История развития цепных дробей и их приложения - реферат

Содержание:

Введение

В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеет аппарат непрерывных (цепных) дробей.

Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью общего вида называют разложение

где и могут принимать произвольные, отличные от нуля рациональные значения, может быть равно нулю. Если в данной дроби все , ( ), то дробь будет называться правильной цепной дробью.

Также различают ветвящиеся цепные дроби:

Дроби такого вида широко применяются во многих вопросах вычислительной математики.

В своей основе вопросы теории цепных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа. Её задачи связаны с аппроксимацией действительных чисел и опираются на теорию рациональных и действительных чисел.

Цель данной работы – изучить цепные дроби общего вида, рассмотреть возможные способы аппроксимации действительных чисел рациональными дробями и выбрать оптимальный, дающий наилучшие приближения.

Задачи:

1. рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития цепных дробей, а также их приложений;

2. овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел;

3. изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби;

4. рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при аппроксимации действительных чисел рациональными дробями;

5. выбрать наилучшие способы аппроксимации действительных чисел;

6. подобрать примеры для иллюстрации теоретических положений.

Этапы исследования:

1. 2003-2004 Курсовая работа: «Приближение действительных чисел цепными (непрерывными) дробями»

2. 2004-2005 Курсовая работа: «Систематические цепные дроби как аппарат представления действительных чисел в школе»

3. 2005-2006 Выпускная квалификационная работа «Аппроксимация действительных чисел рациональными дробями».

Опытная проверка разработанного факультатива была проведена в 8-ом классе лицея им. М.В.Ломоносова г. Йошкар-Ола в 2004-2005 учебном году. Данный курс подтвердили интерес учащихся к данной теме, хорошее усвоение теории и успешность её применения к решению задач. По результатам апробации была опубликована статья «Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике» [18]. Результаты исследований докладывались на научной студенческой конференции в 2005, 2006 году.

Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. Первая глава содержит вопросы истории появления и развития цепных дробей, в ней также рассматривается применение непрерывных дробей в теории чисел и аналитической теории, а также их приложения в других областях науки. Во вторую главу включены элементы теории цепных дробей: представление действительных чисел правильными цепными дробями, приближения действительных чисел подходящими дробями, оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью. В третьей главе показывается, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями действительного числа.

Ссылки в работе, отмеченные квадратными скобками, указывают на источник под соответствующим номером в списке литературы, а ссылки, отмеченные круглыми скобками, относятся к материалу данной работы.

1. История развития цепных дробей и их приложения

1.1 История появления и развития цепных дробей

По некоторым сведениям цепные дроби применялись уже математиками Древней Греции. Например, алгоритм Евклида (III в. до н.э.) тесно связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к числу Архимед (ок. 287-212 до н.э.) пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

В 1858 году был найден в курортном городке на Ниле древний папирус, его называют также Папирусом Ахмеса по имени писца, переписавшего его в 1650 году до н. э. Если Архимед жил в III веке до нашей эры, то папирус Ринда относится, как минимум, к XVII; ведь Ахмес был только переписчиком, а автор (или, скорее, авторы этого труда) неизвестен, но он жил еще раньше. В папирусе Ринда содержится удивительная формула для вычисления площади круга: , где S -площадь, а D – диаметр круга. Формула дана в виде рецепта: «Возьми диаметр круга и отбрось его девятую долю; на остающемся построй квадрат». Здесь используются наилучшие рациональные приближения. Трудно сказать, однако, как египтяне нашли этот коэффициент. Его могли найти и просто подбором – что абсолютно исключено в случае приближений , найденных Архимедом.

Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в. н.э.) показал, что π заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к π величину .

Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям (ок. 1048-1122). Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляла суток и составляла погрешность всего 19 секунд в год [4].

Но впервые цепные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли (1526-1572), вышедший в 1572 г. в статье, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел. Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для следующего вида [17]. Это частный случай формулы .

Следующее по времени применение цепной дроби, причём опять-таки к извлечению квадратных корней принадлежит итальянскому математику Пьетро Антонио Катальди (1552-1626), им был предложен второй частный случай данной формулы: . В 1613 г. он ввёл при записи цепной дроби повторное применение дробной черты, т.е. уже настоящее обозначение цепной дроби, только вместо + он употреблял перлюэт (&), т.е. сокращённое обозначение латинского союза et (и). И его запись разложения выглядела следующим образом: =4& & … Кроме разложения иррационального числа в ряд Катальди ещё и нашёл приближения этого числа: и , между которыми заключён (хотя он не знал способа последовательного вычисления подходящих дробей). При этом Катальди заметил, что значение цепной дроби всегда заключено между соседними подходящими дробями.

Катальди и Бомбелли пришли к цепным дробям, исходя из извлечения квадратного корня из чисел, а Даниель Швентер (1585-1636), немецкий математик, пришёл к цепным дробям путём приближённого представления обыкновенных дробей с большими числителями и знаменателями. Он раскладывал обыкновенную дробь в цепную, используя таблицу, с помощью весьма интересного способа [25]. Таким образом, он нашёл рекуррентные соотношения для последовательного вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей. Но при этом Швентер рассматривал только правильные дроби – дроби, числители которых все равны единице, а все знаменатели являются натуральными числами.

В середине XVII века английский математик Джон Валлис (1616-1703) первым по времени разложил трансцендентное число в бесконечное произведение: …, а У. Броункер (1620-1686), первый президент Королевского общества, около 1659 г. без доказательства опубликовал разложение его в цепную дробь: .

Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде (несократимой) дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Тогда Гюйгенс нашёл среди дробей с меньшим числителем и меньшим знаменателем подходящую дробь к числу [16]. Как и Швентер, Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь и поэтому ограничился рассмотрением правильных цепных дробей. Благодаря чему была найдена подходящая дробь , аппроксимирующая дробь с большими числителем и знаменателем, и имеющая погрешность, которая составляет лишь десятитысячную долю от единицы. Гюйгенс обратил внимание на то, что нельзя найти обыкновенную дробь с меньшими числителем и знаменателем, чем подходящая, которая была бы ближе к значению цепной дроби; а также, что подходящие дроби попеременно то больше, то меньше значения цепной дроби.

Можно сказать, что цепными дробями занимались от случая к случаю, и первым, кто систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию, насколько это было возможно сделать в ту эпоху, был Леонард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида и впервые появляются соответствующие цепные дроби. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь». Вторая работа Эйлера, вышедшая в 1750 г., фактически являлась её продолжением, в ней рассматривались вопросы о применении цепных дробей для решения дифференциальных уравнений, алгоритм нахождения подходящих дробей, преобразование числовых рядов в равноценные цепные дроби, представление иррациональных чисел в цепные дроби и нахождение для некоторых из них подходящих дробей. Из его работ стало ясно, что непрерывные дроби могут применяться как в теории чисел, так и в анализе. Эйлеру также принадлежат и многие другие работы, связанные с изучением и применением цепных дробей.

1.2 Применение цепных дробей в теории чисел

Задачами, относящимися к теории чисел, являются разложения действительных чисел в правильные непрерывные дроби и аппроксимации действительных чисел с помощью цепных (непрерывных) дробей. Здесь наиболее важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь и об оценке погрешности при замене действительного числа подходящей дробью.

Большой вклад в теорию правильных непрерывных дробей внёс Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), доказавший, что квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n) [8]. Им предложено неравенство, оценивающее погрешность при замене действительного числа его подходящей дробью, а также решение уравнения Пелля , где и - иррациональное число [14, Гл.6, §4, С. 196] в виде пары { P_n ( ), Q_n ( )} для некоторых значений n. Законченное решение этой задачи дал Адриен Мари Лежандр (1752-1833); частные решения были уже получены Эйлером (уравнение Пелля интересно, в частности, тем, что может быть использовано при решении задач аддитивной теории чисел, таких, как, например: «каждое простое число вида 4n+1 является суммой двух квадратов». – Такой результат сформулировал Пьер Ферма (1601-1665) и впервые доказал Эйлер. Доказательство же, основанное на непрерывных дробях, дал Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)).

Эварист Галуа (1811-1832) в своей первой опубликованной работе исследовал некоторые периодические правильные непрерывные дроби. Он дал определение двойственных периодических правильных непрерывных дробей [5, Гл.3, 3.3, С.71].

Жозеф Лиувилль (1809-1882) первым доказал существование трансцендентных чисел. В 1851 г. он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами. Он доказал, что для - корня неприводимого полинома с целыми коэффициентами степени n существует константа с: 0< c <1 , что для всех подходящих дробей выполняется неравенство [2, Гл.29, п.2, Т 270, С. 264]. Используя этот результат, он получил возможность привести сколь угодно много примеров трансцендентных чисел.

Результат, полученный Адольф Гурвицем (1859-1919) в 1891 заключается в том, что неравенство всегда имеет бесконечное число рациональных решений (Т. 12, С. 33). Эмиль Борель (1871-1956) дал простое доказательство этого факта, заметив, что среди любых трёх следующих одна за другой последующих дробей правильного непрерывно-дробного разложения имеется хотя бы одна, которая удовлетворяет данному неравенству.

Оттенок теории меры придали этим результатам Борель и Феликс Бернштейн (1878-1956), которые доказали, что для почти всех х: 0< x <1 , последовательность {a_n } не ограничена. А.Я.Хинчин (1894-1959) дал дальнейшее развитие этому направлению – он основал метрическую теорию непрерывных дробей [21].

1.3 Применение цепных дробей в аналитической теории

Значительный вклад в аналитическую теорию внёс Эйлер. Им были получены разложения в непрерывные дроби для интегралов и степенных рядов, включая и расходящиеся, а также показал, как разложение Броункера для может быть выведено либо из формулы приведения Валлиса, либо из знакопеременного ряда Грегори – Лейбница для . Другим вкладом Эйлера было решение дифференциального уравнения Риккати при помощи непрерывных дробей. В аналитическом направлении теории цепных дробей работали Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) (разложил в непрерывные дроби ln (1+ x ), arctgx и tgx ; и полностью исследовал вопросы сходимости непрерывных дробей к этим функциям), Лагранж, Гаусс, Карл Густав Якоби (1804-1851). Девятнадцатый век стал временем бурного развития аналитической теории цепных дробей. Методы непрерывных дробей использовались при изучении специальных функций, для нахождения конкретных численных результатов. В области теории разложения и сходимости непрерывных дробей, элементами которых являются линейные функции комплексного переменного, работали такие математики, как Пьер Симон Лаплас, Лежандр, Якоби, Эйзенштейн, Лаггер, Бернхард Риман (1826-1866), Томас Иоаннес Стилтьес, П.Л. Чебышев (1821-1894), Фробениус (1849-1917) и Анри Пуанкаре (1854-1912). Эти исследования оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Особенно это относится к работам Стилтьеса, которые привели к таким важным исследованиям, как проблема моментов, теория интеграла Стилтьеса, начало систематического изучения сходимости последовательностей голоморфных функций и первое применение Гильбертом и его школой аппарата спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве к проблеме моментов. В работах Пуанкаре и Стилтьеса, в которых разложения в непрерывные дроби применялись в связи с расходящимися рядами, по-видимому, впервые появились асимптотические разложения.

Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце XIX века для приближения аналитических функций подходящими дробями непрерывных дробей под общим названием аппроксимаций Паде, стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твёрдого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики.

Гейне в 1846-1847 гг. занимался гипергеометрическими функциями. Проблемой сходимости непрерывных дробей для отношений этих функций – Риман, и более полно этот вопрос был рассмотрен Томе. Решение задача представления произвольных степенных рядов цепными дробями было начато Штерном в 1832 г. и Хейлерманом в 1846 и продолжено Фробениусом и Стилтьесом. Интерес к этой теме проявляли многие математики, их работы играли большую роль для науки. Ею также активно занимались и русские учёные: в XIX веке работы П.Л. Чебышева, А.А.Маркова (1856-1922), И.В.Слешинского и других математиков внесли значительный вклад в теорию цепных дробей.

В Марийском педагогическом институте под руководством А.Н.Хованского в 50-60-е годы XX века работала аспирантура, в которой занимались исследованием аналитических вопросов цепных дробей. В последствии успешно защитили кандидатские диссертации и опубликовали ряд работ Г.В. Маурер [10, 11, 12, 13], Л.П. Шутова [26], C.С. Хлопонин [22, 23], В.К. Смышляев [19].

Таким образом, благодаря систематическому изучению Эйлером цепных дробей, многие математики, работающие в России и за её пределами, заинтересовались этим вопросом и продолжили его изучение в своих работах. Огромное количество работ, посвящённых теории цепных дробей, говорит о широких возможностях применения её к различным областям науки.

1.4 Приложения цепных дробей

Цепные и ветвящиеся цепные дроби обладают рядом уникальных свойств, обеспечивающих им широкое использование в теоретической и прикладной математике. Этим и объясняется повышенный интерес математиков к данной теории на протяжении нескольких веков.

Применение цепных дробей при решении классической задачи древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга) сыграло свою роль при нахождении значения числа π. Проблема составления календаря тесно связана с цепными дробями. Впервые порядок в счёте времени попытался навести в I в. до. н.э. римский император Юлий Цезарь, но его календарь был не достаточно точен. По юлианскому календарю к XVI в. накопилась ошибка, составляющая уже около 10 суток. В результате чего была проведена следующая реформа календаря папой римским Григорием XIII, именем которого и называется действующая система календаря. Решением этой задачи занимались многие математики среди них и Омар Хайям, о его системе календаря было рассказано ранее. В 1864 г. русским астрономом И. Медлером была предложена ещё одна поправка к юлианскому календарю, основанная на нахождении уже четвёртой подходящей дроби к записи продолжительности астрономического года в виде цепной дроби. Решением ещё одной задачи XVII века занимался Х.Гюйгенс при построении планетария (С.8).

В настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат цепных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел.

Цепные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем.

Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел.

Цепные дроби позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени. В вычислительной практике используются при решении сравнений первой степени, также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента цепными дробями с помощью формул Обрешкова или Тиле по методу Паде [24, Гл.3, §1, С.147]. Они также используются в теории сравнений.

На базе цепных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений вида [14, Гл.3, §4, п.2, С. 81], [14, Гл.6, §4, С. 196], уравнений рекуррентного типа, и других типов уравнений. Решение задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с частными производными можно представить ветвящимися цепными дробями, при наложении некоторых условий к системе и начальным условиям.

Цепные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций.

Теория матричных ветвящихся цепных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц. (Матричные рекуррентные уравнения применяются в задачах экономики, физики, плазмы и др.) [24, Гл.4, С. 176].

В настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие:

· Решение обратных задач теплопроводности [6];

· Исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок [20];

· Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах [3];

· Исследование устойчивости, исследование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.[1].

Литература

1. Боднарчук, П.И. Успехи и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / П.И. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 5 – 8

2. Бухштаб, А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. – Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

3. Гапоненко, Н.П. Цепные дроби в синтезе устройств частотной селекции на функциональных времязадающихся элементах / Н.П.Гапоненко, Н.Н.Рябец // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 48 – 49.

4. Глейзер, Г.И. История математики в средней школе. Пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1970. - 461с., ил.

5. Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс, В. Трон; Перевод с англ. В. Е. Кондрашова, С. Б. Королёва и И. Г. Турундаевской; под ред. И. Д. Софронова - М.: Мир, 1985. – 416 с.

6. Зотов, Е.Н. Решение обратных задач теплопроводности с помощью цепных дробей / Е.Н.Зотов, Н.П.Пучков, Ю.С. Шаталов // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 56 – 57.

7. Кудреватов, Г.А. Сборник задач по теории чисел / Г.А. Кудреватов. - М.: Просвещение, 1970. – с.

8. Ламберт, И.Г. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга. / И.Г. Ламберт // О квадратуре круга: сб. научных трудов / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 169-198

9. Математическая энциклопедия: В 5 т. Т. 5: Цепные дроби. – М.: Советская энциклопедия, 1985.

10. Маурер, Г.В. Решение одного дифференциального уравнения Риккати с помощью цепных дробей / Г.В. Маурер // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 76 – 77.

11. Маурер, Г.В. О разложении в цепные дроби некоторых предельных случаев функции Гейне. / Г.В. Маурер // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. –– С. 211-221.

12. Маурер, Г.В. О решениях некоторых диофантовых уравнений второй степени. / Г.В. Маурер // Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам: тезисы докладов. – М.: ТВП, 1995.

13. Маурер, Г.В. Решение некоторых неопределённых уравнений второй степени с помощью цепных дробей общего вида / Г.В. Маурер // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. – С. 431-442.

14. Михелович, Ш.Х. Теория чисел / Ш.Х. Михелович. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1967. – 336 с.

15. Нивен, А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен; перевод с англ. В.В. Сазонова; под ред. И.М. Яглома - М.: Мир, 1966. - 199с.

16. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся 7-9 классов ср. школы / Л.Ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1990. – 237с.

17. Рудио, Р. Обзор истории задачи о квадратуре круга от древности до наших дней. / Р. Рудио // О квадратуре круга / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 9-94

18. Семёнова, Е.Д. Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике./ Е.Д. Семёнова, О.Г. Куклина // Педагогика будущего: сборник научных трудов аспирантов и студентов. Вып. 2 / под ред. Г.В. Рокиной. - Йошкар-Ола. - 2005. – С.305-308

19. Смышляев, В.К. Сходимости сжатых цепных дробей. Аналитическая геометрия треугольника вопросы теории цепных дробей / В.К. Смышляев // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. –С.443-444

20. Терских, В.П. Цепные дроби – математические модели колеблющихся цепных систем / В.П. Терских // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 34 – 40.

21. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин – М.: ГИФ – МЛ, 1961, 112с.

22. Хлопонин, С.С. Области сходимости цепных дробей / С.С. Хлопонин // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 96 – 97.

23. Хлопонин, С.С. Сходимость цепных дробей. / С.С. Хлопонин // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. – С. 354 - 362.

24. Хованский, А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа / А.Н. Хованский. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 204 с.

25. Хованский, А.Н. Работы Л.Эйлера по теории цепных дробей / А.Н. Хованский // Историко-математические исследования. – Вып. 10. – С.305-326.