Задание на проектирование II расчётная часть - реферат

Расчётное время переходного процесса t_п = 1с.

Максимальное перерегулирование s_m = 30%.

Требуется выполнить следующие задачи:

· определить передаточную функцию W(p) разомкнутой системы;

· определить тип системы и величину статической ошибки;

· построить логарифмическую амплитудную частотную характеристику L(w) разомкнутой системы;

· построить логарифмическую фазовую частотную характеристику j(w) этой системы;

· определить по этим характеристикам устойчивость замкнутой системы и запасы устойчивости по модулю и фазе;

· скорректировать систему и определить запасы устойчивости по модулю и фазе после коррекции, которые должны быть не меньше запасов, соответствующих заданному перерегулированию и времени переходного процесса;

· рассчитать параметры корректирующего звена и определить место его включения;

· построить вещественную частотную характеристику скорректированной замкнутой системы и приближённо рассчитать переходную функцию или определить передаточную функцию скорректированной замкнутой системы и по ней точно рассчитать переходную функцию;

· определить качественные показатели работы системы и сравнить их с заданными;

· разработать принципиальную схему всей системы согласно рисунку, вычертить её и описать работу.

II Расчётная часть.

1 Определение передаточной функции разомкнутой системы.

Исследуемая система регулирования является одноконтурной, поэтому передаточная функция разомкнутой системы будет равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в этот контур.

В состав контура входят звенья с передаточными функциями:

(звено инерционное);

(звено пропорциональное);

;

корни: ; . Корни – вещественные и разные, следовательно, W₇ (p) – передаточная функция апериодического звена второго порядка;

(звено пропорциональное);

Передаточная функция разомкнутой системы:

где k=k₁ k₂ k₃ k₄ – коэффициент передачи системы;

Т₁ ;Т₂ ;Т₃ – постоянные времени её звеньев.

k=22,5;

T₁ =0,5 c;

T₂ =0,36 c;

T₃ =0,14 c;

2 Определение типа системы.

Система автоматического регулирования может быть астатической или статической. Так как знаменатель передаточной функции W(p) разомкнутой системы не имеет множитель p^m , то замкнутая система является статической. Такая система с течением времени отрабатывает единичное ступенчатое управляющее воздействие с ошибкой

где k – коэффициент передачи разомкнутой системы.

Величина статической ошибки показывает, какую долю составляет отклонение переходной функции от изменения управляющего воздействия.

3 Построение логарифмической амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы.

Как известно, логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) – зависимость двадцати логарифмов амплитуды (т.е. модуля W(w) комплексно-частотной функции W(jw)) от логарифма частоты.

Если передаточная функция разомкнутой системы определена в виде:

то после замены p на jw следует получить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.

,

где - амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы;

j(w)=- j₁ (w) - j₂ (w) - j₃ (w) – фазовая частотная характеристика разомкнутой системы;

j₁ (w) = arctg wT₁ ;

j₂ (w) = arctg wT₂ ;

j₃ (w) = arctg wT₃ ;

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы определяется уравнением:

L(w) = 20lg W(w), дБ.

Эта характеристика строится при помощи асимптот и сопрягающих частот в прямоугольной системе координат. По вертикальной оси откладываются значения L(w) в децибелах (дБ), по горизонтальной – десятичные логарифмы частоты в декадах (lgw, дек).

Определяем сопрягающие частоты и их десятичные логарифмы:

с^-1 [1,3 дек].

с^-1 [0,44 дек];

с^-1 [0,85 дек];

В точках, соответствующих этим частотам, происходит сопряжение асимптот.

Определим значение L(w) при w=1:

L₁ =L(1)=20lgk=20lg19=27 дБ.

Определяются интервалы частот, в пределах которых проводятся соответствующие асимптоты и их наклон по отношению к оси абсцисс на этом интервале.

Таблица 1.

Указанные интервалы в логарифмическом масштабе наносятся на горизонтальную ось. Так как в знаменателе W(p) отсутствует множитель p^m , наклон первой асимптоты равен нулю.

Изменение наклона L(w) на -20дБ/дек происходит в точках, соответствующим частотам инерционных звеньев; на +20дБ/дек – в точках, соответствующих сопрягающим частотам форсирующих звеньев. Это учтено при определении наклонов асимптот, указанных в таблице 1.

Построенная ЛАЧХ изображена на рисунке 1.

4 Построение логарифмической фазовой частотной характеристики.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) – зависимость разности фаз выходного и входного сигналов от логарифма частоты.

Фазовая частотная характеристика разомкнутой системы j(w) при последовательном соединении звеньев равна алгебраической сумме фазовых характеристик звеньев, входящих в это соединение.

Строится логарифмическая фазовая частотная характеристика разомкнутой системы по точкам в прямоугольной системе координат. По вертикальной оси откладывается значение j(w) в градусах, а по горизонтальной – значение логарифмов частоты. Интервалы частот берутся те же, что и при построении L(w).

Таблица 2.

По данным столбцов 1 и 9 строится график j(w)=j(lgw).

5 Определение устойчивости и её запасов в нескорректированной системе.

На рисунке 1 показано взаимное расположение ЛАЧХ разомкнутой системы и ЛФЧХ.

Из рисунка 1 видно, что

DL=6 дБ – запас устойчивости по модулю;

Dj=180°-199°=-19° - запас устойчивости по фазе.

Взаимное расположение L(w) и j(w) соответствует неустойчивой системе в замкнутом состоянии, так как углу -180° соответствует положительное значение L(w).

Так как запасы устойчивости по модулю и фазе не удовлетворяют условиям задания, то необходима коррекция системы.

6 Коррекция системы.

При решении задач коррекции системы необходимо сформировать логарифмическую амплитудную и фазовую характеристики L_ж (w) и j_ж (w). Желаемую логарифмическую амплитудную частотную характеристику разомкнутой системы будем называть просто желаемой характеристикой системы.

Желаемая характеристика должна пересекать ось абсцисс при частоте w_с и должна иметь в этой области наклон -20дБ/дек. Длина асимптоты с этим наклоном должна быть не менее одной декады.

Желательно, чтобы изменение наклона L_ж при частотах, больших частоты среза w_с , происходило при тех же частотах, что и у исходной характеристики L(w). Частота w_с среза желаемой характеристики L_ж выбирается по заданным значениям максимального перерегулирования s_m и времени t_п переходного процесса.

Исходные данные:

s_m = 30%,

w_с = , с^-1 ,

DL=16 дБ,

Dj=45°,

P_max =1,28.

В этих данных указывается также запас DL устойчивости по модулю, дБ и запас Dj устойчивости по фазе в градусах, которые должны обеспечивать желаемые характеристики L_ж и j_ж .

Согласно исходным данным, w_с = с^-1 . Поскольку при частоте среза w_с =11,5 с^-1 не выполняются необходимые условия запасов по модулю и фазе, сдвигаем частоту среза до 0,95 дек (w_с =8,91 с^-1 ).

Через точку w_с проводим прямую с наклоном -20дБ/дек, которая пересечёт горизонталь в точке с абсциссой w₀ и перпендикуляр, восстановленный в точке с абсциссой w₁ .

Согласно построению w₀ =0,398 с^-1 , >10. Это соотношение говорит о том, что участок с наклоном -20дБ/дек простирается более, чем на 1,35 декады, что по сравнению с нормой в одну декаду вполне допустимо.

Таким образом, вид желаемой характеристики L_ж при w < w₁ найден.

Так как на участке w₃ …w₁ разность наклонов L_ж (w) и L(w) составляет +20 децибел на декаду, то, сохраняя разность неизменной, проведём L_ж (w) на участке w₁ …w₄ с наклоном минус 40 децибел на декаду, на w₃ …w₄ - с наклоном минус 60 дБ/дек. Начиная с частоты w₅ желаемая характеристика будет совпадать с L(w).

Определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику L_K (w) корректирующего звена путём графического решения уравнения

L_K (w)=L_ж (w) - L(w) .

Это решение, выполненное на рисунке 1, даёт форму L_K (w), соответствующую типовому интегро-дифференцирующему звену.

Запишем желаемую передаточную функцию разомкнутой системы в виде:

где

.

Передаточная функция корректирующего звена равна

.

Проверим, имеет ли желаемая характеристика требуемые запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Желаемая фазовая характеристика имеет вид:

Определим j_ж (w) при w=w_с = с^-1 :

Запас устойчивости по фазе:

Dj_ж =180° + j_ж (2,51)=180° - 121,42°=58.27°

больше 45° по норме.

Для определения запаса устойчивости по модулю необходимо найти частоту w_x , при которой j_ж (w_x )=-180°, т.е. решить уравнение:

Решение этого уравнения методом последовательных приближений даёт w_x =32 с^-1 , при которой запас DL=15.4 дБ, незначительно отличается от запаса, указанного в задании, и может быть признан приемлемым.

Для большей наглядности построим желаемую ЛФЧХ j_ж ( )

Построение желаемой логарифмической фазово-частотной характеристики

7 Расчёт параметров корректирующего звена.

Исходные данные: форма L_K (w) дана на рисунке 1; постоянные времени:

Т₀ =2,5 с; Т₁ =0,36 с; Т₂ =0,14 с; Т₄ =0,02 с.

Проверка соотношения Т₀ Т₄ =Т₂ Т₃ :

Т₀ Т₄ =0,005 ,

Т₂ Т₃ =0,05

говорит о том, что постоянные времени корректирующего звена выбраны правильно. Из формулы находим отношение сопротивлений:

Так как Т₁ =R₁ C₁ =0,36 , T₂ =R₂ C₂ =0,14 , то

Примем C₂ =10^-5 Ф, тогда С₁ =0.18×10^-5 Ф.

Величина сопротивлений:

Таким образом, схема откорректированного контура регулирования будет иметь вид, изображённый на рисунке 2.

8 Расчёт вещественной частотной характеристики замкнутой системы.

Способ первый.

Выше была определена передаточная функция разомкнутой системы, состоящей из трех инерционных звеньев, соединённых последовательно, в виде:

.

Передаточная функция желаемой замкнутой системы равна

где

где а₀ =0,0025;

а₁ =0,176;

а₂ =2,57;

а₃ =23,5;

После замены p на jw в F_ж (p) получаем выражение для комплексного коэффициента усиления этой системы:

где - вещественная частотная характеристика желаемой замкнутой системы;

- мнимая частотная характеристика замкнутой системы;

A(w)=a₃ -a₁ w²

B(w)=w (a₂ -a₀ w² )

Вычислим P(w), а расчётные данные занесём в таблицу 3.

По данным столбцов 1 и 8 табл.3 строим график P(w).

Таблица 3.

Расчёт этого графика заканчивается при значении частоты w=w_с =50с^-1 , при котором

и с ростом частоты продолжает по модулю убывать.

Способ второй, графический.

При таком способе построения P(w) используется номограмма. Эта номограмма позволяет найти вещественную частотную характеристику замкнутой системы по желаемым логарифмической амплитудной L_ж (w) и фазовой j_ж (w) частотным характеристикам разомкнутой системы. По данным расчёта, соответствующим различным частотам w, находим нужное количество значений L_ж (w) и j_ж (w). На номограмме находим точки с координатами L_ж (w) и j_ж (w) и отмечаем соответствующие этим точкам значения частоты w.

Все данные заносим в таблицу 4.

Таблица 4.

Для статической системы

9 Приближённый расчёт переходной функции по вещественной частотной характеристике.

При использовании этого метода расчёта переходного процесса график вещественной частотной характеристики откорректированной замкнутой системы заменяют отрезками прямых линий так, чтобы ход этих линий наиболее точно повторял ход кривой.

Такая замена произведена на рисунке 3. Из рисунка видно, что часть отрезков (а – б, в – г) проведены параллельно оси абсцисс, другая часть (б – в, г – д) образует с осью абсцисс некоторый наклон.

Таким образом, получается ряд трапеций, которые обладают следующими свойствами:

· основания всех трапеций параллельны оси абсцисс;

· высота каждой трапеции лежит на оси ординат и равна расстоянию между основаниями соответствующей трапеции в выбранном масштабе по оси ординат; эта высота берётся со знаком плюс, если верхнее основание меньше нижнего и – со знаком минус в противоположном случае. Знаки высот определяют знаки переходных составляющих от соответствующих трапеций и знаки площадей этих трапеций;

· алгебраическая сумма площадей трапеций приблизительно равна площади, ограниченной кривой P(w) и осями координат.

Ход расчёта.

Проверим правильность выбора высот трапеций и их знаков по формуле:

где H_k – высота трапеции с номером “k”;

m – число трапеций.

Определяем коэффициент наклона каждой трапеции:

где индекс 1 относится к меньшему основанию, индекс 2 – к большему основанию соответствующей трапеции.

Определяем безразмерное время:

,

где t_i - натуральный момент времени для которого вычисляется значение переходной функции.

По таблицам h – функций при известном c_k и t_ki находим составляющую h_ki переходной функции от единичной трапеции.

Определяем составляющую переходной функции от трапеции с номером “k”:

y_ki = h_ki H_k .

Находим переходную функцию для произвольного момента времени t_i как алгебраическую сумму составляющих от каждой трапеции:

Все расчётные данные заносим в таблицу 5.

Таблица 5.

По данным столбцов 1 и 8 строим график переходной функции y_i (t), определяем показатели качества работы системы и сравниваем их с заданными.

10 Точный расчёт переходной функции.

Дана передаточная функция откорректированной разомкнутой системы в виде

.

Необходимо найти переходную функцию A(t) для замкнутой системы на её выходе при нулевых начальных условиях.

Решение.

Передаточная функция замкнутой системы:

Изображение переходной функции по Лапласу:

Характеристическое уравнение.

H(p) = p(0,0025p³ + 0,176p² + 2,57p + 23,5) = 0 .

Находим его корни:

p₁ =-54.76; p₂ = -7,81-10,51j; p₃ = -7,81+10,51j; p₄ =0.

Перейдём к оригиналу, используя теорему разложения:

где p₁ ...p_k ...p_n – корни характеристического уравнения.

H¢(p_k ) = 0,01р³ +0,528р² +5,14р+23,5;

H¢( p₁ ) = -316,832;

H¢( p₂ ) = -21,62+25,102j;

H¢( p₃ ) = -21,62-25,102j;

H¢( p₄ ) =23,5;

Поскольку корни p₂ и p₃ являются комплексно-сопряжёнными, то полученные выше 2 выражения следует преобразовать в одно, используя формулу Эйлера:

В итоге получаем переходную функцию в следующем виде:

11 Определение качественных показателей работы системы.

На рисунке 4 (кривая 1) дана картина переходного процесса, которая получена в результате расчёта переходной функции. Для определения качественных показателей работы системы на этом рисунке обозначается зона, которая ограничена осями координат и заштрихованными отрезками прямых. Два отрезка проводятся симметрично относительно установившегося значения A_у переходной функции на расстоянии 2d_p . Расстояние d_p =0,05 определяет точность работы системы в переходном режиме, а, следовательно, - точность расчёта времени t_п переходного процесса. Один из заштрихованных отрезков пересекает кривую переходной функции в точке, абсцисса которой соответствует времени t_п переходного процесса. Верхняя горизонтальная прямая ограничивает максимальное отклонение переходной функции от её установившегося значения.

Если колебательная составляющая, определяемая парой комплексно-сопряжённых корней, затухает быстрее экспоненциальной составляющей, определяемой вещественными корнями, то данный колебательный процесс является монотонным. В монотонных процессах перерегулирование отсутствует.

Показатели качества системы:

· система статическая;

· статическая ошибка d = 0,05h_¥ =0.0475;

· точность работы системы d_p = 0,05;

· время переходного процесса t_п = 0,43с;

· установившееся значение переходной функции A_у = 0,957.

Список использованной литературы.

1. Ковылов Б.В. «Расчёт переходного процесса в системе автоматического регулирования». Методические указания. УГЛТУ, Свердловск, 1982.

2. Бесекерский В.А. Сборник задач по теории автоматического регулирования. М., 1965.

3. Лукас В.А. «Теория автоматического управления». М., 1990.