Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления > Технологическая схема введения понятия числа Заключение - реферат

Содержание

Введение _______________________________________________3

Глава I . Системы счисления

1.1. Исторические вопросы возникновения чисел и систем счисления

1.2.Позиционные и непозиционные системы счисления

1.3. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними

Глава II . Психолого-педагогические основы введения систем счисления

2.1. Психологические основы введения систем счисления в начальной школе.

2.2. Развитие познавательного интереса при обучении математики.

Глава 3. Методика и технология введения систем счисления в начальной школе

3.1. Введение элементов систем счисления в начальной школе

3.2 Преемственность в изучении систем счисления в

математики и информатики в начальной школе

3.3. Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления

3.4. Технологическая схема введения понятия числа

Заключение

Литература

Приложения

Введение

В настоящее время, когда весь мир вступает в эпоху математизации научного знания, в эпоху широкого применения ЭВТ, математике отводится ответственная роль в развитии и становлении активной, самостоятельно мыслящей личности, готовой конструктивно и творчески решать возникающие перед обществом задачи. Именно математика вносит большой вклад в развитие логического мышления детей, воспитание таких важных качеств научного мышления, как критичность и обобщенность, формирует логически обоснованную гипотезу и т.д. математика воспитывает и такие качества ума и речи, как точность, четкость и ясность.

Цели начального обучения математике и содержания курса определяют основные особенности его изучения. Так, решение главной задачи начального курса математики – формирование прочных вычислительных навыков проводится в тесной взаимосвязи с развитием математического мышления детей, их познавательной самостоятельности. В процессе формирования вычислительных навыков решение тренировочных примеров дополняется заданиями логического, познавательного характера, нацеливающими детей на проведение наблюдений, сравнений, анализа рассматриваемых математических выражений и примеров, что ведет к установлению причинно-следственных связей и закономерностей, способствует осознанию практической значимости операций сравнения и анализа.

Человеку очень часто приходится иметь дело с числами, поэтому нужно уметь правильно называть и записывать любое число, производить действие над числами. Как правило, мы успешно справляемся с этим. Помогает здесь способ записи чисел, который в настоящее время используется повсеместно и носит название десятичной системы счисления.

Изучение этой системы начинается в начальных классах, и, конечно, учителю нужны определенные знания в этой области. Он должен знать различные способы записи чисел, алгоритмы арифметических действий и их обоснование. Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же и возникло необходимость в названии и записи чисел. Язык для наименования, записи и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Успешность изучения математики и формирования прочных вычислительных навыков зависит от качества усвоения детьми арифметических действий в пределах 1000, нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.

Актуальность проблемы заключается в том, что выработка осознанных и прочных навыков письменных вычисленных явлений одной из основных задач изучения систем счисления.

Объектом исследования является процесс обучения математике младших школьников.

Предметом исследования является методика ознакомления младших школьников с системой счисления.

Проблема нашей работы состоит в том, что десятичная система счисления изучается на уроках математики, а другие системы счисления рассматриваются на уроках информатики. В связи с этим, цель нашего исследования – показать необходимость использования систем счисления в курсе математики начальной школы, их роль в развитии математического мышления младших школьников.

В соответствии с целью, в данной работе поставлены следующие задачи:

1. Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по поставленной проблеме.

2. Раскрыть теоретические основы систем счисления.

3. Разработать методы и приемы ознакомления младших школьников с системами счисления.

В ходе исследования применялись такие методы:

1. Теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы.

2. Обобщение передового опыта учителей.

3. Беседа с учителями по проблеме исследования.

4. Использование средств ознакомления на практике с целью выявления их эффективности.

Исследовательская работа проводилась в три этапа :

I этап – ознакомление с психолого-педагогической литературой, обоснование темы;

II этап – опытно-экспериментальная работа в школе;

III этап – обобщение результатов исследования, определение плана и содержания данной работы, который состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней раскрыты понятия и содержание работы по ознакомлению младших школьников с системами счисления.

Практическая значимость исследования состоит в том, что в ней показана методика работы по ознакомлению младших школьников с системами счисления, которая может использоваться как опытными, так и начинающими учителями.

Глава I . Исторические вопросы возникновения чисел и системы счисления.

1.1. Исторические вопросы возникновения чисел

Покупатель, приходя в магазин, видит товары самой разной стоимости: есть очень дешевые, есть непомерно дорогие. Чтобы упростить расчеты при покупке, Центральный Банк выпускает денежные знаки различного достоинства. Когда фотограф или аптекарь для приготовления нужного ему раствора взвешивает порошки, он использует специальные аптекарские весы и набор гирек разной массы. Точно так же из базовых элементов, или ключевых чисел, строится любая числовая система.

Если при взвешивании порошка аптекарь положил на чашу весов две гирьки по 50г, одну гирьку в 2г, то вес порошка составил 2х50г+1х5г+1х2г=107г. Но и сама запись числа 107 связана со специальной числовой базой, а именно 1,10,100,… Так, цифра 1 задает число сотен, о – число десятков, 7 – число единиц. Элементы числовой базы, или ключевые числа, в данном случае представляют собой степени десяти: 1=10⁰ , 10=10¹ , 100=10² , 1000=10³ и т.д. В десятичной системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Говорят, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной записи числа определяется позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого ряда единиц, тем большую солидность и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления. Сейчас десятичная система счисления применяется почти повсеместно. Но и теперь есть еще племена, которые довольствуются при счете пальцами одной руки. У них система счета оказалась пятеричной. В странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20, поэтому довольно большое распространение получила двадцатеричная система счисления. Самым серьезным соперником десятеричной системы оказалась двенадцатеричная. Вместо десятков применяли при счете дюжины, то есть группы из 12 предметов. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например, ножи, вилки, ложки продают дюжинами. В столовой сервиз, как правила, входит 12 тарелок, 12 чашек, 12 блюдец. Победа над всеми соперницами объясняется тем, что у человека на каждой руке по 5 пальцев. Было бы их по шесть, считали бы мы не десятками, а дюжинами. А если бы у нас, как у лошадей, на руках и ногах были копыта, то арифметика была бы такой же, как у папуасов, - мы считали бы парами. Но странные повороты делает история! Именно двоичная система счисления счета оказалась самой полезной для современной техники, на основе двоичной арифметики работают современные ЭВМ.

Различные способы счета и нумерации

Долгое время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали. Причина для этого была самая уважительная – они не умели писать. Поэтому, если кому-нибудь надо было переслать другому человеку сведения, где участвовали числа, прибегали к зарубкам на дереве или на кости, к узелкам на веревках, рисункам на мягкой глине и т.д. такие знаки уже нельзя было перекладывать с места на место, убирать одни и добавлять другие. Вместо этого приходилось думать, мысленно выполнять операции над знаками.

Но все же это еще не была настоящая арифметика. Знаки на глине обозначали не числа, а предметы – головы скота, мешки с зерном, кувшины масла. Их приходилось изображать столько же, сколько было предметов. С этим еще можно было мириться. Пока учет велся в пределах одного хозяйства, одной деревни. Но когда возникли государства, старые методы обозначения стали негодными. Для записи больших чисел уже нельзя было обойтись ни зарубками на бирках, ни узелками, ни глиняными фигурками.

И вот примерно 5 тысяч лет тому назад было сделано замечательное открытие. Люди догадались, что можно обозначать знаком не одну голову скота, а сразу десять или сто голов, не один мешок зерна. А сразу 6 или 60 мешков.

Например, египтяне обозначали десяток знаком (единицу они обозначало просто вертикальной черточкой , как это делаем и мы), десять десятков, то есть сотню – знаком .Появились знаки для тысячи - (цветок лотоса), десятка тысяч - (поднятый кверху палец), ста тысяч (сидящая лягушка) и миллиона (человек с поднятыми руками).

Чтобы написать какое-нибудь число, египетский писец бесхитростно писал столько раз знак j, сколько в этом числе тысяч, затем столько раз, сколько в оставшейся части сотен и т.д. запись. Показанная на таблице, означала, что в числе 2 тысячи, 3 сотни, 6 десятков и 7 единиц.

Писать много раз один и тот же знак, разумеется, весьма неудобно. Более экономичной является позиционная система записи чисел, где имеет значение не только начертание цифры, но и ее позиция, положение среди других цифр. Позиционная является современная система записи чисел, которую мы изучаем в школе. В позиционной системе счисления один и тот же знак может означать различные числа в зависимости от места (позиции) занимаемого этим знаком в записи числа. Например, в числе 18 цифра 8 означает 8 единиц, в числе 82 – 8 десятков или 8/0 единиц, а в числе 875 – 8 сотен или 800 единиц. Шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в середине века.

Интересны были различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были все новые и новые знаки. Один из величайших древнегреческих математиков Архимед научился называть громадные числа, но обозначать он их не умел. Не хватало ему самой малости. Архимед, один из гениальнейших математиков в истории человечества, не додумался до … нуля!

Знакомясь в первом классе с числом 0, вряд ли кто-нибудь себе представлял, что это одно из величайших изобретений в математике. Только после того, как люди научились обозначать пропущенные разряды в позиционной записи чисел, они получили в руки могучее орудие познания природы. Без нуля не было бы современной математики, не было бы таких достижений человеческого разума, как вычислительные машины и космические корабли.

Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет тому назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов в середине числа. Писать нули в конце записи числа они не догадались.

В Индии примерно полторы тысячи лет тому назад нуль был присоединен к девяти цифрам и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы оно велико ни было. И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Приведу название некоторых больших чисел с указанием числа нулей после единицы.

Индийской системой обозначений мы пользуемся до сих пор. Это не значит, что индийские цифры имели с самого начала современный вид. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, они много раз изменялись, пока приняли современную форму. Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему записи чисел. Европейцы, в свою очередь, узнали ее от арабов. Поэтому наши цифры в отличие от римских, стали называться арабскими. Правильнее было бы называть их индийскими. Они употребляются в нашей стране, начиная примерно с XVII века.

Обычно вопросы исторического характера рассматриваются как некоторая необязательная, дополнительная часть курса и выносятся во внеклассную работу. В учебнике математики Л.Г. Петерсон во II классе подробно рассматривается материал, связанный с историей развития понятия числа. Дети должны в сжатой, сокращенной форме пройти и «пережить» весь тот исторический путь, который прошло человечество от операций с конкретными множествами предметов к числам и операциям над ними. Основные этапы этого пути отражены в учебнике И.Я. Депмана, Н.Я. Виленкина «За страницами учебника математики».

1.2. Введение элементов систем счисления в начальной школе.

Содержание учебного предмета, как известно, зависит от многих факторов – от требований жизни к знаниям учащихся, от уровня соответствующих наук, от психических и физических возрастных возможностей детей и т.д. Правильный учет этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие по тем или иным причинам не соблюдается. В этом случае преподавание не дает должного эффекта как в отношении усвоения детьми круга необходимых знаний, так в отношении развития их интеллекта.

Представляется, что в настоящее время программы преподавания некоторых учебных предметов, в частности математики, не соответствуют новым требованием жизни, уровню развития современных наук (например, математики) и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует необходимость всесторонней теоретической и экспериментальной проверки возможных проектов нового содержания учебных предметов.

Фундамент математических знаний закладывается в начальной школе. Но, к сожалению, как сами математики, так и методисты и психологи уделяют весьма малое внимание именно содержанию начальной математики.

Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике в начальной школе. Основным ее содержанием являются целые числа и действия над ними, изучаемые в определенной последовательности. Вначале изучаются четыре действия в пределе 10 и 20, затем – устные вычисления в пределе 100, устные и письменные вычисления в пределе 1000 и, наконец, в пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости между данными и результатами арифметических действий, а также простейшие дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии – вычерчивание прямоугольника и квадрата, измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов.

Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и к выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач проводится параллельно изучению чисел и действий – для этого отводится половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять конкретный смысл действий, уяснить различные случаи их применения, установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки анализа и синтеза. С I по IV класс дети решают следующие основные типы задач (простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, на вычисление среднего арифметического и некоторые другие виды задач.

С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно – учащиеся приступают к задачам после и по мере изучения чисел; главное, что требуется при решении – это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в которой более «сложные» ситуации были бы связаны и с более «глубокими» пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу и от класса к классу по запутанности сюжета (возрастает число действий), по рангу чисел (от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей (от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам. Только один параметр – углубление в систему собственно математических закономерностей – в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического (III класс) труднее задач на разностное и краткое сравнение (II класс)? Методика не дает на этот вопрос убедительного и логичного ответа.

Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных, полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки методистов усовершенствовать приемы преподавания хотя и приводят к частным успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее ограничены рамками принятого содержания.

Общеизвестно, что современная математика (в частности, алгебра) изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объемах и т. д. (отношение «больше», «меньше», «равно»). Изложение исходных общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов числами. Так, в книге Е.Г. Гонина «Теоретическая арифметика» основные математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми знаками [15, 12-15]. Характерно, что те или иные виды чисел и числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая форма выражения. Далее, примечательно, что многие иллюстрации отдельных математических определений даются в графической форме, через соотношение отрезков, площадей [15, 14-19]. Все основные свойства множеств и величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более того, последние сами получают обоснование на основе общематематических понятий.

В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до появления у них знаний о числах и приемах оперирования ими. Правда, есть тенденция относить эти представления к категории «доматематических образований» (что вполне естественно для традиционных методик, отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако это не меняет существенной их функции в общей ориентировке ребенка в свойствах вещей. И порой случается, что глубина этих якобы «доматематических образований» более существенна для развития собственно математического мышления ребенка, чем знание тонкостей вычислительной техники и умение находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что акад. А.Н. Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной» [24,17].

В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно структуры и способов построения новой программы. К работе по ее конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков, методистов. Но во всех своих конкретных вариантах она, как представляется, должна удовлетворять следующим основным требованиям:

· преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе;

· давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира; при этом свойства чисел, как особой формы выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом программы;

· прививать детям приемы математического мышления, а не только навыки вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин ( связь математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими конкретные величины);

· решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу, которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников и других подсобных (в частности, электронных) средств.

Смысл этих требований ясен: в начальной школе вполне возможно преподавать математику как науку о закономерностях количественных отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы.

Опыт конструирования новой программы по математике и ее экспериментальная проверка, проводимая начиная с конца 1960-х годов, позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу начиная с I класса систематического курса математики, дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.

1.3 . Психологические основы введения систем счисления в начальной школе.

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании особенно в начальных классах, как это наблюдается, например, в американской школе неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Логическое и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых «механизмов» детского мышления с общематематическими понятиями. Ниже специально рассматривается особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы).

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа – исходная ступень математической абстракции, что оно является основной для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число – основа всего последующего усвоения математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности проистекают некоторые существенные недостатки приятных программ, методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет – разные числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере, в какой «алгебраические операции», известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам совершенно не « числового» характера.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках. Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6-7 лет, на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается прием соединения множеств, - при этом вводится соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах.

Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и перспективна.

На первый взгляд понятия «отношение», «структура», «законы композиции» и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и «натренированной» в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7-10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно- предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той «системы координат», внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребенка (хотя, конечно, все более и более отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка, и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.

В одной из своих последних книг [42] Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12-14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А+А¹ =В) и операции, ей обратной (В-А¹ =А). Сериация – это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж. Пиаже показывают, как от ее исходной формы, от создания «фигурной совокупности», основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства («нефигурные совокупности»), а затем к самой сложной форме – к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Автор специально рассматривает вопрос о формировании классификации не только по одному, но и двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель – выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость , т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда «операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого» [42, 15].

Обратимость, согласно Ж. Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например, при перемещении предмета из А в В предмет так и остается в В, но ребенок сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение, когда предмет находился против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано, но оно компенсировалось путем соответствующего перемещения собственного тела – и это уже другая форма преобразования, нежели обращение [42, 16].

В своих работах Ж. Пиаже показал, что эти преобразования возникают в начале в форме сенсо-моторных схем (с 10-12 мес.). Постепенная координация чувственно-двигательных схем, функциональная символика и языковое отображение приводят к тому, что через ряд этапов обращение и взаимность становятся свойствами интеллектуальных действий (операций) и синтезируются в единой операторной структуре (в период с 7 до 11 и с 12 до 15 лет). Теперь ребенок может координировать все перемещения в одно по двум системам отсчета сразу – одна мобильная, другая неподвижная.

Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими [42, 13]. Так, алгебраическая структура («группа») соответствует операторным механизмом ума, подчиняющимся одной из форм обратимости

· инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

· координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;

· операция может развиваться в двух направлениях;

· при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;

· к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

Факты «самостоятельного» развития ребенка (т.е. развития, независимо от прямого влияния школьного обучения) показывают несоответствие порядка этапов геометрии и этапов формирования геометрических понятий у ребенка. Последние приближаются к порядку преемственности основных групп, где топология является первой. У ребенка, по данным Ж. Пиаже, вначале складывается интуиция топологическая, а затем он ориентируется в направлении проективных и метрических структур. Поэтому, в частности, как отмечает Ж. Пиаже, при первых попытках рисования ребенок не различает квадратов, окружностей, треугольников и других метрических фигур, но прекрасно различает фигуры открытые и закрытые, положение «вне» или «внутри» по отношению к границе, разделение и соседство (не различая до поры до времени расстояния) и т. д. ([17],стр. 23).

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7-8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11 лет.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 2 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не «чужды» свойства объектов, описываемые посредством математических понятий «отношение – структура» но последние сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею построения такого учебного предмета, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного «порога», с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14-15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7-8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В «естественных» условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13-15 годам. Но нельзя ли «ускорить» их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7-8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны «явно» и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню «формальных» операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при «самостоятельном» открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7-11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще нем связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь структур детского мышления и обще алгебраических структур, хотя «механизм» этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности (пока лишь возможности!) для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме «от простых структур – к их сложным сочетаниям». Одним из условий реализации этих возможностей является изучение перехода к опосредованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.

Глава 2. Методика введения систем счисления в начальной школе.

2.1. Преемственность в изучении систем счисления в курсах математики и информатики в начальной школе

Одной из задач базового курса информатики в средней школе является ознакомление учащихся с принципами кодирования и представления информации в ЭВМ, в связи с чем важное значение имеет формирование представления о двоичной форме записи чисел. Пропедевтическую работу в этом направлении можно осуществлять уже в начальной школе. Для ознакомления учащихся начальных классов с двоичной системой счисления можно:

1) показать возможность записи натуральных чисел с помощью цифр 0 и 1;

2) познакомить с правилом чтения таких чисел;

3) научить сравнивать числа, записанные в двоичной системе счисления. Хотелось бы подчеркнуть, что при формировании понятия о двоичной системе счисления целесообразно опираться на соответствующие знания учащихся о десятичной системе счисления, обращая внимание на сходства и немногочисленные различия в построении указанных систем.

Сравним этапы построения десятичной и двоичной систем счисления.

1 этап Алфавит (цифры)

Десятичная система счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двоичная система счисления: 0, 1.

2 этап Построение и запись чисел. Число в любой системе счисления – конечное упорядоченное множество цифр из ее алфавита. Запись чисел производится простым приписыванием цифр слева направо.

3 этап Чтение чисел. Чтение чисел во всех системах счисления производится слева направо. В десятичной системе счисления каждый разряд в записи числа имеет свое название. Если значность числа не больше трех, называют последовательно каждую цифру, указывая ее разряд (используя общепринятые сокращения). Если значность числа больше трех, в его записи выделяют классы, затем читают числа каждого класса с указанием названия его единиц. В двоичной системе счисления разряды не имеют специальных названий. При чтении числа последовательно называют каждую цифру в его записи.

4 этап Построение числовых выражений и выражений с переменными. Составляются выражения из чисел, имен переменных и знаков арифметических операций.

5 этап Построение математических предложений. Составляются предложения из чисел, имен переменных, знаков арифметических операций и знаков бинарных отношений (<,>,=). 4 и 5 этапы выполняются в указанных системах счисления аналогичным образом. Алгоритмы сравнения натуральных чисел в двоичной и десятичной системах счисления также одинаковы.

Расшифруй послание: УКВИВИРП ИЛИВАТСОП ЕНМ.

2) Напиши, какое слово закодировано, воспользовавшись таблицей кодов «0» - 01101111; «м» - 01101101; «д» - 01100100

код – 01100100 01101111 01101101 слово?

3) Запиши слово «еж», воспользовавшись таблицей кодов «ж» - 01110110; «е» - 01100101. При ознакомлении с правилом записи чисел с помощью цифр 0 и 1 в данной программе используется методический прием, предложенный А.Лельевр. Необходимо обуть в сапожки цаплю, Чиполлино, собачку и осьминога (каждый персонаж иллюстрирует определенный двоичный разряд, в зависимости от того, сколько сапожек ему требуется). Если герой обут, в соответствующей клетке записывают 1, если босиком – 0.

Таким образом, изображенный на экране компьютера рисунок помогает детям более осознанно воспринимать такое достаточно сложное для них математическое понятие, как двоичная запись числа. Опыт использования предложенной методики в школах города Омска показал, что изучение двоичной системы счисления с опорой на выявленные преемственные связи с десятичной системой в сочетании с применением описанной компьютерной программы позволяет успешно формировать первичные представления младших школьников о двоичной форме представления информации в ЭВМ.

Упражнения по системам счисления

Данный набор упражнений, предназначен для того, чтобы дать представление о системах счисления, причем, как предполагает автор, эти упражнения приведут учащегося к личным небольшим открытиям, если учащийся будет сопоставлять полученные решения. Хотя некоторые моменты теории имеют объяснение в тексте, предполагается, что ученик уже получил формальное представление об операциях, которые необходимо выполнить для решения задач, например для перевода чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения должны превратить формальные знания в понимание предмета. Для этого нужно решать задачи разных типов, и в данном наборе упражнений две или большее количество подобных друг другу задач приводятся для того, чтобы учащийся, сопоставив их решения, получил наглядную картину, раскрывающую некоторую закономерность. Поэтому при выполнении упражнений не нужно пренебрегать простыми, на первый взгляд, задачами, а доводить решение до конца, анализируя получаемые ответы.

Упражнениями можно пользоваться при занятиях как индивидуально, так и с преподавателем, который будет проверять правильный ход решения задач.

Данные упражнения знакомят с системами счисления. Мы будем придерживаться такого порядка, при обозначении чисел, что признак системы счисления не ставится, а для остальных – ставится. Рекомендуем применять принятые в русском языке названия чисел только к десятичной системе счисления, т. е. 10 десятичное – это «десять». Числа, представленные в других системах счисления, рекомендуем называть, просто перечисляя цифры, стоящие в числе, слева направо, например 10₈ называть «один ноль в восьмеричной системе счисления».

Чтобы приступить к пониманию систем счисления, нужно четко осознать различие между числом и цифрой. Запись любого числа в форме с фиксированной запятой состоит из цифр и одной запятой. В десятичной системе для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Числа в n-ричной системе счисления записываются с помощью n цифр. В n-ричной системе счисления число «n» носит название основания системы счисления. В 16-ричной системе счисления для получения 16 цифр кроме традиционных цифр используют первые буквы латинского алфавита. А, Е, С, D, E, F. Каждой цифре сопоставляется ее числовое значение. Для традиционных десяти цифр числовое значение цифры и сама цифра обозначаются одинаковыми словами: ноль, один, два и т.д. Цифры A, B, C, D, E, F имеют числовые значения, выраженные в 10-ой системе счисления, соответственно как 10, 11, 12, 13, 14, 15. При написании числа запятая разделяет целую и дробную часть числа. Положение цифры в числе, относительно запятой, называется позицией. Позиция, находящаяся сразу слева от запятой нумеруется числом 0, а справа от запятой числом -1. Номера позиции возрастают на 1 при движении от цифры к цифре вдоль числа справа налево. Каждой позиции в числе можно сопоставить число, называемое весом позиции. Возьмите номер позиции как степень и возведите в эту степень основание системы счисление и получите вес позиции. Значение числа получается, как сумма величин, каждая из которых вычисляется умножением числового значения цифры, стоящей в числе на некоторой позиции, на вес этой позиции. Если к числу, которое выражается одной цифрой, имеющей максимальное, среди всех цифр данной системы счисления, значение, прибавить 1, то получится число, запись которого, независимо от системы счисления, выглядит как «10» .

Рекомендации к выполнению упражнений:

1. Нужно делать все упражнения подряд, доводя решение до конца.

2. После получения решения, следует проанализировать, нельзя ли было получить решение более простым методом, чем был использован вначале.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10,2,3,8,16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27,32,1023,1024.

2. Решите задачу «Найти двузначное число (состоящее из двух цифр) сумма цифр которого в два раза меньше самого числа» в различных системах счисления (по основанию 2,3,5,8,10,16).

3. Составить таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме с «фиксированной запятой» в различных системах счисления, с основанием 10,2,3,8,16. Рассчитать и поместить в таблицу следующие величины:

0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625.

4. Перевести число из 16-ой системы счисления в двоичную систему счисления. 1) 1996, 2) 1А2В, 3)FFF, 4)C87,543, 5)D00,00Е, 6)110,101.

5. Составить таблицу сложения 8-ой системе

6. Составить таблицу сложения в 16-ой системе (В таблице все числа записаны в шестнадцатеричной системе)

7. Выполните действия в 16-ричной системе счисления, пользуясь таблицами сложения, полученными к задачам 3,4 и правилами сложения «в столбец», известными Вам еще с начальной школы.

FFFF+1996-BAC

8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятеричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:

«10-ричная->», «16-ричная->», «2-ичная->», «8-ричная->, «10-тичная»

В таблицу поместите следующие числа:

2,8,10,16,4,64,100,256,5,65,101,257,1024,1025.

9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ричную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.

Результаты изобразите в таблице:

«16-ричная-> 10-тичная-> 8-ричная-> 2-ичная-> 16-ичная»

В таблицу поместите следующие числа:

F₁₆ , FF₁₆ , FFFF₁₆ , 10₁₆ , 100₁₆ , 10000₁₆

10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:

1/2, 1/3,1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9

11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.

Примеры:

0,(3)=3/9=1/3

0,(15)=15/99=5/33

Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать «максимальную» цифру системы счисления.

Примеры:

0,(01001)₂ = 01001₂ /11111,=9/63=17₈

0,(1F)₁₆ =1F₁₆ /FF₁₆ =31/(16² -1)

0,(21)₃ =21₃ /22₃ =7/8

Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.

0,(1)₂ , 0,(10)₂ , 0,(1)₃ , 0,(10)₃ , 0,(1)₅ , 0,(10)₅ , 0,(1)₈ , 0,(10)₈ , 0,(1), 0,(10), 0,(1)₁₆ , 0,(10)₁₆ , 0,(2)₃ , 0,(20)₃ , 0,(4)₅ , 0,(40)₅ , 0,(7)₈ , 0,(70)₈ , 0,(9), 0,(90),0,(F)₁₆ , 0,(FO)₁₆ .

12. Уже в средней школе обучают: чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть. И отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятеричную?

13. Используя правила умножения целых чисел «в столбик» возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 111111111111111₁₆ , выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.

2.2. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними

Запись числа в десятичной системе счисления

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа 3х10³ +7х10² +4х10+5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х. называется его представление в виде: x = а _{n *} 10 ⁿ + a_{n -1} .10 ^{n -1} +… a ₁ .10+ a ₀ , где коэффициенты а _n , a_{n -1} ,…, a ₁ , a ₀ принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а _n =0.

Сумму а _n х10ⁿ +a_{n -1} x10^{n -1} +…+а₁ х10+а₀ в краткой форме принято записывать так: a_n a_{n -1} … a ₁ a ₀ .

Так понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х. можно представить в виде:

х = а_n *10ⁿ +a_n-1 *10^n-1 +…+a₁ *10+a₀ (1),

где а _n , a_{n -1} , …, a ₁ , a ₀ принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 10² , 10³ ,…, 10ⁿ ,… найдем наибольшую степень, содержащуюся в х , т.е.такую что 10ⁿ < x <10^{n +1} , что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10ⁿ . Если частное этих чисел обозначить через а _n , а остаток через х _n , то х-а _n * 10ⁿ +x_n , где а _n <10 и х. _n <10ⁿ . Далее, разделив х _n на 10^{n -1} , получим: х _n = a_{n -1} *10 ^{n -1} +x_n , откуда х= а _n *10 ⁿ + a_{n 1} *10 ^{n -1} + x_{n -1} , где a_{n -1} <10 и x_{n -1} <10 ⁿ . Продолжая деление, дойдем до равенства х₂ =а₁ *10+х₁ . Положив х₁ =а₀ , будем иметь х=а _n *10ⁿ +a_{n -1} *10^{n -1} +…+a₁ *10+a₀ ,т.е. число х. будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числах в десятичной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число n в равенстве (1) однозначно определяется условием 10ⁿ < x < 10⁺⁷ . После того как n определено, коэффициент а _n находят из условия: а _n * 10ⁿ < x <(a_n +1)*10ⁿ . Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты a_{n -1} ,… , a₀ .

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема . Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х = а _n *10ⁿ +a_n-1 *10^n-1 +…+a₁ *10+a₀ ,

y=b_m *10^m +b_m-1 *10^m-1 +…+b₁ *10+b₀

Тогда число х меньше числа у , если выполнено одно из условий:

а) n<m;

б) n=m, но a_n <b_n ;

в) n=m, a_n =b_n ,…,a_k =b_k , но a_k-1 <b_k-1 .

Доказательство. В случае а) имеем: так как n<m, то 10^{n +1} <10^m , а поскольку х< 10^{n +1} и 10^m < y , то x < 10^{n +1} < 10^m < y , т.е. х< y .

В случае б): если n = m , но а _n < b_n , то a_n +1< b_n и потому (a_n +1)*10ⁿ < b_n *10ⁿ . А так как х<(a_n +1)*10 ⁿ и b_n *10ⁿ < y , то x<(a_n +1)*10 ⁿ < b_n *10 ⁿ < y , то x < y .

Аналогично доказывается теорема и в случае в).

Например, если х= 3456,а у =3467, то х< y , так как число тысяч и сотен в записи одинаковое, но десятков в числе х меньше, чем десятков в числе у .

Если натуральное число л; представлено в виде х= a_n *10 ⁿ + a_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ a ₁ *10+ a ₀ , то числа 1,10,10² ,…,10ⁿ называют разрядными единицами соответственно первого, второго, …, n + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно10 – основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют

первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки , сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс – класс миллионов , состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1*10+а₀ ) образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова десять («дцать»):

Одиннадцать – один на десять,

Двенадцать – два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два» и «десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2*10+а₀ ) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два,…, сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча .

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование – миллион . Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число – тысяча миллионов – носит особое название миллиард . Миллион миллионов называется биллионом . В вычислениях миллион принято записывать в виде 10⁶ , миллиард – 10⁹ , биллион – 10¹² . По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион – 10¹⁵ , квадриллион – 10¹⁸ и т.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000+700+40+5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например,

341

+7238

7579

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341+7238=(3*10² +4*10+1)+(7*10³ +2*10² +3*10+8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3-10² +4-10+1+7-10³ +2-10² +3-10+8

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7*10³ +3*10² +2*10² +4*10+3*10+1+8. Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:7*10³ +(3*10² +2*10² )+(4*10+3*10)+(1+8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10² , а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7*10³ +(3+2)*10² +(4+3)*10+(1+8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7*10³ +5*10² +7*10+9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7*10² +4*10+8)+(4*10² +3*10+6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7+4)*10² +(4+3)*10+(8+6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8/+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1*10+4:

(7+4)*10² +(4+3)*10+(1*10+4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7+4)*10² +(4+3+1)*10+4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде 1*10+1, получаем: (1*10+1)*10² +8*10+4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748+436=1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа: х=а _n *10 ⁿ + a_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ a ₁ *10+ a ₀ и y = b_n +10 ⁿ + b_{n -1} +…+ b ₁ *10+ b ₀ , т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х=у одинаково, х+у = а _n *10 ⁿ + a_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ a ₁ *10 + a ₀ ) + ( b_n *10 ⁿ + b_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ b ₁ *10+ b ₀ )=( a_n + b_n )*10 ⁿ +( a_{n -1} + b_{n -1} )*10 ^{n -1} +…+(a₀ +b₀ ) - преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (a_n + b_n )*10 ⁿ +( a_{n -1} + b_{n -1} )*10 ^{n -1} +…+( a ₀ + b ₀ ) , вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х.+у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы a_k + b_k не превосходит 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее k , для которого a_k + b_k > 10 . Если a_k + b_k > 10, то из того , что0< a_k < 9 и 0 < b_k < 9, следует неравенство 0< a_k + b_k < 18 и поэтому a_k + b_k можно представить в виде a_k + b_k =10+ c_k , где 0< c_k < 9. Но тогда (a_k + b_k )* 10^k = (10+c_k )-10^k = 10^{k +1} + c_k * 10^k . В силу свойств сложения и умножения в (aⁿ + b_n )*10ⁿ +…+(a ₀ + b ₀ ) слагаемые (a_{k +1} + b_{k +1} )*10^{k +1} + (a_k + b_k )*10^k могут быть заменены на (a_{k +1} + b_{k +1} + 1)*10^{k +1} +c_k * 10^k . После этого рассматриваем коэффициенты a_n + b_n , a_{n -1} + b_{n -1} , …, a_{k +2} + b_{k +2} , a_{k +1} + b_{k +1} + 1, выбираем наименьшее s , при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через n шагов придем к выражению вида: x + y = (c_n + 10)*10ⁿ +…+ c ₀ , где c_n =0, или х + у= 10^{n +1} +c_n * 10ⁿ +…+ c ₀ , и где для всех n выполняется равенство 0 < c_n < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х+ у.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения. Он позволяет сформулировать в общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления.

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду десятков.

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а₀ + b ₀ = 1*10+с₀ , где с₀ – однозначное число; записывают с₀ в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а , не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с , что b + c = a , и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < a , то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231= (4*10² +8*10+5)-(2*10² +3*10+1). Чтобы вычесть из числа 4*10² +8*10+5 сумму 2*10² +3*10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4*10² +8*10+5)-(2*10² +3*10+1)=(4*10² +8*10+5)-2*10² -3*10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2*10² вычтем из слагаемого 4*10² , число 3*10 – из слагаемого 8*10, а число 1 – из слагаемого 5, тогда:

(4*10² +8*10+5)-2*10² -3*10-1=(4*10² -2*10² )+(8*10-3*10)+(5-1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4-2)*10² +(8-3)*10+(5-1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2*10² +5*10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485-231=254. Выражение (4-2)*10² +(8-3)*10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_ 485

231

254

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760-326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

760-326= (7*10² +6*10+0)-(3*10² +2*10+6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц-десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение: (7*10² +5*10+10)-(3*10² +2*10+6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7-3)*10² +(5-2)*10+(10-6) или 4*10² +3*10+4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,760-326=434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числа х=а _n *10 ⁿ + a_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ a ₁ *10+ a ₀ и y = b_n *10 ⁿ + b_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ b ₁ *10+ b ₀ . Известно также , что y < x . Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

x-y= (a_n -b_n )*10ⁿ +(a_n-1 -b_n-1 )*10^n-1 +…+(a₀ –b₀ ) (1)

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех k выполняется условие a_k > b_k . Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее k , для которого a_k < b_k . Пусть m – наименьший индекс, такой, что m > k и a_m =0, а a_{m -1} =… a_{k +1} =0 . Имеет место равенство a_m *10 ^m =( a_m - 1)*10^m +9*10^{m -1} +…+ 9*10^{k +1} +10*10^k (например, если m =4, k =1, a_m =6, то 6*10⁴ = 5*10⁴ +9*10³ +9*10² +10*10). Поэтому в равенстве (1) выражение (a_m - b_m )*10 ^m +…+( a_k - b_k )*10 ^k можно заменить на (a_m - b_m -1)*10 ^m +(9- b_{m -1} )*10 ^{m -1} +…+ (9- b_{k +1} )*10 ^{k +1} +( a_k +10- b_k ). Из того, что a_k < b_k <10, вытекает неравенство 0<10+ a_k - b_k < 10, а из того, что 0< b_s <9, вытекает неравенство 0< 9-b_s <10, где k+1<s<m-1. Поэтому в записи х-у=(а _n - b_n )*10 ⁿ +…+( a_m - b_m -1)*10 ^m +(9- b_{m -1} )*10 ^{m -1} +…+(9- b_{k +1} )*10 ^{k +1} +( a_k +10- b_k )*10 ^k +…+( a ₀ - b ₀ ) все коэффициенты с индексом, меньшим m , неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам a_n - b_n ,…, a_m - b_m -1, через n шагов придем к записи разности х-у в виде x - y = c_n *10 ⁿ + c_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ c ₀ , где для всех k выполняется неравенство 0< c_k <10. Если при этом окажется, что c_n =0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b ₀ > a ₀ , а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10+а₀ число b ₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1. Все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b ₀ из 10+ a ₀ , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263. 428

Видим, что для получения ответа нам пришлось ^х 263

Умножить 428 на 3,6, и 2,т.е. умножить многозначное 1284

Число на однозначное; но, умножив на 6, результат +2568

записали по-особому, поместив единицы числа 856

2568 под десятками числа 1284, так как умножали 112564

на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

- складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4*10² +2*10+8 и тогда 428*3=(4*10² +2*10+8)*3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4*10² )*3+(2*10)*3+8*3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12*10² +6*10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12*10² +6*10+24 – коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1*10+2, а число 24 в виде 2*10+4. Затем в выражении (1*10+2)*10² +6*10+(2*10+4) раскроем скобки: 1*10³ +2*10² +6*10 +2*10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6*10 и 2*10 и вынесем 10 за скобки: 1*10³ +2*10² +(6+2)*10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1*10³ +2*10² +8*10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428*3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить x = a_n *10 ⁿ + a_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ a ₀ на однозначное число у :

x*y=(a_n *10ⁿ +a_{n -1} *10 ^{n -1} +…+ a ₀ )* y =( a_n * y )*10+( a_{n -1} * y )*10 ^{n -1} +…+ a ₀ * y , причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения a_k * y , где 0< k < n , соответствующими значениями a_k * y = b_k *10+ c и получаем: x * y = ( b_n 10+ c_n )*10 ⁿ +( b_{n -1} *10+ c_{n -1} )*10 ^{n -1} +…+( b ₁ *10+ c ₁ )*10+( b ₀ *10+ c ₀ )= b_n *10 ^{n +1} +( c_n + b_{n -1} )*10 ⁿ +…+( c ₁ + b ₀ )*10+ c ₀ . По таблице сложения заменяем суммы c_k + b_{k -1} , где 0< k < n и k =0,1,2,.., n , их значениями. Если, например, c ₀ однозначно, то последняя цифра произведения равна m , а к скобке (с+ b ₀ ) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х*у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа a_n a_{n -1} … a ₁ a ₀ на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х. на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х. на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q₁ +c₀ , где c₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ – перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у , прибавляем к полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп.2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х. на число вида 10* сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей.

Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428*263. Представим число 263 в виде суммы 2*10² +6*10+3 и запишем произведение 428*(2*10² +6*10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428*(2*10² )+428*(6*10)+428*3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428*2)*10² +(428*6)*10+428*3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х. и у – многозначные числа, причем y = b_m *10 ^m + b_{m -1} *10 ^{m -1} +…+ b ₀ . В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: x * y = x *( b_m *10 ^m + b_{m -1} *10 ^{m -1} +… + b ₀ )=( x * b_m )*10 ^m +( x * b_{m -1} )*10 ^{m -1} +…+ x * b ₀ . Последовательно умножая число х на однозначные числа b_m , b_{m -1} ,…, b ₀ , а затем на 10^m , 10^{m -1} ,…, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х*у . Приходим к алгоритму умножения числа

x=a_n a_n-1 …a₁ a₀ на число y=b_m b_m-1 …b₁ b₀

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у .

2. Умножаем число х на младший разряд b ₀ числа у и записываем произведение x * b ₀ под числом у .

3. Умножаем число х на следующий разряд b ₁ числа у и записываем произведение x * b ₁ , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению x * b ₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления x * b_{k .} .

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428*3=(400+20+8)* 3=400*3+20*3+8*3=1200+60+24=1284. Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r , что a = bq + r , причем 0< r < b .

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9*6-54. Если же надо разделить 51 и 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45:51-45=6. Таким образом 51=9*5+6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:

_51|_9

45 5

6

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 – это значит найти такое неполное частное q и остаток r , что 378= 4q + r , причем остаток r должен удовлетворять условию 0< r<b, а неполное частное q – условию 4q< 378<4(q+1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q . Если число q двузначное, т.е. если 10<q<100, то тогда 40<4q<400 и, следовательно, 40<378<400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 – число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20,30,40 и т.д. Поскольку 4*90=360, а 4*100=400, и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q =90+ q ₀ . Но тогда должны выполняться неравенства: 4*(90+q₀ )<378<4* (90*q+q₀ +1), откуда 360+4q₀ <378<360+4*(q₀ +1) и 4q₀ <18<4(q₀ +1). Число q₀ (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q₀ =4 и, следовательно, неполное частное q-90+4=94. Остаток находится вычитанием: 378-4*94=2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378-4*94+2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

378| _4

-36 94

18

-16

2

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление – значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316=52q+r, 0< r<52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q<4316<52(q+1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q – двузначное число), так как 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20,30,40,50 и т.д. Поскольку 52*80=4160, а 52*90=4680 и 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т. е. q=80+q₀ . Но тогда должны выполняться неравенства:

52*(80+q₀ )< 4316<52*(80+q₀ +1),

4160+52q₀ < 4316<4160+52*(q₀ +1),

52q₀ < 156<52*(q₀ +1).

Число q₀ (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156=52*3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

43161|_52

-416

156

-156

0

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если a = b , то частное q =1, остаток r =0.

2. Если a > b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как a <10 b . Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел a и b .

3. Если a > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b , то записываем делимое а и справа от него делитель b , который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d ₁ , больше или равное b . Перебором находим частное q ₁ чисел d ₁ и b , последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q ₁ под уголком (ниже b ).

б) умножаем b на q ₁ и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq ₁ был написан под младшим разрядом выделенного числа d ₁ .

в) проводим черту под bq , и находим разность r ₁ = d ₁ - bd ₁ .

г) записываем разность r ₁ под числом bq ₁ , приписываем справа к r ₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d ₂ с числом b .

д) если полученное число d ₂ больше или равно b , то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q ₂ записываем после q ₁ .

е) если полученное число d ₂ меньше b , то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d ₃ , большее или равное b . В этом случае записываем после q ₁ такое же число нулей. Затем относительно d ₃ поступаем согласно пп. 1,2. Частное q ₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа a окажется, что d ₃ < b , то тогда частное чисел d ₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r = d ₃ .

2.3. Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления.

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.

Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений – одна из основных задач изучения действий над многозначными числами.

Порядок изучения вопросов в концентре «Многозначные числа» такой: нумерация, сложение и вычитание, умножение и деление.

Основные задачи учителя при изучении темы «Многозначные числа» - сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице второго класса; опираясь на понятие класса, научить читать и записывать многозначные числа; обобщить знания детей о нумерации целых неотрицательных чисел.

На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, о принципах записи трехзначных чисел. С этой целью на уроках, предшествующих изучению нумераций многозначных чисел, включают такие задания:

1) Сколько единиц в одном десятке, сколько десятков в одной сотне. Не сколько одна сотня меньше тысячи, во сколько раз десяток большие единицы, во сколько раз десяток меньше сотни, как по-другому называется десяток миллиметров, сотня сантиметров и т. п.?

2) Какое число состоит из 7 сотен 5 десятков; из 2 единиц III разряда, 2 единиц II разряда и 2 единиц I разряда? Сколько единиц каждого разряда в числе 995? Сколько в нем всего единиц, сколько всего десятков? Замените число 380 (308, 388) суммой разрядных слагаемых.

3) Присчитывайте (отсчитывайте) по 1 (по 10,50,100), начиная с числа 500; назовите число, следующее при счете после числа 199, предшествующее числу 300.

4) Запишите число 909. Сколько всего цифр потребовалось для записи? Сколько различных цифр использовано? Что обозначает каждая цифра? Запишите этими же цифрами другое число. Что теперь обозначает цифра 0 (отсутствие единиц первого разряда)? Запишите с помощью цифры 8 трехзначное число. Что обозначает цифра 8, стоящая в числе на первом (втором, третьем) месте справа?

При повторении нумерации чисел в пределах 1000 целесообразно упражнять детей в обозначении чисел на счетах.

Полезно заранее сообщить детям о том, что они скоро будут учиться считать до миллиона и записывать многозначные числа, предложить несколько устных заданий на присчитывание с выходом за 1000. Это способствует появлению интереса у детей к данной теме, активизирует их познавательную деятельность.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с того, что повторяют, как можно получить тысячу. Присчитывая по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное число – 1000. Используя счеты, повторяют также образование разрядных единиц в результате группировки предшествующих, более мелких единиц (10ед.= 1дес.; 10 дес.=1сот.; 10сот.=1 тыс.).

Основными наглядными пособиями являются счеты и нумерационная таблица (таблица разряда классов). Полезно эти пособия иметь не только для обще классного, но и для индивидуального пользования.

Учитель объясняет, что тысячи можно считать как простые единицы (1 тыс., 2 тыс. и т.д.) и группировать их в десятки и сотни. Используя счеты, ведут счет единиц тысяч до 10 тысяч, которые заменяют 1 десятком тысяч и, получив 10 десятков тысяч, заменяют их 1 сотней тысяч, наконец, считают сотни тысяч до 10 и заменяют 10 сотен тысяч 1 миллионом. Целесообразно образование новых разрядных единиц зафиксировать в записи:

10ед.тыс.= 1дес.тыс., 10дес.тыс.= 1сот.тыс., 10сот.тыс.= 1млн., расположение ее столбиком рядом с предыдущими записями.

Затем идет работа с нумерационной задачей, в которой обозначены названия всех разрядных единиц от единиц до сотен тысяч. Учитель дает пояснение (или дети читают по учебнику) о том, что единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч (соответствующие записи вносятся в таблицу). Полезно затем сравнить I и II классы и установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда в 10 раз больше предыдущей, но в I считают и группируют единицы, а во II классе – тысячи.

Далее изучают числа II класса (круглые тысячи). Начать работу можно с изображения чисел на счетах. Дети вспоминают, где на счетах откладывают единицы, десятки, сотни (т.е. числа I класса), а где – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч (числа II класса). Помочь детям запомнить расположение на счетах разрядных единиц можно так: на вертикальную планку счетов прикрепить бумажную полоску с номерами классов и разрядов. Сначала учащиеся обозначают на счетах числа I класса (например, 7,97,697,600 и т.п.), а затем – числа II класса (7тыс., 47тыс., 547тыс.). Последнее упражнение можно повторить, отложив на счетах числа «потруднее»: 670тыс., 600тыс. и т. д.

Аналогичная работа может быть проведена по нумерационной таблице, (начерченной на доске и в тетрадях или данной в учебнике), но основное внимание теперь надо обратить на особенности записи чисел II класса. На этом этапе рассматривается также десятичный состав чисел II класса: «Назовите число, в котором 3 сотни тысяч и 5 десятков тысяч (3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч). Сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.? сложите числа 500000+40000+8000; замените число 675000 суммой разрядных слагаемых.

В результате выполнения таких упражнений учащиеся придут к обобщению: числа II класса образуются из тысяч точно так же, как числа I класса из единиц; при чтении чисел II класса добавляют слово «тысячи», а на письме пишут в классе тысяч, то есть пишут цифрами на четвертом, пятом, шестом местах, считая справа налево.

На следующем этапе приступают к изучению нумерации многозначных чисел, состоящих из единиц первого и второго класса. Первые упражнения можно провести, используя нумерационную таблицу.

На уроках при изучении нумерации важно использовать материал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей страны и братских стран, достижения в завоевании космоса. С этой целью полезно организовать сбор детьми интересных числовых данных с записью их в индивидуальные или общеклассные справочники.

Далее, дети не только учатся читать и записывать многозначные числа в пределах миллиона, но и более подробно останавливаются на десятичной составе чисел, а также на их натуральной последовательности. Все эти вопросы рассматриваются во взаимосвязи.

На следующем этапе переходят к закреплению знаний и умений учащихся. Закреплению знаний по нумерации помогают упражнения в преобразовании натуральных чисел и величин – замена мелких единиц крупными и обратно, замена мелких единиц крупными и обратно, замена крупных единиц мелкими. В начале эти задания выполняются на основе нумерации, а потом уже способы преобразований обобщаются в виде правил.

Например: 50=5дес., 100=10дес., 120=10дес.+2ед.=12дес.

Сравнивая числа, дети делают вывод, чтобы выразить в десятках круглое число, надо отбросить в нем справа один нуль. Так же можно подвести детей к выводу о замене единиц сотнями (отбросить в числе справа три нуля). Аналогично учащиеся подводятся к выводу о том, как произвести обратное преобразование, то есть как заменить десятки, сотни и тысячи простыми единицами (к числу десятков надо приписать справа один нуль, к числу сотен – два, к числу тысяч – три нуля).

Заканчивая работу над темой, целесообразно систематизировать знания детей по нумерации. С этой целью можно предложить учащимся охарактеризовать какое-либо данное многозначное число, например, 9409.

Понимать происхождения математических понятий, роли и значения математического метода исследования реального мира является необходимым условием сознательного и глубокого усвоения детьми школьной программы по математике. Уроки по учебнику Л.Г. Петерсон (2 кл.) обладают также огромными возможностями эмоционального воздействия на детей, организации их творческой деятельности и формирования познавательных интересов.

Формы проведения этих уроков могут быть самыми разнообразными, однако они пройдут тем успешнее, чем активнее дети будут включены в исследовательскую творческую деятельность. Например, как уже отмечалось, можно предложить им заранее (примерно за 1-2 недели до изучения данной темы) прочитать текст учебника на стр. 46-58, а затем за несколько дней до уроков разбить этот текст на части и распределить между учениками для пересказа. Тогда рассказчиком будет не учитель, а сами дети. При этом рассказ может дополняться в ходе обсуждения различной информацией, которую учитель и дети с помощью родителей найдут в книгах, журналах, энциклопедиях – любой популярной литературе по истории математики. На этих уроках уместно использование соответствующих таблиц, иллюстраций, диапозитивов, фрагментов учебных кинофильмов и даже инсценировок. С большим интересом обычно дети выполняют задания по содержанию тем, например:

- назовите число 21, пользуясь папуасскими названиями «окоза» и «урапун»;

- изобразите равенства 3+2=5 и 6-2=4 с помощью сложения и вычитания совокупностей предметов;

- запишите число 1 328 в египетской системе записи чисел;

- запишите арабскими цифрами число, записанное в вавилонской нумерации (60х2+34=120+34=154)

- запишите арабскими цифрами числа: XXXIV, CXVIII, DCXXIX, CMLXVII (34, 128, 629, 967).

- запишите римскими цифрами: 23, 48, 154, 56, 75, 139, 164,421,973

(XXXII, XLVIII, LVI, LXXV, CXXXIX, CLXIV, CDXXI,CMLXXIII).

Для подготовки детей к изучению многозначных чисел проводится игра «Путешествие во времени». Для этой игры каждый ребенок должен подготовить набор цифр от 0 до 9. К доске выходят три ученика (например, Саша, Лена, Таня). Класс на «машине времени» переносится в те времена, когда люди считали предметы с помощью пальцев. Учащиеся у доски – «счетчики». Определяется их порядок справа налево, например:

III II I

Саша – Лена - Таня

считает сотни считает десятки считает

единицы

Значит, пальцы Тани будут обозначать число единиц, пальцы Лены – число десятков, а Сашины пальцы – число сотен. Чтобы всему классу было понятно, сколько пальцев согнуто у каждого счетчика, надо условиться вместо непосредственного загибания пальцев показать соответствующую цифру (например, если Тане надо загнуть три пальца, то она показывает цифру 3). Учитель или кто-либо из учеников предлагает «папуасский» вариант чтения чисел, а учащиеся должны перевести его на современный язык. Так, если учитель называет число: 8 пальцев Саши, 2 пальца Лены, 5 пальцев Тани, то «счетчики» показывают карточки: 8, 2, и 5, а учащиеся класса читают число: восемьсот двадцать пять.

На 16-м уроке можно предложить учащимся моделирование чисел в пределах миллиона. Опишу примерный ход игры:

- назовите число: 6 пальцев Саши, 3 пальца Лены, 9 пальцев Тани (639).

- увеличьте его на 1. Сколько пальцев должны загнуть Саша, Лена и Таня? (Таня показывает число 10 и условно «передает» 1 десяток Лене, оставляя себе 0. Лена заменяет число 3 числом 4, а Саша продолжает показывать 6. Получается число 640).

- назовите число 8 пальцев Саши, 9 пальцев Саши, 9 пальцев Лены и 9 пальцев Тани (899).

- увеличьте его на 1(повторяется процесс наполнения соответствующих разрядов 10 единицами и увеличения следующего старшего разряда на 1, Получается число 900).

- какое самое большое число могут показать Саша, Лена и Таня? (999). Какое число ему предшествует? (998). Какое число за ним следует? (Повторяется процесс наполнения каждого разряда 10 единицами, однако Саше некому передать единицу высшего разряда). Поэтому вызывается еще 1 ученик и они вчетвером показывают 1 000. Таким же образом продолжается рассмотрение четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел, например:

5 763, 9 999, 10 000, 24 999, 25 000, 99 999, 100 000, 386 903.

На 17-м уроке игра продолжается. Аналогично рассматриваются несколько шестизначных чисел. А потом учитель ставит вопрос – что делать. Если будут заполнены все разряды, включая сотни тысяч? Вводятся один за другим счетчики для миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, затем для миллиардов, десятков миллиардов, сотен миллиардов. Очевидно. Что для чтения чисел, которые показывают счетчики, надо назвать. Сколько в этих числах миллиардов, миллионов, тысяч и единиц. Чтобы легче было называть числа. Дети обычно предлагают счетчикам сгруппироваться по три. Появляются классы – единицы, тысячи, миллионы и миллиарды:

Счетчики показывают цифры в своих разрядах, а остальные учащиеся называют все число, например: 4 352 716, 9 999 999, 10 000 000, 57 000 820, 99 999 999, 100 000 000, 386 079 999, 386 080 000, 999 999 999, 1 000 000 000, 35 912 042 140, 709 566 000 015 и др.для этих чисел можно обсуждать вопросы, аналогичные тем, которые ставились на предыдущем уроке.

Таким образом, игра поможет учащимся еще до введения многозначных чисел освоить соответствующую терминологию, структуру многозначных чисел, переход из одного разряда в другой. Здесь же можно обсудить с ними еще 2 важных момента:

1) Одна и та же цифра в разных разрядах обозначает разные числа.

2) Отсутствующие разряды необходимо обозначать нулями. Например, если в числе 709 566 000 075 убрать нули (учащиеся с цифрой 0 отходят в сторону), то все разряды сместятся и полученное новое число 7 956 675 выражает совершенно другое количество.

Игру «Путешествие во времени» можно использовать в дальнейшем на всех уроках по нумерации многозначных чисел, меняя местами « счетчиков» (тех, кто показывает числа) и «путешественников» (тех, кто их называет).

Итак, на данных уроках у детей не только формируется представление об основных этапах развития понятия числа, но и готовится изучение следующей темы – многозначные числа. Здесь можно также предложить учащимся творческие работы: написать небольшие рефераты, сделать рисунки. Дополнительный материал исторического характера можно найти в указанной выше книге Н.Я. Виленкина, И.Я. Депмана «За страницами

2.2. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Самый простой счет – это счет двойками. В этом счете за основу взято число два. Две единицы образуют уже второй разряд – разряд двоек, две двойки – это третичный разряд – разряд четверток. Следующий разряд – это восьмерки и т. д.

Число в двоичной системе изображается только двумя цифрами – единицей и нулем. Единица второго разряда – это два. Единица третьего разряда – это четыре, так как 2x2=4, единица четвертого разряда – восемь, так как 2х2х2=8, пятого – 9х2=16 и т. д.

В двоичной системе число 101 – это не сто один. В этом числе последняя цифра – разряд единиц – один. Нуль показывает, что второго разряда, то есть двоек, нет. Первая в числе единица – это единица третьего разряда, т.е. четвертка, следовательно, 101 – это 4+0+1=5. А в числе 1110 по двоичной системе, единиц – нуль, то есть, их нет. Во втором разряде – одна двойка, в третьем разряде – одна четвертка, в четвертом – цифра1 означает, что в этом случае ее надо принять за 8.

Все число составит 8+4+2+0=14

В прошлом некоторые народы продолжительное время при счете применяли двоичную систему счисления. Например, в Австралии были племена, которые считали так: один – это «энэа», два – «петчевал», три – «петчевал-энэа», т.е. два и один, четыре – «петчевал-петчевал», (два и два).

Первоначально и в древнем Египте считали двойками, что подтверждают записи в более древних папирусах.

Счет двойками в наше время сыграл большую роль при создании электоронно-вычислительных машин. Все первые электронно-вычислительные машины работали на двоичной системе счета. Теперь в таких машинах используют не только двоичную, но и другие системы счисления, что позволяет увеличить скорость действия машин. Вычисления в двоичной системе счисления самые простые. Но они требуют длинных записей, на что тратиться много времени.

Пятеричная и десятеричная системы счисления.

Считать можно по-разному. Например, сосчитал до 5 – загни палец правой руки. Сосчитал еще пять предметов – загни второй палец той же руки и т. д. Когда все пальцы руки загнуты, то загибают один палец на левой руке, а пальцы правой руки разгибают. Дальше счет продолжают снова, загибая своей правой руки или другого человека. Пять согнутых пальцев правой руки означают 5х5=25, три загнутых пальца левой руки выражают число 25х3=75, пять пальцев той же руки означают число 25х5=125, такой способ счета называют пятеричным, так как в его основе лежит число пять.

Современная десятичная система счета сложилась несколько тысячелетий назад одновременно у многих народов. В основе этой системы оказалась десятка благодаря тому, что у человека на руках 10 пальцев, которыми при счете он постоянно пользовался. Однако некоторые народы в древности пользовались смешанной пятерично-десятнричной системой счисления. Примером, подверждающим это, служит римская нумерация. В римской нумерации имеются особые знаки: цифры, для обозначения пяти – V, десяти – Х, пятидесяти – L, ста – С, пятисот – D.

Двоичная и троичная системы счисления.

Особый интерес представляет двоичная система счисления. В ней используются только два знака для записи чисел, а именно цифры 0 и 1. Приводим таблицу чисел натурального ряда в двоичной системе счисления.

Десятеричная система счисления Двоичная система счисления

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

В этой системе счисления совсем просто выполняются действия. Рассмотрим, например, сложение следующих чисел: 100101

10011

11101

101001

110011

___________

10110001

Как видим, эта операция выполняется очень легко. Так же легко выполняются остальные действия. Единственный недостаток этой системы – громоздкость записи чисел.

В современной вычислительной технике в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутренне представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизирую описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводится порознь. Для перевода целой части (или простого целого числа) необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число. Например:

25:2=12(1),

12:2=6(0),

6:2=3(0),

3:2=1(1),

1:2=0(1).

Таким образом, 25₍₁₀₎ =11001₍₂₎

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т. д. заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:

0,73х2=1,46 (целая часть 1),

0,46х2=0,92 (целая часть 0),

0,92х2=1,84 (целая часть 1),

0,84х2=1,68 (целая часть 1), и т. д.

В итоге: 0,73₍₁₀₎ =0,1011…₍₂₎

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать эти таблицы.

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе.

Заметим, что при двоичном сложении 1+1 возникает перенос единицы в старший разряд – точь-в-точь как в десятичной арифметике:

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную производится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью делений и умножений на 8. Например, переведем число 58,32₍₁₀₎

58:8=7 (2 в остатке)

7:8=0 (7 в остатке)

0,32х8=2,56

0,56х8=4,48

0,48х8=3,84… Таким образом, 58,32₍₁₀₎ =72243…₍₈₎ (из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой).

Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную производится аналогично.

С практикой точки зрения представляет интерес процедура преобразования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для этого воспользуемся таблицей чисел от 0 до 15 (в десятичной системе счисления), представленных в других системах счисления.

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр),а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент. Например:

11011001=11011001, т.е. 11011001₍₂₎ =331 ₍₈₎

Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичной триадой».

Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится путем разбиения данного числа на группы по 4 цифры – «двоичные тетрады»:

1100011011001=1100011011001, т.е. 1100011011001₍₂₎ =1809₍₁₆₎

Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадцатеричную системы аналогичное разбиение на тирады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):

01100011101₍₂₎ =0,110001110100=0,6164₍₈₎ ,

01100011101₍₂₎ =0,110001110100=0,674₍₁₆₎

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные производится обратным путем – сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четвертки) двоичных цифр.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа два. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатеричной систем в вычислительной технике и программировании. Это особенно верно применительно к налогообложению, где различие между налоговой системой (налоговым законодательством, налоговой политикой) и налоговым администрированием (институтом налоговой службы) провести не так просто, как в других областях экономической политики. Хорошее налоговое администрирование – это хорошая налоговая политика. Самая лучшая налоговая политика, которая «не работает», поскольку налоговое администрирование не способно провести ее в жизнь, - заслуживает низкой оценки. Какие бы реформы ни проводились в налоговом администрировании, важно всегда учитывать возможное влияние этих реформ на налоговую политику и на другие элементы фискальной системы. Налоговая система основывается на законодательстве, определяющем налоговую политику и гражданские правоотношения, и налоговом администрировании. [11;30]

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для примера, эта таблица иллюстрирует сложение и умножение восьмеричных чисел.

Есть еще один способ пе5ревода чисел из одной системы счисления в другую – метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе. Например, число 114₍₁₀₎ : 114-2⁶ =114-64=50,

50-2⁵ =50-32=18

18-2⁴ =2

2-2¹ =0

Таким образом, 1141₍₁₀₎ =1110010₍₂₎ 114-1х8² =114-64=50

50-6х8¹ =50-48=2

2-2х8⁰ =2-2=0

Итак: 114₍₁₀₎ =162₍₈₎

Десятичная Соответствие чисел в различных системах счисления.

Как уже отмечалось, для сложения умножения однозначных чисел в позиционных системах составляются соответствующие таблицы. Они используются как при вычитании и делении однозначных чисел, так и при действиях с многозначными числами.

Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней – это 0,1,2. Число 3 записывается 10₃ . Число 4₍₁₀₎ имеет вид 11₃ , так как 4₁₀ =1х3+1=11₃ .

Аналогичным образом находим запись и других чисел в троичной системе. Таблицу сложения удобно представить в таком виде, где на пересечении стоки и столбца стоит сумма.

Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления. Например, 1221₃ +122₃ =2121₃ , в то время как, выполнив сложение «столбиком», получаем: ₊ 1221

122

2120

Этой же таблицей можно пользоваться, выполняя вычитание чисел в троичной системе счисления: _- 2110

212

1121

Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе вид:

На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел. Найдём, например, произведение 122 х 22:

122

22

1021

1021

10231

Отметим, что сложение полученных неполных произведений выполняется в третичной системе счисления. Опираясь на эту таблицу, выполняют деление чисел, записанное в троичной системе счисления, например: 10011 12

12 122

111

101

101

101

0 10011 : 12 = 122

Из вышеуказанного известно, что римская система относится к непозиционным системам счисления. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обозначается – I, пять – V, пятьдесят – L, сто – C, пятьсот – D, тысяча – М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV – четыре, ХС – девяносто. Запишем несколько чисел в римской нумерации. 193 – это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс три (III), следовательно, число 193 записывается как СХСIII.

564 – это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (Х) плюс четыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, число 564 записывается DLXIV, а число 2708 – MMDCCVIII. Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его записи в римской нумерации пользуются повторением знака М. Вообще же числа четырех-, пяти-, и шестизначные записывались с помощью буквы m (от латинского слова mille – тысяча), слева от которой записывали тысячи, а справа – сотни, десятки, единицы. Так, запись CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133842.

В России доXVII в. В основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак – титло.

Естественно, что такие системы записи чисел, как римская и славянская, были удобнее, чем зарубки на бирках, поскольку позволяли записывать большие числа. Однако, выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Поэтому на смену им пришла десятеричная система счисления.

Заключение

Обобщая выше изложенное, можно сделать следующий вывод: овладение основами математики немыслимо без целенаправленного и многоаспектного изучения систем счисления. Целенаправленная работа по изучению систем счисления положительно сказывается на формировании вычислительных навыков.

В данной работе выявлены лучшие моменты и положения методики изучения систем счисления разных авторов.

В ходе работы меня очень заинтересовали формы подачи материала и содержание. Многие учителя стараются обучать не только по учебнику, но и внести что-то новое. Разнообразить урок, повысить работоспособность учащихся на занятиях математикой поможет изучение систем счисления, отличных от десятичной.

Просмотрев работы передовых методистов и учителей, пришли к выводу, что эффективность применения систем счисления, отличных от десятичной, в начальной школе зависит от применения более интересных и разнообразных методов работы, от использования знаний и опыта детей и опоры на них. В результате активизируется мыслительная деятельность учащихся, формируются вычислительные навыки, развивается логическое мышление, творческое воображение.

Таким образом, при систематическом изучении систем счисления у учащихся развивается кругозор, углубляются представления о математике, и воспитывается настойчивость в достижении цели.

Обобщая написанное, необходимо заключить, что изучение десятичной системы счисления, а также систем счисления отличных от десятичной, очень важны для формирования вычислительных навыков и умственного развития учащихся.

Мы считаем, что предложенные методики ознакомления младших школьников с системами счисления могут быть реализованы в практику начального образования.

Литература

1. Акимова С. Занимательная математика. – СПб: Тригон, 1997. – 608 с.

2. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. Моро М.И., Пышкало А.М. – М.,1997.

3. Александрова Э.И. Математика 2 класс – Харьков – Москва.: Инфолайн, 1995. – 173 с.

4. Амосова Н.В. Математические олимпиады школьников // Начальная школа. – 1995 - №5. – С.13.

5. Аргинская И.И. Математика. 2 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. – М., 1996.

6. Аргинская И.И. Математика. 3 класс. Пособие для учителя. – М., 1996.

7. Архипова С.Е. Нестандартные задачи как средство развития математического мышления младших школьников// Вопросы обучения и воспитания младших школьников. – Моргауши, 1990.

8. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. – Ростов-на-Дону, 1972.

9. Бабкина Н.В. Использование развивающих игр и упражнений в учебном процессе // Начальная школа. – 1998. - №4. –С.11.

10. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Знание, 1981.

11. Большая советская энциклопедия. – М., 1975.

12. Бондаренко С.М. Учите детей сравнивать. – М.: Знание, 1981.

13. Виленкин Н.Я. Воспитание арифметического мышления// Начальная школа. – 1988, №12.- С. 34-37.

14. Глейзер И.К. История математики в школе. – М., 1983.

15. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. М.: Учпедгиз, 1961. – 171 с.

16. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обученя. – М.: Педагогика, 1986.

17. Занков Л.В. Проблема обучения и развития и ее исследование. – М.: Издательство АПН РСФСР,1963.

18. Игнатьева Л.В. Элементы алгоритмизации в начальном курсе математики // Начальная школа. – 1989. - №7. – С.34.

19. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. – М., 1985.

20. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах.- М., 2000.

21. Истомина Н.Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах. – М., 1986.

22. Истомина Н.Б. Учить рассуждать // Начальная школа. – 1976, №9. – С. 18.

23. Каган В.Ф. О свойствах математических понятий. М.: Наука, 1984. – 144с.

24. Колмогоров А.Н. О профессии математики. М., Изд-во МГУ, 1959. – 134с.

25. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: Просвещение. – 1975. – С. 130-195.

26. Коменский Я.А. Великая дидактика. Глава 12. – С.31

27. Концепция модернизации образования // Начальная школа. – 2002. - №4.

28. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. – М.: Просвещение, 1958. – С.12.

29. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.: Просвещение, 1981. – С. 112.

30. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. – М.: Просвещение, 1995. – 239с.

31. Методика начального обучения математике / Под ред. Столяра А.А. и Дрозда В.И. – Минск, 1988.

32. Михайлов И.И. Занимательные задачи // Начальная школа. – 1986. - №6. – С.32.

33. Михтарников Л. Занимательные логические задачи для учащихся начальной школы – Минск: СПб-Лань, 1996.

34. Моро М.И. Математика во 2-ом классе. – М., 1990.

35. Моро М.И., Бантова М.А. Методические указания к работе по математике во 2-ом классе. – М., 1970.

36. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. – М., 1978.

37. Николау Л.Л. Задачи повышенной трудности // Начальная школа. – 1998. - №7.- С.55.

38. Обучение и развитие / Под ред. Занкова Л.В. – М., 1975.

39. Ожего С. И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. – М.: АЗЪ, 1994.

40. Педагогическая энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия, 1968.

41. Педагогический словарь. В 2 т. – М.: Издательство Академии пед.наук, 1960.

42. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. СП – б: Изд-во «Питер» 1999.

43. Познавательные процессы и способности в обучении / Под ред. В.Д. Шадрикова. – М.: Просвещение, 1986. – С. 142.

44. Программа восьмилетней школы. Начальные классы (1-3). – М., 1983.

45. Программа восьмилетней школы. Начальные классы (1-3). – М., 1976.

46. Психология. Словарь / Под ред. Петровского, Ярошевского. – М.,1990.

47. Свечников А.А. Решение математических задач в 1-3 классах. – М.: Просвещение, 1976. – С.160.

48. Сластенин В.А. Педагогика. – М.: Школа-Пресс, 1997. – С.93. – 111.

49. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. – М., 2000.

50. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. Истоминой Н.Б. – М., 1996.

51. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. Н.Б. Истоминой. – М.: МОДЭК, 1996.

52. Тихомиров О.К. Психология мышления. – М.: Издательство Московского университета, 1984. – С.282.

53. Тихомирова Л.Ф. Развитие интеллектуальных способностей школьника. – Ярославль: Академия развития, 1996. – С.66-184.

54. Тихонова Н.В. Задачи в развивающем обучении математике // Начальная школа. – 1998. - №7. С.51.

55. Толкачева О. Активизация Учащихся на уроке математики. – М.: Просвещение, 1976.

56. Труднев В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе. – М.: Просвещение, 1975. – 176с.

57. Форощук А.А., Форощук Н.Е. Математика для начальных классов. – Киев, 1999.

58. Фридман Л.М. Изучаем математику. – М., 1995.

59. Фридман Л.М. Учитесь учиться математике. - М.: Просвещение, 1985. – С.113.

60. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 1989. – С.48-49.

61. Шикова Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел // Начальная школа. – 2000. -№5. – С.30.

62. Энциклопедия для детей. Математика / Под ред. Аксенова М.Д. – М., 1998.

63. Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах. – М., 1995.

Приложение 1

Фрагмент урока.

Повторение изученного.

- Ребята, чему мы уже научились?

- Мы умеем чертить разные схемы, по схемам решать примеры, задачи, уравнения, знаем как по схемам можно отыскать части и целое, умеем составлять

формулы, которые рассказывают о величинах и их отношениях. Мы можем измерять различные величины: длину, площадь, массу, объем. Знаем, какие мерки можно брать, а какие нельзя, мы познакомились с разными метками: метками-словами и метками-цифрами (а цифры есть разные: египетские, китайские, вавилонские, цифры народов Майя, римские и арабские, которыми мы пользуемся для записи чисел).

- Хорошо! А теперь я предлагаю поиграть в игру, которую вы, наверное, любите смотреть по телевизору – «Поле чудес». А задумывались ли вы, почему в названии игры упоминается о чудесах? Чудо как раз в том, что из отдельных букв вдруг рождается слово, которое о чем-то говорит, что-то означает. И как же бывает приятно, что ты это слово угадываешь. Такая игра помогает первоклассникам запоминать буквы и правильно их называть.

А, может быть, можно играть в такую игру для того, чтобы лучше знать математику? Но для этого вместо угадывания букв, из которых состоит слово, надо угадать цифры, из которых сложится число.

- Хотите я вас научу?

- Очень!

- Итак, ведущий определяет тему игры, например, угадывание в данной системе счисления и предупреждает, что цифры не должны повторяться, поэтому играющий должен назвать сначала цифру, которая может быть в записи этого числа, а затем ее место.

Игра начинается.

Ведущего выбираем Сашу, а в команде будут Коля, Оля и Варя.

На табло – трехзначное число из троичной системы счисления

3

Первым игру начал Коля. Он назвал цифру 5.

- К сожалению, - сказал Саша, нет такой цифры.

В троичной системе счисления не может быть цифры 5. Могут быть только цифры 0, 1 и 2.

Затем вступила в игру Варя и назвала цифру 0.

Есть такая цифра! Потому что цифра ноль есть во всех системах счисления.

Затем вступила в игру Варя и назвала цифру 0.

- А теперь, - продолжал Саша-ведущий, - укажите номер разряда, в котором стоит эта цифра.

- В самом старшем, в третьем, - ответила Варя.

- К сожаленью, нет такой цифры в третьем разряде.

Варя правильно назвала цифру, но в самом старшем разряде ноль не пишут. Число не изменится, сколько бы нулей впереди мы не писали.

Следующий ход делала Оля. Она рассуждала так:

«Цифра ноль есть в записи этого числа, но она может быть либо во втором разряде, либо в первом. Попробую назвать второй разряд», - и назвала.

- Ты угадала! Есть такая цифра во втором разряде! – сказал Саша и открыл вторую цифру.

Стрелка рулетки остановилась у нуля, и ход перешел к Коле.

- Цифра 1 и стоит она в третьем разряде.

- К сожалению, ты выбываешь из игры, - сказал Саша, - нет такой цифры в третьем разряде.

- Цифра 1 есть в троичной системе. Коля не угадал ее место.

- Ход опять перешел к Варе.

Варя назвала цифру 1 и указала разряд – первый.

На табло появилась цифра 1.

0 1

После Вари ход перешел к Оле и она назвала все число «Двести один».

2 0 1

- К сожалению, ты выбиваешь из игры, - сказал Саша, ты неправильно прочитала число. Так читают такое число в десятичной системе счисления.

Ход перешел к Коле, но у него выпал «банкрот», и Варя стала победительницей, так как правильно прочитала число: Два ноль один в троичной системе счисления.

- Понравилась вам такая игра?

- Да!

Вот вам задание.

Какие еще числа могут быть здесь загаданы, кроме числа 201₃ (цифры не должны повторяться)? (Ответ: 210, 120, 102).

Приложение 2

Как выполнять сложение и вычитание многозначных чисел? (упражнения)

1. Запиши различные двузначные числа, используя цифры:

1) 3 и 2; 2) 5 и 0;

3) 6 и 7; 4) 8 и 2;

5) 7 и 3; 6) 8 и 5;

7) 1 и 0; 8) 9 и8.

Цифры в записи могут повторяться.

2. Запиши различные двузначные числа, используя при этом каждую из цифр только один раз:

1) 1, 3, 5; 2) 8, 7, 0.

3. Прочти числа:

5023₆ , 985, 307, 8023₉ , 1002₃ , 5023, 6, 700₈ , 1002, 10₂ , 8394, 700, 2, 20₃ , 1200, 1020₅ .

Есть ли среди этих чисел одинаковые? Назови их. Почему ты так думаешь?