МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
и задания к расчетно-графической работе
по разделу курса высшей математики
«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
»
(для студентов специальностей 7.080403
«Программное обеспечение автоматизированных систем»
и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)
Утверждено
На заседании каф.ПМ и И
22 марта 2000 г.
-ДонГТУ-
Донецк - 2000
УДК 517
Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А
– Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30
Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов .
Составители А.Е. Скворцов , доц .
А.А. Губарев , асс.
Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф.
Рецензент
Часть1.РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Задача 1.
Какому условию должны удовлетворять векторы
и
, чтобы имело место соотношение
?
Решение.
Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь:
.
Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим
.
По определению
φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того ,
, значит
не короче .
Ответ
:
↑↓
и
≥ .
Задача 2.
Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами
и
.
Решение.
Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов
и
, для чего разделим эти векторы на их длины :
,
.
Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами
и
.
Ответ
: искомый вектор имеет вид
+
.
Задача 3.
Векторы
и
- взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t
векторы
и
: 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны .
Решение.
Будем использовать известные условия
,
.
Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно
.
Итак , имеем :
,
, ибо
;
.
Из полученных соотношений делаем выводы :
1) векторы
и
перпендикулярны , если t
–2=0 , т.е.
t
=2 ;
2) векторы коллинеарны , если 2
t
+1=0 ,т.е. t
=-1/2
, ибо
и
неколлинеарны .
Замечание.
На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов
и
означает
= λ
, где λ - некоторое число , т.е.
или
. Но векторы
и
- неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора
) по
и
единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций
и
равны : 1= λ
t
и 2=- λ . Отсюда t
=-1/2.
Ответ :
при t
=2 ;
при t
=-0,5 .
Задача 4.
Найти вектор
, удовлетворяющий условиям : 1)
и
; 2)
; 3)
образует с осью Оу тупой угол .
Решение .
Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению
, ибо по определению
- это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем
по известной формуле
,
где
,
:
.
Итак ,
, т.е.
, где
.
Далее , используя второе условие , находим
,
, т.е.
.
Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора
на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид
.
Замечание.
Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как
, то
, т.е.
3x+2y+2z=0 ; а равенство
означает
(здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Ответ:
.
Задача 5.
Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S .
Решение .
Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно :
, где
- точка , принадлежащая прямой р
,
- направляющий вектор прямой р
. В качестве точки
возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами
и
( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если
, то
; если
, то
. Для нашей задачи имеем :
Вектор
направлен по биссектрисе угла , образованного векторами
и
. Находим его :
.
Но векторы вида
и
- коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор
. Итак , уравнение биссектрисы имеет вид :
, или после упрощения
AD : 7x
– y
+ 5 =0 .
Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки
:
.
Берем
и
. Получаем :
или после упрощения
ВС : 2x
–
11y
+ 30 = 0 .
Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений
или
Решив ее , например , методом Крамера ,
,
,
получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна
AD = d(A,D) =
.
Замечание.
Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам
,
.
Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки .
2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула :
, где
.
Имеем в нашей задаче :
АН=
.
Уравнение высоты ищем в общем виде :
, где
- нормальный вектор прямой р . В нашем случае
, а :
АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения
AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 .
Замечание.
Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой :
. Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме :
.
3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл
: длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы
и
мы уже знаем . Находим их векторное произведение :
.
Итак ,
(ед.кв.) .
Замечание.
Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин .
Задача 6.
Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые
и
пересекаются под прямым углом ; 2) для точки
, плоскости
и прямой
известно , что
и .
Решение .
1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой :
и
В этих уравнениях :
- точка , принадлежащая прямой ,
- направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем :
Условие
означает , что
, т.е.
. Отсюда :
, значит l
= 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы
и
. Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 :
.
Отсюда
. Параметры найдены .
2)Известно , что в общем уравнении плоскости
коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α
имеет вид
. Из уравнений прямой р
получаем :
- направляющий вектор прямой ,
- точка , принадлежащая прямой .
Отличное от нуля расстояние
означает , что
, т.е.
. Отсюда получим :
, значит А=2 .
Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что
=
):
,
.
Вычислим эти расстояния :
;
;
;
=
.
Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :
Решениями первого уравнения являются числа
. Но второму уравнению удовлетворяет только значение
. Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А
= 2 , t
= -1 .
Задача 7.
Составить уравнение плоскости α
, если известно , что 1) :
и
, где
; 2) α
проходит через точку пересечения прямой
и плоскость
, причем
.
Решение .
Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M
(
x
,
y
,
z
)
. Далее находим три вектора
,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е.
. Это и будет уравнение искомой плоскости .
Если же известны некоторый вектор
, перпендикулярный искомой плоскости , и точка
, принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид
.
1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы
и точки
, принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку
. Так как
, то вектор
лежит в плоскости α
. Далее ,так как по условию
и
, то
и
. Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение
.
Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α
: 23x – 16y + 10z – 153 = 0 .
2)Так как
, то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α
:
. Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t
:
или
Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β
, получим
, откуда t
= -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты
,
и
.
Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку
с нормальным вектором
:
.
После упрощения получим
.
Задача 8.
Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону .
Решение .
Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α
, перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор
является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α
имеет вид
,
или после упрощения
α :
.
Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α
и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор
является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :
Найдем точку пересечения р и α
:
,
откуда t
=1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 .
Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений
.
В нашей задач имеем
.
После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника
.
Замечание.
Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α
, проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β
, проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β
можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β
, то векторы
и
лежат в β
.
Записав условие компланарности этих векторов
, получим уравнение β
. Объединив уравнения плоскостей α
и β
в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) .
Задача 9.
Найти канонические уравнения проекции q прямой
на плоскость α
:
.
Решение .
Найдем уравнение проектирующей плоскости β
, т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р
, и перпендикулярной плоскости α
.Направляющий вектор прямой
и нормальный вектор плоскости α
параллельны плоскости β
. Точка
и , если
- текущая точка β
, то вектор
лежит в плоскости β
. Векторы
и
- компланарны . Запишем условие этого
.
После упрощения получаем β
:
. Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α
, получим общие уравнения искомой проекции q прямой р :
(1)
Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α
и β
, будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению
и
т.е. может служить направляющим вектором этой прямой:
.
Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид
.
Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α
как прямой , проходящей через
в направлении
.
Задача 10.
Поворотом системы координат исключить из уравнения
член , содержащий произведение переменных .
Решение .
Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид
(2)
При повороте системы координат на угол α
старые координаты точки (x
,
y
) связаны с новыми
известными формулами
После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат :
.
Здесь :
Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α
необходимо выбрать таким , чтобы
, т.е.
.
Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α
должен удовлетворять уравнению
.
В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит
,т.е.
. Одно из решений этого уравнения
. Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :
Итак , повернув систему координат на
, мы получим уравнение
.
Замечание.
Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) .
Ответ:
в новой системе координат линия имеет уравнение
.
Задача 11.
Уравнение линии
привести к нормальному виду .
Решение .
Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :
Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии :
(3) .
Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий
) . Центр гиперболы расположен в точке
, действительная полуось а
=2 , мнимая b
=3, половина расстояния между фокусами
.Вершины :
.Фокусы :
Гипербола (3) получается из канонической гиперболы
путем параллельного переноса центра в точку
. Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения
, т.е.
.
Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы
Ответ:
нормальное уравнение
Задача 12.
Провести касательную q к линии : 1)
, параллельную прямой
2)
, перпендикулярную прямой
3)
через точку М(-5;-4), принадлежащую линии; 4)
через точку N(5;-7) .
Решение .
Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными .
Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания .
1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой
, а именно
(т.к. по условию
) . Уравнение касательной запишем в общем виде
, а неизвестный параметр С определяем из того условия , что q и
имеют единственную общую точку . Другими словами , система уравнений
должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим
.
Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие
.
Решая его , находим :
Итак , имеется две касательные к
, параллельные
. Это
и
.
2)Уравнение прямой
запишем в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом :
. И уравнение касательной q будем искать в такой же форме :
. А так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку , то k
=-2 . Неизвестный параметр b
находим , как и в предыдущем пункте , из того условия , что система
имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения
равен 0 . После преобразований получаем уравнение для b
:
.
Откуда
. Итак , имеется две касательных к
, перпендикулярные
:
,
.
3)Линия
- это гипербола (старшие коэффициенты противоположных знаков). Ее каноническое уравнение
.
Из него находим :
Ее фокусы лежат на оси Ох (коэффициент перед
положительный ) и имеют координаты
. Найдем векторы , направленные по фокальным радиусам точки М(-5;-4) :
и
.
Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М :
.
Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор
является ее направляющим вектором . Запишем уравнение касательной в канонической форме :
.
Итак , искомая касательная имеет вид
4)Уравнение касательной будем искать в форме
, где
, а k
– угловой коэффициент прямой q . В нашем случае
, а неизвестный параметр k
находим , как и в пунктах 1) и 2) , из того условия , что система
имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой :
.
Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для
. Отсюда :
Теперь можно составить уравнения искомых касательных :
и
.
Задача 13.
Установить , какая линия определяется уравнением
. (4)
Решение .
Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат :
.
В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме :
. (5)
Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус
и директриса
.
Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение
всегда неотрицательно , то получаем , что абсциссы точек линии (4) удовлетворяют условию
, то есть эта линия лежит левее прямой
.Итак , данное уравнение определяет левую половину параболы (5) .
Ответ:
уравнение
определяет восходящую ветвь параболы
.
1. Какому условию должны удовлетворять векторы
и
, чтобы имело место указанное соотношение.
.
.
при всяких значениях
и
.
2. Найти вектор
, удовлетворяющий указанным условиям.
где
где
.
где
3.1 - 18. Выполнить указанные действия над векторами, заданными в различных формах.
3.19 – 25. Найти проекцию вектора
на направление вектора
.
4. Треугольник ACD задан координатами своих вершин. В каждой задаче, кроме указанного в условии, вычислить площадь треугольника, не находя длины его сторон. Принятые обозначения: точки B, H и M – точки пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника соответственно; BA – биссектриса угла при вершине A; HC – высота, опущенная из вершины C на противоположную сторону; MD – медиана проведенная из вершины D. Сделать чертеж.
4.1 A(3;-5), C(-1;-2), D(-3;3). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) уравнение MC;3) угол между BA и HC.
4.2 A(2;8), C(6;4), D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) уравнение HA;3) угол между BA и MA.
4.3 A(0;5), C(-3;4), D(5;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) точку H; 3)угол между MA и HA.
4.4 A(-8;2), C(2;2), D(10;8). Найти: 1) уравнение и длину BC; 2) точку H; 3)угол между HD и MC.
4.5 A(-2;-3), C(6;-6), D(2;3). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) точку M; 3) угол между MD и MA.
4.6 A(4;-4), C(0;1), D(-2;4). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) уравнение BA;3) угол между HD и BA.
4.7 A(-3;-8), C(9;0) D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) точку M; 3)угол между BD и MD.
4.8 A(0;10), C(4;6) D(-6;4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) углы треугольника.
4.9 A(1;7), C(-2;-2) D(6;2). Найти: 1) уравнение AK║CD; 2) точку H; 3) угол между HC и MA.
4.10 A(8;6), C(2;0) D(6;8). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) уравнение KL, где K и L – середины сторон CD и CA; 3) угол ACM.
4.11 A(8;14), C(16;-2) D(2;-4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MD.
4.12 A(4;2), C(6;-12) D(18;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол CBA.
4.13 A(-7;-3), C(1;9) D(9;3). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) точку M; 3)угол между HC и MA.
4.14 A(-5;-1), C(5;-1) D(13;5). Найти: 1) уравнение и длину MС; 2) точку H; 3) угол между BC и HD.
4.15 A(1;-2), C(-2;0) D(5;6). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) уравнение HA.
4.16 A(2;14), C(-4;-4) D(12;4). Найти: 1) уравнение и длину PQ, где P и Q – середины сторон AC и AD; 2) точку H; 3) угол между MA и HA.
4.17 A(-6;-13), C(12;-7) D(4;17). Найти: 1)уравнение и длину HC; 2)точку B; 3) угол между MC и HC.
4.18 A(2;-8), C(2;2) D(8;10). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол DMC.
4.19 A(0;-1), C(4;5) D(8;-4). Найти: 1) уравнение DK║AC; 2) точку M; 3)угол между HD и MD.
4.20 A(0;4), C(2;-10) D(14;2). Найти: 1) уравнение CD; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол между HC и MA.
4.21 A(4;5), C(-3;-1) D(0;-3). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) уравнение AK║CD; 3) углы треугольника.
4.22 A(3;0), C(-3;2), D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MC.
4.23 A(-2;1), C(6;-5) D(-2;11). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) точку H; 3) угол MAC.
4.24 A(2;4), C(-12;6) D(0;18). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) точку B; 3) расстояние от B до стороны AD.
4.25 A(2;-6), C(-2;-3) D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MC; 2)уравнение HD;3)угол между HD и MC.
5.Установить, какую линию определяет уравнение, определить фокусы, вершины, оси линии, нарисовать ее.
5.1. 4x2
– y2
–8x – 4y – 4 = 0.
5.2. x2
+ y2
–2x – 4y + 1 = 0.
5.3. 4y2
– 8x – 4y + 9 = 0.
5.4. x2
– 4y2
+ 8y + 4 = 0.
5.5. x2
+ 2x + 4y – 7 = 0.
5.6. 4x2
+ 4y2
– 8x – 24y + 31 = 0.
5.7. x2
+ 4y2
+ 4x – 8y + 4 = 0.
5.8. x2
– y2
– 6x – 4y + 1 = 0.
5.9. y2
+ 8x – 6y + 25 = 0.
5.10. x2
+ y2
+ 8x + 2y + 1 = 0.
5.11. 4x2
+ y2
– 8x + 4y + 4 = 0.
5.12. 4x2
– y2
– 8x – 6y – 9 = 0.
5.13. y2
- 16x + 6y + 25 = 0.
5.14. 2x2
+ 2y2
+ 16x – 28y + 53 = 0.
5.15. x2
+ 9y2
–2x +18y + 1 = 0.
5.16. x2
– 4y2
– 8x +8y + 16 = 0.
5.17. x2
– 4x – 4y + 12 = 0.
5.18. x2
+ y2
– 8x + 2y + 16 = 0.
5.19. 9x2
+ 4y2
– 18x + 24y + 9 = 0.
5.20. x2
– 9y2
– 8x + 18y – 2 = 0.
5.21. 3x2
+ 3y2
– 42x + 6y + 146 = 0.
5.22. y2
+ 10x – 10y + 55 = 0.
5.23. 9x2
– 16y2
– 36x + 32y + 164 = 0.
5.24. y2
– 20x – 14y + 37 = 0.
5.25. 9x2
+ 16y2
– 18x + 96y + 9 = 0.
6.Установить , какая линия определяется уравнением , нарисовать ее.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
7.1-8.Провести касательные к линии l
, параллельные прямой p.
7.1. l
:
, p: 2x+y-7=0.
7.2. l
:
, p: 4x-2y+23=0.
7.3. l
:
, p: 10x-3y+9=0.
7.4. l
:
, p: 3x-2y+13=0.
7.5. l
:
, p: 3x-4y+7=0.
7.6. l
:
, p: 2x+2y-13=0.
7.7. l
:
, p: x-y-7=0.
7.8. l
:
, p: 2x-y+3=0.
7.9-16.Провести касательные к линии l
, перпендикулярные прямой p.
7.9. l
:
, p: x-2y+9=0.
7.10. l
:
, p: 2x-2y-5=0.
7.11. l
:
, p: 4x+3y-7=0.
7.12. l
:
, p: 4x+2y-1=0.
7.13. l
:
, p: y-2x-4=0.
7.14. l
:
, p: 3x-2y-6=0.
7.15. l
:
, p: 5x+2y+8=0.
7.16. l
:
, p: x+y-17=0.
7.17-21.Через точку М провести касательную к линии l
.
7.17. M(-9;3), l
:
.
7.18. M( 2;2), l
:
.
7.19. M(0;-6), l
:
.
7.20. M(0;11), l
:
.
7.21. M( 7;0), l
:
.
7.22-25.Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается линии l
.
7.22. l
:
.
7.23. l
:
.
7.24. l
:
.
7.25. l
:
.
8. Определить параметры, входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
)
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21
-
пересекаются
8.22
p и q –
пересекаются
8.23
p и q – пересекаются
8.24
8.25
9. Составить уравнение плоскости
и найти расстояние точки N от неё. Выяснить, лежат ли точка N и начало координат по одну или по разные стороны относительно плоскости
.
9.1 А
.
9.2
.
9.3
.
9.4
линии пересечения плоскостей
.
9.5
.
9.6
.
9.7
.
9.8
.
9.9
.
9.10
проходит через линию пересечения плоскостей
.
9.11
.
9.12
.
9.13
.
9.14
.
9.15
.
9.16
.
9.17
.
9.18
.
9.19
.
9.20
.
9.21
.
9.22
.
9.23
.
9.24
.
9.25
10.Составить канонические, параметрические или общие уравнения прямой р,проходящей через точку N, используя данные о расположении p относительно других объектов.
10.1 N (-1,2,-3) , p|| q:
.
10.2 N (2,2,5) , p
={1,2,0},
={0,3,7}.
10.3 N (1,0,5) , p||
: 3x-y+7z=0 , p пересекается с прямой
q:
=
=
10.4 N (2,-3,1) , p
={2,1,-1} , p пересекается с прямой q:
.
10.5 N (3,1,0) , p||
: x-3y+z-1=0 , p||
: 2x+3y+z+3=0.
10.6 N (4,-3,1) , p||
: x+2y-3z-1=0 , p пересекается с прямой
.
10.7 N (5,7,-5) , p
q:
=
=
, p и q – пересекаются.
10.8 N (3,2,-2) , p пересекается с прямыми q:
и r:
.
10.9 N (4,1,-3) , p
={3,-2,1} , p пересекается с прямой q:
=
=.
10.10 N (5,7,3) , p пересекается с прямой q:
и p
q.
10.11 N (7,1,1) , p
={3,4,-1} , p||
: 2x-3z+6=0.
10.12 N (-2,3,1) , p
: 3x+y+3=0 , p||
: 2y-z+1=0.
10.13 N (4,2,1) , p
={7,1,2} , p
q: .
10.14 N (2,3,2) , p
: 3x-2y+z-2=0 , p
={2,0,1}.
10.15 N (-3,-,5) , p||
:2x-3y-z+1=0 , p
q:
.
10.16 N (1,7,9) , p
q:
, p и q –пересекаются.
10.17 N (2,-3,-5) , p
={2,-1,-3} , p
q:
.
10.18 N (7,-3,1) , p
={1,-1,2} , p пересекается с прямой q:
.
10.19 N (-1,2,1) , p
={3,5,1} , p
={1,2,2}.
10.20 N (6,3,7) , p
:3x-y+z-2=0 , p
q:
=
=.
10.21 N (4,2,2) , p
q:
, p
r:
=
=.
10.22 N (1,1,3) , p||
:2x-3y-z=0 , p
q:
.
10.23 N (5,0,1) , p||
:x-3y+z=0 , p||
:2x+3z-1=0.
10.24 N=q
, где q:
=
=
,
:2x+7y-z+0 ,p|| r:.
10.25 N=q
, где,
: x+2y+z-13=0 , p
.
11. Найти угол между прямой р из задачи 10 и плоскостью
из задачи 9.
12.1-4. Найти проекцию точки М на прямую р или плоскость
.
12.5-7.Найти расстояние от точки M до прямой p.
12.8-11.Найти точку N , симметричную точке М относительно плоскости
или прямой р .
12.12-15.Не находя точку пересечения , доказать , что прямые p и q пересекаются.
12.16-18.Составить уравнение плоскости
,проходящей через прямую р и параллельную прямой q.
12.19-22.Найти расстояние между прямыми p и q .
12.23-25.Составить каноническое уравнение проекции прямой р на плоскость
.
Список
рекомендованной литературы
1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия . –М.: Наука . –223с.
2.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика : Підручник . –К.: Либідь, 1996. –440с.
3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - СПб.: Спец. лит.,1998. –200с.
4.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –М.: Наука , 1970. –336с.
5.Сборник задач по математике для ВТУЗов . Линейная алгебра и основы математического анализа . / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.:Наука,1986. -462 с.
6.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике . –М.: Высш.шк., 1983. –175с.
7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии . –М. : Наука , 1975. –272с.
Содержание
Часть 1. Решение типовых задач аналитической геометрии……………3
Часть 2. Расчетные задания………………………………………………17
Список рекомендованной литературы…………………………………..30
Учебное издание
Методические указания
и задания к расчетно-графической работе
по разделу курса высшей математики
«Аналитическая геометрия»
(для студентов специальностей 7.080403
«Программное обеспечение автоматизированных систем»
и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)
Составители : Скворцов Анатолий Ефремович
Губарев Андрей Анатольевич
|