| ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО «Самарский государственный
архитектурно-строительный университет»
Факультет информационных систем и технологий
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники
РЕФЕРАТ
по дисциплине
«ТЕХНОЛОГИЯ/МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ»
на тему
«Метод Ньютона для функций одной переменной»
III СЕМЕСТР 2КУРС
Научный руководитель: Пиявский Семён Авраамович
| Проверили:
|
Выполнила: студентка ГИП 107
Сулковская А.С.
|
Общая оценка____________________
Методический руководитель Оценка Дата
2007 год
Введение
Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения
, а затем использовать это значение на каждой последующей итерации:
Достоинства
метода Ньютона
:
1) если минимизируемая функция является квадратической, то метод позволит найти минимум за один шаг;
2) если минимизируемая функция относится к классу поверхностей вращения (т.е. обладает симметрией), то метод также обеспечивает сходимость за один шаг (поскольку в точке минимума аргументы минимизируемой функции и ее квадратической аппроксимации совпадают);
3) если функция несимметрична, то метод не обеспечивает сходимость за конечное число шагов. Но для многих функций (даже очень сложных, например, для функции Розенброка, которая будет исследоваться Вами в ходе лабораторной работы) достигается гораздо более высокая скорость сходимости, чем при использовании других модификаций метода наискорейшего спуска.
Недостатки
метода Ньютона
связаны с необходимостью вычислений и (главное!
) обращения матриц вторых производных. При этом не только расходуется машинное время, но (это существеннее
) могут появиться значительные вычислительные погрешности, если матрица
окажется плохо обусловленной (т.е. значение определителя этой матрицы будет близко к нулю).
Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Описание метода
Чтобы численно решить уравнение
методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме:
, где
— сжимающее отображение.
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения
должно выполняться условие
. Решение данного уравнения ищут в виде
, тогда:
В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню
, и что заданная функция непрерывна
, окончательная формула для
такова:
С учётом этого функция
определяется выражением:
Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение[1]
, и алгоритм нахождения численного решения уравнения
сводится к итерационной процедуре вычисления:
По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения
.
Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция
, нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения
). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение
лучше предыдущего .
[править] Геометрическая интерпретация
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пусть
— определённая на отрезке [a
, b
] и дифференцируемая на нём действительнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:
,
где α — угол наклона касательной в точке
.
Следовательно искомое выражение для
имеет вид:
.
Итерационный процесс начинается с некого начального приближения x
0
(чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).
|