Государственная (итоговая) аттестация 2010 года (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы

Демонстрационный вариант экзаменационной работы для проведения в 2010 году

государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные

общеобразовательные программы основного общего образования

подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

1

Демонстрационный вариант экзаменационной работы для проведения в 2010 году государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования

Демонстрационный вариант 1

Пояснения к демонстрационному варианту экзаменационной работы

При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включенные в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2010 году . Полный перечень элементов содержания и умений, которые могут контролироваться на экзамене 2010 года, приведен в кодификаторах, размещенных на сайте www.fipi.ru.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать возможность любому участнику экзамена и широкой общественности составить представление о структуре будущей экзаменационной работы, числе и форме заданий, а также их уровне сложности. Приведенные критерии оценивания выполнения заданий с развернутым ответом, включенные в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развернутого ответа.

Эти сведения дают выпускникам возможность выработать стратегию подготовки к сдаче экзамена по математике.

2

Демонстрационный вариант 2010 года

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из двух частей. В первой части 16 заданий, во второй – 5. На выполнение всей работы отводится 4 часа (240 минут).

При выполнении заданий первой части ответы укажите сначала на листах с заданиями экзаменационной работы, а затем перенесите в бланк № 1. Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нем можно проводить дополнительные построения.

Ответы на задания второй части указываются на бланке № 2 с развернутой записью хода решения. Текст задания можно не переписывать, необходимо лишь указать его номер.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, вы можете вернуться к пропущенным заданиям.

Правильный ответ в зависимости от сложности каждого задания оценивается одним или несколькими баллами. Баллы, полученные вами за все выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно больше баллов.

Желаем успеха!

3

Часть 1

Площадь территории Испании составляет 506 тыс. км² . Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) 5,06 · 10² км² 3) 5,06 · 10⁴ км²

2) 5,06 · 10³ км² 4) 5,06 · 10⁵ км²

Из 59 девятиклассников школы 22 человека приняли участие в городских спортивных соревнованиях. Сколько приблизительно процентов девятиклассников приняли участие в соревнованиях?

1) 0,37 % 2) 27 % 3) 37 % 4) 2,7 %

Числа a и b отмечены точками на координатной прямой. Расположите в

a b b a a b b a

x 4 x 3

Найдите значение выражения + −1 при х = 1.

4 3

Ответ: ________________________

t

Из формулы периода обращения T = выразите время вращения t .

N

Ответ: ________________________

Какое из приведенных ниже выражений тождественно равно произведению (x − 4)(x − 2)?

1) (x − 4)(2 − x )

2) −(x − 4)(2 − x ) 3) (4 − x )(x − 2)

4) −(4 − x )(2 − x )

2

3− 7m

Представьте выражение 6m + в виде дроби. m

Ответ: ________________________

4

Какое из данных выражений не равно выражению ?

1) 2 5 2) ²⁰ 3) ¹⁰ 4)

3 3 20 3 5

Решите уравнение x ² + − =7x 18 0.

Ответ: ________________________

Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением x ² + y ² = 4.

Используя рисунок, установите соответствие между системами уравнений и утверждениями: к каждому элементу первого столбца подберите элемент из второго столбца.

A) ⎧⎪x 2 + y 2 = 4 1) система имеет одно решение

⎨

⎪⎩y = −x

Б) ⎧⎪x 2 + y 2 = 4 2) система имеет два решения

⎨

⎪⎩y = x − 4

В) ⎧⎪x 2 + y 2 = 4 3) система не имеет решений

⎨

⎪⎩y = −2

Запишите в таблицу выбранные цифры.

Ответ:

Прочитайте задачу:

«Фотография имеет форму прямоугольника со сторонами 10 см и 15 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг фотографии получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает фотография с окантовкой, равна 500 см² . Какова ширина окантовки?»

Пусть ширина окантовки равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) (10 + 2 )(15x + 2 )x = 500

2) (10 + x )(15+ x ) = 500

3) 10 15⋅ + (10x +15 ) 2x ⋅ = 500

4) (10 + 2 )(15x + x ) = 500

5

Решите неравенство 20 −3(x + 5) < −1 7x . Ответ: ________________________

При каких значениях х верно неравенство x ² + 2x −3< 0?

Ответ: ________________________

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n -го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a ₂₅ < 0.

График какой из перечисленных ниже функций изображен на рисунке?

1) y = x ² + 4

2) y = x ² + 4x

3) y =− −x ² 4x

4) y = −x ² − 4

Компания предлагает на выбор два разных тарифа для оплаты телефонных разговоров: тариф А и тариф В. Для каждого тарифа зависимость стоимости разговора от его продолжительности изображена графически. На сколько минут хватит 550 р., если используется тариф В?

Ответ: ________________________ мин.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

6

Часть 2

Для ответов на задания 17–21 используйте бланк ответов № 2. Укажите сначала номер задания, а затем запишите его решение.

Решите уравнение x ³ − 6x ² − 4x + 24 = 0.

Решите неравенство ( 19 − 4,5)(5−3 )x > 0.

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три члена этой

прогрессии.

6

Прямая 2х + 3у = с , где с – некоторое число, касается гиперболы у = в x точке с отрицательными координатами. Найдите с .

Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

7 8

Система оценивания экзаменационной работы Решения и критерии оценивания к заданиям части 2

Ответы к заданиям части 1 Решите уравнение x 3 −6x 2 − + =4x 24 0.

//Ответ : –2; 2; 6.

//Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Получим: x ² (x − 6) − 4(x − 6) = 0, (x − 6)(x ² − 4) = 0, x − 6 = 0 или x ² − 4 = 0. Значит, уравнение имеет корни: –2; 2; 6.

2) Получаем неравенство 5−3x < 0. Отсюда x >1 .

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три члена этой прогрессии.

//Ответ : 48, 60, 75.

9 10

//Решение. 1) Пусть (b_n ) – данная геометрическая прогрессия. Составим

^⎧ _⎪ ^b ₁ + ^{b q} ₁ =¹⁰⁸ ⎧b ₁ (1+ q ) =108 ⎧b ₁ (1+ q ) =108 систему ⎨⎪⎩b q ₁ + b q ₁ 2 =135. Далее: ⎨⎩bq 1 (1+ q ) =135 , ⎩⎨q ⋅108 =135 .

Отсюда q .

2) .

6

Прямая 2х + 3у = с , где с – некоторое число, касается гиперболы у = в x

точке с отрицательными координатами. Найдите с .

2 c

//Решение. Из уравнения 2х + 3у = с выразим у : у = − x + . Графики

3 3

2 c 6

функций у = − x + и y = имеют единственную общую точку в том и

3 3 x

2 c 6

только в том случае, когда уравнение − x + = имеет один корень.

3 3 x

Получаем: 2х ² – сх + 18 = 0; D = с ² – 144 = 0; с = ±12. Так как точка касания имеет отрицательные координаты, то с < 0 (учащиеся могут прийти к этому выводу хотя бы из геометрических соображений). Поэтому условию задачи удовлетворяет только с = –12 (в этом случае получаем прямую у = − − x 4,

которая касается ветви гиперболы, расположенной в третьей четверти, т.е. в точке с отрицательными координатами).

Комментарий. Подробное обоснование, почему выбрано значение с < 0, не требуется. Возможно наличие схематического рисунка.

11

Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

//Ответ : плот пройдет всего пути.

//Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4х – х = 3х км/ч, а по течению 4х + х = 5х км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению – в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл S км, то катер – в 3 раза больше, т.е. 3S км. После встречи катер

3S

пройдет 3S км, а плот – в 5 раз меньше, т.е. км. Всего плот пройдет

5

3S 8S

S + = . Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно

5 5

8S

5 = 2 .

4S 5

Другое возможное решение . Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4х – х = 3х км/ч, а по течению 4х + х = 5х км/ч. Скорость сближения катера и плота равна

AB

х + 3х = 4х км/ч. Встреча произошла через ч. За это время плот проплыл

4x

AB AB 3AB

x ⋅ = км, а катер – км. Обратный путь катер пройдет за

4x 4 4

3AB

⁴ = ^3AB ч. Плот за это время проплывет расстояние, равное

5x 20x

3AB 3AB AB 3AB 2AB x ⋅ = км, а всего он проплывет + = км. 20x 20 4 20 5

12