«Расчет электрических фильтров» выполняется студентам - реферат

а ослабление рассчитывается по формуле

. (12)

Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид

, (13)

где – полином Гурвица, а .

Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам

при n - четных ; (13,а)

при n - нечетных . (13,б)

В этих формулах k = 1, 2, ... 2n. Из этих 2n значений надо выбрать те n значений, которые для имеют отрицательные ве­щественные части. Произведение сомножителей ( ), соответ­ствующих всем с отрицательными вещественными частями, образует полином . (14)

2.1.5.2. Фильтры Чебышева имеют равномерно-колебатель­ную характеристику в ПП и монотонное возрастание в ПЗ. Для таких фильтров квадрат модуля переда­точной функции

, (15)

где – полином Чебышева степени n, он является четным или нечетным.

Здесь произведение всех также полином Гурвица.

Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитываются по формулам

Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к ПЗ.

Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают суще­ственной нелинейной фазовой характеристикой, а, следовательно, и непостоянным временем задержки.

Зависимости модуля передаточной функции от нормированной частоты для фильтра Чебышева для n нечетного и четного приведены на рис. 5.

Ослабление фильтра Чебышева определяют по формуле

, (18)

где - полином Чебышева степени n,

ε – коэффициент неравномерности, который связан с r-коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением

(19)

H(f)

1 1

n=5 n=6

0 0

Рис. 5. Зависимость модуля передаточной функции от порядка фильтра

Так, например, для r = 0,1 DA = 0,044дБ; для r = 0,15 DA = 0,099дБ.

На рис. 6,а,б приведены соответствующие кривые ослабления ФНЧ для n нечетного и четного; на рис. 6в - для ПФ при n = 3.

A A A

n=5 n=6

DA DA

0 1 W 0 1 W 0 W_-1 W₀ W₁ W

а) б) в)

Рис. 6. Кривые ослабления для четного и нечетного порядков фильтра

2.2. Порядок расчета полиномиальных LC -фильтров табличным методом

1. Определяется нормированная граничная частота W _S ПЗ ФНЧП, т.е. исходные данные рассчитываемого фильтра преобразуются в низкочастотный прототип в соответствии с формулами табл. 4.

Таблица 4

Определение нормированной граничной частоты ПЗ ФНЧП

В таблице 4 обозначены:

– граничные частоты ПП ФНЧ и ФВЧ;

и – граничные частоты ПП ПФ и РФ;

- среднегеометрическая частота ПФ и РФ; (20)

- коэффициент преобразования ширины ПП ПФ и РФ в ФНЧП; (21)

- ширина ПП ПФ и РФ. (22)

2. Определяется порядок n ФНЧП по одной из следующих формул:

здесь DA – максимально допустимое ослабление в ПП,

A_S – минимально допустимое ослабление в ПЗ.

Гиперболический ареа-косинус Arch W_S при W_S >1 вычисляется по формуле

3. По известному порядку n по табл. П2.1 и рис. 7 определяются схема и параметры элементов ФНЧП Баттерворта; по значениям n и _D A по табл.П2.2 и рис. 7 определяются схема и параметры элементов ФНЧП Чебышева. Обычно выбирается схема, содержащая меньшее количество индуктивных элементов.

ПРИМЕЧАНИЕ. В табл.П2.2 для ФНЧП Чебышева приведены значения параметров только для нечетных значений n, в ней нет соответствующих значений для четных n. Это обьясняется тем, что для этих случаев при r_г = r_н и всех значений неравномерности DA диапазон значений элементов слишком велик, чтобы фильтр можно было физически осуществить.

r_г c ₂ c _{n - 1} c₁ с₃ с_n

r_н J g_г g_н

E _Г

Рис. 7. Схемы ФНЧ - прототипа

4. Определяются по формуле (5) коэффициенты денормирования. Для ФНЧ и ФВЧ .

5. В соответствии с табл. 5 осуществляется преобразование нормированных элементов ФНЧП в элементы рассчитываемого фильтра.

Таблица 5

Преобразование схемы ФНЧ-прототипа в схему проектируемого фильтра.

В формулах (26,в,г) k определяется по формуле (21). Из табл. 5 видно, что преобразование ФНЧП в ФВЧ состоит в замене нормированных элементов обратными, т.е. W_B = 1/W_H. Отсюда вытекает связь между любой частотой f _н ФНЧ и соответствующей частотой ФВЧ

, (26)

где - граничная частота ПП ФВЧ (см. примеры расчета LC ФВЧ).

Преобразование ФНЧП в ПФ основано на симметричном преобразовании частоты, при этом индуктивные элементы преобразуются в последовательное соединение индуктивности и емкости, а емкост­ные - в параллельное соединение индуктивности и емкости. При преобразовании ФНЧП в РФ происходит замена индуктивности параллельным соединением индуктивности и емкости, а емкости - последовательным соединением индуктивности и емкости (см. примеры расчета LC полосовых фильтров).

Для определения любой частоты ФНЧП по заданным частотам и полосового фильтра используется следующая формула

. (27)

Для обратного перехода от ФНЧП к ПФ существуют формулы

,

. (28)

2.3. Полиномиальные ARC-фильтры на базе ИНУН

В устройствах техники связи наряду с пассивными LC-фильтрами используются активные RC(ARC)-фильтры. Это такие фильтры, которые содержат пассивные (резисторы и конденсаторы) и активные элементы (транзисторы, операционные усилители (ОУ))

В ряде случаев разработчику приходится отказываться от пассивных LC-фильтров из-за больших размеров катушек индуктивности и связанною с этим невозможность микроминиатюризации.

Тенденция к микроминиатюризации аппаратуры связи привела к широкому использованию ARC-фильтров, в которых используются известные преимущества технологии гибридных и интегральных схем.

Из числа активных фильтров в курсовой работе рассматриваются ARC-фильтры, выполненные на базе источников напряжения, управляемых напряжением (ИНУН) с конечным коэффициентом усиления, построенные на базе ОУ. Достоинством ARC-фильтров, построенных на базе ИНУН с ограниченным коэффициентом усиления, является их экономичность, достаточная стабильность при не слишком сложных требованиях, предъявляемых к избирательности, возможность получить фильтр с достаточно низкой частотой среза, что совершенно нереализуемо в пассивных LC-фильтрах из-за весьма больших значений индуктивностей..

2.4. Синтез ARC звена ФНЧ второго порядка

В качестве исходной рассмотрим ARC-цепь, представленную на рис. 8, у которой коэффициент усиления К>0 – неинвертирующий идеальный усилитель с высоким входным и малым выходным сопротивлением.

Найдем в операторной форме передаточную функцию цепи (рис. 8). Составим уравнение по методу узловых потенциалов (потенциал точки 1 равен нулю).

Узел а: (26)

Узел в: (27)

Рис. 8. Схема ARC-ФНЧ второго порядка

Коэффициент усиления k усилителя связан с его входным и выходным напряжениями соотношением

.

Подставляя выражение V а( p ) в (26) и (27) в результате совместного решения, получим выражение операторной передаточной функции

. (28)

Если обозначить

, (29)

то . (30)

В ряде случаев формулу (28) удобно представить в ином виде, если вместо сопротивлений и емкостей ввести их отношение

.

Тогда

. (32)

При (33)

операторная передаточная функция равна

. (34)

2.4.1. Синтез ARC звена ФНЧ второго порядка по Баттерворту

Передаточная функция ФНЧ второго порядка с плоской характеристикой в нормированной форме имеет вид

. (35,а)

Передаточная функция цепи (рис.8) второго порядка в операторной форме выражается формулой (28) или (32).

Для перехода от нормированных величин s к реальным p следует осуществить замену . Тогда формула (35) примет вид

. (35,б)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной p знаменателей функции (35) и (32) , будем иметь систему уравнений:

, (36,а)

или

, (36,б)

. (37)

Эта система содержит пять неизвестных R₂ , C₂ , m_R , n_C , k. Задаваясь значениями трех из них, находим R₂ и k.

2.4.2. Синтез ARC звена ФНЧ второго порядка по Чебышеву

Передаточная функция ФНЧ второго порядка (n=2) c равноколебательной характеристикой зависит от ослабления в полосе пропускания и полюсов ослабления передаточной функции. Последние зависят от и порядка фильтра n. Передаточная функция по Чебышеву для n = 2 в нормированных величинах имеет вид

. (38)

При n - четном и являются комплексно-сопряженными величинами

и передаточная функция будет иметь вид

. (39)

Преобразуем выражение (39) так, чтобы свободный член в знаменателе был равен единице, и получим

. (40)

Заменив в (40) на , где для фильтра Чебышева , и введя для сокращения обозначения

, (41,а)

, (41,b)

, (41,с)

получим передаточную функцию

(42)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p знаменателей выражений (42) и (32), получим два компонентных уравнения

; (43)

. (44)

Эта система содержит пять неизвестных величин R₂ , С₂ , m_R , n_C , k, а уравнений имеется только два. Задаваясь тремя дополнительными условиями, находим остальные две неизвестные величины.

2.5. Каскадный синтез полиномиальных ARC ФНЧ

высокого порядка на базе ИНУН

При реализации фильтров высокого порядка наибольшее применение имеют каскадно-развязанное соединение звеньев второго порядка. Такое соединение обеспечивается при весьма высоких входных и малых выходных сопротивлениях. Важным преимуществом каскадно-развязывающей реализации является возможность проводить независимую подстройку каждого звена фильтра. Кроме того, это почти всегда приводит к фильтровым структурам, обладающим меньшей чувствительностью к изменениям параметров по сравнению с фильтрами непосредственной реализации.

Порядок расчетов фильтра

1. Определяется нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП по формуле .

2. По формуле (23) для фильтра Баттерворта и по формуле (24) для фильтра Чебышева определяется порядок n ФНЧП.

3. Нормированная передаточная функция рассматривается в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев второго и первого порядков. Если n - четное число, то фильтр состоит из звеньев второго порядка. При n - нечетном в составе фильтра будет звеньев второго порядка и одно звено первого порядка, которое обычно включают на выходе фильтра. , (45)

где - передаточные функции отдельных звеньев.

4. Определяются нормированные значения полюсов передаточных функций второго порядка:

- для фильтра Баттерворта по формуле (13,а) или (13,б);

- для фильтра Чебышева по формуле (17).

5. Для каждой пары комплексно-сопряженных полюсов и вычисляются выражения квадратного трехчлена

(46)

и соответствующее выражение передаточной функции звена второго порядка . (47)

6. Путем замены на выполняется денормирование передаточной функции звена второго порядка

. (48)

7. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменного p знаменателей передаточных функций (28) или (33) и (48), соответствующей схеме рис. 8 ARC-фильтра. Эта система из двух уравнений содержит пять неизвестных. Это означает, что она не имеет однозначного решения. Для их определения обычно задаются дополнительные условия. С учетом этого вычисляют остальные неизвестные.

Если порядок фильтра n - нечетный, то схема будет содержать одно звено первого порядка. Для него передаточная функция будет иметь вид

. (49)

Заменяя на , получим . (50)

Схема звена ФНЧ первого порядка реализуется пассивной RC цепью (рис. 9). Ее передаточная функция равна

. (51)

Сравнивая свободные члены знаменателей в (50) и (51), получаем значения .

Рис. 9. Схема звена ФНЧ первого порядка.

3. Примеры расчетов электрических фильтров

3.1. Расчет ФВЧ Баттерворта

Рассчитать с использованием таблиц фильтр верхних частот Баттерворта, нагруженный двухсторонне по данным: граничная частота ПП = 60 Гц, неравномерность характеристики ослабления в ПП не должна превышать =2 дБ, а при частотах = 30 Гц ослабление фильтра должно быть не менее =15 дБ, =75 Ом. Определить ослабление фильтра на частотах: 0,2 ; 0,5 ; ; ; .

Решение

Вычисляем нормированную граничную частоту полосы задерживания ФНЧП = 60/30 = 2. По формуле (23) или по программе Exel (см. приложение П.2.3.1) определяем порядок ФНЧП

.

Округляем полученный результат до большего целого числа. Принимаем n=3. По найденному значению порядка фильтра n = 3 по табл. П.1.1 определяем нормированные значения параметров элементов ФНЧП .

Схемы ФНЧ прототипа при n = 3 приведены на рис.10.

r_г

с₂ J

E₁

а) б)

Рис. 10. Схемы ФНЧ прототипа при n=3

Выберем для дальнейшего расчета схему рис.10,а.

C₁ C₃

R_Г

L ₂ R _H

E_Г

Рис. 11. Схема ФВЧ Баттерворта

Преобразуем полученную схему ФНЧП (рис.10,а) в схему требуемого ФВЧ (рис.11). Вычислим частоту, на которой ослабление фильтра равно 3 дБ.

Определяем коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей

,

.

Рассчитаем номинальные значения элементов ФВЧ (табл. 5) по формулам

,

.

Расчет частотной характеристики ослабления А(f) проводим по формуле

(9,а) или по программе Excel (см. приложение П.2.3, П.2.4)

Таблица 6

Результаты расчета A(f) LC ФВЧ Баттерворта прядка n=3

График зависимости ослабления от частоты А(f) приведен на рис.12.

А,дБ

50

40

30

20

15 ПП

10 ПЗ

0 10 20 30 40 60 80 , Гц

Рис. 12. Частотная характеристика ослабления ФВЧ

= 30 Гц = 60 Гц

Из графика рис. 12 и табл. 6 видно, что = 15,8 дБ > = 15 дБ,

= 2 дБ = , что удовлетворяет заданным требованиям.

3.2. Расчет ФВЧ Чебышева

Рассчитать с использованием таблиц ФВЧ Чебышева, удовлетворяющий требованиям: граничная частота ПП = 5 кГц, максимальное ослабление в этой полосе не должно превосходить =1 дБ, а ослабление в ПЗ = 2,5 кГц должно быть не менее = 37 дБ. Нагрузочные сопротивления: =75 Ом. Рассчитать ослабление фильтра на частотах: 0,2 ; 0,5 ; ; и построить кривую ослабления A(f).

Решение

Определяем нормированную граничную частоту ПЗ ФНЧП

=5/2,5=2.

По формуле (24) определяем порядок фильтра

.

Так как порядок фильтра должен быть целым числом, округляем полученный результат до большего целого числа n = 5. По таблице П.1.2 определяем значения элементов ФНЧП при n = 5 и =1 дБ

c₁ ( )=2,135;c₃ ( )=3; c₅ ( )=2,135; (с₂ ) = 1,091; (с₄ )=1,091.

Схемы ФНЧП при n = 5 приведены на рис. 13.

r _г ℓ₁ ℓ₃ ℓ₅ r _г ℓ₂ ℓ₄

e_г с₂ c₄ r _н e_г с₁ c₃ c₅ r _н

а) б)

Рис. 13. Варианты схем ФНЧП Чебышева при n = 5

Выберем для дальнейшего расчета схему рис.13,а. Преобразуем схему ФНЧП в схему ФВЧ путем замены индуктивного элемента емкостным, и наоборот (табл. 5). R_г C₁ C₃ C₅

e_г L₂ L₄ R_H

Рис. 14. Схема ФВЧ Чебышева при n = 5

Определим коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей

;

.

Рассчитаем номинальные значения элементов ФВЧ (табл. 5)

C₁ = C₅ = k_С /ℓ₁ = 0,425/2,135 = 0,199 мкФ;

L₂ = L₄ = k_L /c₂ =2,39/1,091 = 2,19 мГн;

C₃ =k_С /ℓ₃ = 0,425/3 =0,142 мкФ.

Рассчитаем ослабление фильтра по формуле (18) . Результаты расчета сведем в табл. 7.

Таблица 7