Одной из актуальных проблем современного мира является проблема информационной безопасности. В частности, это предотвращение утечки информации по техническим каналам, например таким, как наведенное радиоизлучение, а также защита от злоумышленного воздействия посредством электромагнитного излучения. Поэтому возникает необходимость создания маскирующих устройств, экранирующих устройств. Это стало возможным благодаря достижениям в трансформационной оптике и физике поглощающих материалов. Однако для развития этих направлений необходимо создание новых материалов, обладающих уникальными свойствами, не встречающимися в природе, а именно метаматериалов (ММ). В настоящее время известны различные методы описания свойств метаматериалов, а также их моделирования. Однако все они требуют значительных вычислительных затрат. Поэтому использование информационных технологий позволяет в значительной степени упростить процесс расчета и моделирования.
Задачи, поставленные в данной работе:
1. Исследование современных методов описания электромагнитных характеристик метаматериалов;
2. Разработка методик численного расчета усредненных матриц рассеяния с использованием ЭВМ;
3. Численное исследование усредненных матриц рассеяния неоднородных блоков;
В современной литературе объемные ММ чаше всего представлены решетками искусственных частиц (включений во вмещающую диэлектрическую матрицу), т.е. практически фотонными кристаллами (ФК). Однако в отличие от всех остальных ФК включения, образующие объемные ММ, обладают резонансными свойствами на таких частотах, на которых сами включения, а также расстояния a
между их центрами являются оптически малыми [1,2].
Одной из основных проблем в теории ММ является проблема их гомогенизации. Процедура гомогенизации вводит эффективные материальные параметры (ЭМП) дискретных сред как результат более или менее точного усреднения уравнений Максвелла для истинных (микроскопических) полей и поляризаций, при котором поляризация частиц заменяется на поляризацию, непрерывно распределенную в среде. Гомогенизация имеет смысл, если ее результат (ЭМП) можно использовать для решения краевых задач электродинамики, заменяя таким образом дискретный массив рассеивающих частиц на образец непрерывной среды.
Теория эффективных материальных параметров композитных материалов имеет долгую историю. Имеется множество феноменологических теорий, дающих формулы гомогенизации, т.е. формулы, по которым можно рассчитать эффективные проницаемости, зная состав композита. Наиболее известные формулы гомогенизации – это формулы Гарнетта [3] и фон Бруггемана [4]. Применение феноменологических теорий носит, как всегда, неконтролируемый с точки зрения строгой теории характер. Более того, в отличие от строгой теории, каждая из феноменологических теорий дает качественное описание лишь части свойств системы.
Необходимо также упомянуть спектральную теорию Бергмана - Мильтона, в которой включения с отрицательным значением проницаемости играют особую роль. Так, в рамках теории Бергмана-Мильтона показывается [5], что расчет эффективной проницаемости εeff
может быть сведен к нахождению спектральной функции, которая, в свою очередь, определяется распределением полюсов εeff
как функции проницаемостей включений. Хотя теория Бергмана-Мильтона и не дает алгоритма расчета спектральной функции, но зато она показывает, что все полюсы эффективной проницаемости лежат на отрицательной действительной оси [5].
В теории фон Бруггемана, часто называемой теорией эффективной среды (ТЭС), матрица и включения рассматриваются «равноправно». Часто эту формулу называют симметричной формулой гомогенизации. ТЭС предполагает, что «в среднем» частицы не возмущают внешнее поле, т.е. в среднем поле внутри частиц равно приложенному полю.
Существует множество модификаций ТЭС, в которых делаются попытки учесть те или иные явления или свойства композитов, не описываемых формулой фон Бруггемана. Так, в [6] получено выражение, учитывающее скин-эффект на металлических включениях. Существует также масса работ, где делаются попытки учесть корреляции в распределении частиц [7, 8, 9].
Рассматривая гомогенизацию в квазистатическом приближении, следует также отметить методы, развитые в трудах Эвальда [10] и продолженные Сивухиным [11]. Подход Эвальда основан на рассмотрении падения плоской волны на полубесконечную решетку точечных электрических диполей. Для анализа распространения волны в решетке Эвальд и многие другие исследователи существенно используют квазистатическое приближение qa
<< 1, где q
— волновое число (модуль волнового вектора) преломленной волны. Результат квазистатического анализа Эвальда практически совпадает с результатом куда более простой статической модели [12], поскольку, как и последняя, он после преодоления всех математических трудностей ведет к известному уравнению Клазиуса-Мосотти.
Метод минимальных автономных блоков (МАБ) был развит Никольским [13]. Изложение этого метода стоит начать наиболее прозрачным примером. На рис. 1 приведена схема электродинамической системы типа волноводного устройства. Это соединение полых металлических объектов I, II
при помощи волноводов, составляющих с ними единое целое. Границы между объектами, обозначенные штриховыми линиями, являются поперечными сечениями соединительных волноводов.
Рис. 1.1. Схематическое изображение волноводного устройства.
Устройство имеет волноводные входы 1, 2, ... Полости I, II
могут содержать какие-то элементы, нарушающие однородность внутренней среды (металлические, диэлектрические или, например, гиромагнитные тела), однако все среды будем считать линейными.
По своей сути подлежащая решению задача относится к дифракционным. Действительно, в каком-то рабочем режиме по внешним каналам (через входы 1, 2, ...) к волноводному устройству приходят волны, которые фигурируют как заданные, и надо определить «отклик» устройства в виде волн, уходящих от него по тем же каналам. В этом случае имеем соотношение:
(1.1)
где
и
— векторы падающих и отраженных волн, представляющие собой наборы скалярных комплексных амплитуд — коэффициентов при нормированных векторных функциях, a S
— матрица рассеяния. В более детализированной записи
,
где
и
(1.2)
(α, β =
1, 2, …, P –
номера входов устройства; k, n
= 1, 2, … –
номера типов собственных волн того или иного присоединенного волновода). Хотя в принципе число собственных волн бесконечно, практически достаточно ограничиться некоторым числом kα
волн в каждом из внешних каналов; порядок матрицы рассеяния есть
. Как известно, волноводы в большинстве случаев выбираются так, чтобы активной была лишь одна (основная) волна; тогда при достаточной длине внешних каналов интерес будет представлять матрица рассеяния устройства с kα
= 1 для всех α; для случая, представленного на рис. 1.1, это матрица шестого порядка.
Как правило, композит или метаматериал представляют собой периодические структуры, в которых можно выделить некоторый набор типов структурных элементов (макроблоков) обладающих определенными характеристиками. Прямое моделирование всего метаматериала представляет собой очень сложную, а зачастую невозможную с точки зрения вычислительных затрат задачу. Поэтому задача поиска дескриптора, который бы описывал каждый тип макроблока, чтобы использовать его для описания характеристик метаматериала в целом является актуальной. Предлагается использовать для этой цели дескриптор в виде матрицы рассеяния.
Прямое использование метода МАБ для анализа метаматериалов предполагает следующие этапы, представленные на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Этапы решения электродинамической задачи методом МАБ
В метаматериале (рис. 2.1, а) выделяется макроблок, содержащий неоднородности (рис. 2.1, б). Макроблок разбивается на систему минимальных автономных блоков, которые считаются однородными (рис. 2.1, в). Для них аналитически находится матрица рассеяния, считая их подключенными к виртуальным волноводам бесконечно малой толщины с периодическими граничными условиями. Далее, путем объединения общих каналов вычисляется многоканальная матрица (рис. 2.1, г), порядок которой равен количеству каналов на внешних границах блока. Количество МАБ в макроблоках зависит от сложности внутренней структуры и его волновых размеров. Для моделирования известных метаматериалов порядок многоканальных матриц рассеяния может достигать десятков – сотен тысяч, что делает этот подход не эффективным по вычислительным затратам и информативности многоканальных матриц рассеяния.
В работе [14] показана принципиальная возможность использования усредненных (эффективных) матриц рассеяния (УМР) для анализа метаматериалов на базе метода МАБ. В основе этого подхода лежит переход от многоканальной матрицы рассеяния к матрице рассеяния, имеющей порядок обычного МАБ (4 в 2D или 12 в 3D). Иллюстрация перехода от многоканальной к усредненной матрице рассеяния приведена на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Получение усредненной матрицы рассеяния
Полученные многоканальные и усредненные матрицы рассеяния могут быть использованы в рамках метода МАБ для расчета характеристик метаматериала.
Пакет COMSOL Multiphysics является одним из самых известных и распространенных программных продуктов для решения задач методом конечных элементов. Именно он был выбран для исследований благодаря:
· Возможности расчета матриц рассеяния;
· Возможности прямой обработки результатов в пакете MATLAB;
· Удобному интерфейсу;
Возможность расчета матриц рассеяния реализована с помощью портов. Порт – это идеально согласованная плоскость, которая считывает проходящую через него волну или испускает плоскую волну (активный порт). Порты используются в волноводных задачах дифракции. Пусть в задаче активным является порт номер 1. Тогда параметр S11
который характеризует отражение вычисляется по формуле:
,
(2.3а)
А остальные параметры рассеяния Sj
находятся как:
,
(2.3б)
где Ec
– поле в порте, Ei
– амплитуда собственных волн портов.
Так получается первый столбец матрицы рассеяния, составленный из параметров рассеяния Si1
. Второй столбец получаем, делая активным второй порт и т.д. В итоге находим матрицу рассеяния системы в волноводной задаче.
Взаимодействие с пакетом MATLAB происходит через FEM структуру, которая содержит все параметры задачи, а также сетку конечных элементов. После изменения необходимых параметров, процесс вычисления матрицы рассеяния запускается вызовом функции sparametermatrix(), которой в виде параметра передается FEM структура. Решение задачи происходит средствами COMSOL Multiphysics, а результат передается обратно в MATLAB для обработки.
Рис. 2.3. Подключение периодических волноводов к сторонам блока
К каждой грани исследуемого блока подключаются волноводы с периодическими граничными условиями длины l
имеющие постоянную распространения β.
На концах волновода подключены идеально сгласованные порты. Подключение периодических волноводов приводит к тому, что на достаточно небольшом расстоянии от блока рассеянная волна становится плоской (рис. 2.4).
Элементы каждого столбца УМР вычисляются как комплексные амплитуды отраженных волн с учетом фазового набега от границы блока до соответствующего порта.
Для корректировки фазы используется формула
,
где
и
– элементы исходной и пересчитанной матрицы соответственно. Данная методика позволяет избежать проблем потери мощности, так как к портам приходят плоские волны, что обеспечивает корректное вычисление интегралов (2.3)
Рассмотрим, как зависят элементы усредненной матрицы рассеяния от внутреннего содержимого исследуемого неоднородного блока. Для этого будем вычислять матрицу рассеяния с помощью методики, предложенной в разделе 2.4. Для наглядности возьмем блок в виде квадрата. Размер блока равен 1см. Диапазон длин волн падающего излучения 5-100 см. Если блок исследуется не в диапазоне длин волн, то длина волны по умолчанию равна 20см. Длина присоединенных волноводов одинакова и равна 2см.
Рассмотрим матрицу рассеяния пустого однородного блока, полученную с помощью данной методики:
Эта матрица обладает теми же свойствами, что и матрица, полученная методом МАБ (симметричность, сумма квадратов элементов столбцов равна 1, действительная часть диагональных элементов меньше нуля, а остальных – больше нуля). Если рассмотреть зависимость модулей элементов первого столбца матрицы рассеяния от длины волны в исследуемом диапазоне (рис. 3.1), то можно увидеть, что с ростом λ они стремятся к 0.5. Это происходит из-за того, что поле в пределах блока становиться однородным. Также можно наблюдать совпадение кривых для элементов S31
и S41
из-за симметрии задачи и то, что |S21
|>|S11
|.
Рис. 3.1. Зависимость модулей элементов матрицы рассеяния от длины волны падающего излучения
Поместим теперь в центр блока неоднородность в виде диэлектрического квадрата с ε=4. В результате получим следующую матрицу рассеяния:
Можно заметить, что матрица рассеяния сохранила равенство элементов S31
и S41
, но теперь модуль значения элемента S11
(|S11
|= 0.5019) стал больше чем модуль значения элемента S21
(|S21
|= 0.5008) в первом столбце. Это вызвано тем, что в отличие от свободного пространства теперь есть отражение от диэлектрика. Если увеличить значение диэлектрической проницаемости, например, до ε=100, то это отражение станет еще заметнее (|S11
|= 0.8880, |S21
|=0.2820). Это позволяет сделать вывод, что усредненная матрица рассеяния чувствительна к материальному составу неоднородности внутри блока.
Теперь как видно из матрицы, симметрия задачи нарушилась, и больше не выполняется равенство |S31
|=|S41
|. Это доказывает чувствительность усредненной матрицы рассеяния к внутренней конфигурации блока.
Анализ приведенных результатов показывает, что коэффициенты прохождения и отражения резонансным образом зависят от длины волны и от числа слоев в решетке. Несмотря на это результаты прямого моделирования методом МАБ и результаты, полученные с использованием методики усредненной матрицы рассеяния, достаточно близки. Это подтверждает возможность использования методики усредненной матрицы рассеяния для расчета электродинамических устройств и систем, в состав которых входят композиты с резонансными элементами.
Информативность и универсальность методики усредненной матрицы рассеяния по сравнению с эффективными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей обеспечивается большим количеством матричных элементов, входящих в эти матрицы.
Установлено, что усредненные матрицы рассеяния макроблоков могут применяться в качестве альтернативы традиционно используемым эффективным электромагнитным параметрам. Использование методики усредненной матрицы рассеяния снимает необходимость расчета в общем случае тензорных значений эффективных материальных параметров. Дополнительным достоинством этого подхода к описанию электромагнитных свойств метаматериалов является возможность непосредственного использования усредненной матриц в рамках обычных алгоритмов и программ, реализующих метод минимальных автономных блоков. Также показана эффективность использования ИТ для расчета свойств метаматериалов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе работы были проанализированы существующие методы описания электродинамических свойств композитов и метаматериалов. Было предложено использование матрицы рассеяния блоков с неоднородным заполнением. Были разработаны методики численного расчета усредненной матрицы рассеяния методом конечных элементов с использованием программного пакета COMSOL Multiphysics, исследована их точность и вычислительная эффективность. Была исследована частотная зависимость элементов усредненной матрицы рассеяния для различных вариантов внутреннего заполнения блоков.
1. Artificial Materials Handbook. V. 1. Theory and Phenomena of Artificial Materials. V 2. Applications of Artificial Materials / Ed. by Capolino F. N.Y.: CRC Pr I Lie Publishers, 2009. 1817 p.
2. Sarychev A.K., Shalaev V.A.
Electrodynamics of Metamaterials. Singapore: World Scientivic Publishers Co. Pte. Ltd., 2007. 235 p.
3. Garnett J С M
Philos. Trans. R. Soc. London 203
385 (1904)
4. Bruggeman D A G
Ann. Phys. (Leipzig) 24
636 (1935)
5. Bergman D G
Phys. Rep. 43
377 (1978)
6. Левин Л.
Теория волноводов М.: Радио и связь, 1981
7. Виноградов А.П.
Электродинамика композитных материалов М.: УРСС, 2001
8. Hui P M, Stroud D
Phys. Rev. B 33
2163 (1986)
9. Granek R, Abraham NitzanJ.
Chem. Phys. 90
3784 (1989)
10. Ewald P.
//Annalen der Physik. 1921. B. 64. S. 2943.
11. Сиеухин Д.В.
//ЖЭТФ. 1956. Т. 26. С. 269.
12. Тамм И.Е.
Основы теории электричества. М.: Наука. 1976. 616 с.
13. Никольский В.В., Никольская Т.И.
Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983.
14. Maly S.
The multiscale analysis of electromagnetic properties of nanomaterials // Proceedings of International Workshop NDTCS’2008, June 23-27, 2008, Minsk, P. 231-234.
Универсальная научная поисковая система Scirus
. Осуществляет полнотекстовый поиск по статьям журналов большинства крупных иностранных издательств (порядка 17 млн. статей), статьям в крупных архивах статей и препринтов, научным ресурсам Internet (более 250 млн. проиндексированных страниц). Многократно признавалась лучшей специализированной поисковой системой.
http://www.vak.org.by
Сайт Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь. Тут размещены материалы, касающиеся подготовки научных кадров, присуждения ученых степеней и званий, краткие паспорта специальностей и программы-минимумы кандидатских экзаменов по специальности; в разделе «Каталог файлов» представлены доступные для скачивания файлы нормативных документов с приложениями и шаблоны регистрационных документов. Организован поиск по сайту и в сети Интернет.
http://scholar.google.com
Поисковая система по научной литературе GoogleScholar
. Включает статьи крупных научных издательств, архивы препринтов, публикации на сайтах университетов, научных обществ и других научных организаций. Ищет статьи в том числе и русском языке. Что не маловажно, рассчитывает индекс цитирования публикаций и позволяет находить статьи, содержащие ссылки на те, что уже найдены.
http://www.scienceresearch.com/search
Научная поисковая система ScienceResearchPortal
, осуществляющая полнотекстовый поиск в журналах многих крупных научных издательств, таких как Elsevier, Highwire, IEEE, Nature, Taylor & Francis и др. Ищет статьи и документы в открытых научных базах данных: Directory of Open Access Journals, Library of Congress, Online Catalog, Science.gov и Scientific News.
http://ieee.org/index.html
Сайт Института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (The Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE). В настоящее время в IEEE самое большое всемирное техническое общество учёных и исследователей, профессионально связанных с электротехникой, радиоэлектроникой, компьютерами. Главная цель IEEE – информационная и материальная поддержка специалистов для организации и развития научной деятельности в электротехнике, электронике, компьютерной технике и информатике, приложение их результатов для пользы общества, а также профессиональный рост членов IEEE. Институт IEEE публикует почти треть всей мировой технической литературы, ежегодно издаёт почти 140 журналов и 400 сборников трудов конференций. Главное достоинство материалов IEEE – высокое качество.
http://arxiv.org/
Сайт содержит открытый доступ к большому количеству статей в области физики, математики, компьютерных наук, квантовой биологии, финансам и статистике.
www.comsol.com/products/tutorials/
Сайт программного продукта COMSOL Multiphysicis. Содержит большое количество информационных и обучающих материалов по работе с программным продуктом.
http://ru.wikipedia.org/
Многоязычный проект по созданию полноценной и точной энциклопедии со свободно распространяемым содержимым. Содержит большое число статей по различным тематикам.
http://www.mathworks.com
Cайт разработчика программного обеспечения в области численных вычислений и компьютерного моделирования. Программный пакет MatLab предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики.
1. Мандельштам Л.И.
Лекции, прочитанные 26 февраля 1940 г. и 5 мая 1944г. // Полное собрание трудов. Т. 5. М: Изд-во АН СССР, 1950.
2. Сивухин Д.В.
Об энергии электромагнитного поля в диспергирующих средах // Оптика и спектроскопия. 1957. Т. 3. С. 308-312.
3. Веселаго В.Г.
Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями ε и µ // Успехи физических наук. 1967. Т. 92. С. 517.
4. Электрофизические свойства перколяционных систем / Под редакцией Лагарькова А.Н. М.: ИВТАН, 1990.
5. Lagarkov A.N., Semenenko V.N., Chistyaev VA. et al.
Resonance properties of Bi-Helix Media at Microwaves //Electromagnetics. 1997. V. 17. P. 213-237.
6. Shelby, RA; Smith, DR; Schultz, S
(2001). Experimental Verification of a Negative Index of Refraction //Science 2001. V. 292 P. 77-79
7. Pendry J.B.
Negative Refraction Makes a Perfect Lens // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 3966-3969.
8. Grbic, A., Eleftheriadesm, G.V.
Overcoming the diffraction limit with a planar left-handed transmission-line lens //Phys. Rev. Lett. 2004. V.92. P. 117403
9. Fang, N., et al.
Sub-diffraction-limited optical imaging with a silver superlens //Science 2005 V. 308. P. 534-537
10. Schurig, D., Mock, J.J., Justice, B.J., et al.
Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies //Science 2006. V. 314. P. 977–980
11. Landy, N. I. et al
Perfect Metamaterial Absorber //Phys. Rev. Lett 2008 V. 100 207402
12. Artificial Materials Handbook. V. 1. Theory and Phenomena of Artificial Materials. V 2. Applications of Artificial Materials / Ed. by Capolino F. N.Y.: CRC Pr I Lie Publishers, 2009. 1817 p.
13. Sarychev A.K., Shalaev V.A.
Electrodynamics of Metamaterials. Singapore: World Scientivic Publishers Co. Pte. Ltd., 2007. 235 p.
14. Garnett J С M
Philos. Trans. R. Soc. London 203
385 (1904)
15. Bruggeman D A G
Ann. Phys. (Leipzig) 24
636 (1935)
16. Bergman D G
Phys. Rep. 43
377 (1978)
17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
Электродинамика сплошных сред М.: Наука, 1992
18. Lozovik Yu E, Klyuchnik A V
The Dielectric Function of Condensed Systems (Eds L V Keldysh, D A Kirzhnitz, A A Maradu-din) Amsterdam: Elsevier, 1987 p. 300
19. Левин Л.
Теория волноводов М.: Радио и связь, 1981
20. Виноградов А.П.
Электродинамика композитных материалов М.: УРСС, 2001
21. Hui P M, Stroud D
Phys. Rev. B 33
2163 (1986)
22. Granek R, Abraham NitzanJ.
Chem. Phys. 90
3784 (1989)
23. Ewald P.
//Annalen der Physik. 1921. B. 64. S. 2943.
24. Сиеухин Д.В.
//ЖЭТФ. 1956. Т. 26. С. 269.
25. Тамм И.Е.
Основы теории электричества. М.: Наука. 1976. 616 с.
26. Никольский В.В., Никольская Т.И.
Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983.
27. Самарский А. А, Тихонов А. Н.
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей TE и TM. – ЖТФ, 1948, т. 18, № 7, с. 959–970
28. Maly S.
The multiscale analysis of electromagnetic properties of nanomaterials // Proceedings of International Workshop NDTCS’2008, June 23-27, 2008, Minsk, P. 231-234.