Пример решения задачи
по разделу «Переходные процессы»
Задача
. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е
. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.
Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t =
, где
– меньший по модулю корень характеристического уравнения.
Параметры цепи: R1
= 15 Ом; R2
= 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.
Решение.
Классический метод.
Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:
i(t) = iпр
(t) + iсв
(t); u(t) = uпр
(t)+ uсв
(t), (1)
где
, а
.
1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1
(0–) равен току i3
(0–), ток i2
(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.
Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:
,
откуда
= 4 А.
Напряжение на емкости равно нулю [uC
(0–) = 0].
2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL
(0–) = iL
(0+), т.е. ток i3
(0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC
(0–) = uC
(0+) = 0.
Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2
и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:
или
;
i1
(0+) = i2
(0+) + i3
(0+) = 14 А.
Напряжение на сопротивлении R2
равно Е – uC
(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.
3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для
. Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.
= 10 А;
= 100 В;
;
4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр
(0+) + iсв
(0+) и u(0+) = uпр
(0+) + uсв
(0+).
iсв1
(0+) = 4 А; iсв2
(0+) = 10 А; iсв3
(0+) = –6 А; uсв
L
(0+) = uсвС
(0+) = 0;
.
5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.
;
(2)
Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение:
, а производную напряжения на емкости – из уравнения
. Т.е.
и
,
откуда
;
(3)
Подставляя (3) в (2), после решения получаем:
;
;
;
Все полученные результаты заносим в таблицу.
| i1
|
i2
|
i3
|
uL
|
uC
|
uR2
|
| t = 0+ |
14 |
10 |
4 |
0 |
0 |
100 |
|
|
10 |
0 |
10 |
0 |
0 |
100 |
|
4 |
10 |
–6 |
0
|
0
|
0
|
|
–105
|
–105
|
0 |
106
|
106
|
–106
|
6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока
. Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2
:
.
Заменим jwна р
и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:
или
R2
CLp2
+ pL + R2
= 0.
Откуда находим корни р1
и р2
.
р1
= –1127, р2
= –8873.
7. Определим постоянные интегрирования А1
иА2
. Для чего составим систему уравнений:
;
или
;
Например, определим постоянные интегрирования для тока i1
и напряжения uL
. Для тока i1
уравнения запишутся в следующем виде:
4 = А1
i
+ А2
i
;
.
После решения: А1
i
= –8,328 А, А2
i
= 12,328 А.
для напряжения uL
:
;
.
После решения:
= 129,1 В,
= –129,1 В.
8. Ток i1
cогласно (1) изменяется во времени по закону:
i1
(t) = 10 – 8,328е–1127
t
+ 12,328e–8873t
,
а напряжение uL
:
uL
(t) = 129,1e–
1127
t
– 129,1 e–8873t
.
|