Руководители:

Гатауллина Фаузия Габдрауфовна – учитель математики, Мальцева Ольга Юрьевна – учитель информатики

Содержание

Введение

1.Литературный обзор. 7

1.1 Домашняя. 7

1.2 Арифметика. 7

1.2.1 Нумерация. Название больших чисел. 7

1.2.2 Арифметические действия. 8

1.2.3 Простые и составные числа. 8

1.2.4 Признаки делимости. 9

1.2.5 НОК и НОД.. 9

1.2.6 Таблица НОК и НОД.. 9

1.2.7 Обыкновенные дроби. 11

1.2.8 Десятичные дроби. 11

1.2.9 Приближенные вычисления. 12

1.2.10 Метрические меры.. 12

1.2.11 Проценты.. 13

1.2.12 Пропорции. 14

1.3Алгебра и элементарные функции. 14

1.3.1 Рациональные числа. 14

1.3.2 Тождественные преобразования целых выражений. 15

1.3.3Действия над многочленами. 15

1.3.4 Действия со степенями. 15

1.3.5 Формулы сокращенного умножения. 15

1.3.6 Действия с корнями. 16

1.3.7 Уравнения и неравенства. 16

1.3.8 Элементарные функции и их свойства. 18

1.3.9 Метод математической индукции. 20

1.3.10 Прогрессия. 21

1.4 Алгебра и начала анализа. 22

1.4.1 Пределы.. 22

1.4.2 Производные. Простейшие производные. 22

1.4.3 Исследование функции с помощью производной. 23

1.4.4 Дифференциал. 23

1.4.5 Интеграл и первообразная. 24

1.4.6 Площадь произвольной фигуры.. 25

1.4.7 Объем тела вращения. 25

1.4.8 Логарифмы.. 26

1.4.9 Тригонометрические функции. 26

1.4.10 Обратные тригонометрические функции. 30

1.4.11 Значение тригонометрических функций некоторых углов. 30

1.5 Геометрия. 31

1.5.1Треугольник. 31

1.5.2 Решение прямоугольных треугольников. 32

1.5.3 Квадрат. 32

1.5.4 Ромб. 32

1.5.5 Трапеция. 32

1.5.6 Правильный n-угольник. 33

1.5.7 Круг. 33

1.5.8 Круговое кольцо. 34

1.5.9 Призма. 34

1.5.10 Пирамида правильная. 34

1.5.11 Цилиндр. 35

1.5.12 Конус. 35

1.5.13 Шар. 36

1.5.14 Элементы векторной алгебры.. 36

1.6 Это интересно. 38

1.6.1 Вот в чем соль. 38

1.6.2 Геометрия римских землемеров. 38

1.6.3 Единичная система счисления первобытных людей. 39

1.6.4 Как запомнить три первые цифры числа π. 39

1.6.5 Как появился значок корня. 39

1.6.6 Легенда о шахматной доске. 39

1.6.7 Обозначение чисел римскими цифрами. 40

1.6.8 О чем могут рассказать числительные. 40

1.6.9 Первые учебники. 41

1.6.10 Реформы календаря. 41

1.6.11 Сколькими способами можно подняться по лестнице. 42

1.6.12Тригонометрия в ладони. 42

1.6.12 Число "чертова дюжина"- 13. 42

1.6.14 Число 666. 42

1.7 Этимологический словарь. 44

2. Методика исследования. 56

2.1 Этапы работы над электронным пособием. 56

2.2 Научная и практическая значимость «Электронного друга». 58

2.3.Правила работы с пособием по математике «Электронный друг». 58

3.Выводы.. 58

Литература. 58

Введение

Каждый из нас изучает математику с первого дня пребывания в школе и будет ее изучать до окончания школы. Кому же придется продолжить обучение в высших учебных заведениях, тот более основательно познакомится с этой удивительной наукой. Еще в древности одним из важнейших достоинств человека считали владение математическими знаниями. В Индии, например, только тот юноша считался подготовленным к жизни, кто овладел искусством решения задач, физических упражнений и стихосложения. Не секрет, что во все времена были дети, которые любили математику, могли вспомнить и применить в любой момент формулы и правила; а также те ученики, которые занимаются на уроках для получения аттестата и не знают и не хотят запоминать правила и формулы.

Собранный воедино большой справочный материал в электронном виде, послужит для того, чтобы даже самый нерадивый ученик, мог в любой момент найти нужную формулу, чтобы справиться с простой задачей.

Каждый день на уроках математики мы узнаем о свойствах чисел и фигур, решаем задачи, а вернувшись домой, приходится повторять изученный материал, выполнять домашнее задание. Большим помощником в этом является справочник. Иногда думают, что успех в математике основан на простом запоминании большого числа правил, формул, теорем и т.д. Конечно, хорошая память для занятий математикой нужна, но очень многие выдающиеся ученые-математики никакой особой памятью не обладали, и именно систематические занятия математикой часто помогали им развивать ее. Мы понимаем, что значительно важнее, чем память, для занятий математикой – умение находить наиболее удачные пути решения задач, тождественных преобразований, решения уравнений и т.д. Очень важно также научится пользоваться наглядными, в том числе геометрическими представлениями, при решении задач (формулы, теоремы и т.д.).

Цель проекта:

Создание пособия «Электронный друг» - краткого математического электронного справочника, содержащего основную информацию по курсу школьной математики.

Задачи:

- Изучить имеющиеся литературные источники, математические пособия и справочники;

- Сделать выборку формул, теорем, правил и т.д., для включения в справочник;

- Овладеть программой HtmlPad Fisherman;

- Создать электронное пособие;

- Показать практическое применение «Электронного друга».

Проблема:

Умственную самодеятельность, сообразительность и смекалку нельзя «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в математику совершается в легкой и приятной форме.

Гипотеза

«Электронный друг»– замена школьных учебников в тех случаях, когда учащийся решает математическую задачу и ему нужно найти соответствующую формулу или свойства; когда он готовится к Единому государственному экзамену.

Пособие имеет небольшой формат, выполнено в электронном варианте, предусмотрено возможность использования шпаргалки на мобильном телефоне через интернет ресурсы, что позволит всегда иметь его под рукой: в транспорте, на даче, на занятиях и т.д.

Актуальность

В век развития информационных технологий, бумажные носители отходят на второй план. Все больше людей получают информацию из интернета. Даже книги читают, используя электронные библиотеки.

1.Литературный обзор

Холодные числа, внешне сухие формулы

математики полны внутренней красоты

и жара сконцентрированной в них мысли.

А.Д. Александров

Для настоящего издания мы осуществили достаточно представительную выборку формул, теорем, схем, графиков из разных литературных источников, таких как:

-«Большой математический энциклопедический словарь» и «Математическая энциклопедия для детей», « История математики в школе. 7-8 классы» Г.И.Глейзера - исторический и познавательный материал, выборка для этимологического словаря;

-«Школьная шпаргалка» - основные формулы, свойства, графики и т.д. ;

- а также использовали Интернет-ресурсы, в частности: Http://etimologi-term.Narod.Ru .

Математика в своем развитии связывает века, тысячелетия и целые эпохи, страны, цивилизации и различные культуры, многих разных людей – ученых-математиков и практиков, правителей и творцов. Так вот, например, задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 веке индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax² +bx = c, a>0. [1]

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим [5]

1.1 Домашняя

Настоящее пособие – это краткий математический справочник. Он является хорошей заменой многочисленным школьным учебникам в тех случаях, когда учащемуся срочно нужно найти некоторую математическую информацию. В пособии:

В лаконичной форме изложены все основные определения, теоремы, свойства, формулы, которые содержатся в школьном курсе математики;

Основные определения, формулы, не обремененными техническими трудностями, отвлекающими от сути соответствующего понятия;

Собраны воедино все основные «школьные» чертежи – графики функций и изображения геометрических фигур;

Материал расположен так, чтобы, с одной стороны, выдерживалась определенная логика, а, с другой стороны, поиск читателем нужной информации был достаточно прост;

Весь материал медиапособия разбит на 6 частей. В справочнике широко применяются система ссылок на статьи, где читатель найдет дополнительный к рассматриваемому вопросу информацию (в частности этимологический словарь). Принцип расположения статей в этимологическом словаре – алфавитный. А статьи в справочнике расположены по тематикам.

1.2 Арифметика

1.2.1 Нумерация. Название больших чисел

Миллиард или биллион – 1000 000 000 - 10⁹

Триллион -1000 000 000 000 - 10¹²

Квадриллион -1000 000 000 000 000 - 10¹⁵

Квинтиллион – 1000 000 000 000 000 000- 10¹⁸

Секстиллион -1000 000 000 000 000 000 000- 10²¹

Септиллион – 1000 000 000 000 000 000 000 000 -10²⁴

Названия степени числа 10:

Дека – 10 (дк) деци – 10^-1 (д)

Гекто – 10² (г) санти – 10^-2 (с)

Кило - 10³ (к) милли – 10^-3 (м)

Мега – 10⁶ (М) микро – 10^-6 (мк)

Гига – 10⁹ (Г) нано – 10^-9 (н)

Тера – 10¹² (Т) пико – 10^-12 (п)

1.2.2 Арифметические действия

Делить на ноль нельзя!

Деление с остатком – a:b=q+r, r – остаток

Возведение в степень –

aⁿ =

Вторая степень называется квадратом, третья степень – кубом, первая степень числа – само число:a¹ = a

Свойства арифметических действий

Законы сложения

1.Переместительный (коммутативный): a+b=b+a

2. Сочетательный (ассоциативный): a+b+c =a+(b+c)

Правила вычитания

1.Вычитание суммы из числа: a-(b+c)=a – b – c

2.Вычитание числа из суммы: (a+b) – c =(a - c) + b

3. Прибавление разности: a + (b - c) = a + b – c

4.Вычитание разности: a – (b - c) = a - b + c

Законы умножения

1.Переместительный (коммутативный): ab =ba

2.Сочетательный (ассоциативный): abc = a(bc)

3.Распределительный (относительно суммы, дистрибутивный):

(a + b + c)d = ad + bd + cd

Правила умножения

1.Умножение произведения на число и числа на произведение, например: 3(ab) =(3a)b =(3b)a

2.Умножение разности на число (a -b)c = ac – bc

1.2.3 Простые и составные числа

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым .

Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще на другие числа, называется составным.

Число 1 занимает особое положение.

Простые числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 и т.д.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом .

Пример: 5600= 2·2·2·2·2·5·5·7

1.2.4 Признаки делимости

1. На 10 . На 10 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются нулями.
2. На 2 и 5 делятся те, и только те числа, у которых последняя цифра выражает число, делящееся соответственно на 2 и на 5.
3. На 3 и 9 делятся те, и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 и на 9.
4. На 4 и 25 делятся те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 и на 25.
5. На 8 и 125 делятся все числа, которые оканчиваются тремя нулями, а также у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 и 125.
6. На 7,11 и 13 делятся все те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным тремя остальными цифрами (или наоборот), делятся соответственно на 7, 11 или 13.
7. На 6, 12,18, 24 :
- на 6 делятся те числа, которые делятся на 2 и на 3;
- на 12 делятся те числа, которые делятся на 3 и на 4;
- на 18 делятся те числа, которые делятся на 2 и на 9.

1.2.5 НОК и НОД

НОК – наибольшим общим делителем нескольких чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка.

НОД – наименьшим общим кратным нескольких чисел называется самое меньшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Алгоритм нахождения НОД:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Из множителей, входящих в разложение одного из них, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.

3. Вычислить произведение оставшихся множителей, если это необходимо.

Алгоритм нахождения НОК:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Выписать разложение одного из них.

3. Добавить недостающие множители из разложений оставшихся чисел.

4. Найти полученное произведение, если это необходимо

1.2.6 Таблица НОК и НОД

(Трудные и часто используемые случаи)

Таблица составлена ученицей 5 А класса МОУ СОШ № 2 Мерзляковой Мариной в 2006 году

1.2.7 Обыкновенные дроби

Правильные дроби:

Неправильные дроби

Основное свойство дроби

, m

Преобразование дробей

Сокращение дроби :

Первый способ : последовательное сокращение на общие делители числителя и знаменателя.

Второй способ : полное сокращение на НОД числителя и знаменателя.

Если члены дроби не имеют общих делителей, то дробь называется несократимой.

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение :

Вычитание :

Умножение :

Деление:

1.2.8 Десятичные дроби

О сновное свойство десятичной дроби : значение десятичной дроби не изменится, если к ней справа дописать несколько нулей: 0,3= 0,30=0,300 и т.д.

Действия над десятичными дробями

Умножение и деление десятичной дроби на 10 (100,1000 и т.д.):

При умножении запятая переносится вправо на число нулей.

При делении запятая переносится влево на число нулей.

Умножение десятичных дробей

1) Перемножить дроби, не обращая внимания на запятые, как целые числа.

2) Отделить "," справа столько знаков, столько их было во множителе и множимом вместе.

Деление десятичных дробей

Деление выполняется так же как и деление целых чисел, увеличивая делитель и делимое в 10, 100, 1000 и т.д. раз, чтобы избавиться от запятой.

Сложение и вычитание десятичных дробей

При сложении и вычитании десятичных дробей, дроби располагаются так, чтобы запятая оказалась под запятой.

Периодическая десятичная дробь

Чистая 2,3636363636... - период начинается сразу за запятой.

Смешанная 0,52323...- между "," и периодом есть несколько цифр.

1.2.9 Приближенные вычисления

Абсолютная погрешность - разность между точным и приближенным значением числа.

Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа.

1.2.10 Метрические меры

Меры длины

Миля содержит 7 верст = 7,4676 км

Верста содержит 500 саженей = 1,0668 км

Сажень содержит 3 аршина = 2,1336 м

Фут содержит 12 дюймов = 30,48 см

Дюйм содержит 10 линий = 2,54 см

Меры веса

Пуд содержит 40 фунтов = 16,4 кг

Фунт содержит 32 лота = 0,41 кг

Лот содержит 3 золотников = 12,8 г

Золотник содержит 96 долей = 4,27 г

Меры длины

Основная единица - метр (м)

Дециметр (дм) - 0,1м

Сантиметр (см) - 0,01м

Миллиметр (мм) - 0,001 м

Микрон () - 0,000001 м

Миллимикрон () - 0,000000001м

Мегаметр - 1000000 м

Мириаметр (Мм) - 10000 м

Километр (км) - 1000 м

Гектометр (гм) - 100 м

Декаметр (дкм) - 10 м

Меры площади

Основная единица - квадратный метр (м² или кв. м)

Квадратный дециметр (дм² ) - 0,01 м²

Квадратный сантиметр (см² ) - 0,0001 м²

Квадратный миллиметр (мм² ) - 0,000001 м²

Квадратный километр (км² ) - 1000000 м²

Квадратный гектометр или гектар (га) - 10000 м²

Квадратный декаметр или ар (а) - 100 м²

Меры объема

а) Газообразных и твердых тел.

Основная единица - кубический метр или стер (м³ или куб.м)

Кубический дециметр (дм³ ) - 0,001 м³

Кубический сантиметр (см³ ) - 0,000000001 м³

Кубический миллиметр (мм³ ) - 0,000000001

Кубический километр (км³ ) – 1000000000 м³

б) Жидкостей и сыпучих тел

Основная единица – литр(л) – объем 1 дм³ , точнее 1 л = 1,000028 дм³

Децилитр (дл) - 0,1 л

Сантилитр (сл) – 0,01 л

Миллилитр (мл) – 0,001 л

Микролитр (мкл) – 0,00001 л

Декалитр (дкл) – 10 л

Гектолитр (гл) – 100 л

Килолитр (кл) – 1000 л

Меры веса

Основная единица – грамм (г) – вес 1 см³ чистой дистиллированной воды при t = 4 C и атмосферном давлении 760 мм РТ.ст.

Дециграмм (дг) – 0,1 г

Сантиграмм (сг) -0,01 г

Миллиграмм (мг) – 0,001 г

Микрограмм (мкг) – 0,000001 г

Карат (к) – 0,2 г

Декаграмм (дкг) – 10 г

Гектограмм -100 г

Килограмм (кг) – 1000 г

Центнер (ц) – 100 кг

Тонна (т) – 1000 кг

1.2.11 Проценты

Процентом какого либо числа называется сотая часть этого числа (%)

Нахождение % данного числа P% =

Нахождение числа по его %:

Если P% какого-то числа составляют а, то все число равно

Нахождение процентного отношения двух чисел

Формула простого процентного роста S_n =

Формула сложного процентного роста S_n =

1.2.12 Пропорции

Определение : , или а:b = с:d

Основное свойство пропорции : ad=bc

Вычисление неизвестных членов пропорции

Если x:b= с:d, то x= ,

Если a:x = с:d, то x =

Перестановка членов пропорции

(для всех выполняется основное свойство ad=bc)

a:b= c:d с:d=a:b

d:b=c:a c:a=d:b

a:c=b:d b:d=a:c

d:c=b:a b:a=d:c

Производные пропорции

; ; ; ; ;

1.3Алгебра и элементарные функции

1.3.1 Рациональные числа

Рациональные числа - это все целые и дробные, положительные и отрицательные числа.

Модуль числа – это абсолютная величина числа.

а – число, | а | - абсолютная величина числа

таким образом,

^|

Действия с рациональными числами

Правила знаков при умножении и делении

Если | а |= |b|, то или а=b или а= - b

|f(x)|= |g(x)| f ² (x) = g² (x), тогда (f(x) – g(x))( f(x)+ g(x))= 0

1.3.2 Тождественные преобразования целых выражений

Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него букв.

a + b = b + a

a + b + c = a + ( b + c)

a –(b –c)= a – b + c

ab=ba

abc= a(bc)

(a+c)c= ac+bc

1.3.3Действия над многочленами

(a + b + c) x=ax + bx + cx

(a+ b +c)(m + n )= a( m + n ) + b( m + n) + c( m + n)= am +an + bm + bn + cm + cn

1.3.4 Действия со степенями

a^m aⁿ =a^{m + n}

a^m : aⁿ = a^m-n

(ab)^m = a^m b^m

(a^m )ⁿ = a^mn

(a:b)^m = a^m : b^m

a⁰ = 1(a ≠ 0)

a^m : a^m = 1

a^-m = 1/ a^m

1.3.5 Формулы сокращенного умножения

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

(a ± b)³ = a³ ± 3a² b + 3ab² + ±b³

a² - b² = (a-b)(a+b)

a³ + b³ = (a+b)(a² – ab + b² )

a³ - b³ = (a - b) (a² +ab + b² )

a^m - b^m = (a – b)( a^m-1 + a^m-2 b+ …+ab ^m-2 + b ^m-1 )

(a + b + c)² = a² + b² + c² +2ab + 2ac + 2bc

Основное свойство алгебраической дроби:

,

1.3.6 Действия с корнями

- основное свойство радикала

1.3.7 Уравнения и неравенства

Уравнения

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот.

Теоремы о равносильных уравнениях

I. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.

Следствия:

1. Одинаковые члены в обеих частях уравнения можно опустить.

2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.

II. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение, имеющее смысл и не равное нулю при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.

Следствия:

1.Знаки всех членов можно изменить на противоположные.

2.Уравнение, в которых коэффициенты всех или некоторых членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.

Уравнение первой степени

ax – b = 0

Система двух уравнений первой степени

Квадратное уравнение

Неполное квадратное уравнение:

ax² + c =0

Решение:

Приведенное квадратное уравнение :

x² + px + q = 0

Решение приведенного уравнения:

x₁ + x₂ = -p , a x₁ x₂ = q(теорема Виета)

Полное квадратное уравнение общего вида :

ax² + bx + c = 0

Решение квадратного уравнения :

, D= b² – 4ac – дискриминант квадратного уравнения.

Неравенства

Свойства неравенств

Если а > b и b > c , то a > c;

если а > b, то а + с > b + с;

если а + b > c, то при a > c – b, а + b – с > 0;

если а > b, то при с > 0, ас > bс, при с = 0 , ас = bс; при с > 0, ас < bс;

если а > b, с > d, то ас > bd;

если а > b, с > d, то а + с > b+d;

если а > b, с < d, то а - с > b-d;

если а > b, то аⁿ > b^? , ( a, b – положительные, n – натуральные);

если а > b, то , (а,b – положительные , n – натуральные).

Неравенство первой степени

aх >b

Если а > 0 , x > (b/a):

Если а < 0, x < (b/a)

Система неравенств первой степени:

Если а > b , то x > a; если а < b , то x> b

Если а > b , то x < b; если а < b , то x < a

Если а > b , то не имеет решений; если а < b, то a<x<b

1.3.8 Элементарные функции и их свойства

y = f (x)

Область определения - совокупность всех тех значений, которые может принимать аргумент x функции.

Область изменения (значения) – совокупность всех тех значений, которые может принимать сама функция у.

Исследование функции:

1. Установить области определения и значения функции : D(f) и E(f).

2. Установить промежутки возрастания и убывания функции.

3. Определить точки экстремума функции, если такие существуют, и вычислить экстремальные ее значения.

4. Выяснить, четная или нечетная данная функция.

5. Выяснить, ограниченная или неограниченная функция.

6. Исследовать функцию на периодичность.

7. Определить, если возможно, нули функции, т.е. значения аргумента, при которых значения функции равны нулю.

8. Заканчивают исследование функции построением ее графика.

Элементарные функции

Прямая пропорциональность.

y = ax, а - некоторое данное число, x – аргумент. y = 0,5x

Линейные функции

y = 0,5x + 1(на 1 единицу вверх)

y = 0,5x -1(на 1 единицу вниз)

y = ax +b, x –аргумент, a, b – заданные числа

Обратно - пропорциональная зависимость.

Квадратичная функция

y = ах² + bх + с, где х – аргумент. Кривая называется параболой.

у = х²

Степенная функция.(y = xⁿ , x – аргумент, n – показатель степени) y = х³

График функции y = sin x

График функции y = cos x

1.3.9 Метод математической индукции

Аксиома индукции:

Если некоторое утверждение справедливо для n = 1, и, если из допущения справедливости его для какого-нибудь произвольного натурального n= k, следует справедливость и для n= k +1, то это утверждение справедливо для всякого натурального n.

1.3.10 Прогрессия

Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для этой прогрессии (положительным или отрицательным) числом:

÷ а₁ , а₂ , а₃ ,…

Разность арифметической прогрессии d – число, которое надо прибавить к какому – нибудь члену, чтобы получить последующий.

Если d>0, то прогрессия возрастающая.

Если d <0, то прогрессия убывающая.

Любой член арифметической прогрессии :

a_n = a₁ + (n - 1)d;

a_n = ( a_{n -1} + a_{n +1} )/2 - среднее арифметическое предыдущего и последующего;

а_n = ( a_{n - k} + a_{n + k} )/2 – среднее арифметическое равноудаленных членов

Во всякой арифметической прогрессии :

a_m + a_n = a_p + a_{q ,,} если m+n=p+q

Для конечной прогрессии :

a_k + a_{n - k} + 1 = a₁ + a_n

Сумма n - первых членов арифметической прогрессии :

Геометрическая прогрессия - это такая числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, умноженному на одно и то же число, постоянное для этой последовательности:

÷ b₁ , b₂ , b₃ , …, b_n , …

Знаменатель геометрической прогрессии q - число, на которое надо умножить любой член геометрической прогрессии, чтобы получить последующий.

Всякий член геометрической прогрессии :

b_n = b₁ q^{n -1}

Связан с предыдущим и последующими членами зависимостью:

(b_n )² = b_{n -1} b_{n +1}

Во всякой геометрической прогрессии

b_m b_n = b_p b_q , если m+n = p+q

Сумма n членов геометрической прогрессии выражается формулой:

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, если |q|<1

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

Если q>1, то прогрессия – возрастающая.

Если q<1, то прогрессия – убывающая.

1.4 Алгебра и начала анализа

1.4.1 Пределы

Теоремы о пределах

1.4.2 Производные. Простейшие производные

Производная – это скорость роста функции

- это угловой коэффициент касательной ( геометрический смысл)

- есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента,

когда приращение аргумента стремится к нулю

(с) ́ = 0

(x) ́ = 1,

(xⁿ )´= nx ^{n -1}

(1/ x) ́ = - (1/x² )

(ln x) ́ = 1/x

( lg x) ́ = lg e ·(1/x)

(a^x ) ́= a^x ln a

(e^x ) ́ = e^x

(sin x) ́ = cos x

(cos x ) ́ = - sin x

(tg x) ́= 1/ (cos² x) = sec² x

(ctg x) ́ = - 1/ (sin² x) = - cosec² x

( arcctg x) ́ = - 1 / (1+x² )

(sec x) ́ = sec x tg x

(cosec x) ́ = - cosec x ctg x

1.4.3 Исследование функции с помощью производной

Функция возрастает - производная положительная.

Функция убывает - производная отрицательная.

Функция достигла max или min - производная обратилась в ноль.

Если производная изменила свой знак с «+» на «-», то функция достигла max.

Если производная сменила свой знак с «-» на «+», то функция достигла min.

Если производная свой знак не изменила , то экстремума нет.

Критические точки – точки, в которых производная обращается в ноль.

Уравнение касательной – f(x) = f(a) + f ́(a)(x-a)

1.4.4 Дифференциал

Дифференциал функции – линейная часть ее приращения.

dy = y ́ dx

Простейшие свойства дифференциала

1. d(cu) = c du, c – пост.

2. d(u+v)= du + dv

3. d (uv) = u dv + v du

4. d (u/ v) = ( v du – u dv) / v²

Правила дифференцирования

1. ( u + v) ́ = u ́ + v ́

2. u (ax) ́= au ́ (ax)

3. (λu) ́= λu ́, λ – пост.

4. (uⁿ ) ́= nu^n-1 u ́

5. (uv) ́ = u ́v + uv ́

6. (u(v)) ́ = u ́(v) v ́

7. (u/v) ́ = (u ́v – uv ́) / v²

1.4.5 Интеграл и первообразная

Интеграл – это площадь криволинейной трапеции (геометрический смысл)

Интеграл – это предел интегральных сумм.

Интеграл – это приращение первообразной.

Таблица первообразных

Свойства интеграла

1.4.6 Площадь произвольной фигуры

1.4.7 Объем тела вращения

где S(x) - площадь сечения, проведенная через точку х.

Интегралы от некоторых тригонометрических функций.

1.4.8 Логарифмы

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где , a , называется

показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Всякое положительное число (не ≠ 1) по любому основанию имеет единственный логарифм.

При любом положительном основании отрицательные числа не имеют логарифма.

При любом a log_a 1 = 0, так как a⁰ = 1

log_a а = 1, так как а¹ = a.

Логарифмирование

log(ab) = log a + log b,

log (a/b) = log a – log b,

log a ^m = m log a,

log = (log a) / m

Переход от одного основания логарифма к другому

Десятичные логарифмы

log₁₀ N = lg N

Свойства десятичных логарифмов

1. lg 100 = 2, lg 10000= 4 ( логарифм равен количеству нулей)

2. lg 0,00001 = -5, lg 0,001 = -3 (логарифм равен количеству нулей)

3. lg = (1/2)lg3 ( трансцендентное число, выражаемое бесконечной десятичной дробью)

4. Целая часть логарифма называется его характеристикой, дробная – мантиссой.

5. Характеристика логарифма числа, а > 1, на единицу меньше числа цифр его целой части.

6. Характеристика логарифма числа, а < 1, содержит столько отрицательных единиц сколько нулей в этом числе предшествует первой значащей цифре, включая и нуль целых.

Натуральные логарифмы

log_e N = ln N.

e 2, 71828182…

1.4.9 Тригонометрические функции

Радианное измерение углов

1

Таблица градусной и радианной меры часто встречающихся углов

Основные тригонометрические тождества

]

]

Вспомогательные тригонометрические тождества

Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций

Формулы приведения – это формулы, при помощи которых функции произвольного угла можно привести к функциям острого угла

Четность и нечетность тригонометрических функций: sin α, tg α , ctg α – нечетные, cos α - четная, т. е.

sin ( - α) = - sin α

tg ( -α)= - tg α

cos (-α) = + cos α

ctg (-α)= -ctg α

Формулы двойных и тройных углов (аргументов)

sin 2α = 2 sin α cos α

sin 3α = 3 sin α – 4sin³ α

Формулы половинного аргумента

Для tg (α/2) и с tg (α / 2) иногда удобнее пользоваться формулами:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

sin α cos β = ( 1 / 2) [ sin (α+β)+ sin (α-β)]

cos α cos β = (1 / 2) [ cos (α+β)+ cos (α-β)]

sin α sin β= (1 /2) [ cos (α-β)- cos (α+β)]

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента

Периодичность тригонометрических функций

Период функций sin x и cos x равен 2π, т.е.:

sin (x + 2πn) = sin x

cos (x + 2πn)= cos x, где n= 0, ±1,±2,..

Период функций tg x и ctg x равен π, т.е.:

tg (x+πn)= tg x

ctg (x+πn)= ctg x, где n=0, ±1,±2,…

1.4.10 Обратные тригонометрические функции

Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x, называют дугу (угол) у, взятую в отрезке , синус которой равен x .

y = arcsin x и sin y = x - равенства эквиваленты

y = arccos x и cos y = x – равенства эквиваленты

y = arctg x и tq y = x - равенства эквиваленты

y = arcctg x и ctg y = x – равенства эквиваленты

1.4.11 Значение тригонометрических функций некоторых углов

1.5 Геометрия

1.5.1Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных и не лежащих на одной прямой.

Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны

c-сторона;

H -высота;

S- площадь.

Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого две боковые стороны равны.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, является высотой и биссектрисой.

Прямоугольный треугольник

а,b-катеты;

с-гипотенуза;

α,β-острые углы;

с² =а² +b² ;

α+β=90˚;

S-площадь.

1.5.2 Решение прямоугольных треугольников

a,b - катеты c - гипотенуза, < α + < β = 90⁰ (острые углы)

a= c sin α; a = b tg α ; b = c cos α; b =a ctg α; b = a tg β

c = a/ sin α; c = b / sin β;

a² + b² = c² - теорема Пифагора

Основные теоремы и формулы о соотношениях между элементами треугольников

Сумма внутренних углов треугольника: A+B+C= π = 180⁰

Теорема синусов:

Теорема косинусов: a² = b² + c² – 2bc cos A

1.5.3 Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

a-сторона;

d-диагональ;

S-площадь.

S = a²

1.5.4 Ромб

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

с-сторона;

D-большая диагональ;

d- малая диагональ;

S-площадь.

1.5.5 Трапеция

Трапеция – четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

a,b-параллельные стороны, или основания;

h-высота;

S-площадь.

1.5.6 Правильный n-угольник

Правильный многоугольник – многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

с-сторона;

α-апофема

Апофема - перпендикуляр, проведенный

из центра многоугольника.

S-площадь.

Сторона α _n правильного вписанного многоугольника

r-радиус окружности.

1.5.7 Круг

С-длина окружности;

d-диаметр;

r-радиус;

S-площадь.

С=πd≈3,142d;

С=2πr≈6,283;

1.5.8 Круговое кольцо

D-большой диаметр;

d- малый диаметр;

R - большой радиус;

r - малый радиус;

S – площадь

δ = D - d.

1.5.9 Призма

h-высота;

p- периметр оснований;

V-объем;

S-площадь основания;

S_бок - боковая поверхность.

V= Sh;

S_бок =ph.

1.5.10 Пирамида правильная

α – апофема;

h-высота;

ρ-периметр оснований;

V-объем;

S-площадь оснований;

S_бок –боковая поверхность.

;

Усеченная пирамида

α – апофема;

h-высота;

p₁ , p₂ –периметры оснований;

V- объем;

S₁ , S₂ –площади нижнего и верхнего оснований;

S_бок –боковая поверхность.

1.5.11 Цилиндр

h-высота;

r- радиус основания;

d-диаметр основания;

V-объем;

S-площадь основания;

S_бок –боковая поверхность.

1.5.12 Конус

С-длина окружности основания;

d-диаметр;

r-радиус;

L-образующая конуса;

h-высота;

V-объем;

S-площадь основания;

S_бок –боковая поверхность.

Усеченный конус

h-высота усеченного конуса;

H-высота полного конуса;

r-радиус малого основания;

R-радиус большого основания;

d-диаметр малого основания;

D-диаметр большого основания;

L-образующая усеченного конуса;

V-объем;

S_бок –боковая поверхность.

1.5.13 Шар

D, R-диаметр и радиус шара;

r₁ , r₂ -радиусы оснований;

h - высота.

1.5.14 Элементы векторной алгебры

Линейные операции над векторами

Вектор - это отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

- длина вектора или модуль

Равенство векторов:

Сложение в кторов: (с - вектор, соединяющий конец первого и начало второго векторов)

Вычитание векторов

( c – вектор, соединяющий конец второго и конец первого векторов)

Умножение вектора на число

, вектор b удовлетворяет условиям :

Скалярное произведение двух векторов

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Скалярный квадрат вектора

Модуль вектора

Угол между векторами

Условие перпендикулярности векторов

Примечание: Все формулы, правила, определения и т.д. взяты из «Школьной шпаргалки», издательство АОЗТ «Бук- сервис», составитель О.М.Бекетова, 2004

1.6 Это интересно

1.6.1 Вот в чем соль

Формальное доказательство, предназначенное для проверки машиной, а не человеком, может иметь очень нестандартную форму, и с этим связаны поразительные результаты последних лет.

Традиционное математическое доказательство. Как и вывод в исчислении высказываний или в исчислении предикатов, подобно грузу, висящему на цепи. Каждое звено должно быть крепким: если одно звено рвется, то груз падает. Проверяя традиционное доказательство, математик или компьютер обязан убедиться в правильности каждого шага. А нельзя ли «проверить» доказательство, не читая его полностью? На первый взгляд идея кажется абсурдной. Но давайте рассмотрим следующую аналогию.

У нас имеется банка с сахарным песком (доказательство), но есть подозрение, что туда попала крупинка соли (ошибочное звено в доказательстве). Можно, конечно, перебрать все содержимое банки, пробуя каждую крупинку на вкус (традиционный метод проверки). Но можно поступить и иначе. Растворим все содержимое банки в воде и проведем химический анализ одной капли. Если он обнаружит соль, то « доказательство было ошибочно». Если же во взятой на пробу капле воды молекул соли не обнаружится, то еще нет гарантии, что крупинки соли вообще не было – вдруг в момент взятия капли все молекулы соли переместились в другую часть банки. Однако сравнение количества крупинок в банке с количеством молекул в крупинке показывает, что это крайне мало вероятно.

Для формализованных математических доказательств удалось придумать подобный «растворитель». А именно: произвольное традиционное доказательство ∆ можно преобразовать в нетрадиционное доказательство Н («с водой», и потому более длинное). Проверка всего доказательства Н гарантирует правильность теоремы. В то же время , если теорема не верна, то почти любая часть доказательства Н окажется неправильной («солоноватой»). Так, если наугад выбрать фрагмент Н, имеющий некоторую длину I , то ошибочность Н будет обнаружена по данному фрагменту с некоторой вероятностью p, зависящей от I , но не от длины Н. Пусть даже p не велико, скажем p = ½ . Если n раз повторить проверку, всегда выбирая новый фрагмент наугад, то вероятность не обнаружить ошибку ( если она на самом деле имеется) составит не более 2^{- n} . Уже при n = 100 эта вероятность, 2^-100 , гораздо меньше вероятности аппаратного сбоя компьютера и тем более много меньше вероятности ошибки, допущенной человеком.

Для подобных с некоторой вероятностью проверяемых доказательств было предложено несколько названий, одно из них – голографические. Подобно тому как даже маленький фрагмент голограммы содержит информацию обо всей «картинке» , небольшой « кусочек» ошибочного голографического доказательства почти наверняка сам содержит ошибку[6]

1.6.2 Геометрия римских землемеров

Для гадания по полету птиц римские жрецы мысленно разбивали небо на 4 части линиями север-юг, запад-восток. Затем параллельно главным линиям «проводили» второстепенные, так что все небо оказывалось поделенным на равные квадраты. Наблюдая за перемещением птиц из одного квадрата в другой, они по определенным правилам истолковывали волю Юпитера.

По тому же принципу римляне разбивали на части свои поля. На колониальных землях практичные и хозяйственные римляне вводили систему координат, очень похожую на современные прямоугольные (декартовы) координаты на плоскости. Отличие этой системы от декартовой состояло лишь в том, что римляне не знали отрицательных чисел. Они использовали выражения «слева от ДМ (с востока на запад)», «справа от ДМ», «вниз от КМ (с севера на юг)», «вверх от КМ». [6]

1.6.3 Единичная система счисления первобытных людей

Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах, пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и в наши дни. Как узнать, на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте, сколько полосок нашито на рукаве его мундира. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета. [6]

1.6.4 Как запомнить три первые цифры числа π

Т ри первые цифры числа π = 3, 14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаком существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

Нужно только постараться

И запомнить все как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

С. Бобров. «Волшебный двурог»

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа π: 3,1415926…

В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:

« Что я знаю о кругах?» (π ≈ 3,1416);

«Вот и знаю я число, именуемое Пи. – молодец!» ( π = 3, 1415927)

«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (π = 3,14159265359)

А так выглядит 101 знак числа π без округления:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679. [6]

1.6.5 Как появился значок корня

В Древней Индии неизвестное именовалось «мула», что означает «начало», «основание», «корень (дерева)». Арабы для этих целей использовали для этих целей слово «джизр» с тем же значением. Европейцы перевели его на латынь как radix – «корень». Так возник математический термин «радикал». С этим названием связан и привычный нам значок корня . Горизонтальную черту над выражением под радикалом ввел в 1637 году Рене Декарт. [6]

1.6.6 Легенда о шахматной доске

Шахматы – одна из самых древних игр. Первое напоминание о них в индии относится к VI веку. Говорят, что индусский царь Шерам был восхищен этой игрой и решил наградить ее изобретателя.

Мудрец, его звали Сета, удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что твоя просьба недостойна моей щедрости . Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель , ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

Каково же было удивление царя, когда придворные математики доложили ему, что он не может выполнить желание мудреца:

- не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желать непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

- Назови мне это чудовищное число, - сказал он в раздумье.

- Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать!

(18 446 744 073 709 551 615 зерен) [6]

1.6.7 Обозначение чисел римскими цифрами

1.6.8 О чем могут рассказать числительные

По-видимому, число 4 когда-то играло особую роль. Специалисты полагают, что в глубокой древности оно служило своеобразным рубежом, отделяющим числа, у которых уже имелись собственные названия (один, два, три, четыре), от безликого и безымянного множества чисел, скрывавшихся под понятием «много». Вероятно, у наших далеких предков «много» обозначало любое количество больше четырех. Посмотрите, какие окончания у существительных в сочетании с древнейшими числительными: две коровы, три коровы, четыре коровы. Но, уже начиная с пяти и далее, существительные меняют окончания: пять коров, шесть коров.

Особняком в ряду числительных стоят и «сорок». Оно явно не похоже на слова, обозначающие названия десятков: «двадцать», « тридцать», «пятьдесят». По всей видимости, слово «сорок» дошло до нас как память о бытовавшей в старину системе счисления с основанием сорок. Теперь о ней напоминает лишь русское устаревшее числительное « сорок сороков»: срок сороков церквей, сорок сороков всяких небылиц. [6]

1.6.9 Первые учебники

Папирус Райнда, названный так по имени своего первого владельца. Он был найден в 1858 году., расшифрован и издан в 1870 году. Рукопись представляет собой узкую (33 см) и длинную ( 5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Этот папирус переписал писец Ахмес около 1650 года до н.э., автор оригинала неизвестен, установлено, что текст создавался во второй половине XIX века.до н.э.

Московский папирус – его в декабре 1888 года приобрел в Луксоре русский египтолог В.С.Голенищев. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. Он был переписан неким учеником между 1800 и 1600 гг. до н.э.

«Кожаный свиток египетской математики», с большим трудом распрямленный в 1927 году и во многом проливший свет на арифметические знания египтян, датируется XIX - XVIII вв. до н.э. [6]

1.6.10 Реформы календаря

« День и ночь – сутки прочь», «Зима и лето - года нету»… С незапамятных времен люди подметили, что важнейшие отрезки времени – год и сутки – определяются различными природными процессами. Однако в том, что год не измеряется целым числом суток, они разобрались далеко не сразу. Но ведь если измерять год целым количеством суток, то постепенно набегут ( или убегут) «лишние» секунды, минуты, часы, которые со временем составят дни, недели, месяцы. Так оно и произошло.

В 46 г. н.э. Юлий Цезарь поставил перед учеными задачу избавиться от ошибок в календаре. По предложению александрийского астронома Созигена он ввел такую систему: каждый четвертый год должен быть на одни сутки больше, чем обычный год, состоящий из 365 суток. (Впоследствии длинными, или високосными, стали считать годы, номер которых делится на 4) В честь Юлия Цезаря этот календарь стали называть юлианским. Но и он был не безупречен – средняя длина юлианского года больше истинной на 11 минут 14 секунд.

Следующую реформу календаря в Европе предпринял Папа Римский Григорий XIII в 1582 году, когда расхождение между истинным и юлианским годом составило 10 дней. Он осуществил проект, предложенный итальянским врачом и математиком Луиджи Лилио. Этот календарь, которым пользуются сейчас и в России, стали называть григорианским.

В григорианском календаре сохраняется чередование простых и високосных лет, но оно дополняется правилом: если номер года оканчивается двумя нулями, а число сотен не делится на 4 , то этот год – простой ( годы 1700 , 1800, 1900 – простые, а 2000 – високосный). По григорианскому календарю средняя длина года составляет 365 суток 5 часов 49 минут 12 секунд, что на 26 секунд больше истинной. Такая точность вполне приемлема, ведь ошибка в 1 сутки при данной системе набежит примерно за 3300 лет. [6]

1.6.11 Сколькими способами можно подняться по лестнице

Вспомните, как вы поднимаетесь по лестнице: то наступая на каждую ступеньку, то перескакивая через одну. Сколькими же способами можно взобраться по лестнице? Для лестницы в одну ступеньку и способ единственный, для двухступенчатой их два: либо становиться на каждую ступеньку, либо сразу шагнуть на последнюю.

Ну а сколько «путей» ведут на n - ую ступеньку? Обозначим их число через b_n . Очевидно, что попасть на n - ую ступеньку можно, либо сделав шаг с (n – 1 - й, либо шагнув через ступеньку с ( n – 2) – й. Количество способов подняться на (n- 1) - ю ступеньку есть, по определению b_{n -1} , на (n – 2) - ю - b_{n -2} . Значит b_{n =} b_{n -1} + b_{n -2.} . теперь ясно: число b_n = (n+1) - му члену последовательности Фибоначчи! [6]

1.6.12Тригонометрия в ладони

Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони.

Если развести пальцы как можно сильнее и измерить углы между ними (взять два прямоугольных треугольника с углами 30˚ и 45˚ и приложить вершину нужного угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца большого пальца. Одну сторону угла совмещаю с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев и провести дальнейшее объяснение).

Приложить угол в 30˚; оказывается, это угол между мизинцем и безымянны пальцем; между мизинцем и средним пальцем - 45˚, между мизинцем и указательным пальцем - 60˚, между мизинцем и большим пальцем - 90˚. И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то, если совместить (сжать) пальцы с мизинцем, то угол между лучами будет равен 0˚, то есть можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, то есть 0˚.(Газета «Математика» , №6 за 2004)

1.6.12 Число "чертова дюжина"- 13.

Цифра, которой приписываются множество вредных и (что значительно реже) полезных магических свойств. Некоторые "совпадения" с этим числом настолько поразительны, что здравый смысл отказывается считать их случайностями. В самом деле, случайно ли это? Орел на гербе США имел в каждом крыле по 13 перьев. Американский Союз первоначально образовали как раз 13 штатов, которые приняли девиз, состоявший о именно из 13 букв ("E pluribus Unum" - "Из многих Единое"), а когда Джордж Вашингтон торжественно поднимал флаг США, прозвучал торжественный салют... ровно из 13 залпов!
Почему так происходит в истории и на чем основана эта странная логика чисел, люди не могли понять ни тогда, ни сейчас,- но так ли это важно, если закономерность находит регулярное подтверждение в опыте? Может быть, поэтому символом и тайным образом числа 13 является изображение женского скелета, который, широко оскалив зубы, быстро движется, держа в костлявых руках косу и срезая ею на ходу траву, среди которой видны изрубленные части человеческих тел?! И в то же время странно: стоит скелету пройти немного вперед, как тут же показываются конечности вырастающих из земли людей...!!!(http: // Wikipedia.org)

1.6.14 Число 666

Давайте, уважаемые читатели, ещё раз вдумаемся хотя бы в три гематрические формулы:

/888; 8,8,8/ = 666 (1) т.е. /Восемьсот восемьдесят восемь; Восемь, Восемь, Восемь/ = 666

/888; 333/ = 666 (2) т.е. /Восемьсот восемьдесят восемь; Триста тридцать три/ = 666

/666; 33; 999/ = 999 (3) т.е. /Шестьсот шестьдесят шесть; Тридцать три; Девятьсот девяносто девять/ = 999

Такое удивительно точное «сведение» написания русским Алфавитом особых числительных (666, 999, 888, 333, 33, 8) к двум уникальным числам 666 и 999 – эти числа можно смело назвать своеобразными «печатями» - возможно лишь при полной искусственной согласованности Алфавита и грамматики Русского Языка (в виде числительных )!

Но и это ещё не всё . Давайте – для наглядности произведём ещё и арифметическое сложение чисел внутри формул.

(1) 888+8+8+8 = 912 . Полученное число необычно своей «мерой», своей «наполненностью» (напомню, что /Мера/ = 39 = /Кровь/, а кровь наполняет тело и обеспечивает жизнь), считаем:

/Мера числа девятьсот двенадцать / = 369 – получили особое число!... (369 = /369/).

(2) 888+333 = 1221 . Именно это число получилось при гематрическом исследовании имён всех 12-ти Апостолов (см. Дополнение 2). И ещё у него есть необычная Тайна, - считаем:

/Тайна числа тысяча двести двадцать один / = 441 = /666 /!

Для словесного написания чисел 888 и 333 использовано 43 буквы, а /Смысл числа сорок три / = 291 = /9,9,9 / - видим три девятки ...

(3) 666+33+999 = 1698 . Полученное число имеет сокровенный смысл, считаем:

/Смысл числа тысяча шестьсот девяносто восемь / = 666 !

Для написания трёх чисел 666, 33 и 999 потребовалось 58 букв, а /Пятьдесят восемь / = 271 – видим число «е ».

Вне всякого сомнения, полученные результаты не случайны, а являются итогом строгой выверенности и Алфавита, и написания ключевых Числительных!!

Более того, каждая из приведённых формул несёт особую «нагрузку» и служит для описания глобальных явлений нашего Бытия. Об этом мы поговорим чуть позже...

2). Сразу от двух читателей поступил вопрос – «число зверя » это 666 или 441?

Ещё раз поясняю, что библейское Откровение указало нам, что «число зверя » должно быть сочтено из числа «666». И мы сочли его как число «441»!

Само по себе число 441 не говорит ни о чём, но как только в Откровении 21:17 мы находим, что есть такое число «144», которое даже имеет персональное название «мера Ангела », становится ясно, что 441 - не простое число!

И гематрия этих чисел – совершенно не случайно – оказалась необычна. Ещё раз смотрим их последовательную трансформацию: /666/ = 441; /441/ = 271 – число е = 2,71; /271/ = 261 – зеркало от Фи = 1,62. И /144/ = 240, а /240/ = 144 – или иначе можно записать кратко так: 144  240.

Отсюда легко сделать вывод о том, что в числе «666» имеется особый КОД, который назван «числом зверя », сочтённого нами как 441, и здесь же указание на некое число, которое названо буквально «это число человеческое » (см. Откр . 13:18). Не трудно сообразить (для «имеющих ум »), что здесь речь о числе 144 (см. 21:17 – где оно указывается, как и «мера человеческая ». Замечу, что /Мера человеческая/ = 204 – калька слова БОГ).

Осталось проверить наши рассуждения гематрией, считаем:

/КОД: Четыреста сорок один – «число зверя »; Сто сорок четыре – «это число человеческое »/ = 999 – феноменальный результат!...

Это ещё не всё. Ведь автор утверждал, что эти два числа описывают особую Тайну Жизни . (См. рисунок на стр. 2 в заметках «Ещё раз про число 666 »). Повторять его (рисунок) здесь автору кажется не целесообразным, а вот проверить гематрией это утверждение необходимо, считаем:

/Тайна Жизни: Четыреста сорок один – «число зверя », Сто сорок четыре – «число человеческое »/ = 999 – фантастический результат! И даже то, что во фразе использовано 69 букв – явно не случайно, ведь число 69 в эзотерике считается особым, но об этом чуть ниже. А пока:

/Код числа шестьдесят девять / = 382 = /999 /...

3). Буква-символ-знак «е » имеет такое необычное начертание, что как бы «прячет» в себе две цифры «6» и «9».

Но чтобы выявить это, необходимо поработать с зеркалом. (Не зря исследователи картин Леонардо да Винчи – для выявления многочисленный тайн, оставленных великим Мастером – применяют именно зеркала!).

Приложим зеркало слева от «е» и мы увидим в нём цифру «9»; если же приложить зеркало снизу к «е» - то цифру «6»!

(Напомню, что через число е = 2,718 математики описывают спирали, а начертания цифр «6» и «9» - представляют собой спирали).

Совместное написание «69 » образует рисунок, который называется философский символ «Инь – Ян » (означающий трансформацию одного качества в его полную противоположность). При этом и буква «е» стоит в Алфавите на 6-ом месте, т.е. е/6 , и – главное - /Инь – Ян / = 101 = /Шесть /!

Даже известное нам число Христа «33 » имеет гематрическое указание на «69». Смотрим:

/3,3 / = 96 – зеркало от 69. (Да и разность 96-69 = 27 = 3³ ).

если сюда добавить и то, что буква «З », имеющая вид тройки , размещена в Алфавите на 9-ом месте, - то всё это вместе указывает на особую выделенность чисел 3-6-9, что мы и обнаруживаем в числе 369 = /369 /...

(И даже буква «В », стоящая на 3 -ем месте, имеет скрытое написание. Ведь она состоит из «1» и «3 », написанных без пробела! Получается, что в ней «спрятано» число 13? Проверим? /«В » - тринадцать / = 147 – мировая константа! (А то, что /13/ = 144 - мы уже знаем/ [4]

1.7 Этимологический словарь

Абак. (лат. abacus, от греч. Äβαξ, - счетная доска) - счетная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции, Риме, затем в Западной Европе до 18 века. Доска разделялась на полосы, счет осуществлялся передвижением находящихся в полосах счетных марок (костяшек, камней и т.д.). В странах Дальнего Востока распространен Китайский аналог абак – суан – пан, в России – счеты. [4]

Аксиома. Впервые встречается у Аристотеля (384-322 д.н.э.) и перешел в математику от философов древней Греции. Греческое amoixa означает «достоинство», «уважение», «авторитет». Первоначально термин имел смысл «самоочевидная истина. [1]

Алгебра. Впервые встречается в 825 г. у арабского ученого Ал-Хорезми. Слово “алджабр” при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части в другую и его буквальный смысл “восполнение”.[1]

Алгоритм , алгорифм, - точное предписание, которое задает вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного алгоритма исходных данных). [1]

Конец формыАнализ. Историки древней Греции приписывали создание метода анализа Платону. В “началах” Евклида уже встречается слово “анализ”, но возможно, что оно заимствованно у Евдокса. В новую математику термин настойчиво вводил Виет в 1591 г. Греческое означает “решение”, “разрешение”. Первоначально анализ представлял собой переход от данной единицы к низшей. [1]

Аппликата. (от лат. applikata, букв. – приложенная) – одна из декартовых координат точки в пространстве, обычно третья, обозначаемая буквой z. [4]

Арабские цифры – традиционное название десяти математических знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9, с помощью которых в десятичной системе счисления записываются любые числа. Эти цифры возникли в Индии (не позднее 5 века), в Европе стали известны в 10 – 13 веке по арабским сочинениям (отсюда название). [1]

Аргумент. От латинского слова argument-“знак”, “признак”, “довод”. Самое раннее появление в печати выражение “аргумент функции” относится к 1862г.[1] Арифметика. Название науки происходит от греческого zomuira– “число”. В русский язык слово вошло в 16 веке. В 1932 году Гедель доказал невозможность построения арифметики натуральных чисел на базе какой-нибудь системы аксиом. [1]

Асимптота. Состоит из отрицания a и прилагательного zotwtpmus– “совпадающий”, “сливающийся”. Слово отсутствовало у Архимеда, который чертил асимптоты гиперболы, однако приписывают Аполлонию Пергскому (3 в. до н.э.). [1]

Ассоциативность. Произведен от латинского associcere - “ассоциировать”, “сочетать”, он введен Гамильтоном в 1843г. [1]

Биссектриса. Термин состоит из латинских «bis»- дважды и «seco»- секу. Делит угол пополам. [1]

Вектор. Ввел Гамильтон, он его образовал от латинского слова vehere –“нести” (1845). Впрочем, независимо от него выражение rayon mobile, rayon vecteure употребляли Коши (1821), и Гаусс (1809) у которых эти слова имели смысл “подвижный радиус”. Старейшее обозначение ā ввел Арган (1806), обозначал таким образом направляющий отрезок. Мебиус обозначал вектор через ĀĒ, чтобы указать его начало и конец. Грассман называл векторы “отрезками”, он ввел единичные векторы e1, e2, e3, направленные по координатным осям, и представление вектора в виде xe1+xe2+xe3, общепринятые ijk, ввел Гамильтон (1853). Обозначение |ĀĒ| для длины вектора ввел Ганс (1905). [4]

Вычитаемое. Появилось впервые в “Математическом лексиконе” Вольфа (1716). [4] Геометрия. От греческого слова– “землемерие”: “Земля” и “измерять”. Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Аристотель ввел для измерения земли другое название “геодезия”.[4]

Гипербола. Греческое слово “избыток”, “преувеличение”. [1]

Гипотенуза. Термин образован от греческого слова “натягивать”; буквальное значение слова “натянутая”, происходит от способа построения прямоугольного египетского треугольника, с помощью натягивания веревки. [4]

Гомотетия. Термин образован от греческого слова “равный”, “одинаковый” и “установленный”, “расположенный”. [1]

Градус. Латинское слово gradus- “шаг”, “ступень”. Как заметили вавилонские жрецы, солнечный диск укладывается по дневному пути Солнца 180 раз, т.е. “Солнце делает 180 шагов”. Тогда путь за сутки равен 360 частей. Обозначение, напоминающее современное использовались Птолемеем (100-178г.), который употреблял шестидесятеричную систему исчисления. Он называл градусы - «частями”- (сокращенно °), и обозначал минуты штрихами, а секунды двумя штрихами. Средневековые рукописи и ранние печатные книги содержат сокращение латинских слов gradus, minutea, secudea. Вместо Птолемеевских ° ', ", чаще всего Gr, Min, Sec или grad, m, s, современные знаки ввел медик и математик Пелетье (1558), у которого °, ', ", означали степени дроби 1/60. эти обозначения 1600г. стали общепринятыми. [4]

Деление. Современный способ описан впервые в итальянской рукописи неизвестного автора (1460). Появился впервые у Герберта (10в.), употреблявшийся ранее термин divisio означал раздробление числа на части. Из современных знаков деления старейший- горизонтальная черта; она встречается у Леонарда Пизанского. Двоеточие введено в “арифметике” Джонса (1633). С 1684г.: как знак деления употребляет Лейбниц. В течение длительного времени операцию деления обозначали буквой D (от division), впервые символ D для деления появился в книге Штифеля “Deutche Arithmetika” (Немецкая Арифметика”, 1545г.). Швейцарец Ран в 1659г. ввел знак ÷, который был широко распространен в Англии и приписывался Пеллю. Только в 1823г. прекратили применять ÷. [1]

Делимое. Термин появился у Герберта (10в.). [4]

Диагональ. cоставлен из греческих слов– «через” и “угол”. Буквальное значение слова - “проходящая через угол”. Термин встречается к Евклида, он отсутствует у Архимеда, Аполлония. [1]

Диаметр. Греческое слово diametroz означает «поперечник». У древнегреческих математиков слово употреблялось и в значении «диагональ», тот факт, что диаметр делит круг или окружность на две равные части, был открыт Фалесом Милетским. [4]

Дискриминант. Термин образован от латинского слова discriminare - “разбирать”, “различать”. Понятие дискриминант квадратичной формы, установлено в работах Гаусса, Дедекинда, Кронеккера, Вебера и др. Термин ввел Сильвестр. [4]

Дробь. На всех языках дробь называется “ломанным” числом. Латинское слово fractura- произведено от frango- “разбивать”, “ломать”. Этот термин ведет свое начало от арабов и через Леонардо Пизанского (1202) вошел в европейскую математику. Названия числитель и знаменатель имеются у Максила Плакуда (13 в.). [4]

е. е начало латинского слова exponere - показывать. Обозначение е введено Эйлером в печати в 1736г., а в письмах и рукописях раньше (1728г.). американский математик Б. Пирс предлагал обозначить символом, а символом, чтобы подчеркнуть тесную связь, существующую между этими числами (1859).в 17 веке существовали особые знаки для основания натуральных логарифмов, первый из них введен Лейбницем, буква в - от слова base-“основание” с 1690г. Эрмиту принадлежит первое доказательство трансцендентности числа е (1873г.). [4]

Знаменатель - это число, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Т. впервые встречается у византийского ученого Максима Плануда (конец 13 века). [4]

Икосаэдр. Термин образован от греческих слов “двадцать” и “основание”. Буквальное значение “двадцатигранник”. Полагают, что название дано Тиэтом, который открыл его. Термин есть у Евклида, у Герона. [1]

Интеграл. Это слово впервые употребил Бернулли в 1690г. Возможно термин образован от латинского integer-“целый”, по другому предположению Бернулли произвел термин от латинского integro-“приводить в прежнее состояние”, “восстанавливать”. Термин был принят в 1696 году. Тогда же Бернулли предложил название “интегральное исчисление” (calculus integralis), сам Лейбниц называл его calculus summatorius (суммарное, суммирующее исчисление). Впервой половине 17 века в операцию интегрирования записывали словами “совокупность всех невидимых”, а затем-“все линии” (omnes lineas). В механике Валлиса впервые встречаются сокращения вроде omn w, где w- означает неделимую. Ради сокращения записи Лейбниц в 1675 году вместо omn вводит начальную букву слова summa, которая по начертанию того времени писалась как наш знак интеграла. Первоначально Лейбниц писал ∫y, но уже через месяц он стал писать ∫ydx- это уже не сумма неделимых, а сумма площадей бесконечно малых прямоугольников. В печати современное обозначение появилось в 1686 году. В это же время Бернулли обозначал операцию интегрирования буквой I по первой букве введенного им названия “интегральное исчисление”. Впоследствии, этот символ сохранился для обозначения конкретных интегралов I1 I2 и т.д. Ньютон рассматривал интегрирование как задачу, потому у него не было ни названия для интеграла, ни последовательного обозначения, за исключением нескольких случаев, где он писал f(t) или f(t). В 1704 году он ввел обозначение x’(t). Симпсон до половины 18 века вместо знака интеграла писал F (от слова “флюента”). [1]

Интервал. Термин происходит от латинского слова intervallum- “промежуток”, “расстояние”. Современное обозначение появилось впервые в 1909 году у немецкого ученого Ковалевского в виде : (a,b) и <a,b>, а также <a,b) и (a,b>. Затем Хал несколько изменил их в 1921 году, заменив скобки < > на [ ]. [1] Иррациональность. Первоначально открытие иррациональных чисел связано с открытием несоизмеримости диагонали квадрата, с его стороной. Одни приписывают данное открытие Пифагору, другие некоторым другим пифагорейцам 5 в.д.н.э. “Современное” доказательство иррациональности √2 есть уже у Аристотеля. Доказательство иррациональности √3, √5 …√17 принадлежит Теодору из Нирены. Общее учение об иррациональности создал Теэтет (ученик Теодора). Возможно, и терминология в теории иррациональности введена Теодором. Целое рациональное число называлось ; отношение отрезков, т.е. любое действительное число. Греческое слово “не имеющее отношение”, таким образом “относилось не к иррациональному числу, а тем величинам, отношение которых выражалось иррациональным числом”. Современный термин появился как буквальный перевод греческого и образован из латинского in (ir)- отрицание и ratio-“отношение”. Термин ввел Штифель. До этого иррациональные числа называли “глухими”, “безгласными”- “surdi. [1]

Катет. Греческое слово означает “опущенный перпендикуляр”, “отвес”. В середине века словом “катет” называли высоту прямоугольного треугольника, в то время как его стороны – “гипотенузой” и “основанием”. [1]

Квадрат. Термин quadratus означает “четырехугольный” и получился как буквальный перевод соответствующего греческого названия. [1] Коллиниарность. Термин образован от латинского слова co- “с”, “вместе”, и lianeris- “линейный” и буквально переводится как “солинейный”. Гамильтон в своем векторном исчислении (около 1843 года) ввел название termino- collinear для векторов, которые имеют общее начало и концы которых лежат на одной прямой. Это понятие упростил Гиббс, благодаря которому термин “коллинеарность” вошел в векторную алгебру. [1]

Константа. Латинское слово constans означает “постоянный”, “неизменный”. [4] Конус. Греческое слово означает “кегля”, “сосновая шишка”, “верхушка шлема”, “остроконечный предмет”. Термин получил современный смысл у Евклида, Аристарха, Архимеда. По свидетельству Архимеда, Демокрит открыл, что объем конуса или пирамиды составляет треть объема цилиндра или призмы с теми же основанием и высотой. Первое доказательство этого дал Евдокс. [1]

Координаты. Термин появился независимо в географии, астрономии, математике в различных формах уже в науке Вавилона и Греции. Наши термины “абцисса”, “ордината”, “аппликата” обязаны своим происхождением греческой терминологии в учении о конических сечениях. Традиции обозначать неизвестные величины последними буквами алфавита x, y, z,…, а известные первыми a, b, c,.. пошла от Декарта (1637 год). Координаты у Декарта были только положительными числами. Обозначения x, y, z, не были приняты сразу. Однако после систематического употребления этих обозначений, этих букв Лагиром (x, y, v, 1679 год), Пароком (x, y, z, 1705 год), Эйлером (t, x, y,1728 год) и Бернулли (x, y, z, 1715 год) декартова символика прочно вошла в геометрию. Обозначение координат через x1x2x3 ввел Гессе в 1844 году. [1]

Корень. В латинском языке “сторона”, “бок”, “корень” выражаются одним и тем же словом radix. Следуя традиции древнегреческих математиков, которые вместо “извлечь корень” говорили “найти сторону по данной площади квадрата”, раньше корень квадратный называли “стороной”. От слова radix произошли термины “радикал”, и “корень”, которые вошли в математику благодаря Иоганну из Севильи (1140 год), Роберту Честерскому (1145 год) и Герарду из Кремоны (1150 год) переводившим “начала” Евклида с арабского на латынь. Знак корня ввел автор первого учебника по алгебре на немецком языке, учитель математики в Вене Рудольф (1525 год). Он обозначал корень квадратный через √. Затем в 1637 году Декарт объеденил знак корня с горизонтальной чертой – знаком скобки и получился современный знак √ . Он вошел в употребление лишь с начала 16 века; до этого использовались различные символы. [1]

Косинус. Термин представляет собой сокращение выражения comlemendi sinus, т.е. “дополнительный синус”. Этот термин ввел изобретатель счетной машины Гентер в 1620 году. Как правило, употреблялись сокращения sico, или Sine co наряду s* многими другими. Употребляемые нами обозначения впервые применил И. Бернулли в 1739 году. Косинусоиду для первого квадранта впервые построил Барроу в 1674 году. [1]

Котангенс. Термин принадлежит Гентеру 1620 год. Котангенсы появились раньше тангенсов. В арабской математике их изобрел ал-Батани (9 век), в европейской –Брадвари, который назвал котангенс umrarecta- “прямая тень”. График котангенса для первой четверти построил Грегори в 1668 году и Барроу в 1674 году. Для двух периодов график построил Каутс. [1]

Коэффициент. Термин составлен из латинского слова co (con, cum)- “с”, “вместе” и effeciens- “производящий”, “составляющий причину чего либо”, буквальное значение – “содействующий”. Возник из выражения Виета “longitudo coefficiens”- “содействующая длина” (1591). Под этим подразумевался множитель в члене уравнения, придающий ему нужное для однородности число измерений. Первое употребление буквенных коэффициентов независимо от того, положительны они или отрицательны содержит статья Гудде (1655-1661 годы). [4]

Куб . Термин происходит от греческого слова “игральная кость”, так как она имела форму кубика, то название перешло на любое тело той же формы. Название введено пифагорейцами, затем термин встречается у Евклида. [4]

Лемма. Термин происходит от греческого слова “допущение”, “предыдущее положение”. У Архимеда, Прокла термин имеет уже смысл “вспомогательная теорема”.[4]

Линейность. Термин связан с тем обстоятельством, что характерными свойствами обладает прямая линия y=kx. Термин “линейные функции” ввел Дюбуа Раймон в 1882 году. [4]

Линия. Латинское слово linea, а в конечном счете от латинского слова linum- “лен”, “льняная нить”.[4]

Логарифм. Название введено Непером, происходит от греческого и означает буквально “числа отношений”. Логарифмы были изобретены Непером. Непер изобрел логарифмы не позднее 1594 года. Логарифмы с основанием e ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln. Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найти у Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год). [4]

Максимум. Термин представляет собой латинское слово maximum - “наибольшее”. Отдельные задачи на нахождение экстремума были решены древнегреческими математиками. То обстоятельство, что вблизи экстремума изменение функции “незаметно”, было отмечено Кеплером в 1615 году. Первый общий алгоритм решения таких задач разработал Ферма (около 1629 года). Он умел различать максимум и минимум по знаку ²y. [1]

Математика. Это слово греческого происхождения: “наука”, “учение”, в свою очередь происходит от глагола “первоначальное значение”, которою “учусь через размышление”. Термин таким образом отбрасывал учение путем опыта. Пифагорейцы знали четыре отрасли науки: учение о числах (арифметика), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерении (геометрия), астрономию или астрологию. [4]

Медиана. Термин образован от латинского слова medius- “средний”.[4]

Миллион. Слово было введено впервые в Италии в 14 веке для обозначения большой тысячи т.е. 1000². Латинское mille- “тысяча”. Первоначально оно явилось названием конкретной меры 10- бочонков с золотом. Французский математик Шюке в 1484 году ввел слова “биллион”, “триллион”, “квадриллион”, “секстиллион”, “нонниллион” для обозначения степеней 1000000², 1000000³, …, 1000000 . Примерно с середины 17 века во Франции числа стали разделять на периоды по три в каждом. [4]

Минимум. Латинское слово minimum- означает наименьшее. [4]

Минус. Термин образован от латинского minus- “меньше”. Первое употребление слова минус найдено в итальянской математике 14 века. Шюке писал m для “ - ”. известно, что уже в 1481 году употребляли символ “ - ”существуют предположения: знак возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой-, а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак “ + ”.[4]

Минута. Термин имеет латинское происхождение. Римляне говорили minuta prima- “первая доля”, minuta secunda- “вторая доля”, minuta tertia- “третья доля”. Для сокращения первую долю стали называть “минута” (доля), вторую- “секунда”, третью– “терция”.[4]

Множество. Родоначальником теории множеств считают Больцано. К понятию числовых множеств и множеств функций подводят некоторые работы Римана, Дюбуа, Раймона, Дедекинда. Кантор употреблял вначале термин Inbegrift- “совокупность”, затем Mannigfaltigkeit- “многообразие”, и наконец, Menge- “множество”, в настоящее время сохранилось его обозначение множества M={m}, которое он ввел в 1895 году. Символика теории множеств заимствована в большей степени из математической логики. Шредер в 1890 году ввел знаки и  для понятий “содержится” и “включает”, а также знак, похожий на современный - “принадлежит”. Пеано ввел знаки и дуги полуокружностей, из которых в дальнейшем получились знаки пересечения и объединения и. русская терминология принадлежит Млодзиевскому, который впервые стал читать лекции по теории множеств в московском университете. [4]

Модуль. Термин образован от латинского слова modulus-“мера”. Этот термин впервые для вектора встречается у Аргана (1814 год). Выражение “модуль перехода” (при логарифмировании) ввел Коутс в 1703 году. [4]

Монотонность. Термин составлен из “натяжение”, “ток”. Буквальное значение “однотонность”. Термин ввел Нейман в 1881 году. [4]

Начало координат. Термин и обозначение для точки О– по первой букве слова origin (или латинского origo)- ввел Лагир в 1679 году. До этого если его вообще как-нибудь именовали чаще всего “началом абсцисс” (initium abscissa rum). [4]

Непрерывность . Термин “непрерывность”, “непрерывный” и “разрывный” ввел Коши. Эти слова употреблялись и до него, но в них вкладывалось и другие значение. Современное определение непрерывности функции в точке сформулировано Больцано В 1817 году, и Коши в 1821 году. [4]

Неравенство. После введения знака равенства английский ученый Гарриот ввел в 1631 году, употребляемые нами знаки неравенства. Он обосновал свое нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки фигурирующие в соотношении, не параллельны, а пересекаются. Пересечение может быть справа (>) или слева (<). В типографиях использовали для неравенств уже имевшуюся букву V, тогда как наборного знака у них не было. Знаки  или  были употреблены Буге и быстро вошли в обиход. [4]

Номер. Термин образован от французского number- “число”, которое в свою очередь произведено от латинского слова number. [4]

Нуль. Нуль систематически употреблялся только в двух системах: в десятичной и системе счисления майя. Некоторые ученые предполагают, что нуль заимствован у греков. Птолемей писал при отсутствии числа букву  (“омикрон”) от слова “ничего”. Возможно, от этого знака происходит шестидесятеричный нуль. Другие полагают, что нуль пришел из Индии. Действительно одним из достижений индийской математики является десятичный нуль. Древнейшая запись с нулем в Индии относится к 876 году, а в Камбодже и Индонезии обнаружены записи 7 века (нуль изображался в виде точки и маленького кружка). [4]

Однородность. Латинское слово homogeneus- “однородный” встречается уже у Виета в 1646 году. [4]

Октаэдр. Термин состоит из греческих слов “восемь” и “основание”. Буквальное значение “восьмигранник”. Название дано Теэтетом, который впервые построил восьмигранник. Затем термин встречается у Евклида и Герона. [4]

Ордината. Апполоний называл параллельные хорды “по порядку проведенными линиями”. Латинский перевод этого выражения- ordinatum apllicatae- “по порядку приложенная”. В “геометрии” Декарта употребляются совершенно аналогичное appliqueespar ordu. Отсюда и произошли термины “ордината и аппликата”, когда позднее наряду с этим выражением стали употреблять его элементы в виде ordinatoe и applicatoe. Они обозначают соответственно – “расположенный в порядке” и “присоединенная”, “приложенная”. Как одна из координат точнее слово “ордината” употреблено Лейбницем в1694 году. [4]

Ось абсцисс. Linea abscissa rum было введено Барроу, учителем Ньютона в 1670 году. [4]

Ось ординат. Термин появился во второй половине 18 века, постепенно входит в обычай указывать на плоскости обе оси. Формально ось ординат была введена Крамером. [4]

Параллельность. Греческое означает рядом идущая, друг подле друга проведенная. Стало употребляться 2500 лет назад в школе Пифагора. Евклид впервые употребил этот термин применительно к плоскостям. [4]

Параллелограмм. Евклид называл параллелограмм “параллельно-линейной площадью”. Слово “линия” это слово дало основу для термина “параллелограмм”. В дальнейшем Евклид пользовался как существительным. [4]

Параллелепипед. Термин образован от греческих и “плоскость”, “поверхность”. Слово встречалось у Архимеда и Герона. [4]

Периметр. Слово образовано из греческих “около” и “измерять”. Встречается у Архимеда, и Герона, Паппо. [4]

Период . Слово составлено из “около”, “вокруг” и.“дорога”, “путь”. Означает “путь вокруг”, “обход”.[4]

Перпендикуляр Термин образован в средние века от латинского perpendiculum- “отвес”, которое в свою очередь произведено от perpendre- “взвешивать”.[4]

Пи. Обозначение π встречается впервые у английского математика Джонса (1706). Но навсегда в математику это обозначение ввел Эйлер (1736). [4]

Пирамида Греческое происходит в свою очередь от египетского per me ous – “боковое ребро сооружения”. Впервые ввел понятие Евклид. Формулу объема Архимед приписывал Демокриту. [4]

Планиметрия. Термин образован в средние века по образу древнегреческого стереометрия, поэтому в нем соединены латинское planum и греческое. [4]

Плоскость. Лейбниц предложил определить плоскость как геометрическое место точек равностоящих от двух данных точек. Уравнение плоскости впервые встречается у Клеро (1731), затем у петербургского математика Германа (1732, 1733), и, наконец, у Эйлера (1748). [4]

Плюс. Термин произошел от слова plus- больше. Первое употребление слова plus как обозначения действия сложения найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре 14 века. Сначала действие обозначали первой буквой слова p. Современные + и - появились в Германии в последнее десятилетие 15 века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (“Behende und ubsche Rechenung auf allen Kaufmannschaft”, 1498). [4]

Подобие. Первое появление современного знака для подобия относится к (1710). Значок был напечатан в анонимной статье принадлежащей, как выяснилось Лейбницу. Он пользовался этим символом начиная с 1679. [4]

Показатель. Слово Exponent, которое ввел для показателя степени Штифель (1553) означает показатель истец. Показатели степени в настоящем виде (только положительные) ввел Декарт (1637). Вычисления с отрицательными и дробными показателями встречались у бакалавра медицины и математики Шюке (1484) и Стевина (1585). [4]

Призма . Термин произошел от греческого “отпиленный кусок”, “отпиленная часть” . Слово встречается у Архимеда и Евклида. [4]

Прогрессия. Задачи на прогрессии находят в древнейших математических записях- в папирусе Ринда, в вавилонских астраномических таблицах. Происходит от латинского слова progredior- “иду вперед”; progressio- “движение вперед”, “успех”, “постепенное усиление”. Знак а_n ввел Отред (1631). Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии введена Торричелли. [1]

Проекция. Термин происходит от латинского слова projectio-“бросание вперед”, которое в свою очередь образовано от глагола projiciere- “выбрасывать”, “бросать”. Первая ортогональная проекция встречается у Дюрера. [1]

Произведение векторов. Векторное и скалярное произведение векторов ввел Гамильтон, он же дал эти естественные названия (1853). Обозначение a b и a b были введены Гиббсом (1881). Обозначение (a,b) ввел Хенричи (1903). Обозначение [a,b] сохранилось от Грессмана (1844). [1]

Производная. Слово ableiten, derivafe впервые были употреблены в переписке Ньютона и Лейбница (1675-1677). Название производная ввел Лагранж в работе “Theorie des fonction analitiques” (1797). [1]

Пропорция. Современное определение впервые дал Цамберти, директор инженерной школы в Риме (15 век). Современную запись A:B=C:D ввел Лейбниц(1708). [1]

Процент. Слово происходит от латинских слов pro centum “со ста”, “на сто” и вошло в математику из купеческого и финансового обихода. Знак  получил всеобщее признание в середине 19 века. [4]

Прямая. Впервые Ферма (1636) высказал замечание, что  уравнение первой степени с двумя переменными есть уравнение прямой. Нормальное уравнение прямой встречается у Коши. Параметрическое употреблял Крамер. Каноническое уравнение ввел Коши. [1]

Равенство. До появления специального знака слова “равняется” писали на разных языках, затем унифицировали математический язык, и в научный обиход вошло aequatur или сокращенное aequ. В 1557г. английский врач и математик Рекорд предложил знак =. [4]

Радиан. Термин происходит от латинского radius- “спица”, “луч”. В 1873г. в печати (в экзаменационных вопросах составленных Томсоном) появился термин “радиан”.[4]

Радикал. Термин образован от позднелатинского radicalis- “имеющий корни”, и латинского radix- “корень”. Математический знак (измененное латинское r), которым обозначают действие извлечения корня. [4]

Радиус. Аналогом является термин “прямая из центра”. Слово радиус впервые встречается в 1569г. у французского ученого Рамуса, затем у Виета и становится общепринятым лишь в конце 18 века. [4]

Разность. Впервые употребил Видман (1489). Принятое ныне обозначение введено Эйлером в “Дифференциальном исчислении” (1755). [4]

Ромб. Термин образован от греческого “бубен”. Слово употребляется у Герона и Паппа. [1]

Сегмент. Знаменитый греческий астроном Птолемей делил окружность круга на 360 равных частей. Для этих частей Птолемей иногда употреблял название tmhmata т.е. отрезки, которое было буквально переведено латинским словом segmentes. [4]

Секанс. ( от лат. – secans, здесь – секущая(прямая), от seco - режу, рассекаю) – одна из тригонометрических функций. [1]

Сектор. Это латинское слово образованное от seco является буквальным переводом греческого термина apotmhma, Евклид использовал его для названия сегмента круга, цилиндра или конуса. [4]

Симметрия. Образовано от греческого слова συμμετρία- “соразмерность”. Симметрия- зеркальное отражение относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой a на плоскости), при котором каждая точка M переходит в точку M` такую, что отрезок MM` перпендикулярен плоскости a (прямой a) и делится ею пополам. [1]

Синус. Синус встречается в индийских сидхантах-анонимных трудах по астрономии и математике и в “Ариабхатиам”- сочинения по по астрономии и математики Ариабхаты (499 год). Линия синуса называлась “архаджива”. Современное обозначение sin употребляли Симпсон в 1737-1750 годах, Эйлер в 1748-1753 годах, Кестнер в 1758 году, д’Аламбер в 1754 году, Лагранж в 1774 году. [4]

Система . Слово греческого происхождения susthma- “составленное из частей[1]

Смежные углы. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами . [4]

Статистика. ( от нем Statistik - государство, от итал.- stato, позднелат. – status)- функция от результатов наблюдений. [1]

Стереометрия. Термин состоит из греческих слов stereoz и metrew- “измеряю”, буквальное значение “измерение объемов”. Термин встречается у Аристотеля. [4]

Сумма. Латинское слово summa переводится как “главный пункт”, “сущность”, “итог”, “сумма”. С 15 века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол “суммировать” (1489 год). Букву S ввел Эйлер в 1755 году. [1] Сфера . Термин происходит от греческого sfaira- “шар”, “мяч”. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от центра. Слово встречается у Платона, Аристотеля. [1]

Таблица. Латинское слово tabula означает “доска”, “таблица для письма”, “стол”. [4]

Тангенс. Тангенс как тень вертикального шеста введен арабским математиком Абу-л-Вафой в 10 веке. Он составил таблицы тангенсов и котангенсов.[4]

Теорема. Греческое слово означает “зрелище”, “представление”. В математике греков это слово стало употребляться в смысле “истина доступная созерцанию”. Слово как математический термин встречается у Архимеда. [1]

Теория. Слово образовано от греческого слова “исследование”, “научное познание”.[4]

Термин. Латинское слово terminus означает “межа”, “граница”, “конец”.[4]

Тетраэдр. Слово составлено из греческих слов “четыре” и “основание”. Буквальное значение “четырехгранник”. Впервые употреблен Евклидом. [4]

Тождество . Знак = был впервые употреблен Риманом в статье в 1857 году. [4]

Точка. Слово происходит от глагола “ткнуть” и означает результат мгновенного прикосновения, укола. [4]

Трапеция. В “началах” Евклида этим термином назывались все четырехугольники кроме квадрата, ромба и прямоугольника, а также и усеченная пирамида. Слово по-гречески означает “столик”. В современном смысле термин впервые встречается у древнегреческого математика Посидония. [4]

Треугольник равнобедренный. В русских учебниках геометрии конца 19 века привычными и обычными являются “треугольники о равных бедрах” (1876 год). В издании трудов Лобачевского в 1895 году наравне с “бедрами” употребляются “бока”.[4]

Тригонометрия. Слово произведено от греческих “треугольник” и “меряю”. Буквальное значение “наука об измерении треугольников”. Термин впервые встречается в заглавии книги немецкого богослова и математика Питискуса “Trigonometria sive de solutione triangularum tractatus brevis et prespicuus” в 1595 году. [4]

Угол. Понятие угла было уже с древних времен введено в греческую математику. Современное понятие угла ввел Эйлер, принимающего различные значения- положительные и отрицательные. Знак угла ввел Эригон в 1634 году. [4]

Уравнение квадратное . Впервые это название было употреблено Вольфом в 1710 году. Привычное обозначение корней x₁ и x₂ ввел Лагранж. Первое решение дал Штифель. [4]

Уравнение кубическое . Название впервые употребил Декарт в 1619 году и Отред в 1631 году. Тригонометрическое решение кубического уравнения в неприводимом случае впервые дал Виет в 1593 году. [1]

Факториал. Название происходит от слова factor - “множитель”. Термин factorielle ввел Арбогаст в 1800 году. Обозначение n! Встречается впервые у Крампа в 1808 году. [4]

Фигура. Термин образован от латинского слова figura- “внешний вид”, “образ”. Фигура такое множество, которое состоит из конечного числа точек. [4]

Формула. В начале термин имел геометрическое содержание, он имеет корень forma и означает “норма”, “масштаб”, “схема”, “образец”, “правило”, по которому что-либо делают. [4]

Функции обратные тригонометрические. Первым автором, который использовал специальные символы для обратных тригонометрических функций, был Бернулли. В 1729 и в1736 годах он писал as и at соответственно вместо arcsin и arctg. Современное обозначение arcsinx и arctgx появляются в 1772 в трудах Шерфера и Лагранжа. [1]

Функции тригонометрические. Определения тригонометрических функций, в которых они связываются со сторонами прямоугольного треугольника, а не с линиями круга дал Ретик в 1551 году. Впервые тригонометрические линии как функции углов стал рассматривать Эйлер. Выражение “тригонометрические функции” употребил Клюгель профессор математики в в 1770 году. Синусоиду построил Роберваль в 1634 году. [4]

Функция. Термин появляется впервые у Лейбница в рукописях 1673 года, в публикациях 1692 года. Латинское functio означает “свершение”, “исполнение”. В 1734 году Эйлер употребил обозначение f(x), чтобы отметить, что есть функция аргумента (x/a)+c, а в 1753 году обозначение Ф=Ф(x,t). [1]

Функция первообразная. Название fonction primitive ввел Лагранж в “Теории аналитических функций” в 1797 году. Латинское primitivus означает “начальный” и термины “примитивная”, “производная” полностью отражает соотношение между двумя функциями - исходной и произведенной из нее. [4]

Хорда. Термин происходит от греческого слова “струна”, “тетива. [4]

Цикл. От греческое слово означает “круг”, “нечто законченное”. В современную математику слово ввел французский ученый Лаггер. [4]

Цифра. Индийские математики называли знак обозначавший отсутствие некоторого разряда словом “сунья” - пустой. Арабы перевели этот термин по смыслу и получили слово “сифр”. Отсюда произошло слово, вошедшее в европейскую литературу, оно означало первоначально нуль, затем уже в 15 веке этим словом стали называть все числовые знаки. [1]

Четная функция. Функция f(x) удовлетворяющая условию: f(-x)=f(x) для всех x из области определения этой функции. [4]

Четное число. Целое число, делящееся без остатка на 2. Всякое четное число можно представить в виде 2m, где m- целое число. [4]

Числа комплексные. Термин “комплексное число” впервые ввел Л. Карно в 1803 году. Буквальное значение выражения - “сложное, составное число”. Считается, что впервые комплексные числа стали употреблять итальянские математики Кардано в 1545 году и Бомбелли в 1572 году [1]

Числа натуральные . О “естественном ряде” чисел говорится во “Введении в арифметику” греческого математика Никомаха (1 в.н.э.). Арифметика была переведена на латинский язык и переработана римским автором Боэцием в 6 веке, впервые употребившем при этом термин “натуральное число” (numeri naturalis). В современном понятии “натуральное число” встречается у д’Аламбера. [4]

Числа положительные и отрицательные. Операции с положительными и отрицательными числами содержатся в “Математике в книгах” китайском трактате (5 в.д.н.э.). затем толкуемые как “имущество” и “долг” они появляются у индусов вместе с правилами действий (Ариабхата, Брахмагупта). В европейской математике отрицательные числа впервые появились в “книге Абака” Леонардо Пузанского, где он интерпритирует их таким же образом. Термины “положительный” и “отрицательный” появились в Европе в 15 веке в анонимной рукописи “Initius Algebra”- переводе с арабского языка на греческий, а затем на латынь. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел знаками “+” и “-” введено в конце 15 века Видманом. [1]

Числитель. Числитель дроби m/n число m показывающее из скольких долей 1/n составлена дробь. Термин впервые встречается у Максима Плануда в 13 веке. [4]

Член. Впервые слово стало употребляться в теории пропорций, затем в теории уравнений. Название terminus ввел Клавиус, преподаватель математики в иезуитском колледже в Риме в 1608 году. В 1637 году у Декарта название terme означало кроме понятия “член уравнения” уже и “член алгебраического выражения”. [4]

Шар. Слово как и сфера происходит от греческого слова “мяч”. [1] Эквивалентность. Термин происходит от латинских слов aequs- “равный” и valens- “имеющий силу”, “сильный”. Буквальный смысл термина “равносильный”. При сравнении бесконечно малых величин этот термин использовал Дюбуа Раймон в 1870 году. Множества называл эквивалентными Кантор в 1882 году. [4]

Экспонента. Слово exponent для показателя степени ввел Штифель в 1553 году. Лейбниц ввел термины “экспоненциальная функция”, “экспоненциальная кривая” в 1679-1692 годах. [4]

Экстремум. Термин происходит от латинского слова extremum- “крайний”, “последний”. Для обозначения минимума или максимума интеграла в тех случаях, когда не обязательно их различие, этот термин предложил Дюбуа Раймон в 1879 году. [4]

Эллипс. Термин образован от греческого недостаток. Название эллипс ввел Апполлоний Пергский. [1]

2. Методика исследования

Время работы над проектом сентябрь 2009 -апрель 2010 г.

2.1 Этапы работы над электронным пособием:

А. Техническая постановка задачи

Б. Анализ и исследование задачи

В. Разработка структуры шпаргалки

Г. Выбор программной оболочки

Д. Освоение программы HtmlPad Fisherman

Е. Тестирование и отладка

Ж. Сопровождение программы.

А. Техническая постановка задачи

Создать электронное пособие, в котором:

1 В лаконичной форме будут изложены все основные определения, свойства, формулы, которые содержатся в школьном курсе математики;

2 Собраны воедино все основные «школьные» чертежи – графики функций и изображения геометрических фигур;

3 Материал будет расположен так, чтобы, с одной стороны, выдерживалась определенная логика, а, с другой стороны, поиск читателем нужной информации был достаточно прост.

Б. Анализ и исследование задачи

Настоящее пособие – это краткий математический справочник, который включает материал, предусмотренный программами для средней школы самого различного профиля обучения. Когда учащемуся срочно нужно найти некоторую математическую информацию, лучше всего обратиться к справочнику, а современный школьник, который владеет компьютером, конечно, будет работать с электронным носителем.

В.Разработка структуры шпаргалки

Весь материал медиапособия разбит на 6 частей. Статьи в справочнике расположены по тематикам. В части I «Арифметика» рассматривается нумерация, свойства арифметических действий дроби, величины и пропорции, признаки делимости. В части II «Алгебра» рассматриваются числа, тождественные преобразования, функции и графики, уравнения и неравенства. В части III «Начала математического анализа» - числовые последовательности, функции и формулы тригонометрии, производная, первообразная и интеграл. В части IV «Геометрия» - планиметрические и стереометрические фигуры, их свойства, формулы для нахождения площадей и объемов фигур. Чтобы придать справочнику привлекательность и поднять к нему интерес, мы в части V «Это интересно» - использовали интересные факты, исторические сведения о математике. В части VI «Словарь» собраны 128 математических терминов, объясняющих их происхождение.

Принцип расположения статей в этимологическом словаре – алфавитный.

Основным отправным моментом для поиска нужной информации в каждой из 5 частей является «Содержание». В справочнике широко применяется система ссылок на статьи, где читатель найдет дополнительную к рассматриваемому вопросу информацию.

Г.Выбор программной оболочки.

Медиапособие имеет небольшой формат, выполнено в электронном варианте, предусмотрено возможность использования шпаргалки на мобильном телефоне через интернет ресурсы, что позволит всегда иметь его под рукой: в транспорте, на даче, на занятиях и т.д. В связи с этим для разработки электронного пособия нами был выбрана программа HtmlPad. Выбор именно этой программы связан удобством работы в программе и её бесплатным распространением.

Д.Освоение программы HtmlPad Fisherman

С сентября 2009 года по апрель 2010 года мы в достаточной для создания электронного пособия степени освоили программу HtmlPad Fisherman.

Е.Тестирование и отладка.

Перед тем как предоставить электронное пособие для широкого круга пользователей, данная программа была нами протестирована и отлажена.

Ж.Сопровождение программы.

Сопровождение программы заключается в ее публикации на сайте spravkamatem . narod . ru и ее поддержке.

2.2 Научная и практическая значимость «Электронного друга»

Работа окажется полезной школьникам и абитуриентам при повторении курса математики и подготовке к Единому государственному экзамену, педагогам и родителям, а также всем лицам, желающим углубить свои знания по математике.

Назначение справочника – обеспечить быстрый поиск необходимой информации о том или ином понятии, определении, свойстве, формуле, теореме, помочь в повторении пройденного материала при подготовке к уроку, контрольной работе, экзамену.

2.3.Правила работы с пособием по математике "Электронный друг"

1.Для работы с электронным пособием необходимо выбрать файл index.

2. В верхней части раскрывшегося окна выбрать нужный раздел(кликнуть мышью).

3. В содержании раздела выбрать интересующую тему.

Каждая страница пособия позволяет выйти в любой, представленный в нём, раздел математики.

Данная возможность позволяет легко менять разделы и темы, что очень удобно для работы.

Кроме того, можно использовать стандартные кнопки браузера ( "назад " и "вперёд").

Так же, через анимированную кнопку, можно с любой страницы пособия выйти в словарь математических терминов.

3.Выводы:

Выполняя работу, мы изучили специальную литературу, справочники, пособия, интернет-ресурсы;

Сделали анализ прочитанного, выбрали нужный материал, нашли ответы на возникшие вопросы, сделали выводы;

Овладели в достаточной степени программой HtmlPad Fisherman;

Результатом нашей работы стало справочное пособие по математике «Электронный друг».

Работа нами выполнена в электронном варианте, предусмотрена возможность использования шпаргалки на мобильном телефоне через интернет ресурс spravkamatem . narod . ru

Рекомендации

Не следует смотреть на этот справочник как на книгу для вольного чтения. Читатель, который будет пользоваться им, должен обладать некоторыми познаниями в арифметике, алгебре, хотя бы смутно усвоенными или полузабытыми.

Рекомендуется использовать наше математическое пособие:

учащимся при подготовке к урокам, экзаменам;

учителям для того чтобы сделать свои уроки увлекательными;

родителям для оказания помощи при выполнении домашнего задания.

Литература

1 Математический энциклопедический словарь/ главный редактор Ю.В.Прохоров, Москва, Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия, 1995

2 Школьная шпаргалка/ составитель О.М,Бекетова, АОЗТ «Бук-сервис», 2001

3 Вся школьная математика, А.Г.Мордкович, Издательский дом «Новый учебник, 2004

4 Http://etimologi-term.Narod.Ru

5 Г.И.Глейзер «История математики в школе 7-8 классы», Москва, «Просвещение, 1982