на тему - реферат

Министерство образования

Российской федерации

Кафедра НГЧ

Реферат на тему

Кривые линии и поверхности, их применение в радиоэлектроники и микроавтоматике

Выполнил студент группы 222

Федотов Вадим

Проверил

Рязань 2002

Оглавление

1. Плоские кривые линии………………………………………….……..3

2. Общие сведения о поверхностях………………………………….…..3

3. Поверхности вращения линейчатые…………………………….…….4

4. Поверхности вращения нелинейчатые………………………….…….6

5. Поверхности с плоскостью параллелизма……………………….…...7

6. Поверхности, задаваемые каркасом…………………………….….….8

7. Пространственные кривые линии……………………………….….…8

1. Плоские кривые линии

Можно дать несколько различных определений кривой линии как геометрическому образу. Одно из них: кривая линия есть траектория перемещающейся точки.

Если кривая линия совмещается всеми точками с плоскостью, ее называется плоской. Порядком плоской алгебраической кривой считают максимальное число точек ее пересечения с прямой линией. К плоским кривым относятся все кривые второго порядка, подробно изучаемые в аналитической геометрии. На рисунке(1-1) показано построение этих кривых и приведены их канонические уравнения.

Эллипсом является геометрическое место точек М, для которых сумма расстояний до точек F₁ и F₂ плоскости постоянна и равна большой оси АВ (рис.1-1,а). Точки F₁ и F₂ называют фокусами. Построим точку, принадлежащую эллипсу, если даны фокусы F₁ , F₂ и вершины А, В. Для этого на оси АВ берем произвольную точку L и из фокуса F проводим дугу окружности радиусом AL. Затем из фокуса F₂ чертим дугу окружности радиусом BL, пересекающую первую дугу в точке М. Таким образом, F₁ M+F₂ M= AB.

При равных осях эллипс превращается в окружность, являющуюся геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от данной точки 0 (рис.1-1,б).

Параболой является геометрическое место точек М, для которых расстояния до точки F плоскости и до прямой KN, не проходящей через точку F, равны (рис.1-1,в).

Вершина 0 параболы делит расстояние от точки F до прямой KN пополам. Точку F называют фокусом, прямую KN – директрисой. Построим точку М, принадлежащую параболе, если дан фокус F и директриса KN. Для этого проводим прямую LM║KN и на точки F засекаем ее другой окружности радиусом MN. Итак, MN=MF.

Гиперболой является геометрическое место точек М, для которых разность расстояний до точек F₁ и F₂ плоскости постоянна и равна расстоянию между вершинами А и В кривой (рис.1-1,г).

Точки F₁ и F₂ называют фокусами, координатную ось Х – действительной осью, а Y – мнимой. Если даны вершины А, В и фокусы F₁ и F₂ , то принадлежащую гиперболе точку строим следующим образом. На действительной оси берем произвольную точку L. Из фокуса F₂ чертим дугу окружности радиусом AL. Из фокуса F₁ чертим дугу окружности радиусом BL, засекая первую дугу в точке М. В итоге: AL-BL=AB.

2. Общие сведения о поверхностях

Поверхностью является геометрическое место линии, движущейся в пространстве по определенному закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, и тогда образованную ею поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности , т.е. линию ее пересечения с плоскостью проекций.

Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве.

Поверхность считают заданной, если можно построить проекции любой ее образующей. Одну и ту же поверхность можно образовать движением различных линий. Например, сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. Но если точки пересечения сферы с осью вращения соединить по поверхности сферы произвольной кривой, то ее тоже можно принять за образующую данной поверхности.

При изучении кривых поверхностей следует обратить внимание на их сечения тремя координатными плоскостями и уметь по этим сечениям определять поверхность. Последнее особенно важно для освоения некоторых разделов курса высшей математики, которые затем широко используются в электро- и радиотехнике.

Рассматриваемые ниже поверхности классифицированы следующим образом.

I. Поверхности вращения линейчатые.

1. Конус.

2. Цилиндр.

3. Однополостный гиперболоид.

II. Поверхности вращения нелинейчатые.

1. Шар.

2. Тор ( круговой, параболический, эллиптический).

3. Эллипсоид (вытянутый и сжатый).

4. Двуполостный гиперболоид.

5. Параболоид.

6. Поверхность вращения общего вида.

III. Поверхности с плоскостью параллелизма.

1. Цилиндроид.

2. Коноид (геликоид).

3. Гиперболический параболоид.

IV. Поверхности, задаваемые каркасом.

3. Поверхности вращения линейчатые

Все поверхности этого класса образованы вращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут занимать относительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствует своя поверхность вращения.

1.Конус образуют вращением прямой OD вокруг пересекающейся с ней оси Z (рис.3-1,а) Координатные пл. XOZ и YOZ рассекают конус по пересекающимся прямым OD, OE, OK и OF; пл. XOY дает в сечении точку О; плоскость, параллельная пл. XOY, пересекает по окружности (DFEK).

Для построения точки, принадлежащей кривой поверхности, ее проекции располагаем на проекциях линии, лежащей на этой поверхности. Если дана проекция точки L поверхности конуса, то ее проекцию определяем следующим образом (рис.3-1,б).

1-й способ. В пространстве через точку L проводим образующую OS. На чертеже строем проекции и этой образующей. На последней по линии связи и находим недостающую проекцию. С проекцией точки L совпадает проекция m точки М, симметричной L относительно фронтальной плоскости, проходящей через ось конуса. Проекцию m этой точки определяем с помощью образующей OR.

2-й способ. Точку L предполагаем расположенной на окружности, принадлежащей поверхности конуса. На пл. V эта окружность проектируется в линию n′p′, на пл. Н – без искажения; диаметр окружности равен n′p′. По линии связи на построенной горизонтальной проекции окружности и определяем недостающую проекцию.

Конус участвует в образовании формы диаграммы направленности антенны, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и ее облучателя, диффузора громкоговорителя, резонатора, отражателя радиоволн, электроннолучевых трубок и электронных ламп, световода, кулачков, деталей вакуумных установок, рукояток контактов реле, цапф осей приборов, регистрирующих перьев автоматов и т. д.

2. Цилиндр образуют вращением прямой ED вокруг параллельной ей оси Z (рис.3-1,в и рис 3-1,г). Пл. XOZ и YOZ пересекают его по параллельным прямым ED, FK, NP и LM, а пл. XOY и ей параллельные – по окружностям DPKM и (ENFL).

Цилиндр применяют при образовании формы волноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазера, корпусов датчиков и т. д.

3. Однополостный гиперболоид образуют вращением прямой DE вокруг скрещивающейся с ней оси Z (рис 4-1,а). Пл. XOZ и YOZ пересекают его по гиперболам FK, LM, PQ и RS, а пл. XOY и ей параллельные – по окружностям (GU, FPLR и KQMS). При вращении точек D и E их проекции d и e перемещаются по окружности, а проекции d′ и e′ - по прямым, параллельным оси Х. Точка U прямой DE, ближе других расположенная к оси вращения, описывает окружность UU₁ наименьшего диаметра. Эту окружность называют горлом поверхности. Лучи, проектирующие какую – либо поверхность, касаются ее в точках, образующих контурную линию. Соответствующая проекция этой линии называется очерком поверхности. Очерком однополостного гиперболоида на пл. V служат две верви гиперболы, вершины которой лежат на горле поверхности. Следовательно, эту поверхность можно образовать вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

Форму однополостного гиперболоида имеют некоторые радиомачты, в том числе башня Шухова в Москве. Её составляют шесть гиперболоидов; высота каждого равна 25 м; диаметры оснований гиперболоидов постепенно уменьшаются. Однополостный гиперболоид образует форму вибрационных питателей, используемых в промышленной автоматике, кулачков, соединителей контактов и т.д.

4. Поверхности вращения нелинейчатые

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка.

1. Сферу образуют вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 4-1,б). Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом , очерк горизонтальной проекции – экватором . Проекции точки К, лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведенной на сфере.

Сфера образует форму диаграммы направленности антенны, обтекателя и излучателя антенны, головки микрофона, контактов реле, рукояток приборов и т. д. Сфера является поверхностью положения объекта в пространстве.

2. Круговой тор образует вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают тор-кольцо , когда ось вращения не пересекает образующую окружность (рис. 4-2,а) и тор-бочку , когда есть такое пересечение (рис. 4-2,б). Тор-кольцо пересекается пл. XOZ иYOZ по окружностям ABC и DEF, а тор-бочка – по окружностям AB и CD. Пл. XOY пересекает тор по одной или двум окружностям, из которых CD называют горлом, а AF и AD – экваторами.

В радиотехнике используются также параболический и эллиптический тор.

Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся её фокальной осью. Обычно за ось вращения берут прямую, перпендикулярную фокальной оси. На рис. 4-3,а дан случай, когда ось вращения не пересекает образующую параболу; на рис.4-3,б ось пересекает параболу. Две координатные плоскости пересекают поверхность по одинаковым параболам; плоскость, перпендикулярная оси вращения, рассекает поверхность по окружности.

Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью. Обычно за ось вращения берут прямую, перпендикулярную большой (рис. 4-3,в) или малой оси эллипса (рис. 4-3,г). Две координатные плоскости пересекают такой тор по эллипсам, третья – по окружностям.

Торовые поверхности имеют диаграммы направленности антенн, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и их обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители, кулачки, сердечники катушек и т.д.

3. Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой ил большой оси. В первом случае получают сжатый (рис. 4-4,а), а во втором – вытянутый эллипсоиды вращения (рис.4-4,б).

Пл. XOZ и YOZ пересекают их по эллипсам DE и EF, а пл. XOY- по окружности DF.

Эта поверхность встречается при рассмотрении теоретических вопросов радиолокации и гироскопии; форму эллипсоида имеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и т. д.

4.Двуполостный гиперболоид образуют вращением гиперболы DE вокруг её действительной оси FF₁ (рис. 4-5,а). Пл. XOZ и YOZ пересекает его по гиперболам DE и KE; пл. XOY дает в сечении мнимую точку О.

Форму двуполостного гиперболоида имеют зеркала антенн, поверхности положения объекта в пространстве, Замедляющие линзы локаторов и т. д.

5. Параболоид образуют вращением параболы OD вокруг её фокальной оси OF (рис.4-5,б). Пл. XOZ и YOZ пересекают эту поверхность по параболам OD и OE, а пл. XOY дает в сечении точку O.

Зеркала антенн и лазеров чаще всего изготовляют параболическими. Нередко зеркало антенны является сочетанием нескольких поверхностей. Так, антенна, предназначенная для дальней космической связи (рис 4-6,а), состоит из цилиндрического раскрыва 1, конического рупора 2 и параболического отражателя радиоволн 3. Фокус параболоида находится в точке F.

6. Поверхность вращения общего вида образуют вращением произвольной кривой.

На рис.4-6,а дана поверхность пространственной диаграммы направленности антенны локатора О, полученная вращением вокруг оси Z плоской диаграммы направленности ODFE. Объемные графики также часто имеют форму поверхности вращения общего вида.

5. Поверхности с плоскостью параллелизма

Все поверхности этого класса – линейчатые.

1. Цилиндроид образуют перемещением прямой по двум кривым направляющим, когда образующая остается параллельной заданной плоскости.

На рис.5-1,а дан переход, используемый в вакуумной технике для соединения двух цилиндрических труб одинакового диаметра, оси которых наклонены под разными углами α и β к оси перехода. Плоскостью параллелизма служит пл.V. Проекции de и fk образующих параллельны оси Х, а проекции d′′e′′ и f′′k′′- оси Z.

Построение проекций d′e′ и f′k′ ясно из чертежа.

Форму цилиндроида имеют некоторые объемные графики, применяемые в теории оптимального регулирования, а также волноводы.

2. Коноид образуют перемещением прямой по кривой линии и прямой, когда образующая остается параллельной заданной плоскости.

На рис.5-1,б изображена коноидная поверхность пространственной диаграммы, используемой в теории электроимпульсной обработки металлов. Направляющими являются кривая DE и прямая FK, плоскостью параллелизма YOZ.

Частным случаем коноида является прямой геликоид , образуемый перемещением прямой по винтовой линии и её оси, когда образующая остается параллельной заданной плоскости.

На рис.5-2,а изображена одношаговый гребень автоматического потенциометра. Образующая DE во всех положениях сохраняет параллельность пл. Н, перемещаясь по винтовой линии ЕЕ₄ Е₈ и её оси MN.

Форму геликоида имеет поверхность электрического поля антенны, детали вакуумной и волноводной техники, ферритовые спирали, крыльчатки датчиков, спиральные антенны, винтовые пазы кулачков и т. д.

3. Гиперболический параболоид или косую плоскость образуют перемещение прямой по двум скрещивающимся прямым, когда образующая остается параллельной некоторой плоскости. Полу чаемая поверхность имеет седлообразную форму (рис. 5-2,б). Пл. XOZ и YOZ пересекают эту поверхность по параболам OD и OE; плоскости, параллельные XOZ и YOZ, также дают в сечении параболы; пл.XOY пересекает поверхность по двум пересекающимся прямым OL и OK, а плоскости, параллельные XOY, - по гиперболам (EN и DM).

На рис. 5-2,в и рис. 5-2,г изображена характеристика электронной лампы. Характеристика имеет поверхность гиперболического параболоида, заданного направляющими DE и KF и плоскостью параллелизма Н. Так как прямая DE│ H, то горизонтальные проекции образующих проходят через точку d≡e. Фронтальные проекции образующих параллельны оси Х.

6. Поверхности, задаваемые каркасом

К ним относят поверхности, образование которых не подчинено определенному геометрическому закону. Эти поверхности задают каркасом – семейством линий, принадлежащих им и параллельных координатным плоскостям.

На рис. 6-1 изображен объемный график, используемый в радиосвязи. Поверхность определена кривыми линиями, одно семейство которых (CD) параллельно пл. XOZ, а другое (АВ) – пл. YOZ. Точка М поверхности определена как точка пересечения кривых AB и CD.

В радиоэлектроники и автоматике встечаются поверхности второго порядка общего вида; эллиптические конус и цилиндр, параболический и гиперболический цилиндры, трехосный эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды. Нормальным, т. е. перпендикулярным оси, сечением этих поверхностей является кривая второго порядка.

7. Пространственные кривые линии

Если кривую линию без её деформации нельзя совместить всеми точками с плоскостью, то её называют пространственной. К таки кривым относят, в частности, винтовые линии (рис.7-1)

Винтовая линия на данной поверхности есть траектория точки, равномерно перемещающейся вдоль образующей, которая равномерно вращается вокруг оси этой поверхности. Винтовую линию называют правой , если на видимой стороне поверхности она идет слева вверх направо (рис.7-1,а); в противном случае её называют левой (рис.7-1,б). Расстояние S, которое проходит точка вдоль образующей за один её оборот, называют шагом винтовой линии. Построение всех винтовых линий однотипно.

Пример 1. Построить цилиндрическую винтовую линию.

Шаг S делим на несколько равных частей; на столько же равных частей делим и окружность основания цилиндра (рис.7-1,а). После перемещения точки О₀ на одно деление вдоль образующей она займет точки 1₀ (1′₀ , 1₀ ). При повороте образующей до положения 1 проекция 1₀ , описав дугу окружности 1₀ 1,приходит в точку 1. Проекция 1′₀ перемещается по прямой 1′₀ 1′║Х. На этой прямой по линии связи находим проекцию 1′ точки винтовой линии.

Аналогично определяем и остальные точки. Сплошной основной линией обводим ту часть фронтальной проекции, которая соответствует участку кривой, находящемуся на передней половине поверхности. Фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии представляет собою синусоиду, горизонтальную окружность.

Пример 2. Построить коническую винтовую линию.

Делим шаг S на несколько равных частей; на столько же равных частей делим и окружность основания конуса (рис.7-1,б). После перемещения точки 0₀ на одно деление вдоль образующей она займет положение точки 1₀ (1′₀ ,1₀ ). При повороте образующей 0₀ 8₀ до положения 1-8₀ проекция 1₀ , Описав дугу окружности 1₀ 1₁ , приходит в точку 1₁ . Проекция 1^′ ₀ перемещается по прямой 1′₀ 1′₁ ║Х. На этой прямой по линии связи находим проекцию 1′₁ точки 1, винтовой линии.

Так же определяем и остальные точки. Фронтальная проекция конической винтовой линии представляет собою затухающую синусоиду, горизонтальная спираль Архимеда.

Пример 3. Построить сферическую винтовую линию.

Делим шаг S на несколько равных частей; на столько же равных частей делим и экватор шара (рис. 7-1,г). После перемещения точки 0₀ вдоль главного меридиана, например на три деления, она займет положение точки 3₀ (3′₀ , 3₀ ). При повороте главного меридиана до положения 0₀ 3 проекция 3₀ описав дугу окружности 3₀ 3₁ , приходит в точку 3₁ . Проекция 3′₀ перемещается по прямой 3′₀ 3′₁ ║Х. На этой прямой по линии связи находим проекцию 3′₁ точки винтовой линии.

Построение винтовых линий на других поверхностях принципиально не отличается не отличается от рассмотренных случаев.

Необходимо уметь по двум проекциям пространственной кривой строить другие её проекции и по одной проекции пространственной кривой, принадлежащей поверхности, определять недостающие проекции.

Пример 4. Даны фронтальная и профильная проекции пространственной кривой АЕ. Построить её горизонтальную проекцию (рис. 4-2,а).

Взяв несколько опорных (А,В,…) и случайных (1,2,…) точек кривой и построив их горизонтальные проекции, соединяем последние плавной лекальной кривой.

Построение, аналогичное выполненному в этой задаче, используют в радиоэлектронике и автоматике для графического определения характеристик электрических процессов.

Пример 5. Даны две проекции поверхности вращения электронного пучка и горизонтальная проекция (окружность aecdb) траектории AECDB электрона, движущегося по этой поверхности. Построить фронтальную проекцию траектории электрона (рис. 4-2,б).

Проекции d′ и c′ опорных точек D и C определяем на фронтальных проекциях главного меридиана и экватора. Проекцию е′ точки Е располагаем на фронтальной проекции окружности, принадлежащей поверхности пучка и проходящей через эту точку. Аналогично находим проекции и других точек.

Все рассмотренные линии применяют при конструировании антенн; они служат траекториями движения электронов; по разнообразным пространственным кривым выполняют направляющие пазы кулачков и т. д.

Используемая литература