Учебное пособие: Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов высших учебных заведений экономических специальностей Нижний Новгород

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Чалиев А.А., Овчаров А.О.

СТАТИСТИКА

Часть 1

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией финансового факультета

для студентов высших учебных заведений экономических специальностей

Нижний Новгород

2007

УДК 311(075.8)

ББК У051

Ч–12

Ч–12 Чалиев А.А., Овчаров А.О. СТАТИСТИКА. Учебно-методическое пособие. Часть 1. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007.– 87 с.

Рецензент: к.э.н., доцент Козлов А.И.

Настоящее издание содержит учебную программу и основные разделы теоретической и прикладной статистики. В учебно-методическом пособии даны примеры решения типовых задач, а также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей финансового факультета ННГУ.

УДК 311(075.8)

ББК У051

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И.Лобачевского, 2007

Содержание

Введение.. 4

1. Цели и задачи дисциплины... 4

2. Программа курса.. 6

3. Тематика контрольных (курсовых) работ.. 13

4. Методические указания и контрольные задания.. 15

Часть 1. Теоретическая статистика. 15

Тема 1. Абсолютные и относительные статистические величины.. 15

Тема 2. Средние величины и показатели вариации.. 22

Тема 3. Выборочное наблюдение. 29

Тема 4. Ряды динамики.. 33

Тема 5. Индексы.. 41

Тема 6. Статистическое изучение взаимосвязей.. 47

Часть 2. Социально-экономическая статистика. 56

Тема 1. Социально-демографическая статистика.. 56

Тема 2. Статистика уровня жизни населения. 61

Тема 3. Статистика национального богатства.. 66

Тема 4. Статистика труда.. 72

5. Экзаменационные вопросы... 83

6. Литература.. 84

Приложения.. 85

Приложение 1. Значения F-критерия Фишера. 85

Приложение 2. Значения t-критерия Стьюдента. 86

Введение

Учебная дисциплина «Статистика» является обязательным компонентом в подготовке дипломированных специалистов по экономическим специальностям. Основное назначение данной дисциплины состоит в повышении экономико-математической подготовки студентов в области современных методов сбора, обработки и анализа статистической информации, достижении высокого и устойчивого уровня профессионализма. Современный специалист должен обладать глубокими знаниями, уметь проводить количественный анализ сложных экономических проблем, применять математические расчеты в решении экономических задач. Поэтому изучение данной дисциплины поможет сформировать у студентов целостный взгляд на место и роль статистической науки в современной экономике.

1. Цели и задачи дисциплины

1.1. Цель курса:

Цель преподавания курса «Статистика» – подготовка специалистов, владеющих современными методами сбора, обработки и анализа статистической информации, принятыми в отечественной и международной практике учета и статистики.

Структурно изучаемая дисциплина состоит из двух разделов: общей теории статистики и экономической статистики. В первом разделе рассматриваются общие понятия и методы сбора, обработки и обобщения массовых данных. Во втором – система показателей и их экономическая интерпретация для конкретных социально-экономических процессов.

1.2. Задачи курса:

– овладение комплексом статистических методов наблюдения, сводки и группировки массовых данных;

– освоение системы статистических величин, характеризующих количественную сторону социально-экономических явлений и процессов;

– применение методов статистического анализа при исследовании различных сфер экономики.

1.3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника:

Эффективное изучение дисциплины «Статистика» предполагает знание основ экономической теории, математики и теории бухгалтерского учета.

1.4. Требования к уровню освоения содержания курса:

В результате изучения дисциплины студенты должны:

а) знать:

─ основные категории и классификации в статистике;

─ методы расчета обобщающих показателей, выявления тенденций и закономерностей социально-экономических процессов;

─ принципы построения системы национальных счетов;

б) уметь:

─ анализировать результаты статистического наблюдения в виде таблиц и графиков;

─ рассчитывать статистические величины и делать аргументированные выводы;

─ применять теоретические положения статистики на практическом уровне;

в) иметь представление:

─ об органах государственной статистики в РФ;

─ о международных сопоставлениях макроэкономических показателей;

─ об организации практической статистической работы.

2. Программа курса

2.1. Содержание лекционных занятий.

Тема 1. Предмет и метод статистики.

Предмет статистики. Статистика как наука. Ее связь с другими науками. Категории и задачи статистики.

Три группы методов статистики. Статистическое наблюдение как первый этап статистического исследования. Понятие, назначение и задачи статистического наблюдения. Виды статистического наблюдения. Способы статистического наблюдения. Программно-методологические основы наблюдения: цель, объект, единица и время наблюдения. Программа наблюдения и требования к ней. Статистический формуляр: понятие, назначение, виды и особенности применения. Статистическая инструкция, ее назначение и содержание.

Статистические сводки и группировки как второй этап статистического исследования. Понятие о сводке, ее назначение и задачи. Виды сводок.

Простая (монотетическая) и сложная (политетическая) группировки. Виды группировок: типологическая, структурная, аналитическая. Комбинационная группировка. Целевые задачи каждого вида группировки.

Принципы группировки: выбор основания группировки и группировочного признака; распределение единиц совокупности по группам; определение числа групп и интервалов группировки. Интервалы: равномерные и неравномерные, закрытые и открытые. Серединное значение интервала, центрирование интервалов. Формула Стерджесса для определения числа групп и интервала равномерной группировки.

Вторичная группировка, ее назначение и виды. Алгоритм укрупнения и разукрупнения первичных группировок. Многомерные группировки в статистике. Методы многомерных классификаций.

Тема 2 . Статистические величины и показатели вариации.

Абсолютная величина: сущность, виды и единицы измерения. Классификация относительных величин, способы их расчета.

Средняя величина как обобщающий показатель. Виды и принципы применения средних величин. Классификация средних величин: степенные и структурные; простые и взвешенные; пространственные и временные. Виды степенных средних – простые и взвешенные; арифметическая, гармоническая, геометрическая. Правило мажорантности этих средних.

Свойства степенных средних величин. Математические свойства средней арифметической. Расчет средней в интервальных рядах и методом условного нуля. Групповые средние. Расчет средней для совокупности на основе групповых средних.

Структурные средние величины: мода и медиана. Способы расчета для интервальных статистических совокупностей.

Причины и необходимость изучения вариации. Абсолютные и относительные показатели вариации: размах вариации; среднее линейное и квадратическое отклонение; коэффициенты осцилляции, относительного линейного отклонения, вариации.

Понятие о дисперсии. Математические свойства дисперсии. Общая, внутригрупповая и межгрупповая дисперсии. Расчет общей дисперсии четырьмя методами: методом прямого счета (по определяющей формуле); методом условного нуля; методом средних величин (разность между средним квадратом и квадратом средней); по правилу сложения внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

Тема 3. Ряды динамики.

Сущность ряда динамики, его элементы и правила построения. Показатели анализа рядов динамики: абсолютный прирост, темпы роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Средние показатели ряда динамики. Графическое изображение рядов динамики.

Сопоставимость в рядах динамики. Причины несопоставимости. Преобразование рядов в сопоставимый вид. Смыкание рядов динамики при территориальных изменениях.

Понятие об общей тенденции развития ряда, ее значение и методы выявления. Метод укрупнения временных периодов. Метод усреднения краткосрочных отрезков за ряд лет (временных периодов), метод скользящей средней. Метод аналитического выравнивания по способу наименьших квадратов. Метод экстраполяции. Индекс сезонности.

Тема 4. Выборочное наблюдение.

Понятие о выборочном наблюдении. Необходимость, принципы и задачи выборочного наблюдения.

Генеральная и выборочная совокупность, доля и средняя. Индивидуальный и групповой отбор. Методы отбора.

Определение средней и предельной ошибок выборочного наблюдения. Необходимая численность выборки. Способы распространения выборочных данных на генеральную совокупность.

Тема 5. Индексы.

Экономическая сущность индексов и сферы их применения. Классификация индексов. Агрегатный индекс как основная форма индексов. Индексный метод. Типовые экономические задачи с применением статистических индексов.

Двухфакторный индексный анализ. Мультипликативная (алгебраическая) связь индексов и аддитивная (арифметическая) связь приростов, полученных за счет переменных индексных факторов.

Средние индексы. Индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов: методика расчетов и экономический смысл. Трехфакторный индексный анализ сложных явлений.

Территориальные индексы: принципы построения и сфера применения.

Тема 6 . Статистическое изучение взаимосвязей.

Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа. Парная корреляция. Расчет линейного коэффициента корреляции. Эмпирическое корреляционное отношение. Множественная корреляция. Коэффициент множественной корреляции и коэффициент детерминации. Непараметрические методы оценки связи.

Однофакторный регрессионный анализ. Нахождение теоретической формы связи. Выравнивание по прямой. Коэффициент эластичности. Нелинейные зависимости.

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ. Парные и частные коэффициенты корреляции. Применение корреляционно-регрессионного анализа в прогнозировании социально-экономических процессов.

Тема 7. Социально-демографическая статистика.

Демография как отрасль статистической науки. Категории и группировки населения. Показатели численности и размещения населения. Естественное и механическое движение населения: понятие и расчет основных коэффициентов. Демографический прогноз: сущность и виды. Прогнозирование будущей численности населения по методу передвижки возрастов. Основные показатели социальной характеристики населения.

Тема 8. Статистика уровня жизни населения.

Понятие и система показателей уровня жизни населения. Номинальные, располагаемые и реальные доходы. Индексация доходов.

Группировка потребительских расходов по целевому назначению. Показатели объема, состава и динамики потребления материальных благ и услуг населением. Расчет коэффициента эластичности потребления. Баланс доходов и расходов населения.

Дифференциация населения по уровню доходов. Коэффициент фондов и децильный коэффициент. Модальный и медианный доход. Коэффициент Джини. Кривая Лоренца. Величина прожиточного минимума, его структура, натуральное и денежное выражение. Агрегированные показатели бедности: глубины и остроты. Индексы развития человеческого потенциала и нищеты населения.

Тема 9. Статистика национального богатства.

Определение и структура национального богатства. Национальное имущество и природные ресурсы. Финансовые и нефинансовые активы.

Статистика природных ресурсов. Земельный и лесной фонды. Показатели их состояния и использования. Водные ресурсы, показатели их состояния, использования и эффективности очистки. Полезные ископаемые, их классификация и показатели запасов, добычи, эффективности использования. Система экологического и экономического учета.

Основные фонды: сущность, способы оценки и методы амортизации. Производственные и непроизводственные основные фонды. Статистическая группировка основных производственных фондов. Натурально-вещественный состав основных фондов в отдельных отраслях народного хозяйства – производственной и непроизводственной сферы. Активная и пассивная части основных фондов.

Показатели состояния основных фондов: коэффициенты ввода, выбытия, обновления, износа, годности. Показатели эффективности использования фондов: фондовооруженность труда, фондоотдача, фондоемкость. Увязка изменения фондоотдачи со структурными сдвигами в активной части фондов. Индексный анализ эффективности использования основных фондов. Двух- и трехфакторные модели изменения объема продукции.

Понятие, состав и классификация оборотных фондов. Производственные и непроизводственные оборотные фонды, формы их статистического учета. Количественные показатели оборотных фондов. Процессы ускорения и замедления оборачиваемости, их оценка.

Тема 10. Система национальных счетов.

Система национальных счетов (СНС): сущность, принципы построения и основные показатели. Счет как элемент СНС. Методы балансировки счета. Две стороны счетов. Группы счетов СНС, их характеристика. Использование СНС в макроэкономическом анализе и прогнозировании.

Валовой внутренний продукт (ВВП) как ключевой макроэкономический показатель СНС. Методы расчета ВВП. Анализ динамики ВВП. Индекс–дефлятор ВВП. Методы переоценки ВВП в сопоставимые цены. Международные сопоставления ВВП.

Национальный доход и другие показатели доходов в СНС. Концепция дохода Дж. Хикса.

Межотраслевой баланс производства и использования товаров и услуг (МОБ) как элемент СНС. Основное уравнение МОБ. Виды МОБ и методы оценки его показателей.

Тема 11. Статистика труда.

Рынок труда и его элементы. Экономически активное население. Группировка населения по статусу занятости. Показатели движения трудовых ресурсов.

Рабочее время и его использование. Единицы измерения рабочего времени. Календарный, табельный и максимально возможный фонды рабочего времени, способы их расчета. Баланс рабочего времени. Статистика трудовых конфликтов.

Понятие и элементы фонда оплаты труда. Методика расчета средней заработной платы. Коэффициент дифференциации заработной платы. Индексный метод анализа динамики оплаты труда.

Производительность труда: сущность и показатели ее уровня. Производительность общественного труда. Анализ выработки и трудоемкости. Натуральный, трудовой и стоимостной методы анализа динамики производительности труда. Двухфакторная модель изменения стоимости продукции.

Тема 12. Статистика финансов.

Финансы как объект статистического учета. Статистика государственных и негосударственных финансов. Бюджетная статистика: понятие, задачи, классификации доходов и расходов. Анализ исполнения бюджетов всех уровней. Статистика налогов. Применение абсолютных и относительных показателей в налоговой статистике.

Прибыль: понятие, экономическое значение, виды, статистический учет. Статистический анализ балансовой прибыли, прибыли от реализации продукции (работ, услуг), прибыли от реализации иных ценностей, внереализационной прибыли, налогооблагаемой прибыли, чистой прибыли.

Рентабельность как важнейший показатель экономической эффективности. Виды рентабельности, их статистический учет и анализ. Факторный анализ прибыли и рентабельности в их причинно-следственной зависимости.

Коэффициентный анализ ликвидности, устойчивости и платежеспособности предприятия.

Система показателей статистики денежного обращения: денежный оборот, денежная масса, денежная база, скорость обращения, продолжительность оборота. Структура денежной массы. Факторный анализ динамики денежной массы. Влияние инфляции на состояние денежного оборота.

Понятие фондового рынка и задачи статистики. Индивидуальные характеристики ценных бумаг, их рейтинг. Расчет биржевых индексов. Индексы рынка государственных ценных бумаг. Статистика валютного курса.

Основные абсолютные показатели статистики страхования. Статистический учет страховых рисков. Показатели эффективности страхования.

Задачи статистики кредита. Основные статистические показатели кредита: средний размер задолженности, средний срок ссуды, средняя процентная ставка. Анализ динамики кредитных вложений. Система показателей банковской деятельности. Рейтинг банков. Виды и способы начисления банковских процентов. Расчет наращенной суммы и современной стоимости. Финансовые ренты: сущность, параметры и виды.

Тема 13. Статистика коммерческой деятельности.

Задачи статистики коммерческой деятельности. Статистическое изучение торговли товарами и услугами; статистика товарных запасов и товарооборачиваемость. Статистика инфраструктуры коммерческой деятельности, статистика финансов и инвестиций в коммерции, статистика труда и обслуживания потребителей в коммерческой деятельности. Статистические методы оценки и прогнозирования коммерческой деятельности.

Задачи и система показателей статистики цен. Средняя арифметическая и средняя гармоническая цена. Состав и структура цен. Виды цен в РФ. Экономические элементы отпускной и розничной цены. Тарифы.

Динамика цен. Индексы потребительских цен, методы их расчета. Количественные оценки инфляции. Влияние инфляции на динамику цен. Индексы цен во внешней торговле.

Тема 14. Статистика отраслей народного хозяйства.

Общие принципы исчисления показателей отраслей и секторов экономики. Статистика продукции промышленности. Натуральные и стоимостные показатели объема продукции. Расчет показателей качества и сортности продукции.

Система показателей продукции сельского хозяйства. Урожайность и валовой сбор: экономическая сущность и индексный метод анализа. Расчет показателей численности и продуктивности животноводства.

Классификация строительной деятельности. Производственный метод исчисления продукции строительства.

2.2. Распределение часов по темам и видам работ

Примечание: предложенное распределение бюджета времени относится к специальности «Финансы и кредит», для других специальностей изложение материала ведется по сокращенному бюджету времени.

3. Тематика контрольных (курсовых) работ

Задания к контрольной (курсовой) работе составлены в 10 вариантах. Курсовая работа должна содержать 2 части – теоретическую и практическую. Первая часть включает теоретическое изложение конкретной темы курса, вторая – решение комплексных задач по важнейшим разделам статистики.

При выполнении контрольной работы необходимо выполнить только практическую часть, задания к которой приведены в следующем разделе.

Выбор варианта зависит от последней цифры зачетной книжки студента:

При выполнении курсовой работы необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. На титульном листе работы должны быть указаны фамилия, имя, отчество студента, выполнившего работу, номер группы и номер варианта. Задачи нужно решать в том порядке, в каком они даны в задании.

2. Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие. Само решение следует сопровождать необходимыми расчетами и пояснениями с указанием применяемых формул, анализом и выводами.

3. Все расчеты относительных показателей нужно производить с точностью до 0,001, а процентов – до 0,01, используя при этом правила округления.

4. Работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво без помарок, зачеркиваний и сокращений слов. Допускается выполнение работы на компьютере в каком-либо текстовом редакторе.

В конце работы следует привести список использованной литературы, составленной в соответствии с общепринятыми правилами.

Задания к теоретической части курсовой работы

4. Методические указания и контрольные задания

Часть 1. Теоретическая статистика

Тема 1. Абсолютные и относительные статистические величины

Методические указания по теме

Задача 1 . Расход топлива на производственные нужды предприятия характеризуется в отчетном периоде следующими данными:

Определить общее количество потребленного условного топлива (1 т.у.т. = 29,3 МДж/кГ) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по общему расходу топлива.

Решение. Учитывая стандартную теплотворную способность 29,3 МДж/кГ, определяем количество потребленного условного топлива каждого вида по плану (X ’_{1 i} ) и фактически (X _{1 i} ):

– дизельное топливо: X ’_1дт = 41,9/29,3*1000 = 1430,034 т.у.т.

дизельное топливо: X _1дт = 41,9/29,3*1050 = 1501,536 т.у.т.;

– мазут: X ’_1м = 40,1/29,3*750 = 1026,451 т.у.т.

мазут: X _1м = 40,1/29,3*730 = 999,078 т.у.т.;

– уголь: X ’_1у = 26,4/29,3*500 = 450,512 т.у.т.

уголь: X _1у = 26,4/29,3*555 = 500,068 т.у.т.

Суммируя количество потребленного условного топлива каждого вида, получим общее количество потребленного условного топлива:

– по плану X ’₁ = ∑X ’_{1 i} = 2906,997 т.у.т.;

– фактически X ₁ = ∑X _{1 i} = 3000,682 т.у.т.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана , то есть отношение значений по факту и плану отчетного периода:

, ( 1)

Применяя формулу (1), имеем: = 3000,682/2906,997 = 1,032, то есть план по общему расходу топлива перевыполнен на 3,2%.

Задача 2 . Рассчитать индекс и темп изменения, если в марте произведено продукции 130 тонн, а в феврале 100 тонн.

Решение. Индекс изменения (динамики) характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):

, ( 2)

где подиндексы означают: 1 — отчетный или анализируемый период, 0 — прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики (темпа роста) служит единица, то есть если >1, то имеет место рост явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад явления. Применяя формулу (2), имеем: = 130/100 = 1,3 (или 130%) > 1 – рост объема произведенной продукции.

Темп изменения (прироста) определяется по формуле (3):

. ( 3)

Применяя формулу (3), имеем: Т = 1,3 – 1 = 0,3 (или 30%), то есть объем произведенной продукции вырос в марте по сравнению с февралем на 30%.

Задача 3 . Рассчитать индексы планового задания, выполнения плана и динамики, если выпуск продукции в отчетном году составил 100 млн. рублей, на следующий год планировалось 140 млн. рублей, а фактически получено 112 млн. рублей.

Решение. Индекс планового задания – это отношение значений одной и той же абсолютной величины по плану анализируемого периода и по факту базисного. Он определяется по формуле (4):

, ( 4)

где X ’₁ — план анализируемого периода; X ₀ — факт базисного периода.

Применяя формулу (4) имеем: = 140/100 = 1,4 (или 140%), то есть на следующий год планировалось выпустить продукции в размере 140% от объема предыдущего года.

Индекс выполнения плана определим, применяя формулу (1): = 112/140 = 0,8 (или 80%), то есть план по увеличению выпуска продукции выполнили лишь на 80% или недовыполнили на 20%.

Индекс динамики можно определить по формуле (2) или перемножая индексы планового задания и выполнения плана, то есть = 1,12.

Задача 4 . Суммарные денежные доходы россиян в 2005 г. составили 13522,5 млрд. руб., из которых 8766,7 млрд. руб. составила оплата труда, 1748,4 млрд. руб. – социальные выплаты, 1541,7 млрд. руб. – доход от предпринимательской деятельности, 1201,5 млрд. руб. – доходы от собственности, остальное – прочие доходы. Рассчитать относительные величины структуры и координации, приняв за основу оплату труда. Построить секторную (круговую) диаграмму структуры доходов.

Решение. Индекс структуры (доля ) – это отношение какой-либо части величины (совокупности) ко всему ее значению. Он определяется по формуле (5):

( 5)

Применяя формулу (5) и округляя значения до 3-х знаков после запятой, имеем:

– доля оплаты труда d _ОТ = 8766,7/13522,5 = 0,648 или 64,8%;

– доля социальных выплат d _СВ =1748,4/13522,5 = 0,129 или 12,9%;

– доля доходов от предпринимательской деятельности d _ПД =1541,7/13522,5 = 0,114 или 11,4%;

– доля доходов от собственности d _ДС =1201,5/13522,5 = 0,089 или 8,9%.

Долю прочих доходов найдем, используя формулу (6), согласно которой сумма всех долей равна единице:

. ( 6)

Таким образом, доля прочих доходов d _проч = 1 – 0,648 – 0,129 – 0,114 – 0,089 = 0,020 или 2,0%.

Для иллюстрации структуры (составных частей) доходов построим секторную диаграмму (рис.1):

Рис.1. Структура денежных доходов населения РФ в 2005 году.

Таким образом, очевидно, что наибольшую долю в суммарных денежных доходах составляет оплата труда (64,8%), на 2-м месте – социальные выплаты (12,9%), затем следуют предпринимательский доход (11,4%), доходы от собственности (8,9%), а прочие доходы составляют лишь 2%.

Индекс координации – это отношение какой-либо части величины к другой ее части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):

. ( 7)

Применяя формулу (7) и принимая за основу оплату труда, имеем:

– индекс координации социальных выплат = 1748,4/8766,7 ≈ 0,129/0,648 = 0,199;

– индекс координации предпринимательского дохода =1541,7/8766,7 ≈ 0,114/0,648 = 0,176;

– индекс координации доходов от собственности = 1201,5/8766,7 ≈ 0,089/0,648 = 0,137;

– индекс координации прочих доходов ≈ 0,02/0,648 = 0,031.

Таким образом, социальные выплаты составляют 19,9% от оплаты труда, предпринимательский доход – 17,6%, доходы от собственности – 13,7%, а прочие доходы – 3,1%.

Задача 5 . Запасы воды в озере Байкал составляют 23000 км³ , а в Ладожском озере 911 км³ . Рассчитать относительные величины сравнения запасов воды этих озер.

Решение. Индекс сравнения – это отношение значений одной и той же величины в одном периоде или моменте времени, но для разных объектов или территорий. Он определяется по формуле (8):

, ( 8)

где А , Б — признаки сравниваемых объектов или территорий.

Применяя формулу (8) и принимая за объекты А и Б , соответственно, озера Байкал и Ладожское, найдем индекс сравнения: = 23000/911 = 25,25, то есть запасов воды в озере Байкал в 25,25 раза больше, чем в Ладожском озере.

Меняя базу сравнения, найдем индекс сравнения Ладожского озера с Байкалом по той же формуле: = 911/23000 = 0,0396 или 3,96%, то есть запасы воды в Ладожском озере составляют 3,96% запасов воды в озере Байкал.

Задача 6 . Рассчитать относительную величину интенсивности валового внутреннего продукта (ВВП) в сумме 1416,1 млрд. $ на душу населения в России в 2004 году при численности населения в 144,2 млн. человек.

Решение. Показатель интенсивности – это отношение значений двух разнородных абсолютных величин для одного периода времени и одной территории или объекта. Он определяется по формуле (9):

. ( 9)

Применяя формулу (9) имеем: i _ИН = 1416,1/0,1442 = 9820,39 $/чел в год.

Контрольные задания по теме

Вариант 1. Определить общее производство моющих средств в условных тоннах (условная жирность 40%) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по следующим данным:

Вариант 2. По данным о численности жителей двух крупнейших городов России (тыс. чел) определить индексы сравнения и динамики.

Вариант 3.

1. По плану на 2005 год намечалось увеличение товарооборота на 3%. В 2005 году плановое задание перевыполнили на 600 млн. руб. или на 2,5%. Определить фактический прирост товарооборота (в млн. руб.) в 2005 году по сравнению с 2004 годом.

2. По данным о товарообороте из предыдущей задачи, состоящего из реализации собственной продукции и продажи покупных товаров, определить относительные величины координации и структуры собственной и покупной продукции в 2004 и 2005 годах, если известно, что доля собственной продукции в 2004 году составила 65%, а в 2005 году она увеличилась на 10%.

Вариант 4. Жилищный фонд и численность населения России следующие (на начало года):

Охарактеризовать изменение обеспеченности населения жилой площадью с помощью относительных величин динамики и координации.

Вариант 5.

1. В России в 2004 численность женщин составила 77144,3 тыс. чел, а мужчин – 67023,9 тыс. чел. Рассчитать относительные величины структуры и координации.

2. По плану объем продукции в отчетном году должен возрасти по сравнению с прошлым годом на 2,5%. План выпуска продукции перевыполнен на 3,0%. Определить фактический выпуск продукции в отчетном году, если известно, что объем продукции в прошлом году составил 25,3 млн. руб.

Вариант 6. Определить общий объем фактически выпущенной продукции по следующим данным по трем филиалам предприятия, выпускающих однородную продукцию:

Вариант 7. По промышленному предприятию за отчетный год имеются следующие данные о выпуске продукции:

Определить процент выполнения квартального плана: 1) по выпуску каждого вида продукции; 2) в целом по выпуску всей продукции.

Вариант 8. Определить процент выполнения плана по продажам условных школьных тетрадей (1 у.ш.т. – 12 листов) по каждому виду тетрадей и в целом по магазину по следующим данным:

Вариант 9. В России на начало 2005 года численность населения составила 144,2 млн. чел., в течение года: родилось 1,46 млн. чел., умерло – 2,3 млн. чел., мигрировало из других государств 2,09 млн. чел., мигрировало за границу – 1,98 млн. чел. Охарактеризовать изменение численности населения в 2005 году с помощью относительных величин.

Вариант 10. Определить общий объем фактически выпущенной условной консервной продукции (1 у.к.б. = 0,33 л) по следующим данным:

Тема 2. Средние величины и показатели вариации

Методические указания по теме

Задача 1 . Имеются следующие данные о возрастном составе студентов группы заочного отделения ВУЗа (лет): 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 22; 23; 23; 24; 25; 25; 25; 26; 27; 29.

Для анализа распределения студентов по возрасту требуется: 1) построить интервальный ряд распределения и его график; 2) рассчитать модальный, медианный и средний возраст, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации; 3) проверить распределение на нормальность с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n ):

n = 1 +3,322 lg N, (10)

где N – число величин в дискретном ряде.

В нашей задаче n = 1 + 3,322lg 25 = 1 + 3,322*1,398 = 5,64. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 6.

После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:

h = H / n, (11)

где H – размах вариации, определяемый по формуле (12).

H = Х_мах –Х _min , ( 12)

где X _{м a x} и X_min — максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашей задаче h = (29 – 19)/6 = 1,67.

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи

На основе этой группировки строится график распределения возраста студентов (рис.2).

Рис.2. График распределения возраста студентов.

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (13):

, ( 13)

где Х_Mo – нижнее значение модального интервала; f _Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака (вес признака) в модальном интервале; f _Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; f _Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным; h – величина интервала изменения признака в группах.

В нашей задаче чаще всего повторяется (12 раз) первый интервал возраста (до 20,67), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (13), определяем точное значение модального возраста:

Мо = 19 + 1,667*(12-0)/(2*12-4-0) = 20 (лет).

Медиана – это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая – меньше медианы. Для интервального ряда с равными интервалами величина медианы определяется так:

, ( 14)

где X_Me – нижняя граница медианного интервала; h – его величина (размах); – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала; f _Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

В нашей задаче второй интервал возраста (от 20,67 до 22,33) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения возраста. Используя формулу (14), определяем точное значение медианного возраста:

Ме = 20,67 + 1,667*(12,5-12)/4 = 20,878 (года).

Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (15). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (16).

= ; ( 15) = . ( 16)

При этом обозначено: X_i – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Используя формулы (15) и (16) при разных показателях степени m , получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2).

Таблица 2. Виды степенных средних и их применение

Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть < < < < . Так, если , то , а если , то .

В нашей задаче, применяя формулу (18) и подставляя вместо середины интервалов возраста Х_И , определяем средний возраст студентов: = 549,163/25 = 21,967 (года). Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации.

Среднее линейное отклонение определяется по формулам (29) и (30):

– простое; ( 29) – взвешенное. ( 30)

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (31):

. ( 31)

Дисперсия определяется по формулам (32) или (33):

– простая; ( 32) – взвешенная. ( 33)

В нашей задаче, применяя формулу (30), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л = 54,937/25 = 2,198 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации : = 2,198/21,967 = 0,100. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,100 < 0,333).

Применяя формулу (33), получим в итоге дисперсию: Д = 164,018/25 = 6,561. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: = = 2,561 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим квадратический коэффициент вариации : = 2,561/21,967 = 0,117. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,117 < 0,333).

В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка (34) и коэффициент асимметрии Пирсона (35):

, ( 34) . ( 35)

Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней (правосторонняя скошенность), если отрицательно – левосторонняя скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен.

В нашей задаче = =383,636/25 = 15,345; =2,561³ = 16,797; =15,345/16,797 = 0,914 > 0, значит, распределение студентов по росту с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона: As = (21,967-20)/2,561 = 0,768.

Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка:

= . (36)

Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4-го порядка , который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение, для которого =3. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (37):

. ( 37)

Для приближенного определения эксцесса может быть использована формула Линдберга (38):

, ( 38)

где – доля количества вариант, лежащих в интервале, равном половине (в ту и другую сторону от средней величины).

В нашей задаче числитель центрального момента 4-го порядка рассчитан в последнем столбце расчетной таблицы. В итоге по формуле (37) имеем: Ex = (2780,498/25)/2,561⁴ –3 = 111,220/43,017–3 = -0,415. Так как Ex<0, то распределение низковершинное. Это подтверждает и приблизительный расчет по формуле (38): в интервале 21,967 0,5*2,561, то есть от 20,687 до 23,248 находится примерно 21,4% студентов. Таким образом, Ex = 0,214 – 0,3829 = –0,169.

Контрольные задания по теме

По имеющимся в следующей таблице данным по группе из 20 студентов заочного отделения необходимо:

1) построить интервальный ряд распределения признака и его график;

2) рассчитать модальное, медианное и среднее значение, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации;

3) проверить распределение на нормальность с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Тема 3. Выборочное наблюдение

Методические указания по теме

Задача 1 . На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за месяц:

С вероятностью 0,950 определить:

1) среднемесячный размер дохода работников данного предприятия;

2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход более 700 у.е.;

3) необходимую численность выборки при определении среднемесячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е.;

4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.

Решение. Выборочный метод (выборка) используется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за огромного массива данных или экономической нецелесообразности. Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр (например, среднее значение – или долю какого-то признака – р ) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. Для этого необходимо определить изучаемый параметр по данным выборки (выборочную среднюю – и/или выборочную долю – w ) и его дисперсию (Д_в ). Для этого построим вспомогательную таблицу 3.

Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи

По формуле (18) получим средний доход в выборке: = 57100/100 = 571 (у.е.). Применив формулу (33) и рассчитав ее числитель в последнем столбце таблицы, получим дисперсию среднего выборочного дохода: Д_в = 4285900/100 = 42859.

Затем необходимо определить предельную ошибку выборки по формуле (39)[1] :

= t , ( 39)

где t – коэффициент доверия , зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки; – средняя ошибка выборки , определяемая для повторной выборки по формуле (40), а для бесповторной – по формуле (41):

= , ( 40) = , ( 41)

где n – численность выборки; N – численность генеральной совокупности.

В нашей задаче выборка бесповторная, значит, применяя формулу (41), получим среднюю ошибку выборки при определении среднего возраста в генеральной совокупности: = = 19,640 (у.е.).

Для определения средней ошибки выборки при определении доли рабочих с доходами более 700 у.е. в генеральной совокупности необходимо определить дисперсию этой доли. Дисперсия доли альтернативного признака w (признак, который может принимать только два взаимоисключающих значения – например, больше или меньше определенного значения) определяется по формуле (42):

. ( 42)

В нашей задаче долю альтернативного признака (рабочие с доходами более 700 у.е.) найдем как отношение числа таких рабочих к общему числу рабочих в выборке: w = 20/100 = 0,2 или 20%. Теперь определим дисперсию этой доли по формуле (42): =0,2*(1-0,2) = 0,16. Теперь можно рассчитать среднюю ошибку выборки по формуле (41): = = 0,038 или 3,8%.

Значения вероятности и коэффициента доверия t имеются в математических таблицах нормального закона распределения вероятностей (если в выборке более 30 единиц), из которых в статистике широко применяются сочетания, приведенные в таблице 4:

Таблица 4. Значения интеграла вероятностей Лапласа

В нашей задаче = 0,950, значит t = 1,96 (то есть предельная ошибка выборки в 1,96 раза больше средней). Предельная ошибка выборки по формуле (39) будет равна: = 1,96*19,64 = 38,494 (у.е.) при определении среднего дохода; = 1,96*0,038 = 0,075 или 7,5% при определении доли рабочих с доходами более 700 у.е.

После расчета предельной ошибки находят доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности по формуле (43) – для средней величины и по формуле (44) – для доли альтернативного признака:

( - ) ( + ) ( 43) (w - ) p (w + ) ( 44)

В нашей задаче по формуле (43): 571-38,494 571+38,494 или 532,506 у.е. 609,494 у.е., то есть средний доход всех рабочих предприятия с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 532,5 до 609,5 у.е.

Аналогично определяем доверительный интервал для доли по формуле (44): 0,2-0,075 p 0,2+0,075 или 0,125 p 0,275, то есть доля рабочих с доходами более 700 у.е. на всем предприятии с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 12,5% до 27,5%.

При разработке программы выборочного наблюдения очень часто задается конкретное значение предельной ошибки ( ) и уровень вероятности ( ). Неизвестной остается минимальная численность выборки (n ), обеспечивающая заданную точность. Ее можно получить, если подставить формулу (40) или (41) в формулу (39) и выразить из них n . В результате получатся формулы для вычисления необходимой численности повторной (45) и бесповторной (46) выборок.

n _повт = ; ( 45) n _б/повт = . ( 46)

В нашей задаче выборка бесповторная, значит, воспользуемся формулой (46), в которую подставим уже рассчитанные дисперсии среднего выборочного дохода рабочих (Д_в = 42859) и доли рабочих с доходами более 700 у.е. (Д_в = 0,16):

n _б/повт = = 62 (чел.), n _б/повт = = 197 (чел.).

Таким образом, необходимо включить в выборку не менее 62 рабочих при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е., и не менее 197 рабочих при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.

Контрольные задания по теме

Для изучения вкладов населения в коммерческом банке города была проведена 5%-я случайная выборка лицевых счетов, в результате которой получено следующее распределение клиентов по размеру вкладов:

С вероятностью 0,954 определить:

1) средний размер вклада во всем банке;

2) долю вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 15000 у.е.;

3) необходимую численность выборки при определении среднего размера вклада, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е.;

4) необходимую численность выборки при определении доли вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 30 000 у.е., чтобы не ошибиться более чем на 10%.

Тема 4. Ряды динамики

Методические указания по теме

Задача 1 . Смертность от болезней системы кровообращения в России за период 1995-2004 гг. характеризуется следующим рядом динамики.

Вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2005 год с вероятностью 95%.

Решение. Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (47), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (48).

( 47) ( 48)

По знаку абсолютного изменения делается вывод о характере развития явления: при > 0 — рост, при < 0 — спад, при = 0 — стабильность.

В нашей задаче эти изменения определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы 5. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: = 124,2 и = 124,2.

Базисное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда (49), а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда (50).

( 49) ( 50)

Относительные изменения уровней — это по существу индексы динамики, критериальным значением которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее — спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.

В нашей задаче эти изменения определены в 5-м и 6-м столбцах таблицы 5.

Вычитая единицу из относительных изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном — спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. В нашей задаче темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 5, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =1,107 и =1,107.

Таблица 5. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда . Способ расчета зависит от того, моментный ряд или интервальный (см. рис.3):

Рис.3. Методы расчета среднего уровня ряда динамики.

В нашей задаче ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу средней арифметической простой (17): = 12070,2 / 10 = 1207,02 (тыс. чел.). То есть за период 1995-2004 в России в среднем за год от болезней системы кровообращения умирало 1207,02 тыс. чел.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели – среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение – это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (51). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда – это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений (52).

^Б = ( 51) ^Ц = ( 52)

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче = 124,2/9 = 13,8, то есть ежегодно в среднем смертность от болезней системы кровообращения растет на 13,8 тыс. чел.

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле (53), а цепное среднее относительное изменение – по формуле (54):

^Б = = ( 53) ^Ц = ( 54)

Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. В нашей задаче = = 1,0114, то есть ежегодно в среднем смертность от болезней системы кровообращения растет в 1,0114 раза.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения , по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче = 1,0114 – 1 = 0,0114, то есть ежегодно в среднем смертность от болезней системы кровообращения растет на 1,14%.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида:

, ( 55)

где – математическая функция развития; – случайное или циклическое отклонение от функции; t – время в виде номера периода (уровня ряда). Цель такого метода – выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

– прямая линия; – гипербола; – парабола; – степенная; – ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y ( t ) (рис.4):

Рис.4. График динамики смертности от болезней системы кровообращения в РФ.

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( – читается как «игрек, выравненный по t ») от фактических ( ) дает метод наименьших квадратов – МНК . При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

. ( 56)

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (55) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

( 57)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

( 58)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле (58) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 6.

Из таблицы получаем, что = 12070,2/10 = 1207,02 и = 4195/330 = 12,7121. Отсюда искомое уравнение тренда =1207,02+12,7121 t . В 6-м столбце таблицы 6 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней (рис.5).

Рис.5. График эмпирических и трендовых уровней смертности от болезней системы кровообращения в РФ.

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда ( ) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда . Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F _р с теоретическими значениями F _Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:

, ( 59)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (61); Д_о – остаточная дисперсия (62), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (60) и аналитической дисперсии:

; ( 60)

; ( 61)

. ( 62)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F _р > F _Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Таблица 6. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле (59), для чего в 7-м столбце таблицы 6 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле (59) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F _Р = 53327,348*8/(16476,25*1) = 25,893 > F _Т , значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F _Т = 5,32 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [ = k – 1 = 1] и 8-й строке [ = n – k = 8]).

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза . Границы интервалов определяются по формуле (63):

, ( 63)

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы = n –1 (приложение 2); – ошибка аппроксимации , определяемая по формуле (64):

, ( 64)

где и – соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n – число уровней ряда; k – число параметров (членов) в уравнении тренда.

Определим доверительный интервал в нашей задаче на 2005 год с уровнем значимости = (1–0,95) = 0,05. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле (64): = = 45,38. Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 2,2622 при = 10 – 1=9.

Прогноз на 2005 с вероятностью 95% осуществим по формуле (63):

Y _{2005 =} (1207,02+12,7121*11) 2,2622*45,38 или 1244,19<Y ₂₀₀₅ <1449,51 (тыс.чел.).

Контрольные задания по теме

По статистическим данным по России за 2000 – 2005 гг. вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2006 год с вероятностью 95%.

Тема 5. Индексы

Методические указания по теме

Задача 1 . Имеются следующие данные о продажах торговой точкой двух видов товара:

Определить: 1) индивидуальные индексы цен, физического объема и выручки; 2) общие индексы цен, физического объема и выручки; 3) абсолютное изменение выручки за счет изменений цен, структурного сдвига и объемов продаж (для каждого фактора в отдельности) по всей продукции и по каждому товару в отдельности. По итогам расчетов сделать аргументированные выводы.

Решение. В основе решения задачи лежит формула (65):

Q = pq , ( 65)

где p – цена товара, q – физический объем (количество), Q – выручка (товарооборот).

Применив формулу (65) к нашей задаче, рассчитаем выручку по каждому товару в январе (Q _{0 j} ) и феврале (Q _{1 j} ) в таблице 7.

Таблица 7. Расчет выручки и ее изменения по каждому товару

Из таблицы видно, что абсолютное изменение общей выручки составило:

= ∑ Q ₁ –∑ Q ₀ = 5880-5300 = 580 тыс. руб., то есть она выросла на 580 тыс. руб.

Общий индекс изменения выручки равняется:

= ∑ Q ₁ /∑ Q ₀ = 5880/5300 = 1,1094, то есть выручка от продажи фруктов увеличилась в 1,1094 раза или на 10,94% в феврале по сравнению с январем.

Определим индивидуальные индексы цен (i_p ), физического объема (i_q ), выручки (i_Q ) и доли товара (i_d ) по формуле (2), используя в качестве X_i цены (p ), физический объем (q ), выручки (Q ) и доли товара (d = q /∑ q ) каждого вида фруктов соответственно. Результаты расчетов представим в таблице 8.

Таблица 8. Расчет индивидуальных индексов

Правильность выполненных расчетов проверяется следующим образом:

1) общее изменение выручки должно равняться сумме ее частных (по каждому товару в отдельности) изменений: = 880+(-300) = 580 (тыс. руб.);

2) произведение факторных индивидуальных индексов по периодам должно равняться соответствующему индивидуальному индексу выручки: i_{Q А} =1,6*0,9 =1,44; i_{Q Б} = 0,8*1,136 = 0,909.

Из таблицы видно, что в феврале по сравнению с январем:

– количество проданных апельсинов увеличилось в 1,6 раза или на 60%, а бананов – уменьшилось в 0,8 раза или на 20%;

– цена апельсинов понизилась в 0,9 раза или на 10%, а бананов – повысилась в 1,136 раза или на 13,6%;

– выручка по апельсинам выросла в 1,44 раза или на 44%, а по бананам – снизилась в 0,909 раза или на 9,1%;

– доля проданных апельсинов увеличилась в 1,429 раза или на 42,9%, а бананов – уменьшилась в 0,714 раза или на 28,6%.

Агрегатный общий индекс физического объема Ласпейреса определяется по формуле (66):

= ( 66)

В нашей задаче = = 5840/5300 = 1,10189, то есть количество проданных фруктов в базисных (январских) ценах выросло в 1,10189 раза или на 10,189% в феврале по сравнению с январем.

Агрегатный общий индекс цен Пааше рассчитывается по формуле (67):

= ( 67)

В нашей задаче = = 5880/5840 = 1,00685, то есть цена проданных фруктов при объемах продаж отчетного (февральского) периода выросла в 1,00685 раза или на 0,685% в феврале по сравнению с январем.

Контроль осуществляется по формуле: I_Q = = 1,10189*1,00685 = 1,1094.

Агрегатный общий индекс цен Ласпейреса вычисляется по формуле (68):

= ( 68)

В нашей задаче = = 5550/5300 = 1,04717, то есть цена проданных фруктов при объемах продаж базисного (январского) периода выросла в 1,04717 раза или на 4,717% в феврале по сравнению с январем.

Агрегатный общий количественный индекс Пааше рассчитывается по формуле (69):

= ( 69)

В нашей задаче = 5880/5550 =1,05946, то есть количество проданных фруктов в отчетных (февральских) ценах выросло в 1,05946 раза или на 5,946% в феврале по сравнению с январем.

Контроль осуществляется по формуле: I_Q = = 1,04717*1,05946 =1,1094.

Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формуле (70) для количества товаров и по формуле (71) – для цен:

= ( 70) = ( 71)

В нашей задаче = =1,0805, то есть в среднем количество проданных фруктов выросло в 1,0805 раза или на 8,05%; = =1,0268, то есть в среднем цена проданных фруктов выросла в 1,0268 раза или на 2,68%.

Далее выполняется факторный анализ общей выручки. В его основе лежит следующая трехфакторная мультипликативная модель выручки:

I_Q = , ( 72)

где = , – индекс структурных сдвигов, показывающий как изменилась выручка под влиянием фактора изменения долей проданных фруктов в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом. Он определяется по формуле (73):

= = . ( 73)

В нашей задаче = = 0,9838, то есть структурный сдвиг должен был уменьшить отчетную выручку в базисных ценах в 0,9838 раза или на 1,62%.

Тогда изменение выручки за счет изменения общего количества фруктов определяется по формуле (74):

= . ( 74)

В нашей задаче = (1,12-1)*5300 = 636 (тыс. руб.), то есть изменение количества проданных фруктов увеличило выручку на 636 тыс. руб.

Изменение общей выручки за счет структурных сдвигов находится по формуле (75):

= . ( 75)

В нашей задаче = 1,12*(0,9838-1)*5300 = –96 (тыс. руб.), то есть структурный сдвиг в количестве проданных фруктов уменьшил выручку на 96 тыс. руб.

Изменение общей выручки за счет изменения отпускных цен рассчитывается по формуле (76):

= . ( 76)

В нашей задаче =1,12*0,9838*(1,00685-1)*5300 = 40 (тыс. руб.), то есть изменение цен на фрукты увеличило выручку на 40 тыс. руб.

Контроль правильности расчетов производится по формуле (77), согласно которой общее изменение выручки равно сумме ее изменений за счет каждого фактора в отдельности.

= - = + + . ( 77)

В нашей задаче = 636 + (–96) + 40 = 580 тыс. руб.

Результаты факторного анализа общей выручки заносятся в последнюю строку факторной таблицы 9.

Таблица 9. Результаты факторного анализа выручки

Наконец, ведется факторный анализ изменения частной (по каждому j -му товару в отдельности) выручки на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели:

= . (78)

Тогда изменение частной выручки за счет каждого из 3-х факторов (количество, структурный сдвиг и цена) по j -му виду товара определяется соответственно по формулам (79) – (81).

= ; (