических уравнений движения; получение сведений по основным свойствам среды при внешнем и внутреннем обтекании тел; привитие навыков экспериментального исследования различных физических явлений; изучение экспериментальной техники и методики проведения эксперимента.

Для изучения данной дисциплины студент должен владеть знаниями по курсам общей физики, высшей математики.

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Введение (1ч)

Предмет механики сплошных сред (МСС). О моделях механического движения. Последовательность модельных представлений в механике. Аналитическая механика материальной точки . МСС - дальнейшее обобщение механики точки и твердого тела. Понятие сплошной среды.

Бесконечно малые в МСС. Пределы применимости МСС. Элемент объема в МСС, характерный размер задачи. Бесконечно малый промежуток времени в МСС. Характерное время задачи.

2. Теория упругости (4 ч)

Деформация. Вектор деформации. Однородная линейная деформация. Тензор относительной деформации. Тензор деформации и тензор поворота.

Тензор поворота. Физический смысл тензора поворота. Тензор деформации. Главные деформации среды. Чистая деформация. Изменение объема тела при деформации.

Температурная деформация. Тензор теплового расширения. Коэффициент объемного расширения.

Силы массовые, объемные и поверхностные. Их определение. Тензор напряжений. Физический смысл компонент тензора напряжений. Давление.

Результирующая сила, действующая на единицу объема тела.

Работа внутренних сил. Упругие и пластические деформации. Основное термодинамическое равенство. Изменение внутренней энергии среды при деформациях. Изменение свободной энергии среды при деформациях.

Свободная энергия деформационного тела. Коэффициенты Ламэ. Тензор сдвига. Тензор всестороннего сжатия. Модуль всестороннего сжатия. Модуль сдвига. Положительность модулей.

Закон Гука. Изменение объема тела при деформации. Изменение свободной энергии деформируемой среды, выраженное через скалярное произведение тензора напряжений и тензора деформаций.

Однородная деформация (растяжение стержня). Граничные условия. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Связь между коэффициентами Ламэ, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Пределы изменения коэффициентов.

Уравнения равновесия изотропных тел.

Тензор скоростей деформации. Тензор скорости поворота.

Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему.

Уравнение непрерывности. Интегральная и дифференциальная формы уравнения непрерывности. Несжимаемая среда.

Уравнение движения сплошной среды. Интегральная и дифференциальная формы закона сохранения импульса. Субстанциональное и локальное описание движения сплошной среды.

Уравнение момента количества движения в МСС. Интегральная форма уравнения. Символ Леви-Чивита. Дифференциальная форма уравнения. Доказательство симметричности тензора напряжений.

Тензор плотности потока импульса.

Уравнение сохранения внутренней энергии. Внутренняя энергия единицы объема сплошной среды. Плотность теплового потока.

Вектор плотности потока полной энергии (вектор Умова). Физический смысл составляющих вектора Умова.

Фундаментальная замкнутая система уравнений движения сплошной среды. Количество уравнений. Количество неизвестных. Уравнение состояния. Уравнение Фурье для плотности потока тепла. Начальные и краевые условия. Существование и единственность решений. Феноменологические коэффициенты уравнений.

Тензор вязких напряжений. Коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости.

Модели сплошных сред. Твердое тело. Жидкость. Газы. Время релаксации напряжений. Ньютоновские жидкости. Полный тензор напряжений для ньютоновских жидкостей и газов.

3. Идеальная жидкость (6 ч)

Определение идеальной жидкости.

Замкнутая система уравнений для идеальной жидкости. Тензор напряжений. Уравнение Эйлера. Уравнение сохранения внутренней энергии. Система уравнений. Изоэнтропическое движение. Плотность потока энтропии. Уравнение Эйлера в форме Громека. Граничные и начальные условия.

Уравнение Бернулли. Потенциальное движение жидкости. Уравнение стационарного, потенциального, изоэнтропического движения идеальной жидкости в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли для сжимаемой и несжимаемой жидкости. Линии тока и траектории при стационарном и нестационарном движении. Трубка тока. Уравнение линий тока для стационарного движения. Уравнение Бернулли для нестационарного движения. Баротропное движение.

Примеры применения уравнения Бернулли. Скорость истечения несжимаемой идеальной жидкости из сосуда. Распределение давления в трубе переменного сечения. Кавитация. Трубка Пито. Критическая точка.

Влияние сжимаемости среды. Критерий для учета сжимаемости.

Вихревое движение. Теорема Томсона. Сохранение циркуляции скорости. Пределы применимости теоремы Томсона в реальных жидкостях. Вихревая трубка. Теорема Гельмгольца для интенсивности вихревой трубки. Одиночная вихревая прямолинейная нить. Вихревое движение по замкнутым траекториям. Примеры вихревых движений. Вихревые кольца. Вихревое движение в природе.

Потенциальное движение. Потенциал скорости. Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального движения. Идеальная несжимаемая жидкость. Уравнение для потенциала скорости при потенциальном движении идеальной несжимаемой жидкости. (Уравнение Лапласа). Граничные условия.

Плоское движение несжимаемой жидкости. Функция тока. Свойства функции тока. Ортогональность линяй тока и эквипотенциальных линий.

Методы решения уравнения движения идеальной жидкости. Метод конформных: отображений. Обтекание бесконечного цилиндра. Парадокс Даламбера. Метод суперпозиции потенциальных потоков. Обтекание цилиндра с циркуляцией. Подъемная сила. (Эффект Магнуса). Теорема Жуковского. Примеры обтекания цилиндра с циркуляцией.

Графоаналитический метод. Непосредственное решение уравнений движения. Движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости. Нестационарность задачи. Присоединенная масса. Примеры влияния присоединенной массы на движение тел.

4. Вязкая жидкость (7 ч)

Уравнение Навье-Стокса. Граничные и начальные условия. Вихревое движение вязкой жидкости. Уравнение переноса интенсивности вихревого движения. Диффузия вихря.

Диссипация кинетической энергии в несжимаемой вязкой жидкости. Положительность динамического коэффициента вязкости.

Точные решения уравнения Навье-Стокса. Задача Куэтта. Плоское течение Пуазейля. Цилиндрическое течение Пуазейля. Профиль скорости, расход, сила трения. Использование формулы Пуазейля для измерения вязкости жидкости. Движение жидкости между двумя вращающимися цилиндрами. Распределение скорости, плотности и давления в зазоре. Момент вязких сил, действующих на цилиндры. Медленное обтекание шара вязкой несжимаемой жидкости. Задача Стокса, постановка задачи, результаты решения.

5. Теория подобия и моделирование (4ч)

Подобие в гидродинамике.. Безразмерная форма уравнения Навье-Стокса. Характерные величины. Критерии подобия Рейнольдса, Маха, Фруда, Стругала. Геометрическое подобие как непременное условие динамического подобия. Сила сопротивления. Коэффициенты сопротивления: коэффициент лобового сопротивления, коэффициент подъемной силы и коэффициенты боковой силы.

Аналитические коэффициенты сопротивления. Коэффициент сопротивления цилиндрической трубы, коэффициент сопротивления шара, при ламинарном движении жидкости.

Численное решение дифференциальных уравнений.

6. Турбулентность (4 ч)

Проблема устойчивости движения.

Устойчивость стационарного движения жидкости. Общая схема исследования на устойчивость стационарных движений вязкой несжимаемой жидкости. Малые возмущения. Комплексные частоты. Условие устойчивости. Критическое число Рейнольдса. Турбулентное движение. Опыты Рейнольдса по наблюдению движения вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.

Характерные особенности турбулентного движения. Нестационарность и квазипериодичность движения. Критическое число Рейнольдса. Зависимость критического числа Рейнольдса от характера и величины возмущений.

Уравнения Рейнольдса. Средние и пульсационные скорости движение. Осреднение уравнений Навье Стокса. Тензор турбулентных напряжений. Турбулентная вязкость. Незамкнутость системы уравнений турбулентного движения. Понятие о методе Фридмана.

Теория турбулентности Прандтля. Гипотезы Прандтля. Двина пути перемешивания. Логарифмический профиль скорости.

Турбулентное движение жидкости в трубах. Гладкие трубы. Формула Блазиуса для коэффициента сопротивления. Закон распределения скорости по сечению трубы.

Формула Никурадзе для коэффициента сопротивления. Сопротивление шероховатых труб. Дополнительный критерий подобия. Результаты экспериментов с шероховатыми трубами.

Постановка и метод решения задач нестационарного течения жидкости.

7. Пограничный слой (2 ч)

Понятие о пограничном слое»

Уравнения Прандтля. Уравнения Прандтля о безразмерном виде. Подобное преобразование картины движения в пограничном слое при увеличении числа Рейнольдса. Толщина пограничного слоя.

Обтекание плоской полубесконечной пластины. Результаты численного решения. Сила трения, коэффициент сопротивления и толщина, пограничного слоя. Толщина вытеснения. Разгонный участок.

Отрыв пограничного слоя. Нахождение точки отрыва пограничного слоя. Хорошо и плохо обтекаемые тела. Способы управления пограничным слоем.

Турбулентный пограничный слой и кризис сопротивления. Экспериментальные результаты по измерению сопротивления шара в зависимости от числа Рейнольдса. Изменение характера обтекания шара при увеличении числа Рейнольдса.

8. Газовая динамика (2 ч)

Предмет газовой динамики

Скорость звука. Скорость звука и средняя тепловая скорость движения молекул. Скорость звука как термодинамический параметр. Выражение внутренней энергии энтальпии и энтропии газа через скорость звука.

Параметры газа в заторможенном потоке. Температура торможения. Примеры изменения температуры газа при движении.

Стационарный одномерный поток сжимаемого газа. Максимальная скорость движения. Критическая скорость.

Изменение плотности потока вещества вдоль трубки тока при дозвуковом и сверхзвуковом движении. Сопло Лаваля. Расчет сопла Лаваля.

Истечение газа из резервуара через сужающийся насадок. Формула Сен-Венана и Вентцеля. Звуковая диафрагма.

Представление об ударных волнах и скачках уплотнения.

9. Магнитная гидродинамика (4ч)

Особенности движения проводящей жидкости в магнитное поле.

Уравнения Максвелла. Ограничения класса рассматриваемых сред и движений. Изотропная проводимость жидкости. Пренебрежение токами смещения.

Уравнение движения проводящей жидкости в магнитной поле. Тензоры электрического к магнитного напряжений. Электрические массовые, магнитные массовые силы. Уравнение Навье-Стокса в магнитной гидродинамике. Уравнение непрерывности. Уравнение сохранения внутренней энергии. Диссипация энергии вследствие токов проводимости. Замкнутая система уравнений движения. Граничные условия.

Система уравнений для несжимаемой жидкости.

Тензор плотности потока импульса. Вектор Умова.

Принцип вмороженности магнитных силовых линий. Возможность значительного увеличения напряженности магнитного поля при сжатии вещества. Диффузия магнитного поля. Время релаксации магнитного поля в проводящей среде.

Задача Гартмана. Установившееся движение проводящей жидкости между двумя параллельными плоскостями в поперечном магнитном поле. Профиль скорости.

Магнитогидродинамические машины. Электромагнитные насосы. Преимущества и недостатки электромагнитных насосов. Индукционный насос. Электромагнитные насосы прямого действия. Приближенный расчет производительности электромагнитного насоса прямого действия. Магнитогидродинамический генератор (МГД-генератор). Оценка мощности МГД-генератора. Плазменные двигатели.

Одномерное движение проводящей жидкости в поперечном магнитном поле. Магнитное движение. Скорость распространения малых возмущений. Волны Альвена. Уравнение Бернулли в магнитной гидродинамике.

Практические занятия, их содержание и объем в часах

1. Распределение скорости и давления при движении газов и жидкостей в каналах (2ч).

2. Теория подобия и метод размерностей (2 ч).

3. Численное решение дифференциальных уравнений (2ч).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основной

1. Ландау Л. Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.735 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.:Наука, 1970. Т.1. 492 с.; Т.II.568 с.

Дополнительный

1. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.:ГИТТЛ. 1950. 814 с.

2. Прандтлъ Л. Гидроаэродинамика. Пер.с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:Наука, 1970. 736 с.