Учебное пособие: Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 230201 Информационные системы и технологии

P₂₁

P₃₁ P₄₃ P₄₅

Рис. 4.2.

Для этого графа состояний вероятности задержек равны:

.

(на размеченном графе эти вероятности для простоты не проставляются).

Теперь рассмотрим, как найти для однородной цепи Маркова безусловную вероятность нахождения системы S на k -ом шаге в состоянии s_j ( j =1, 2, …, n ):

(4.15)

если задана матрица переходных вероятностей (или, что равнозначно, размеченный граф состояний) и начальное распределение вероятностей:

(4.16)

Сделаем гипотезу, состоящую в том, что в начальный момент ( k =0) система находилась в состоянии s_i . Вероятность этой гипотезы равна:

В предположении, что эта гипотеза имеет место, условная вероятность того, что система S на первом шаге будет в состоянии s_j , равна переходной вероятности

По формуле полной вероятности получим:

(4.17)

Таким образом, найдено распределение вероятностей системы S на первом шаге. Для нахождения распределения вероятностей на втором шаге, которое для цепи Маркова зависит только от распределение вероятностей на первом шаге и матрицы переходных вероятностей, опять сделаем гипотезу, состоящую в том, что на первом шаге система находится в состоянии s_i ; вероятность этой гипотезы нам уже известна и равна

( i =1, 2, …, n ).

При этой гипотезе условная вероятность того, что на втором шаге система S будет в состоянии s_j , равна:

По формуле полной вероятности находим:

(4.18)

Таким образом, получено распределение вероятностей (4.18) на втором шаге через распределение на первом шаге и матрицу . Переходя таким же способом от k =2 к k =3 и т. д., получим рекуррентную формулу:

(4.19)

4.3 Примеры решения аудиторных задач

Пример 1. Система S представляет собой техническое устройство (ТУ), а его возможные состояния: s ₁ – ТУ работает исправно; s ₂ – ТУ неисправно, но это не обнаружено; s ₃ – неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника; s ₄ – источник неисправности найден, ведется ремонт ТУ; s ₅ – проводится послеремонтный осмотр (после этого осмотра, если ТУ восстановлено в прежнем виде, оно возвращается в состояние s ₁ , если нет – признается негодным и списывается); s ₆ – ТУ списано за негодностью; s ₇ – ведется профилактический осмотр ТУ (если обнаружена неисправность, ТУ направляется в ремонт). Граф состояний ТУ показан на рисунке 4.3. В дальнейшем мы всегда будем считать (не оговаривая это каждый раз отдельно), что переход («перескок») системы S из состояния s_i в другое состояние s_j осуществляется мгновенно и что в любой момент времени система может находиться только в одном из своих состояний.

Рис. 4. 3

Пример 2. Рассматривается следующий процесс: система представляет собой техническое устройство (ТУ), которое осматривается в определенные моменты времени (скажем, через сутки), и ее состояние регистрируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр с регистрацией представляет собой «шаг» процесса. Возможные состояния ТУ следующие:

s ₁ – полностью исправно;

s ₂ – частично неисправно, требует наладки;

s ₃ – обнаружена серьезная неисправность, требует ремонта;

s ₄ – признано непригодным, списано.

Допустим, что как наладка, так и ремонт продолжаются менее суток и после их выполнения ТУ возвращается в состояние s ₁ (полностью исправно) или списывается. Граф состояний ТУ имеет вид, изображенный на рис. 4.4. Очевидно, состояние s₄ – поглощающее. Если известно, что в начальный момент ТУ полностью исправно, то в дальнейшем процесс протекает случайным образом: после каждого шага (осмотра, контроля) ТУ с какой-то вероятностью может оказаться в одном из своих состояний.

Рис. 4.4

Пример 3. В условиях примера 2 задана матрица переходных вероятностей

Этой матрице соответствует размеченный граф состояний ТУ, изображенный на рис. 4.5. В начальный момент (t ₀ =0 ) ТУ находится в состоянии s ₁ (исправно). Найти распределение вероятностей состояний ТУ для первых четырех шагов (k =1, 2, 3, 4 ); убедиться, что вероятность поглощающего состояния с увеличением k растет.

P₂₁

P₁₃ P₃₁

P₁₂

P₁₄

P₂₄ P₃₄

Рис . 4.5

Решение. Так как в начальный момент (t ₀ =0 ) ТУ заведомо находится в состоянии s ₁ , то: По формуле (4.19), полагая в ней k = 1, получим:

Снова применяя формулу (4.19), находим вероятности состояний на втором шаге:

Далее получим:

Мы убедились, что с возрастанием k вероятность поглощающего состояния p ₄ (k ) растет, тогда как вероятность p ₁ (k ) состояния s ₁ убывает.

4.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Рассматривается система S – станок с числовым программным управлением (ЧПУ), который может находиться в следующих состояниях:

S₁ – исправен и работает;

S₂ – неисправен; неисправность не обнаружена;

S₃ – неисправен, проводится средний ремонт;

S₄ – не работает, находится на профилактике;

S₅ – неисправен, проводится капитальный ремонт.

Размеченный граф состояний станка с ЧПУ показан на рис. 4.6. Найти вероятности состояний станка с ЧПУ.

P₁₄ P₄₁

P₄₃ P₄₅

P₃₁ P₅₁

P₁₂

P₂₃ P₂₅

Рис . 4.6

4.5 Контрольные вопросы и задания

1. При каких условиях марковские процессы с дискретным временем могут быть использованы для анализа надежности систем?

2. Какие характеристики надежности могут быть рассчитаны с использованием матрицы переходов?

3. Что называется ориентированным графом состояний?

4. Какой процесс называется процессом гибели и размножения?

5.Какой процесс называется марковским?

6. Какое условие должно выполняться для марковского процесса с дискретными состояниями и дискретным временем?

7. Какова основная задача исследования марковских цепей?

8. Что называется переходными вероятностями?

9. Какова методика определения вероятностей задержки системы в определенном состоянии?

10. Какая цепь Маркова называется однородной?

11. Какова методика нахождения распределения вероятностей состояний системы?

5. Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем

5.1 Цель занятия

Освоение студентами методики расчетов надежности сложных систем с использованием метода переходных интенсивностей, использующего аппарат марковских процессов с непрерывным временем.

В результате проведения занятия студенты должны знать:

особенности расчета надежности сложных систем с использованием метода переходных интенсивностей, методологические основы этого метода и условия его применения для анали­тической оценки ПН восстанавливаемых систем.

Студенты должны уметь практически использовать положения метода переходных интенсивностей в инженерных расчетах надежности сложно-структурных систем с восстановлением; строить размеченный граф состояний системы; составлять систему уравнений Колмогорова непосредственно по виду графа состояний; определять вероятности состояний системы по размеченному графу состояний системы.

5.2 Основные теоретические положения по теме занятия

Случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется марковским , если для любого момента времени t условные вероятности всех состояний системы S в будущем (при t < t ₀ ) зависят только от того, когда и каким образом система пришла в это состояние. Другими словами, в марковском процессе будущее зависит от прошлого только через настоящее .

Переходы системы S из работоспособного состояния в неработоспособное происходит под действием потока отказов, а переход системы из неработоспособного в работоспособное – под действием потока восстановлений.

Теорию марковских процессов с дискретным состоянием и непрерывным временем будем излагать, предполагая, что переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий (не обязательно стационарных).

Отсутствие последействия в пуассоновском потоке позволит при фиксированном настоящем не заботиться о том, когда и как система оказалась в этом состоянии.

Пусть на графе состояний системы S существует стрелка, ведущая из состояния s_i в одно из соседних состояний s_j (рис. 5.1).

λ_ij (t)

Рис . 5.1

Будем считать, что переход системы из работоспособного состояния s_i в состояние отказа s_j осуществляется под воздействием пуассоновского потока отказов с интенсивностью . Переход из s_i в s_j происходит в момент наступления первого отказа.

Вероятность перехода системы из работоспособного состояния s_i , в в котором она находилась в момент времени t , в неработоспособное состояние s_j за элементарный промежуток времени , непосредственно примыкающий к t , приближенно равна , где - интенсивность пуассоновского потока отказов, переводящего систему из работоспособного состояния s_i в неработоспособное s_j .

Представим для вероятностей p_i (t) систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1) с переменными (в общем случае) коэффициентами. Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова (по имени академика Колмогорова, предложившего такой метод анализа марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем):

( i =1, 2, …, n ). (5.1)

Первая сумма в правой части формулы (5.1) распространяется на те значения j , для которых возможен непосредственный переход из состояния отказа s_j в работоспособное состояние s_i (т. е. для которых ), а вторая – на те значения j , для которых возможен непосредственный переход из работоспособного состояния s_i в состояние отказа s_j (т. е. ).

Систему дифференциальных уравнений (5.1) решают при начальных условиях, задающих вероятности состояний в начальный момент при t =0 :

(5.2)

причем для любого момента времени t выполняется нормировочное условие:

. (5.3)

Это следует из того, что в любой момент t события

образуют полную группу несовместных событий. Нормировочное условие (5.3) можно использовать вместо одного (любого) из дифференциальных уравнений (5.1).

При составлении системы дифференциальных уравнений (5.1) удобно пользоваться размеченным графом состояний системы , где возле каждой стрелки, ведущей из состояния s_i в состояние s_j , стоит интенсивность пуассоновского потока отказов. Если , ни стрелка, ни соответствующая интенсивность на размеченном графе не ставятся.

Получить систему уравнений (5.1) можно непосредственно по виду графа состояний, если пользоваться следующим правилом: для каждого из возможных состояний системы записывается уравнение, в левой части которого , а справа – столько слагаемых, сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием. Если стрелка направлена в данное состояние, то перед слагаемым ставится плюс, если стрелка направлена из данного состояния – минус. Каждое из слагаемых будет равно произведению интенсивности перехода из данного состояния (либо в данное состояние) на вероятность состояния, из которого выходит стрелка.

Решение системы уравнений (5.1) осуществляется по известным правилам решения системы дифференциальных уравнений. Однако его можно существенно упростить, если учесть, что рассматриваемый процесс – процесс марковский стационарный, для которого производные можно принять равными нулю (вероятности состояний не меняются с течением времени). Система дифференциальных уравнений (5.1) переходит при этом в систему алгебраических уравнений.

5.3 Примеры решения аудиторных задач

Пример 1. Определить вероятности состояний системы, структурная схема и граф состояний которой изображены на рис. 5.2. Известны интенсивности отказов элементов , а интенсивности восстановления

а) б)

Рис. 5.2

Решение. Число состояний системы – три. Состояние S₀ – два элемента, входящие в систему, работоспособны. Состояние S₁ – один из элементов, входящих в систему, в отказовом состоянии. Состояние S₂ – оба элемента отказали.

Интенсивности переходов системы в состояния S₀ ; S₁ ; S₂ равны:

При помощи формулы 5.1 составим систему дифференциальных уравнений, с помощью которых можно определить вероятности состояний системы:

Если считать рассматриваемый марковский процесс стационарным, то можно производные принять равными нулю. Полученная система алгебраических уравнений примет вид:

Четвертое уравнение для этой системы (при трех неизвестных) становится необходимым потому, сто первые три уравнения сводятся к двум. Решение системы уравнений дает

Пример 2. Размеченный граф состояний системы имеет вид, показанный на рис. 5.3. Написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний и указать, при каких начальных условиях их нужно решать, если в начальный момент система S с вероятностью 1/2 находится в состоянии S₁ и с вероятностью 1/2 - в состоянии S₂ .

λ₁₃ λ₂₁ λ₄₂

λ₄₃

λ₃₅ λ₅₄

Рис. 5.3

Решение. Уравнения Колмогорова имеют вид

Любое из этих уравнений может быть отброшено, а соответствующая ему вероятность (i =1,2,3,4,5) выражена через остальные с помощью нормировочного условия:

.

Начальные условия, при которых надо будет решать систему дифференциальных уравнений, будут:

5.4 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Техническая система S – вычислительный центр (ВЦ), состоящий из трех ЭВМ: 1, 2, 3. Каждая из ЭВМ выходит из строя (отказывает) независимо от других. Потоки отказов ЭВМ – пуассоновские с переменными интенсивностями, равными После отказа каждая ЭВМ восстанавливается; потоки восстановлений – пуассоновские с интенсивностями потоки восстановлений тоже независимы. Рассматриваются следующие состояния системы:

S₁ – все ЭВМ исправны

S₂ – ЭВМ 1 отказала, ЭВМ 2 и ЭВМ 3 исправны;

S₃ – ЭВМ 2 отказала, ЭВМ 1 и ЭВМ 3 исправны;

S₄ - ЭВМ 3 отказала, ЭВМ 1 и ЭВМ 2 исправны;

S₅ - ЭВМ 1 и ЭВМ 2 отказали, а ЭВМ 3 исправна;

S₆ - ЭВМ 1 и ЭВМ 3 отказали, а ЭВМ 2 исправна;

S₇ - ЭВМ 2 и ЭВМ 3 отказали, а ЭВМ 1 исправна;

S₈ – все три ЭВМ отказали.

Построить размеченный граф состояний ВЦ. Составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний p ₁ ( t ),…, p ₈ ( t ) . Записать нормировочное условие, позволяющее указать, при каких начальных условиях надо решать эту систему дифференциальных уравнений, если известно, что в начальный момент t =0 все ЭВМ исправны.

5.5 Контрольные вопросы и задания

1. При каких условиях марковские процессы с непрерывным временем могут быть использованы для анализа надежности систем?

2. Какое условие должно выполняться для марковского процесса с непрерывным временем?

3. Сформулируйте понятие «вероятностный процесс» и приведите примеры вероятностных процессов в ИС.

4. Изложите порядок определения вероятностей состояний марковского процесса с непрерывным временем по заданным интенсивностям переходов.

6. Изучение методики организации и обработки результатов определительных испытаний на надежность

6.1. Цель занятия

Закрепление знаний по организации и проведению определительных испытаний, методам оценки показателей надежности по результатам испытаний, а также привитие практических навыков планирования процедуры опреде­лительных испытаний и статистической обработки их результатов.

В результате проведения занятий студенты должны:

знать назначение определительных испытаний, основные планы и условия их проведения; методы статистической обработки результатов испытаний при определении оценок показателей надежности изделий;

уметь разработать процедуру определительных испытаний с учетом эксплуатационных режимов и планов проведения; установить вид закона распределения времени безотказной работы или восстановления, а также оценить их параметры в условиях ограниченного статистического материала.

6.2 Основные теоретические положения по теме занятия

Наиболее полная и достоверная информация о надежности изделий может быть получена в результате проведения испытаний. Это объясняется возможностью воспроизведения в процессе испытаний реальных условий функционирования отдельных изделий и сложных систем, а также исследования воздействия различных рабочих режимов и последствий всевозможных неблагоприятных факторов.

Основными видами испытаний на надежность являются определительные испытания, предназначенные для статистической оценки числовых показателей надеж­ности.

Проведение определительных испытаний сопровож­дается значительными затратами времени и материальных средств. Действительно, поскольку оценки ПН связаны с вероятностными процессам повышение их достоверности требует достаточно большого количества испытываемых изделий. Продолжительность определительных испытаний обусловлена необходимостью выяснения сохраняемости свойств изделий на протяжении длительного интервала времени. Вышесказанное требует четкой организации и обоснованной методики проведения определительных испытаний.

План проведения испытаний должен содержать следующие указания, шифруемые буквами на трех пози­циях:

- начальный объем испытываемой выборки изделий обозначается буквой на первой позиции;

- восстановление отказавших при испытаниях образ­цов или его отсутствие обозначается следующим образом: U - отказавшие изделия не восстанавливают и не заменяют новыми, - отказавшие изделия заменяют новыми и испытания продолжаются; - отказавшие изделия ремон­тируют и затем возвращают на испытания;

- признак окончания испытаний обозначается на третьей позиции следующим образом: N - испытания завершаются после отказа всех N поставленных на испытание изделий; - испытания оканчиваются после отказов r изделий, ; Т - испытания завершаются по истечении заданного времени Т ; - испытания завершаются после полу­чения отказов или через время Т в зависимости от того, какое из этих условий произойдет раньше.

Примерами шифров возможных планов могут быть , , и т.д. В плане испы­тываются N изделий без восстановлении и замен до отказа всей выборки. В плане при отказе любого из N испытываемых изделий происходит его замена на новое изделие и испытания продолжаются в течение заданного интервала времени Т. В плане после ремонта отказавших изделий их возвращают на испытания, которые завершаются через время Т или после наступления r отказов.

Выбор плана непосредственно определяет органи­зацию испытаний, их продолжительность, влияет на стои­мость испытаний, а также на точность и достоверность получаемых результатов. Например, замена плана на позволит повысить точность испытаний при том же объеме выборки, а проведение плана вместо сократит длительность испытаний. Кроме того, при реализации плана для получения той же точности оценок ПН можно уменьшить объем выборки, но при этом возрастет время испытаний. Следует отметить, что восстановление связано с дополнительными матери­альными затратами.

Увеличение объема выборки при плане по­высит точность результатов испытаний, а при плане - сократит время испытаний. Реализация плана вместо плана при равной продолжительности испытаний снизит точность результатов. Из вышеизло­женного следует, что сократить длительность испытаний можно путем увеличения объема выборки, проведения восстановления отказавших изделий, а также снижением требований к точности результатов испытаний. Последнее при заданной достоверности определит необходимое количество испытываемых изделий.

Понятно, что выбор плана испытаний в каждом конкретном случае должен осуществляться в результате разумного компромисса между указанными факторами, носящими противоречивый характер, и возможностями их удовлетворения (ограничения на длительность испытаний, объем выборки, проведение восстановительных работ и пр.).

Показатели надежности определяются в процессе статистической обработки результатов испытаний, пред­ставляющих собой зарегистрированный ряд времен безотказной работы и (или) восстановления. Понятно, что испытаниям подвергается не вся генеральная совокупность (все количество выпускаемых изделий), а лишь некоторая выборка объемом N .

По результатам испытаний выборки судят о надеж­ности всей генеральной совокупности. Естественные ограничения числа испытываемых изделий и продол­жительности испытаний приводят к ограниченному объему статистического материала и, следовательно, необ­ходимости учета особенностей его обработки.

Статистическая обработка результатов опреде­лительных испытаний на надежность должна выполняться в следующей последовательности:

представление экспериментальных данных в виде вариационного ряда времен безотказной работы или восстановления испытуемых изделий;

построение гистограммы одной из количественных характеристик надежности;

проверка допустимости предполагаемого закона распределения с использованием критерия согласия;

интервальная или точечная оценка параметров принятого закона распределения.

Исчерпывающей характеристикой надежности изделий является закон распределения времени безот­казной работы. Однако, располагая ограниченным статистическим материалом, нельзя сделать достаточно достоверный вывод о виде закона распределения. В подобных ситуациях целесообразно воспользоваться рекомендациями теории проверки статистических гипотез [10, с. I49-158].

Применительно к задаче определения закона распределения времени до отказа по результатам опреде­лительных испытаний суть этих рекомендаций сводится к следующему. По данным полученного ряда времен безот­казной работы изделий построим гистограмму одной из количественных характеристик надежности - вероятности безотказной работы , интенсивности отказов или частоты отказов . При этом используют формулы для статистической оценки указанных показателей:

; ;

где — объем испытываемой выборки;

— число изделий, отказавших за время t ;

— число изделий, отказавших на интервале , расположенном от до ;

— среднее число изделий, исправно работающих соответственно в начале и конце интервала ,

;

и число изделий, исправно работающих соответственно в начале и конце интервала .

Полученную гистограмму аппроксимируем кривой, которую назовем экспериментальной. По ее виду выдвигаем гипотезу о справедливости того или иного закона распределения случайной величины. Наиболее распространенными в теории и практике надежности являются законы экспоненциальный, нормальный, Вейбулла, гамма распределения. Строим теоретическую функцию распределения выбранного показателя надежности, соответствующего проверяемой гипотезе.

Для того чтобы принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу, рассмотрим некоторую величину , характеризующую меру рассогласования экспери­ментальной и теоретической кривых. Оценку величины рассогласования определяют с помощью так называемых критериев согласия — Пирсона, Фишера, А.Н. Колмогорова. Сведения по проверке правдоподобия гипотез приведены в [l0, с.149-158].

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия - Пирсона. Последовательность действий по оценке степени расхождения между фун­кциями теоретического и экспериментального распре­делений следующая:

1. Определяем меры расхождения U по формуле:

, (6.1)

где k - число разрядов гистограммы, на которое разбивается весь диапазон значений времен безотказной работы или восстановления, полученных в процессе испытаний;

число значений времени, попавших i -й разряд ;

. - теоретическая вероятность попадания случайного значения времени в i –й разряд. Формула для вычислений , выбирается в зависимости от вида прове­ряемого закона распределения t . При нормальном законе с параметрами ,

(6.2)

Для определения можно воспользоваться таблицами, приведенными в [10, с.561-864].

2. Определяем число степеней свободы r как число разрядов k минус число наложенных связей s :

обычно или 2.

3. С помощью специальных таблиц (см. например, [10, с.567]) находим вероятность того, что расчетное значение случайной величины c степенями свободы превысит данное табличное значение . Если эта вероятность менее 0,3, проверяемая гипотеза отбрасы­вается как неправдоподобная. В противном случае ее можно принять как не противоречащую эксперименталь­ным данным.

Заметим, что при применении критерия Пирсона достаточно большим должен быть, не только объем выбор­ки, но и число попаданий случайной величины в отдельные разряды (не менее 5-10 значений).

Если указанное условие не выполняется, для оценки правдоподобности выдвинутой гипотезы используется критерий А.Н. Колмогорова. Последний по сравнению с критерием более прост, но менее достоверен. Приме­нение критерия А.Н. Колмогорова сводится к следующим действиям:

1. Определяем максимум модуля рассогласования между экспериментальной и теоретической функциями.

2. Вычисляем величину , где - объем выборки данных.

З. По специальной таблице [10, с.157] определяем вероятность того, что за счет случайных причин величина будет не менее, чем зафиксированная в испытаниях. Если весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную. При сравнительно больших значениях ее можно считать совместимой с экспериментальными данными,

Применительно к рассматриваемой задаче считаем, что проверяемая гипотеза о законе распределения времени до отказа подтверждается, если . При этом . Если гипотеза отвергнута, выдвигаем следующую и соответственно указанному порядку проверяем ее согласованность с данными, полученными в результате проведения испытаний. Эта процедура повторяется до установления вида закона распределения оцениваемой характеристики надежности. После этого приступаем к определению его параметров.

Следует помнить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного экспери­ментального материала, всегда содержит элемент случай­ности. Это приближенное, в некоторой степени случайное значение называется оценкой параметра. С задачей оцени­вания параметров закона распределения случайного време­ни приходится сталкиваться при статистической обработке результатов определительных испытаний, особенно при ограниченном объеме выборочных данных.

Различают "точечные" и интервальные оценки. При достаточном по объему статистическом материале (поряд­ка нескольких сотен значений) оценкой для мате­матического ожидания параметра, например наработки на отказ, является среднее арифметическое наблюдаемых значений , .

. (6.3)

При сходится по вероятности к математическому, ожиданию времени безотказной работы. Подобная оценка называется ''точечной".

Если объем статистических данных невелик (порядка нескольких десятков значений), замена, математического ожидания средним арифметическим приводит к сущес­твенной ошибке в оценке параметров, тем большей, чем меньше объем выборки. В подобных ситуациях следует воспользоваться интервальными оценками. При интерваль­ных оценках определяется, какой интервал с заданной доверительной вероятностью накрывает математическое ожидание оцениваемого параметра, т.е.

,

где — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы наработки на отказ;

— доверительная вероятность попадания в интервал при его двусторонней оценке.

Вероятность того, что математическое ожидание оцениваемого параметра выйдет за границы доверительного интервала называется уровнем значимости . Очевидно, что

.

Обычно доверительные вероятности принимают равными 0,9; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,1; 0,05; 0,01.

При оценки параметров законов распределения до­вольно часто достаточно установить только нижнюю или только верхнюю границы доверительного интервала, то есть имеет место односторонняя оценка. Доверительная вероятность в этом случае определяет меру доверия к невыходу оцениваемого параметра за соответствующую границу интервала.

, .

Причем .

Отметим, что доверительная вероятность харак­теризует степень достоверности интервальной оценки. Ширина доверительного интервала определяет точность оценки параметров.

Для выбора методики определения числовых значе­ний доверительного интервала необходимо знать вид закона распределения времени, а также величину дове­рительной вероятности.

В случае экспоненциального закона распределения нижняя и верхняя границы интервальной оценки интен­сивности отказов вычисляются по формулам

, . (6.4)

Для вычисления и следует воспользоваться специальными таблицами [1, с.157; 10, с.567].

Входными параметрами являются:

вероятность того, что или будет превышать значение, указанное в таблице; для данная вероятность равна , для ;

число степеней свободы, равное - для и для ; - число зарегистрированных при испытаниях отказов.

Величина является суммарной наработкой всех отказавших в процессе испытаний изделий.

В случае нормального закона распределения с точе­чными оценками параметров и доверительные гра­ницы наработки на отказ равны:

; ; (6.5)

где — квантили распределении Стьюдента для доверительной вероятности и числа степеней свободы . Их величины указаны в [7, с.371-372].

Доверительные границы дисперсии времени безотказной работы вычисляются с помощью формул:

; . (6.6)

6.3 Примеры решения аудиторных задач

Пример1. При испытаниях 10 образцов электрохимических элементов, отказы которых распределены нормально, был получен следующий ряд времен безотказной работы в часах: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Определить и , а также нижнюю и верхнюю границы с доверительной вероятностью .

Решение. Используя известные формулы [10, с.317] для точечных оценок математического ожидания и дисперсии нормально распределенных величин, получим ; .

Нижнюю границу вычислим по формуле:

Здесь

Для оценки верхней границы воспользуемся выражением:

Значит, можно с вероятностью не менее 0,9 утвер­ждать, что среднее квадратичное отклонение времени безотказной работы испытываемых изделий не превысит 77,4 ч, а наработка на отказ будет не менее 109,6 ч.

Пример 2. При испытаниях по плану 10 изделий, время безотказной работы которых распределено по экспоненциальному закону, получены следующие значения наработок в часах ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Определить двусторонний доверительный интервал для интенсивности отказов при .

Решение. Для вычисления и найдем:

; ; ;

; .

Нижняя граница интенсивности отказов

Верхняя граница интенсивности отказов

Из решения задачи следует, что с вероятностью, не меньшей 0,9, можно считать, что интервал интенсивностей накрывает параметр .

6.4 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Определить число изделий, которое необходимо поставить на испытания по плану NUN , с тем чтобы обеспечить ширину доверительного интервала для Т ₁ (точность результата испытаний) не больше 20% от предполагаемого Т ₁ , равного 1000 часов при достоверности результата не менее 0,96.

Задача 2. Определить доверительный интервал для Т ₀ при доверительной вероятности 0,9 , если результаты испытаний по плану NRT следующие: N =2 ; T =72 ч ; t_p =140 ч ; число отказов n =4.

Задача 3. Определить двухсторонний доверительный интервал для К_Г при доверительной вероятности 0,9 при условии, что T ₀ = 100 ч, T = 1 ч, число восстановлений 10.

6.5 Контрольные вопросы и задания

1. Назовите цель определительных испытаний.

2.Какие существуют планы испытаний?

3. Что даст замена плана на , на , на ?

4. Какие можно предложить планы для сокращения времени испытания?

5. Как скажется уменьшение выборки на достоверности и точности испытаний?

6. Как изменится достоверность испытаний, если при тех же требованиях к точности увеличить объем выборки?

7. Чем вызвана необходимость в интервальных оценках ПН вместо точечных?

8. Что такое уровень значимости?

9. Назовите особенности статистической обработки ограниченного объема полученного ряда времен работы до отказа.

10. Чем необходимо руководствоваться при выдвижении гипотезы о справедливости того или иного закона распределения?

7. Методика организации и обработки результатов контрольных испытаний на надежность

7.1. Цель занятия

Закрепление знаний по организации контрольных испытаний, правилам принятия решений о соответствии изделий установленным уровням надежности, а также привитие практических навыков выбора плана испытаний и способа статистической обработки их результатов.

В результате проведения занятий студенты должны:

знать назначение контрольных испытаний; основные статистические методы контроля надежности; методику организации проведения испытаний различными методами при заданных уровнях надежности и величинах ошибок первого и второго рода;

уметь выбрать метод контрольных испытаний; рассчитать планы контроля по числу зарегистрированных отказов для заданной длительности испытаний; принять решение о соответствии или несоответствии контро­лируемых изделий установленному уровню надежности или о продолжении испытаний.

7.2 Основные теоретические положения по теме занятия

Контрольные испытания предназначены для уста­новления факта соответствия (или несоответствия) надежности выпускаемых изделий установленному уров­ню. Результаты контрольных испытаний менее инфор­мативны по сравнению с определительными, однако они в ряде случаев вполне удовлетворяют практическим запро­сам и требуют меньших затрат времени и средств на их организацию и проведение.

Применяют один из трех основных методов статис­тического контроля надежности: одноступенчатый, двух­ступенчатый или метод последовательного анализа.

При методе последовательного анализа объем выбор­ки заранее не планируется. По результатам испытаний выборки случайного объема принимается одно из трех решений: принять или забраковать всю партию изделий, продолжить испытания.

Испытания оканчиваются в случае первого или второго решения. Метод последовательного анализа наи­более экономичен по среднему объему испытываемой выборки, легко реализуем на практике. Недостаток дан­ного метода - увеличение длительности контроля - может быть сведен к минимуму рациональной организацией испытаний.

Метод последовательного анализа может быть реко­мендован при испытаниях серийной продукции.

При проведении контрольных испытаний о показа­телях надежности всей партии судят по результатам контроля случайной выборки ограниченного объема. Вполне понятно, что случайный характер и ограниченный объем выборки могут привести к ошибкам при оценке качества всей партии.

При обработке результатов контроля нужно пользо­ваться задаваемыми предварительно ошибками первого и второго рода. Ошибка первого рода заключается в том, что испытываемая партия, будучи кондиционной, оценивается по результатам выборки как негодная. Назовем вероят­ность забраковать кондиционную партию риском постав­щика и обозначим . Ошибка второго рода состоит в том, что по результатам выборочного испытания, некон­диционная по заданным требованиям партия оценивается как годная. Вероятность принять некондиционную партию назовем риском заказчика и обозначим . Величины и задаются в интервале 0,05-0,3 по согласованию между заказчиком и поставщиком.

Кроме того, при контрольных испытаниях вводится два уровня ПН. Например, - верхний уровень нара­ботки на отказ, который может обеспечить поставщик; - нижний предельный уровень, который еще соответствует требованиям заказчика.

Проведение контроля ПН связано с принятием решения о приемке или браковке партии изделий. Про­цедура принятия решения сводится к проверке с помощью некоторого критерия соответствия результатов выбо­рочного контроля требованиям заказчика. Причем исполь­зуемый критерий в значительной мере задает методику построения графика для проведения испытаний.

При проведении контроля ПН в качестве критерия применяется так называемое отношение правдоподобия

, (7.1)

где и — плотности вероятностей получения при испытаниях отказов в случае наработок на отказ, равных соответственно и .

Понятно, что при контроле кондиционной партии превышает и . В противном случае и .

Однако при решении вопроса о надежности всей партии возможны ошибки первого и второго рода. Чтобы их вероятности и не превышали заданных значений, необходимо выполнить следующие условия:

1) если , партия принимается;

2) если , партия бракуется;

3) если , испытания продолжаются.

Величины и назовем оценочными нормативами.

Параметрами, по которым оценивается надежность, обычно служат число дефектных изделий в испытываемой выборке и число отказов за время испытаний, если задан закон распределения времени безотказной работы. Послед­нее относится как к восстанавливаемым, так и невосста­навливаемым изделиям.

Если контроль проводится по числу дефектных изделий , возможны модели пуассоновского и бино­миального распределений случайной величины .

При контроле надежности небольшой по объему партии (число изделий не более 150) справедливо описа­ние распределения числа дефектных изделий законом Пуассона. При контроле надежности больших партий (не менее 1000 экземпляров), а также восстанавливаемых изделий целесообразно пользоваться биномиальными планами. Методики расчёта планов контроля в табличной и графической формах для указанных законов распре­деления дефектных изделий рассмотрены в [7, с. 250-253].

Если для контролируемой партии известен закон распределения времени до отказа, можно воспользоваться методикой контроля надежности по числу зарегистри­рованных отказов для заданной длительности испытаний t .

В случае экспоненциального закона распределения отношение правдоподобия

. (7.2)

Если подставить в формулы оценочных норма­тивов, получим выражение для условий приемки или браковки партии по числу отказов за время испытаний.

Партия принимается, если за время испытаний число отказов

. (7.3)

Партия бракуется, если число отказов

. (7.4)

Данные выражения, называются линиями приемки и браковки. Приемочные и браковочные числа отказов для ряда значений времени испытаний могут быть вычислены заранее и представлены в виде таблиц плана. Для практи­ческих целей удобнее план контроля построить в графической форме, которая изображена на рис. 7.1.

Процедура контроля при этом следующая. В ходе испытаний фиксируется число отказов за время t , которое может быть представлено соответствующей точкой на плане испытаний. Если точка располагается выше линии браковки 1, испытания прекращаются и выносится реше­ние о некондиционности испытываемой партии. Если точка попадает в зону приемки, контролируемая партия соответствует требованиям заказчика. При расположении точек между линиями приемки и браковки принимается решение о продолжении испытаний.

Недостатком планирования контрольных испытаний является возможность многократных последовательных попаданий в зону неопределенности. Может быть назна­чена предельная продолжительность испытаний независи­мо от полученного результата. Она планируется так, чтобы результаты, испытаний могли быть использованы при их обработке другими методами.

Из анализа планов контроля следует, что чем меньше риски поставщика и потребителя, тем шире зона неопреде­ленности. Следовательно, при повышении достоверности результатов контроля увеличивается время испытаний и наоборот.

Рис. 7.1

Планы графиков контроля могут быть построены по трем характеристическим точкам , и (рис.7.1), опреде­ляемых соответственно как:

, ;

, ;

, ;

Методика составления планов контроля и принятия решений в случае нормального закона распределения времени до отказа приведена в [7, с.254-256].

7.3 Примеры аудиторных задач

Построить график контрольных, испытаний, основанных на последовательном анализе, для следующих исходных данных: ; ; ; . Принять решение для рабочих точек: , ; , ; , .

Для построения графика контрольных испытаний определим три характеристические точки:

, ;

, ;

, .

График плана контрольных испытаний представлен на рис. 7.2.

Рис. 7.2

Рабочей точке ; соответствует решение о браковке партии. Если рабочая точка имеет ко­ординаты , , испытания следует про­должить. При и принимается решение о кондиционности испытываемой партии.

7.4 Контрольные вопросы и задания

1. Когда применяют контрольные испытания на надежность?

2. Чем различаются основные методы контрольных испытаний?

3. Преимущества метода последовательного анализа перед методом одноступенчатого контроля.

4. Проведите сравнительную характеристику методов последовательного и усечённого последовательного контроля.

5. Что учитывают ошибки первого и второго рода?

6. Для чего вводятся оценочные нормативы?

7. Что такое отношение правдоподобия?

8. Каковы основные этапы метода последовательного анализа?

9. Что такое, план последовательного контроля и как он строится?

10. Назовите различия в организации испытаний по методу последовательного анализа при контроле по длительности испытаний и числу дефектных изделий.

11. При каких условиях последовательные испытания должны продолжаться?

Список литературы

1. Черкесов, Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов [Текст]: учебное пособие/ Г.Н. Черкесов. - СПб.: Питер, 2005. – 479 с.: ил.; 24см. – Библиогр.: с.473. – 4000 экз. – ISBN 5-469-00102-4.

2. Ястребенецкий, М.А. Надежность автоматизированных систем управления технологическими процессами [Текст]: учебное пособие для вузов/ М.А. Ястребенецкий, Г.М. Иванова. - М.: Энергоатомиздат, 1989. – 264 с.: ил.; 21 см. – Библиогр.: с. 259-260. – 8700 экз. – ISBN 5-283-01549-1.

3. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения [Текст]: учебное пособие для вузов/ Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 2-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2000. – 383 с.: ил.; 21 см. – Библиогр.: с.378-379. – 8000 экз. – ISBN 5-06-003831-9.

4. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст]: учебник для вузов/ Е.С. Вентцель – 5-е изд. стер. - М.: Высш. шк., 1998. – 576 с.: ил.; 21 см. – 12000 экз. – ISBN 5-06-003522-0.

5. Гмурман, И.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебник для вузов/ И.Е. Гмурман; - 5-е изд. стер. – М.: Высшая школа, 2005. – 576 с.: ил.; 21 см. – 8000 экз. – ISBN 5-06-004214-6.

Учебное издание

Основина Ольга Николаевна

НАДЕЖНОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Методические указания

к практическим занятиям

Редактор: Иванова Н.И.

Компьютерный набор: Основина О.Н.

Корректор: Иванова Н.И.

Подписано в печать___________ Бумага для множительной техники

Формат ______ Усл. печ. л._____Тираж _____ экз. Заказ ______

Отпечатано с авторского оригинала

в отделе оперативной печати СТИ МИСиС

г. Старый Оскол, м-н Макаренко 40