Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ - реферат

КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО РЫБОЛОВСТВУ

фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики и

программного обеспечения ЭВМ

Математика

Часть 7

Задания контрольной работы по теме

«Специальные разделы высшей математики»

и методические указания к ее выполнению

для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета

всех специальностей

Мурманск

2008 г.

УДК 51 (076.5)

ББК 22.1 я 73

3 15

Составители:

Хохлова Людмила Ивановна, к.ф.н., доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ,

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО 13 февраля 2008 г., протокол № 5

Рецензент – Кацуба В.С ., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ

ÓМурманский государственный технический университет, 2008

Оглавление

Стр.

Введение. 4

Задания на контрольную работу по теме «Специальные разделы высшей математики». 5

Содержание теоретического материала и ссылки на литературу.. 9

Справочный материал к выполнению контрольной работы 10

1. Алгебра логики. 10

1.1. Высказывания и операции над ними . 10

1.2. Формулы алгебры логики . 13

1.3. Приложение алгебры логики. Релейно-контактые схемы .. 15

2. Булевы функции. 17

3. Графы.. 19

3.1. Основные определения . 19

3.2. Матрицы графов . 20

4. Элементы вариационного исчисления. 22

4.1. Функционалы в линейном нормированном пространстве . 22

4.2. Экстремумы функционала . 24

5. Оптимальное управление. 27

5.1. Математическая модель системы управления . 27

5.2. Оптимальное управление динамической системой . 28

5.3. Принцип максимума Понтрягина . 29

Решение примерного варианта контрольной работы.. 31

Рекомендуемая литература.. 39

Введение

Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся ссылки на теоретический материал по теме «Специальные разделы высшей математики», список рекомендуемой литературы и задания к выполнению контрольной работы. К специальным разделам высшей математики в данном пособии отнесены «Математическая логика», «Графы», «Элементы функционального анализа», «Вариационное исчисление и оптимальное управление». В результате изучения этих разделов студенты должны:

• знать, что такое высказывание, и уметь записывать формулы сложных высказываний при помощи логических операций;

• уметь упрощать логические формулы при помощи равносильных преобразований;

• иметь представление о булевых функциях одной и двух переменных;

• знать основные термины теории графов, иметь представление о способах задания ориентированных и неориентированных графов;

• знать, что такое функционал, вариация функционала, вариационная задача;

• уметь находить экстремали некоторых функционалов;

• иметь преставление о математических моделях систем управления;

• знать принцип максимума Понтрягина и уметь находить оптимальное управление для динамической системы.

Данные методические рекомендации включают справочный материал, необходимый для выполнения контрольной работы по теме «Специальные разделы высшей математики», и решение примерного варианта работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал.

Задания на контрольную работу по теме «Специальные разделы высшей математики»

Контрольная работа состоит из пяти задач. Задание для каждой задачи включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.

Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задача 1. Дана формула алгебры логики. Требуется:

1) при помощи равносильных преобразований упростить формулу;

2) построить релейно-контактные схемы для исходной и упрощенной формул.

Задача 2. Дана булева функция f (x , y ). Составить таблицу значений функции и указать значение f (1, 0).

Задача 3. Составить список дуг ориентированного графа, изображенного на рисунке. Сформировать матрицу инцидентности и матрицу смежности этого орграфа.

Задача 4. Даны функционал I [y (x )] = и граничные условия для функции y (х ): y (a ) = A , y (b ) = B . Требуется найти экстремали функционала, удовлетворяющие граничным условиям.

Задача 5. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений и граничными условиями

, ,

где N – номер варианта, t – время (t [0; b ]), – фазовый вектор (траектория объекта), u (t ) – функция управления объектом.

Требуется найти оптимальное управление объектом u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , если задан критерий качества управления: I [u (t )] =

Содержание теоретического материала и ссылки на литературу

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к выполнению контрольной работы

1. Алгебра логики

1.1. Высказывания и операции над ними

Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Высказыванием называется предложение, к которому можно применить понятия «истинно» или «ложно». Обозначаются высказывания малыми прописными буквами: a , b , х ,….

В математической логике не рассматривается смысл высказываний, определяется только их логическое значение – «истина» или «ложь», что принято обозначать соответственно «1» или «0».

Примеры.

1. «Волга впадает в Каспийское море» – высказывание (истинное).

2. «Число 16 кратно 3» – высказывание (ложное).

3. «Может быть, сегодня пойдет снег» – не высказывание.

4. «3х – 5 = 0» – не высказывание.

Истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или», связками «не», «следует» и др. Таким образом, операции над высказываниями можно описывать при помощи некоторого математического аппарата.

Основные логические операции над высказываниями.

Отрицанием высказывания х называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание х ложно. Отрицание обозначается или Øх (читается: «не х »).

Логические операции можно задавать при помощи таблиц истинности , показывающих соответствие значений истинности высказываний. Для высказываний x и эта таблица имеет вид:

Конъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания х и y . Конъюнкция обозначается: х Ù y , или х & y (читается: «х и y »). Таблица истинности для х Ù y имеет вид:

Дизъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и y ложны. Дизъюнкция обозначается х Ú y (читается: «х или y »). Таблица истинности для х Ú y имеет вид:

Импликацией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание х истинно, а y – ложно. Импликация обозначается: х ® y (читается: «х влечет y » или «из х следует y »). Высказывание х называется посылкой импликации , а высказывание y – следствием . Таблица истинности для х ® y имеет вид:

Эквиваленцией (эквивалентностью) двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний х и y совпадают. Эквиваленция обозначается: х « y , или х ~ y (читается: «х эквивалентно y » или «х тогда и только тогда, когда y »). Таблица истинности для х « y имеет вид:

1.2. Формулы алгебры логики

Формулами алгебры логики называются выражения, полученные из переменных x , y ,… посредством применения логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, а также сами переменные, принимающие значения истинности высказываний x , y ,….

Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита: А , В ,…..

Если в формулу алгебры логики вместо переменных x , y ,… подставить конкретные высказывания, то получится высказывание, имеющее логическое значение «1» или «0».

Пример.

Высказывание x : «Волга впадает в Каспийское море» – истинное (x = 1),

высказывание y : «Число 16 кратно 3» – ложное (y = 0),

тогда формула А = x Ú y будет иметь логическое значение «1»: А = 1 (см. таблицу истинности для х Ú y ).

На основе таблиц истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для различных формул алгебры логики.

Две формулы алгебры логики называются равносильными или эквивалентными , если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы переменных (элементарных высказываний). Равносильность формул А и В будем обозначать знаком «º»: А º В .

Равносильность логических формул можно установить при помощи их таблиц истинности.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли равносильными формулы А = и В = .

Решение. Составим таблицы истинности для каждой из формул А и В .

Ответ: данные формулы являются равносильными.

Другой способ доказательства равносильности логических формул – их упрощение с использованием основных равносильностей .

Основные равносильности.

Для любых элементарных высказываний x , y , z справедливы следующие равносильности, которые можно разбить на 3 группы.

1. Основные законы:

1) x Ù x º x ; 2) x Ú x º x ; 3) º x ;

4) x Ù 0 º 0; 5) x Ú 0 º x ; 6) Ù x º 0;

7) x Ù 1 º x ; 8) x Ú 1 º 1; 9) Ú x º 1;

законы поглощения:

10) x Ù (y Ú x ) º x ; 11) x Ú (y Ù x ) º x .

2. Выражения одних логических операций через другие:

12) x ® y º Ú y ; 13) ;

14) x « y º (x ® y ) Ù (y ® x ); 15) .

3. Свойства логических операций:

16) x Ù y º y Ù x ; 17) x Ú y º y Ú x ;

18) x Ù (y Ù z ) º (x Ù y ) Ù z ; 19) x Ú (y Ú z ) º (x Ú y ) Ú z ;

20) x Ù (y Ú z ) º (x Ù y ) Ú (x Ù z ); 21) x Ú (y Ù z ) º (x Ú y ) Ù (x Ú z ).

Множество высказываний с введенными для них логическими операциями и основными равносильностями называется алгеброй Буля .

Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквиваленция. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.

Пример. Упростить логическую формулу: .

Решение . Используем основные равносильности.

.

Ответ: А º x Ú y .

1.3. Приложение алгебры логики. Релейно-контактые схемы

Релейно-контактной схемой (РКС ) или переключательной схемой называется схематическое изображение устройства, состоящего из следующих элементов:

1) переключателей (контактов, реле, ламп и др.);

2) соединительных проводников;

3) входов-выходов (полюсов РКС).

Рассмотрим простейшую РКС, содержащую один переключатель Р . Если переключателю Р поставить в соответствие высказывание х : «Переключатель Р замкнут», то истинному значению х (х = 1) будет соответствовать замкнутое состояние переключателя, при котором РКС проводит ток, т.е. импульс, поступающий на вход, может быть снят на выходе. Значению х = 0 будет соответствовать разомкнутое состояние РКС (ток не проводится).

Каждой РКС, состоящей из нескольких переключателей, можно поставить в соответствие высказывание, выраженное некоторой формулой А , таким образом, что истинному значению формулы (А = 1) будет соответствовать замкнутое состояние РКС, а значению А = 0 – разомкнутое состояние. Примеры таких соответствий приведены в таблице.

Простейшие РКС и соответствующие им формулы логики.

Из простейших РКС путем их последовательного и параллельного соединения могут быть построены более сложные переключательные схемы.

Доказано, что любая формула алгебры логики может быть преобразована к виду, содержащему только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Это позволяет изображать логические формулы при помощи РКС, а РКС задавать формулами.

Например, согласно формулам основных равносильностей

x ® y º Ú y и x « y º (x ® y ) Ù (y ® x ),

следовательно, логическим операциям импликации и эквиваленции соответствуют РКС, изображенные рис. 1.

Используя равносильные преобразования логической формулы, соответствующей некоторой РКС, можно упростить РКС , т.е. привести ее к виду, содержащему меньшее число переключателей.

Пример . Упростить РКС, изображенную на рис. 2.

Решение. Запишем соответствующую РКС формулу, используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:

.

Упростим формулу, используя основные равносильности:

.

Таким образом, . Построим РКС, соответствующую упрощенной формуле (рис. 3).

2. Булевы функции

Будем рассматривать логические переменные x ₁ , x ₂ , …, x_n , принимающие только два значения: «1» или «0».

Булевой функцией f (x ₁ , x ₂ , …, x_n ) называется произвольная функция, аргументами которой являются логические переменные и принимающая только одно из двух значений: «1» или «0».

Количество булевых функций одного аргумента равно 2² = 4, это функции:

f ₁ (x ) = 0, f ₂ (x ) =1, f ₃ (x ) = x и f ₄ (x ) = .

Булевых функций двух аргументов всего 2⁴ = 16, а количество булевых функций n аргументов равно .

Всякой формуле алгебры логики, составленной из элементарных высказываний x ₁ , x ₂ , …, x_n соответствует булева функция f (x ₁ , x ₂ , …, x_n ), аргументы которой принимают значения истинности соответствующих элементарных высказываний: «1» или «0». Две равносильные формулы алгебры логики определяют одну и ту же булеву функцию, т.к. значения истинности этих формул совпадают для одинаковых значений входящих в них переменных.

Для булевых функций можно составлять таблицы значений – всякую булеву функцию n аргументов можно задать таблицей из 2ⁿ строк.

Например, таблица значений некоторых функций 2-х аргументов, соответствующих основным логическим операциям (отрицание одного аргумента, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция) выглядит так:

Значение булевой функции f (x ₁ , x ₂ ) при известных значениях аргументов устанавливается по строке таблицы, соответствующей заданным значениям x ₁ и x ₂ . Например, для функции f (x ₁ , x ₂ ) = x ₁ ® x ₂ значение f (1, 0) = 0, а значение f (1, 1) = 1.

Каждой релейно-контактной схеме (РКС), составленной из переключателей x ₁ , x ₂ , …, x_n , можно поставить в соответствие булеву функцию, называемую ее функцией проводимости:

Функция проводимости РКС задается при помощи формулы логики, соответствующей этой РКС. Например, РКС, изображенная на рис. 2, имеет функцию проводимости , таблица значений которой имеет вид:

3. Графы

3.1. Основные определения

Рассмотрим некоторое конечное множество точек V = {v ₁ , v ₂ ,…,v_n } и конечное множество линий Х , соединяющих некоторые пары из точек множества V . Полученная совокупность точек и линий называется графом и обозначается G = {V , X }.

Элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами .

Граф можно изобразить при помощи геометрической конфигурации. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины (рис. 4). При этом несущественным является расположение вершин, форма и длина ребер графа, важно лишь, соединены две данные точки ребром, или нет.

Ребра, соединяющие одну и ту же пару вершин, называются кратными (или параллельными ) ребрами (ребра х ₄ , х ₅ графа G 1 на рис. 4).

Если х – ребро графа, соединяющее вершины v_i , v_j , то вершины v_i и v_j называются концами ребра х .

Множество ребер графа Х можно задать, как множество пар вершин из множества V . Если пары в этом множестве Х являются упорядоченными, то граф называется ориентированным или орграфом . Ребра орграфа называют дугами и на рисунках помечают стрелками (рис. 4).

Если х = (v_i , v_j ) – дуга орграфа, то вершина v_i называется началом дуги х , а вершина v_j – концом дуги х .

При помощи графов удобно изображать связь атомов в молекуле, кристаллические решетки, схемы дорог, маршруты движения, электрические цепи, экономические связи объектов, графики работ и др.

3.2. Матрицы графов

Для того, чтобы задать граф, необходимо задать множества его вершин и ребер (V и X ). Иногда граф задают списком ребер (дуг) , например, орграф G2, изображенный на рис. 4, можно задать следующим списком дуг:

X = {х ₁ , х ₂ , х ₃ , х ₄ , х ₅ , х ₆ } = {(v ₁ , v ₄ ), (v ₁ , v ₄ ), (v ₄ , v ₂ ), (v ₂ , v ₄ ), (v ₂ , v ₃ ), (v ₃ , v ₄ )}.

В этом списке каждой из 6-ти дуг орграфа соответствует упорядоченная пара вершин (если граф неориентированный, то порядок записи вершин в каждой паре – произвольный).

Если граф содержит изолированные вершины , т.е. не связанные ни с одной другой вершиной ребрами (дугами) графа (см. вершину v ₅ в графе G1 на рис. 4), то список ребер не даст полного представления о графе. Кроме того, использовать список ребер (дуг) можно только при относительно небольшом количестве вершин графа. Для практического использования более удобен матричный способ задания графов .

Пусть G = {V , X } – граф, где V = {v ₁ , v ₂ ,…,v_n }, X = {x ₁ , … , x_m }.

Если вершины графа v_i , v_j являются концами ребра х , то говорят, что вершины v_i , v_j и ребро х инцидентны .

Матрицей инцидентности графа G называется матрица размерности n ´m B (G ), элементы которой

b_ij =

Строки матрицы инцидентности графа соответствуют его вершинам, а столбцы – ребрам.

Для орграфа вершина v_i и дуга х _j инцидентны, если v_i является началом или концом дуги х _j . Элементы матрицы инцидентности орграфа определяются по формулам:

b_ij = (1)

Вершины v_i , v_j графа G называются смежными , если существует ребро х = (v_i , v_j )ÎX , инцидентное этим вершинам (соединяющее эти вершины).

Матрицей смежности графа G называется квадратная матрица A (G ) порядка п , каждый элемент которой a_ij равен количеству ребер, инцидентных вершинам v_i и v_j .

Для орграфа G = {V , X } элементы матрицы смежности определяются по формулам:

a_ij = (2)

Пример. Записать матрицу инцидентности и матрицу смежности для орграфа G2, изображенного на рис. 4.

Решение. Данный граф является ориентированным. Для построения матрицы инцидентности составим таблицу, используя формулы (1). Заполняем таблицу по столбцам, соответствующим дугам орграфа: в j - м столбце ставим в i -й строке

«–1», если вершина v_i является началом дуги х _j ,

«1», если вершина v_i является концом дуги х _j ,

«0» в остальных случаях (вершина v_i и дуга х _j не инцидентны).

Для построения матрицы смежности составим таблицу, используя формулы (2). Так как граф G 2 ориентированный, то элемент матрицы a_ij равен количеству ребер с началом в i -й вершине, а концом в j -й вершине.

Матрица инцидентности более информативна, чем матрица смежности, т.к. по ней можно восстановить не только нумерацию вершин и связи между ними, но и нумерацию ребер. Однако, при помощи матрицы инцидентности задают только графы, не имеющие изолированных вершин (в матрице смежности изолированной вершине соответствуют нулевая строка и нулевой столбец).

Кроме матриц инцидентности и смежности существуют и другие формы матричного задания графов. Матричный метод задания графов удобен для обработки данных на ЭВМ.

4. Элементы вариационного исчисления

4.1. Функционалы в линейном нормированном пространстве

Линейным пространством Е называется множество элементов

{x , y , z ,….}, в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие 8 свойствам:

1. x + y = y + x ;

2. (x + y ) + z = x + (y + z ) ;

3. λ (m x ) = (λ m ) x , где λ , m – числа;

4. (λ + m ) x = λ x + m x , где λ , m – числа;

5. λ (x + y ) = λ x + λу , где λ – число;

6. 1·x = x ;

7. существует нулевой элемент O + x = x ;

8. для существует противоположный элемент .

Примеры линейных пространств :

• координатное пространство Rⁿ с элементами – n -мерными векторами либо точками;

• пространство матриц размерности ;

• Cⁿ [a ; b ] – пространство функций, непрерывных на промежутке [a ; b ] вместе со своими производными .

В линейном пространстве вводится понятие нормы элемента.

Нормой элемента называется число, обозначаемое и удовлетворяющее трем условиям:

1. ³ 0 и = 0 тогда и только тогда, когда у = О ;

2. , где λ – число;

3. , где λ – число.

Пример. В пространстве C [a ; b ] (пространство функций, непрерывных на промежутке [a ; b ]) норма элемента у может быть введена следующим образом:

.

Если каждой функции из некоторого линейного нормированного пространства функций У ставится в соответствие число, то говорят, что на множестве У задан функционал I [y (x )].

Примеры функционалов.

• – функционал, заданный на пространстве функций, имеющих непрерывные производные на промежутке [a ; b ], т.е. на C ¹ [a ; b ];

• – функционал, заданный на пространстве функций, интегрируемых на промежутке [0; 1].

Рассмотрим пространство C [a ; b ] – множество функций (кривых), непрерывных на промежутке [a ; b ], и функционал I [y (x )], определенный на этом пространстве.

ε -окрестностью кривой C [a ; b ] называется совокупность кривых C [a ; b ], таких что

.

Разность называется вариацией аргумента функционала . Вариация d y (x ) есть функция от x и тоже принадлежит функциональному пространству C [a ; b ].

Приращением функционала называется разность DI = I [y (x )] – I [y ₀ (x )], где y ₀ (x ) – фиксированная функция, а y (x ) – произвольная функция из пространства C [a ; b ].

Используя вариацию d y (x ), можно представить приращение функционала в виде .

Линейным функционалом называется функционал I [y (x )], удовлетворяющий следующим условиям:

1) I [λ y (x )] = λ I [y (x )], где λ – число;

2) I [y ₁ (x ) + y ₂ (x )] = I [y ₁ (x )] + I [y ₂ (x )].

Вариацией функционала называется главная часть его приращения, линейная относительно d y (x ).

Если приращение функционала можно представить в виде

,

где – линейный функционал относительно d y (x ), и функционал при , то d I [y ] = – вариация функционала I [y (x )].

4.2. Экстремумы функционала

Функционал I [y (x )], определенный на некотором пространстве функций (кривых) достигает на кривой y = y ₀ (x ) экстремума , если существует -окрестность этой кривой, в которой приращение функционала сохраняет знак, причем, если DI = I [y ] – I [y ₀ ] > 0, то функционал I [y ] достигает на кривой y = y ₀ (x ) минимума , а если DI < 0, то функционал I [y ] достигает на кривой y = y ₀ (x ) максимума . Функцию y ₀ (x ) называют соответственно точкой минимума или точкой максимума .

Теорема. (Необходимое условие локального экстремума).

Если функционал I [y (x )], имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой y = y ₀ (x ), где y ₀ (x ) – внутренняя точка области определения функционала, то при y (х ) = y ₀ (x ) вариация функционала равна нулю:

d I [y ₀ (x )] = 0. (3)

Функции, удовлетворяющие условию (3), называются экстремалями функционала .

Вариационная задача : среди функций (кривых) y (x ), принадлежащих некоторому множеству М , требуется найти кривую y = y *(x ), на которой функционал I [y (x )], определенный на множестве М , достигает экстремума, т.е. .

Решение этой задачи заключается в поиске экстремалей, т.е. функций, «подозрительных на экстремум», и в последующей проверке выполнения достаточных условий существования экстремума. На практике, как правило, экстремалей немного, и установить наличие (или отсутствие) на них экстремума функционала удается, исходя из смысла задачи. Следует отметить, что вариационная задача не всегда имеет точное решение, а если решение существует, то оно не всегда единственно.

Рассмотрим пространство M функций y (x ), дифференцируемых на отрезке [a ; b ] и удовлетворяющих граничным условиям:

y (a ) = A , y (b ) = B , (4)

то есть все кривые проходят через две закрепленные граничные точки.

Пусть на этом пространстве M определен функционал

I [y (x )] = , (5)

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Требуется найти экстремали функционала I [y (x )].

Можно доказать, что, если для функционала (5) выполнено необходимое условие (3), то функция удовлетворяет уравнению Эйлера:

(6)

Так как тоже является функцией от , то это уравнение можно записать в развернутой форме:

. (7)

При уравнение Эйлера представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции y (x ). Его общее решение зависит от двух произвольных постоянных С ₁ , С ₂ , которые можно найти из граничных условий (4).

Пример. Найти экстремали функционала , удовлетворяющие граничным условиям y (0) = 0, y (ln2) = 2.

Решение . Запишем уравнение Эйлера (7) для данного функционала. Для подынтегральной функции , получаем частные производные

, .

Тогда уравнение Эйлера: или . Учитывая, что , получаем – однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции y (x ).

Его характеристическое уравнение k ² – k = 0 имеет корни k ₁ = 0, k ₂ = 1.

Напомним, что общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения имеет вид:

, если (корни вещественные различные);

, если (корни вещественные равные);

, если (корни комплексно-сопряженные).

В данном случае k ₁ = 0, k ₂ = 1, и общее решение уравнения имеет вид .

Определим произвольные постоянные С ₁ , С ₂ из граничных условий

Отсюда получаем С ₁ = –2, С ₂ = 2, следовательно, экстремаль функционала .

Ответ. .

5. Оптимальное управление

5.1. Математическая модель системы управления

Система управления состоит из управляющего устройства (УУ) и объекта управления (ОУ). Примерами систем управления служат семейный бюджет, экономика отрасли, технологический процесс, научное исследование и т.д.

УУ передает в ОУ сигнал – управление . Управление может быть механическим воздействием, электромагнитным импульсом, потоком инвестиций и др. Под воздействием сигнала u (t ), где t – время, u (t ) – скалярная или векторная функция, система изменяет свое состояние (возможна обратная связь). Простейшая математическая модель системы управления без учета внешних воздействий включает:

• модель ОУ – оператор, в соответствии с которым осуществляется преобразование входа – управления u (t ) в реакцию системы;

• алгоритм управления , который зависит от цели управления и наличия обратной связи.

В общем случае состояние динамической системы управления характеризуется n -мерным вектором (матрицей-столбцом)

,

где x_j (t ) для j = 1,2,…,n называют фазовыми координатами , а – фазовым вектором .

Например, положение самолета определяет 6-мерный вектор, в котором 3 координаты задают положение центра масс самолета в пространстве и 3 координаты – его вращение относительно центра масс. Курс самолета – это вектор-функция .

Модель ОУ обычно описывается уравнениями состояний, отражающих законы физики, экономики и прочее. Довольно часто процесс управления без учета внешних воздействий может быть задан системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(8)

или, в векторной форме: , где – вектор-функция, характеризующая изменение состояния системы, u (t ) – функция управления. В реальных условиях множество управлений ограничено: , где U – класс допустимых управлений .

Для того, чтобы процесс управления был определен на некотором промежутке , необходимо задать начальное состояние системы – вектор . Тогда будет соответствовать траектория – вектор-функция , переводящая систему из состояния в – состояние , достижимое из состояния на данном классе управлений U .

5.2. Оптимальное управление динамической системой

Рассмотрим некоторый процесс управления без учета внешних воздействий, заданный системой обыкновенных дифференциальных уравнений , где – заданная вектор-функция, u (t ) – функция управления из некоторого класса допустимых управлений U , и соответствует фазовый вектор (траектория).

Если определена цель управления, то имеет смысл искать наилучшее (оптимальное) управление для достижения этой цели. В большинстве случаев цель управления можно задать в форме вариационной задачи – поиска экстремума некоторого функционала I [u (t )] на классе допустимых управлений U . Тогда задача оптимального управления : найти оптимальное управление u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , для которых

(другая форма записи: ),

или ( ).

Функционал I [u ] называется критерием качества управления . Например, в так называемой «задаче Лагранжа» роль критерия качества выполняет интегральный функционал вида

(9)

где – заданная функция.

5.3. Принцип максимума Понтрягина

Рассмотрим простейшую задачу управления: задана модель системы управления , где , – непрерывная вектор-функция, – функция управления, и критерий качества управления

.

Пусть каждому управлению соответствует траектория , переводящая систему из состояния в , где и фиксированы.

Требуется найти оптимальное управление u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , для которых . Это задача Лагранжа с фиксированным временем и закрепленными концами траекторий: , .

Допустим, существует оптимальное управление и соответствующая ему оптимальная траектория , удовлетворяющие условиям задачи.

Введем вспомогательную вектор-функцию , где – неизвестные функции, кусочно-непрерывные на , и построим функцию Гамильтона-Понтрягина (гамильтониан):

. (10)

Очевидно, что .

При фиксированных гамильтониан является функцией управления. Можно доказать, что если u *(t ) – оптимальное управление, то при u = u *(t ) гамильтониан достигает максимума по управлению и выполняются условия

Принцип максимума Понтрягина .

Если – оптимальное управление, переводящее систему из состояния в и – соответствующая ему оптимальная траектория, которая в первый раз достигает точки в момент t ₁ , то

1) существует вектор , соответствующий u *(t ) и , причем и являются решениями системы дифференциальных уравнений

(11)

удовлетворяющими условиям

, ; (12)

2) в каждой точке непрерывности функции u *(t ) достигается максимум гамильтониана по управлению:

. (13)

Система (11) называется канонической системой задачи оптимального управления . Для получения ее частного решения (определения констант интегрирования) используют граничные условия (12).

Принцип максимума представляет собой необходимое условие оптимальности. Если получается несколько управлений, удовлетворяющих условиям (11)-(13), то проверяют выполнение достаточных условий, или выбирают одно из них, исходя из смысла задачи.

Идея принципа максимума: чтобы найти u *(t ) – оптимальное управление, минимизирующее функционал I [u (t )], нужно найти управление, максимизирующее гамильтониан: .

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Дана формула алгебры логики: .

Требуется:

1) при помощи равносильных преобразований упростить формулу;

2) построить релейно-контактные схемы для исходной и упрощенной формул.

Решение .

1). Упростим заданную формулу, используя принятый порядок выполнения операций . Сначала выразим импликации через дизъюнкции согласно формуле 12 основных равносильностей:

x ® y º Ú y x ® Ù y º Ú ( Ù y ), y ® z º Ú z ,

затем используем формулы 16, 11 и 21:

x Ù y º y Ù x Ù y º y Ù , Ú z º z Ú ,

x Ú (y Ù x ) º x Ú (y Ù ) º ,

x Ú (y Ù z ) º (x Ú y ) Ù (x Ú z ) (z Ú ) Ù (z Ú ) º z Ú ( Ù ),

откуда получаем: º

.

2). Построим РКС для исходной формулы А , используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:

– конъюнкции Ù y соответствует последовательное соединение элементов и y ;

– импликации x ® Ù y соответствует параллельное соединение элементов и ( Ù y );

дизъюнкции z Ú (x ® Ù y ) соответствует параллельное соединение элементов z и (x ® Ù y );

– импликации y ® z соответствует параллельное соединение элементов и z ;

– конъюнкции соответствует последовательное соединение элементов (z Ú (x ® Ù y )) и (y ® z ).

Построим РКС для упрощенной формулы : конъюнкции Ù соответствует последовательное соединение элементов и , а дизъюнкции z Ú ( Ù ) соответствует параллельное соединение элементов z и ( Ù ).

Полученные в результате РКС изобразим на рис. 5.

Ответы:

1) результат упрощения формулы A : ;

2) РКС, соответствующие исходной формуле А и упрощенной формуле А ₀ приведены на рис. 5.

Задача 2. Дана булева функция f (x , y ) = (x Ú y ) ® (x Ù Ú ® ). Составить таблицу значений функции и указать значение f (0, 1).

Решение. Известно, что порядок выполнения операций определен следующим образом: . Используя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации составим вспомогательную таблицу значений каждой из операций функции f (x , y ).

Составим таблицу значений функции f (x , y ):

По таблице значений функции найдем значение f (0, 1), соответствующее значениям аргументов x = 0, y = 1 (третья строка): f (0, 1) = 0.

Ответы: таблица значений функции приведена выше; f (0, 1) = 0.

Задача 3. Составить список дуг ориентированного графа, изображенного на рисунке 6. Сформировать матрицу инцидентности и матрицу смежности этого орграфа.

Решение.

1. Для составления списка дуг орграфа G составим вспомогательную таблицу, каждая строка которой соответствует одной дуге. В строке записываем обозначение дуги и номера вершин, инцидентных этой дуге, причем сначала указываем начальную вершину, затем – конечную, т.к. граф ориентированный.

Получаем список дуг орграфа:

X = {(v ₂ , v ₁ ), (v ₂ , v ₃ ), (v ₁ , v ₄ ), (v ₄ , v ₁ ), (v ₂ , v ₄ )}.

2. Для построения матрицы инцидентности орграфа G составим таблицу, используя формулы (1). Заполняем таблицу по столбцам, соответствующим дугам орграфа: в j - м столбце ставим i -й строке «–1», если вершина v_i является началом дуги х _j , ставим «1», если вершина v_i является концом дуги х _j и ставим «0», если вершина v_i и дуга х _j не инцидентны.

При заполнении таблицы можно использовать список дуг орграфа.

3. Для построения матрицы смежности орграфа G составим таблицу, используя формулы (2). Так как граф G ориентированный, то элемент матрицы a_ij равен количеству ребер с началом в i -й вершине, а концом в j -й вершине.

Ответы: список дуг орграфа X = {(v ₂ , v ₁ ), (v ₂ , v ₃ ), (v ₁ , v ₄ ), (v ₄ , v ₁ ), (v ₂ , v ₄ )};

матрица инцидентности и матрица смежности:

В (G ) = ; A (G ) = .

Задача 4. Дан функционал . Найти экстремали функционала, удовлетворяющие граничным условиям y (0) = –1, y (π ) = 0.

Решение. Запишем уравнение Эйлера = 0 для данного функционала.

Для подынтегральной функции получаем частные производные:

.

Тогда уравнение Эйлера имеет вид: или – простейшее дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение получаем двукратным интегрированием:

.

Определим произвольные постоянные С ₁ , С ₂ из граничных условий

Отсюда получаем С ₁ = 1/π , С ₂ = –1, следовательно, экстремалью функционала является функция .

Ответ. .

Задача 5. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений и граничными условиями x ₁ (0) = 0, x ₂ (0) = 3, x ₁ (3) = 2, x ₂ (3) = – 1, где t – время (t [0; 3]), – фазовый вектор (траектория объекта), u (t ) – функция управления объектом.

Требуется найти оптимальное управление объектом u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , если задан критерий качества управления:

Решение.

1. Введем вспомогательный вектор , где – неизвестные функции, и построим гамильтониан данной задачи:

=

,

где функции – это правые части дифференциальных уравнений а – подынтегральная функция критерия качества управления .

По условию задачи

Отсюда получаем = .

2. Находим максимум гамильнониана по управлению: , – критическая точка. Вторая производная , следовательно, при достигается максимум гамильнониана по управлению.

3. Составим каноническую систему дифференциальных уравнений, подставив в формулу (8) и частные производные гамильнониана , и решим эту систему. Каноническая система имеет вид:

Общее решение системы находим последовательным интегрированием:

.

Найдем частное решение системы, удовлетворяющее граничным условиям x ₁ (0) = 0, x ₂ (0) = 3, x ₁ (3) = 2, x ₂ (3) = – 1.

Из первых двух условий получаем:

Подставив эти значения в другие два условия получаем:

Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем , затем

Подставив найденные значения констант, получим оптимальную траекторию и оптимальное управление:

Ответы : оптимальная траектория , где ; оптимальное управление

Рекомендуемая литература

1. Лихтарников Л. М. Математическая логика / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева.– Санкт-Петербург: Лань, 1998.– 288 с.

2. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики: учебное пособие. / В.Н. Нефедов, В.А.Осипова – М. Изд-во МАИ, 1992. – 264 с.

3. Баврин, И.И. Основы высшей математики: учебник / И. И. Баврин.– М.: Высш. шк., 2004.– 520 с.

4. Карташев А. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский.– М.: Наука, 1986.– 288 с.

5. Краснов М. Л. Вариационное исчисление. / М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев.– М.: Наука, 1973.–192 с.

6. Ланина Н. Р. Дискретная математика: учебное пособие. В 2 ч. Ч.1 / Н.Р. Ланина. – Мурманск: Изд-во МГТУ, 1998. – 123 с.

7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

8. Сборник задач по математике для втузов: специальные курсы. (Ч. 3). Под ред. А. В. Ефимова. / Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В. Н. Земсков и др.– М.: Наука, 1984.– 608 с.

9. Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский.– М.: Высш. шк., 2003.– 583 с.