Аннотация

Темой курсовой работы является "Статистическая обработка экспериментальных данных". Целью курсовой работы является закрепление изученного материала по дисциплине "Метрология, стандартизация и сертификация" и приобретение практических навыков обработки экспериментальных данных различных видов измерений.

В курсовой работе приведены:

– в разделе "Однократные измерения": порядок выполнения однократного измерения, внесены необходимые поправки и определен предел, в котором находится значение измеряемой величины;

– в разделе "Многократные измерения": результаты измерений, порядок выполнения многократного измерения, исключены ошибки из результатов измерений и определен результат измерений;

– в разделе "Обработка результатов нескольких серий измерений": серии результатов измерений, порядок их обработки и результат измерения;

– в разделе "Косвенные измерения": функциональная зависимость между искомой величиной Z и измеряемыми величинами X и Y, определены и внесены поправки и определен результат измерения;

– в разделе "Определение погрешностей результатов измерений методом математической статистики": результаты измерения, выстроены: гистограмма нормального рассеяния измерений и график реального рассеяния измерений в едином масштабе.

Курсовая работа содержит 30 листов расчетно-пояснительной записки.

1

Введение

Измерения — один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования — достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

1. Однократное измерение

Условие. При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений, согласно исходным данным.

Исходные данные:

Показание средства измерения – X = 10.

Вид закона распределения – равномерный.

Значение оценки среднеквадратического отклонения – S_X = 0,8.

Значение аддитивной поправки – Θ_a = 0,9.

Расчет. Так как в качестве априорной используется информация о законе распределения вероятности, т.е. закон распределения вероятности является равномерным, то пределы, в которых находится значение измеряемой величины, определяются через доверительный интервал:

; (1)

Для равномерного закона распределения вероятности результата измерения значение E (аналог доверительного интервала) можно определить из выражения:

, (2)

где .

Внесем аддитивную поправку и уточним пределы, в которых находится значение измеряемой величины.

2. Многократное измерение

Условие. При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений Q_i; . Определить результат измерения.

Исходные данные:

Таблица 1

Расчет. Порядок расчета и их содержание определяются условием:

10…15 < n< 40…50,

так как n = 24.

1. Определяем оценки результата измерения и среднего квадратического отклонения результата измерения .

(3)

(4)

Для удобства вычисления среднего квадратического отклонения результата измерения составим таблицу:

Таблица 2

2. Необходимо обнаружить и исключить ошибки. Для этого:

– вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение

(5)

– задаемся доверительной вероятностью P = 0,95 и из соответствующих таблиц (табл. П6) с учетом q = 1 – P находим соответствующее ей теоретическое (табличное) значение :

при n = 24;

– сравниваем с : . Это означает, что данный результат измерения Q_i, т.е. Q₂₄ является ошибочным, он должен быть отброшен. Необходимо повторить вычисления по п.п. 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений и проводить их до тех пор, пока не будет выполняться условие .

Повторяем вычисления, при этом отбрасываем измерение №24:

(6)

(7)

Таблица 3

при n = 23;

Сравниваем с : . Отбрасываем измерение №11 и повторяем вычисления.

(8)

(9)

Таблица 4

при n = 22;

Сравниваем с . Так как , то результат измерения №10 не является ошибочным и окончательно остается 22 измерения, т.е. n = 22.

3. Проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

– Применяем критерий 1, вычисляем отношение

(10)

– задаемся доверительной вероятностью P₁ = 0,99 и для уровня значимости q₁ = 1 – P₁ по таблице П7 определяем квантили распределения и , , для n = 22.

– сравниваем с и : , значит гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, т.е. результаты наблюдений можно считать распределенными нормально.

Так как n > 15, применяем критерий 2.

– задаемся доверительной вероятностью P₂ = 0,98 и для уровня значимости q₂ = 1 – P₂ с учетом n = 22 определяем по таблице П8 значения m и P^*. m = 2; P^* = 0,97.

– для вероятности P^* из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) определяем значение t:

; (11)

при Ф(t) = 0,485 t = 2,17;

Рассчитываем E:

; (12)

;

Согласно критерию 2 результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения, если не более m разностей превысили E. Из таблицы 4 видно, что ни одна разность не превышает E = 3,4566. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Соблюдаются оба критерия, значит закон можно признать нормальным с вероятностью , .

4. Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.

Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяем как:

(13)

5. Определяем доверительный интервал.

Закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, поэтому доверительный интервал для заданной доверительной вероятности P определяется из распределения Стьюдента.

P = 0,98; ; t = 2,33;

; (14)

Значение Q будет находиться в пределах:

3. Обработка результатов нескольких серий измерений

Условие. При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (n_j) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 5. Вычислить результат многократных измерений.

Исходные данные:

Таблица 5

Расчет.

1. Обрабатываем экспериментальные данные по алгоритму, изложенному в п.п. 1–3 задания 2, при этом:

– определяем оценки результата измерения и среднеквадратического отклонения ;

– обнаруживаем и исключаем ошибки;

– проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

(15)

(16)

Таблица 6

;

(17)

; ;

при n = 12;

– сравниваем и с : и . Результаты измерения Q_1,11 и Q_2,12 являются ошибочными, они должны быть отброшены.

Повторяем вычисления, при этом отбрасываем измерения №1-11 и №2-12:

(18)

(19)

Таблица 7

;

; ;

при n = 11;

Сравниваем и с : и . Результаты измерений №1 10 и №2-9 не являются ошибочными и окончательно остается 11 измерений для обоих серий измерений, т.е. n = 11.

– Так как n .

2. Проверяем значимость различия средних арифметических серий. Для этого:

– вычисляем моменты закона распределения разности:

, (21)

n₁ = n₂ = n

(22)

– задавшись доверительной вероятностью P = 0,95, определяем из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) значение t.

t = 1,645

– сравниваем с , . . Различия между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью P можно признать незначимым

3. Проверим равнорассеянность результатов измерений в сериях, для этого:

– определяем значение Ψ:

(23)

> 1

Из таблицы находим значение аргумента интегральной функции распределения Фишера Ψ₀; Ψ₀=1,96 при P=0,95.

Сравниваем Ψ и Ψ₀: Ψ > Ψ₀, следовательно, серии с доверительной вероятностью P = 0,95 считаем рассеянными.

4. Обрабатываем совместно результаты измерения обеих серий с учетом весовых коэффициентов:

– определяем оценки результата измерения и среднеквадратического отклонения S

(24)

(25)

– задавшись доверительной вероятностью P = 0,95, определяем по таблице t = 1,96. Определяем доверительный интервал.

4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)

Условие. При многократных измерениях независимых величин X и Y получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 8. Определить результат вычисления Z = f (X,Y).

Исходные данные:

Таблица 8

Расчет.

1. Обрабатываем экспериментальные данные по алгоритму, изложенному в п.п. 1–3 задания 2, при этом:

– определяем оценки результатов измерений , и среднеквадратических отклонений и ;

– обнаруживаем и исключаем ошибки;

– проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

; (25)

; (26)

Таблица 9

; ;

; (27)

; ;

при n = 12;

– сравниваем и с : и . Результаты измерения X₁₁ и Y₁₂ являются ошибочными, они должны быть отброшены.

Повторяем вычисления, при этом отбрасываем измерения X₁₁ и Y₁₂:

Таблица 10

(28)

; (29)

;

; ;

при n = 11;

Сравниваем и с : и . Результаты измерений X₁₀ и Y₉ не являются ошибочными и окончательно остается 11 измерений для обоих видов величин измерений, т.е. n = 11.

Так как n .

2. Определяем оценку среднего значения функции

; (30)

3. Находим частные производные первого и второго порядка для функции Z = f (X,Y) по X и Y.

;

;

;

;

Определяем поправку:

(31)

4. Определяем оценку стандартного отклонения функции

(32)

5. Находим число степеней свободы

(33)

Определяем доверительный интервал для функции, для этого задаемся доверительной вероятностью P = 0,98 и из распределения Стьюдента находим t

n = m + 1 = 17 + 1 = 18

t = 2,57

(34)

Значение функции будет находиться в промежутке:

5. Определение погрешностей результатов измерений методом математической статистики

Условие. В ходе измерений физической величины получены 100 результатов измерения, представленных в таблице 11. Исключить погрешности и определить достоверный результат измерения.

Исходные данные:

Таблица 11

Расчет. Случайные погрешности, имеющие место при измерении, подчиняются закону нормального распределения, который графически изображается кривой Гаусса, имеющей симметричную форму с округленной вершиной и с каждой стороны по одной точке перегиба на некотором расстоянии от вершины.

При проведении исследования, чтобы составить графики и определить, на сколько полученная кривая рассеяния фактических результатов измерения приближается к теоретической кривой нормального распределения, обе кривые надо начертить совмещёнными в одинаковом масштабе. С этой целью рассчитаем данные, необходимые для построения кривой нормального распределения. Для сокращения расчетов и упрощения примерного построения кривой нормального распределения можно ограничиться определением только трех параметров: максимальной ординаты Y_max (при X = 0), ординаты для точек перегиба Y_σ (при X = ±S_Q) и величины поля рассеяния.

Результаты измерения Q_i разбиваем на 9 групп через установленные интервалы с указанием абсолютной частоты (m_i) появления результата измерения внутри каждого интервала. Данные располагаем для удобства расчетов в форме таблицы (таблица 12), заполняемой по мере проведения расчетов.

Величина интервала определяется по формуле:

(35)

Таблица 12