Иерархия механики разрушения - реферат

РЕФЕРАТ

на тему:

Иерархия механики разрушения

Введение в природу разрушения

2.1. Ирархичность как основной принцип структурообразования

2.2. Самоподобие

• 2.2.1. Самоподобие межфазных границ
• 2.2.2. Преобразование масштаба и температура
• 2.2.3. Перенормировка

2.3. Фрактальные структуры

• 2.3.1. Регулярные фракталы
• 2.3.2. Фрактальные кластеры
• 2.3.3. Перколяция

2.4. Граница, предел роста и фрактальные множества

2.5. Применение теории фракталов при моделировании реальных объектов

• 2.5.1. Моделирование регулярных фрактальных поверхностей
• 2.5.2. Моделирование неоднородных пористых поверхностей

Причина этих внезапных разрушений, приводящих к катастрофам, - хрупкое разрушение металла. Оно происходит когда материал конструкции является хрупким сам по себе или становится хрупким из-за внешних условий (например, низкая температура воздуха). При хрупком разрушении упругая деформация при нагружении достигает такой величины, что разрушаются первичные межатомные связи, и материал разделяется на части. Внутренние дефекты и образующиеся трещины чрезвычайно быстро распространяются до полного разрушения. Поверхность разрушения при этом неровная, зернистая. При хрупком разрушении невозможно визуально заметить какие-либо предварительных внешние признаки разрушения. Поэтому до начала 20 века считали, что разрушение происходит мгновенно. Сейчас же выражение "процесс разрушения " является устойчивым словосочетанием.

Разрушение - это действительно процесс сложной внутренней перестройки металла под действием нагрузок. При этом происходит ослабление и разрыв межатомных связей. Если разрушение хрупкое, все предварительные процессы структурной перестройки скрыты от нас. Получается, что мы узнаем о давно идущем процессе разрушения в последний момент! Чтобы уметь предсказывать и предупреждать такие ситуации необходимо изучать процессы, которые происходят со структурой металла под различными нагрузками и учитывать их при проектировании и эксплуатации конструкций. Появилась новая наука - механика разрушения.

Причина этих внезапных разрушений, приводящих к катастрофам, - хрупкое разрушение металла. Оно происходит когда материал конструкции является хрупким сам по себе или становится хрупким из-за внешних условий (например, низкая температура воздуха). При хрупком разрушении упругая деформация при нагружении достигает такой величины, что разрушаются первичные межатомные связи, и материал разделяется на части. Внутренние дефекты и образующиеся трещины чрезвычайно быстро распространяются до полного разрушения. Поверхность разрушения при этом неровная, зернистая. При хрупком разрушении невозможно визуально заметить какие-либо предварительных внешние признаки разрушения. Поэтому до начала 20 века считали, что разрушение происходит мгновенно. Сейчас же выражение "процесс разрушения " является устойчивым словосочетанием.

На начальном этапе своего развития описание всех процессов зарождения и развития трещин осуществлялось таким образом, как если бы трещины были прямыми отрезками и линиями. Такие трещины можно описывать асимптотическими уравнениями. Это была линейная механика разрушения . В ней рассматривалось исключительно хрупкое разрушение, происходящее при росте трещины без заметных пластических деформаций материала. Это послужило первым приближением к описанию разрушения.

Впоследствии было выяснено, что истинно хрупкое разрушение может происходить лишь в очень немногих случаях. В основном же, при росте трещины перед ее кончиком всегда возникает так называемая пластическая зона. По своей структуре и свойствам пластическая зона напоминает металл в состоянии, близком к расплавленному. Изменение структуры материала в пределах пластической зоны называется пластической деформацией. При наличии пластической деформации происходит вязкое разрушение . Оно наблюдается в пластичных материалах, когда пластическая деформация материала достигает такой величины, что он разделяется на две части. Разрушение происходит в результате процесса зарождения, слияния, и распространения внутренних пор. Подробно механизмы протекания пластической деформации будут описаны в главе 6.

Вязкое разрушение, в отличии от хрупкого, менее опасно, поскольку его начальные стадии бывают хорошо заметны визуально. Например, при вязком разрушении какого-либо сосуда под давлением Р , в нем появляются выпучины. Заметив их, мы можем остановить работу сосуда, не допуская его полного разрушения, которое может провести к катастрофе. Если же разрушение будет хрупким, даже при часто проводимом тщательном внешнем осмотре сосуда мы не сможем визуально обнаружить каких-либо предвестников разрушения. Тогда разрушение может произойти совершенно неожиданно для нас.

Было обнаружено, что зона перед кончиком развивающейся трещины имеет фрактальную разветвленную структуру типа дерева. Фрактальность этой структуры объясняет, почему реальные трещины имеют извилистый разветвляющийся характер. К таким трещинам уже неприменимы описание и формулы линейной механики разрушения.

Так возникла нелинейная механика разрушения - дисциплина, более адекватно описывающая процессы разрушения. Ее возникновение было бы невозможно без новейших исследований поведения и свойств фрактальных структур , а также развития такой науки как синергетика . Синергетика изучает процессы эволюции и самоорганизации сложных систем. Основное ее преимущество заключается в том, что принципы, выработанные синергетикой, могут быть применимы к различным областям знания, и на ее основе можно применять методологию междисциплинарного подхода.

Природа устроена очень гармонично. Тот путь, который она использует для создания чего-либо, она применяет (только в обратном порядке) и для разрушения. При разливе вина бутылку сначала закупоривают пробкой, затем для герметичности обклеивают пленкой (раньше бутылки запечатывали сверху сургучом). Открывая бутылку вина, попробуйте вынуть пробку наружу раньше, чем вы снимете пленку. Если это кому-то удастся проделать, мы будем вынуждены признать свою неправоту. А пока мы все же утверждаем, что механизмы разрушения материалов закладываются в процессе их формирования . Этот простой закон действует повсеместно.

В природе в свободном виде содержатся в основном окислы металлов. Конструкционные металлические материалы получают при выплавке путем восстановления окислов до чистых металлов. Далее готовому металлу придают требуемую форму конструкции. После этого металлическая конструкция, прослужив определенное время, разрушается и под воздействием кислорода окружающей среды постепенно вновь превращается в окислы. На рис. 2.2. показана эволюция металла начиная от его естественного природного состояния в виде окислов через процесс получения чистого металла и до его полного разрушения и окисления. Траектория этой эволюции - замкнутый эллипс, но с учетом течения времени она разрывается и приобретает форму спирали. Отрезки траектории 1-2 и 2-3 обратно симметричны, что говорит о тесной взаимосвязи процессов формирования и разрушения.

Спиральный характер траектории неслучаен. Говорят, что по спирали происходит движение мировой истории. Это может выражаться в периодическом возврате к одним и тем же идеям, однако с каждым "витком" повышается глубина осмысления этих идей, и на каждом следующем "витке" они представляют из себя нечто другое по сравнению с предыдущим. Проведя аналогию с рис. 1.2, на котором изображена схема прохождения системой траектории "синтез - анализ - синтез", можно предположить, что на рис. 2.2. состояние металла в точке 3 по каким-то параметрам отличается от его состояния в точке 1. Это говорит о непрерывном движении материи.

Структура большинства металлических конструкционных материалов имеет несколько характерных масштабов, на которых мы можем четко выявить существование обособленных структурных элементов. Это указывает на то, что должно существовать несколько масштабных уровней разрушения этих материалов. В действительности так оно и происходит. Это связано с глобальной иерархичностью окружающего нас мира. Понимание многомасштабности структуры металлов и тесной взаимосвязи и взаимовлияния различных масштабных уровней является одним из ключевых моментов в теории разрушения.

В следующем разделе будет показана чрезвычайная распространенность и всеобщность иерархического принципа. Далее будут приведены некоторые сведения из теории фракталов, которые необходимы для понимания механизмов разрушения реальных материалов, поскольку нелинейная механика разрушения широко оперирует понятиями фрактальной геометрии.

После рассмотрения принципа иерархичности и фрактальных структур мы обратимся к процессам формирования конструкционных материалов. Изучив механизмы кристаллизации и определив характерные структурные уровни организации металлических и углеродистых материалов, нам легче будет рассматривать уже непосредственно процессы разрушения, о которых пойдет речь в заключительной главе.

2.1. Ирархичность как основной принцип структурообразования

Каждый из нас наверняка хотя бы раз в жизни сталкивался с ситуацией вынужденного жесткого подчинения одного человека другому. Возьмем для рассмотрения административную систему какой-либо фирмы: генеральному директору подчинены директора филиалов, которым, в свою очередь, подчинены заведующие более мелких подразделений, и так далее до рядовых исполнителей.

В человеческом обществе каждый человек занимает определенную социальную ступень и постоянно стремится вверх по социальной лестнице. Все взаимоотношения в обществе строятся на основании подчинения субъектов низшего звена субъектам более высокого звена. Само же общество напоминает пирамиду, в основании которой находятся наиболее многочисленные "мелкие сошки", а на вершине - один или несколько "боссов". Такой принцип построения называется иерархическим .

В отличие от систем, построенных на личном авторитете, системы, построенные на иерархическом принципе, являются наиболее живучими и могут существовать веками, естественным образом видоизменяясь во времени и приспосабливаясь к новым условиям. Основная причина этого - наличие перспективы роста. Человек, единожды включенный в такого рода систему, в конце концов строит свои жизненные планы в соответствии с ней и делает все возможное для ее процветания. В течение своей жизни он может переходить на все высшие иерархические ступени системы и, наконец, задержаться на одной из них. На рис. 2.3. схематично показана иерархическая система, включающая в себя три иерархических уровня.

Общество насквозь пронизано различными иерархическими системами - в спорте, в искусстве, в науке - везде существует градация на "обычных" людей и людей, с различной степенью "заслуженности". Один и тот же человек, как правило, бывает включен одновременно в несколько таких систем, о существовании остальных он может просто ничего не знать. Не менее распространены иерархические системы и в животных сообществах.

Мы рассмотрели масштаб, привычный для непосредственного человеческого восприятия, и обнаружили множество иерархически устроенных систем. Иерархический принцип устройства характерен для всей материи как таковой.

На микро- и мезоскопическом масштабе это выглядит следующим образом:

Причина всеобщности иерархического принципа организации сложных систем с точки зрения кибернетики объясняется следующим образом: усложняя организацию физического мира, природа действует по методу проб и ошибок. Одни и те же элементы воспроизводятся ею во многих экземплярах, которые, однако, не вполне тождественны оригиналу, а отличаются от него наличием небольших случайных вариаций. Эти экземпляры служат в дальнейшем материалом для естественного отбора.

Сложные системы могут состоять из огромного количества таких элементов. Пытаясь реализовать наиболее эффективный с точки зрения функциональности системы способ соединения элементов природа может пойти методом простого перебора всех возможных вариантов. Но даже для системы, состоящей из N=100 элементов потребовалось бы перебрать

(2.1)

вариантов. Скорее всего, природа идет иным путем.

Если система понимает, что какая-либо связь, установленная случайно между двумя и более элементами, является исключительно целесообразной, система может закрепить ее в виде устойчивого образования и более не трансформировать. Это, естественно, уменьшает число вариантов перебора.

Теперь система может встраивать такие образования как единичные элементы, и их можно рассматривать, не беспокоясь об их сложной внутренней структуре, а учитывать лишь функциональность. Таким образом, формируется первая ступень иерархии. Очевидно, что подобный процесс может происходить и далее, причем число вариантов перебора будет неуклонно падать, и система все же придет к оптимальной структуре, которой она навряд ли смогла бы достичь без использования принципа закрепления наиболее ценных связей между элементами.

Иерархичность присуща и живым объектам. Целый ряд структур различного масштаба обнаружен в строении сухожилия, состоящего из полимерных молекул [1]. Иерархия структурных единиц в нем начинается с молекулы тропоколлагена - тройной спирали полимерных протеиновых цепей. Затем она достраивается посредством последующего формирования микрофибрилл, субфибрилл, фибрилл и, наконец, пучков, образующих само сухожилие (рис. 2.4.).

2.2. Самоподобие

Самоподобие - достаточно старая идея. Так, например, русские матрешки напоминают нам о гипотезе самоподобных гомункулюсов, которые существовали еще в яичниках Евы, представляя собой все будущие поколения человечества. В XVIII столетии А. фон Халлер и др. развили эту гипотезу в серьезную теорию “преформации” (предварительного формирования). Его теория не получила тогда признания, что, возможно, было одной из причин того, что самоподобные структуры игнорировались вплоть до начала 70-х годов нашего века, когда они были переоткрыты и вызвали новый прилив энтузиазма. Независимо (и почти одновременно) К. Г. Вильсон в физике (теория перенормировок) и Б. Б. Мандельброт в математике (фрактальная геометрия) восстановили в правах структуры такого типа и создали тем самым новые методы, существенно расширившие наши представления о мыслимых формах.

Эти работы позволили провести тесную связь между физикой фазовых переходов и математикой фрактальных множеств типа множества Жюлиа. В настоящее время неизвестно, является ли это простым совпадением или же отражает существенные свойства фазовых переходов. Фрактальность и самоподобие фазовых границ вполне может оказаться неслучайным.

2.2.1. Самоподобие межфазных границ

Фазовым переходом называется изменение состояния вещества. В школе мы изучали три основных состояния: твердое тело, жидкость и газ. При более близком изучении обнаруживается, однако, и много других состояний (фаз). Так, например, многие твердые тела изменяют свою кристаллическую структуру при изменении температуры или давления. При очень больших температурах или малых плотностях вещество ионизируется и становится плазмой, которая обладает свойствами, редкими на Земле, но обычными в космосе.

Наиболее интенсивно изучается фазовый переход между магнитным и немагнитным состояниями вещества. Во многих веществах имеются элементарные атомные магниты, которые стремятся расположиться параллельно друг другу. Если тепловые флуктуации достаточно малы, такая тенденция приводит к макроскопическому (наблюдаемому) упорядочиванию, которое и называется магнетизмом. Этот порядок с ростом температуры становится все более нечетким, а в точке Кюри (названной так в честь Пьера Кюри - мужа Марии Кюри) порядок превращается в беспорядок. Для железа это происходит при температуре 770° С. Выше этой температуры есть только намек на магнетизм: на определенных расстояниях и в течение определенных промежутков времени элементарные магниты могут сохранять упорядоченность, но в этом случае они не могут “поддерживать связь” друг с другом на больших расстояниях или же в течение длительного времени. Чем выше температура, тем меньше типичные расстояния и времена когерентности, а при очень больших температурах элементарные магниты могут изменять свое положение совершенно независимо друг от друга.

Другие фазовые переходы также могут быть описаны как образование или разрушение дальнего порядка, при этом связь между температурой и пространственно-временными масштабами когерентности аналогична описанной выше. Тот факт, что такие совершенно разные системы, как, например, магнит вблизи точки Кюри и жидкость в критической точке, оказываются удивительно похожими в количественном отношении, был поразительным и вплоть до конца 60-х годов загадочным. Микроскопическая природа порядка, казалось, не имела значения для понимания этого явления. Что же тогда было основной причиной наблюдаемого сходства?

2.2.2. Преобразование масштаба и температура

Решающая идея принадлежала Л.П. Каданову. Он сформулировал ее в 1966 году, когда работал в Университете Брауна. Не употребляя явно сам термин “самоподобие”, Каданов разработал основную концепцию, выражающую это понятие. Он исследовал, как будет выглядеть один и тот же магнит при использовании различных масштабов.

Вначале возьмем магнит при абсолютном нуле, когда все элементарные магниты выстроены в линию. Его вид не меняется при изменении масштаба. Простирается ли наше “окно для наблюдений” от 1 до 100 нанометров или же от 1 до 100 микрометров - мы видим идеальный порядок. Можно взять наименьшую различимую ячейку (нанометровый или соответственно микрометровый блок) в качестве элементарного магнита и обнаружить, что при абсолютном нуле они идеально выстроены в линию.

Похожую картину мы наблюдаем, меняя масштаб при “бесконечно” большой температуре. Здесь все атомные магниты флуктуируют абсолютно независимо друг от друга и на всех масштабах выше атомного наблюдается полный беспорядок. Таким образом, картины на нанометровой и микрометровой шкалах не отличаются друг от друга.

Что же происходит, когда температура больше нуля, но не бесконечна? Рассмотрим вначале низкие температуры. Здесь также есть макроскопический порядок, но он не вполне идеален, так как некоторые из атомных магнитов отклоняются от выделенной линии из-за тепловых флуктуаций. Сравнивая различные масштабы, мы замечаем различия. Так, например, флуктуации можно наблюдать при нанометровом масштабе, но не дальше. В микрометровом масштабе они незаметны, и магнит выглядит точно так же, как и при температуре абсолютного нуля. То есть, огрубление шкалы от нанометров до микрометров приводит к эффективному понижению температуры !

Рассмотрим теперь магнит при высоких температурах. Здесь беспорядок уже неполный. Всегда существуют локальные образования, в которых атомные магниты выстроены в линию. И вновь огрубление шкалы - масштабное преобразование - приводит к исчезновению этих небольших когерентных областей. При достаточно грубой шкале магнит выглядит точно так же, как и при бесконечно высокой температуре.

Эта стратегия напоминает процесс принятия решений. Чтобы оценить сложную ситуацию, часто бывает полезным рассматривать ее со все возрастающего расстояния. При этом детали размываются (становятся неразличимыми) и картина становится более ясной.

Суть этой идеи в том, чтобы связать масштабные преобразования с изменениями температуры. Если один и тот же магнит при заданной температуре рассматривать в различных масштабах, то он будет выглядеть так, как будто его температуры различны. Можно говорить, что масштабное преобразование вызывает соответствующую перенормировку температуры.

Рассмотрим магнит из N атомов с межатомным расстоянием а и с температурой Т. Если взять достаточно грубый масштаб, в котором элементарная ячейка содержит b³ атомов, а длина ее стороны равна a =b*a, то магнит будет выглядеть так, как будто он состоит из N=N/b³ атомов и имеет другую, пере нормированную температуру Т. Соотношение Т=R_b (T) называется преобразованием перенормировки.

Наше качественное обсуждение продемонстрировало, что это преобразование имеет два аттрактора, две точки притяжения: температуры Т = 0 и T=¥ . Действительно, в случае низких температур перенормировка температуры, связанная с переходом на более грубые масштабы, еще больше ее снижает, а при высоких температурах, наоборот, еще больше повышает.

Будем говорить, что низкие температуры находятся в области притяжения аттрактора Т = 0, а высокие - в области притяжения аттрактора Т = ¥ . Точки Кюри Т_с - граница между двумя областями притяжения. Когда магнит находится при этой температуре, он выглядит одинаково при любых масштабах, а его температура не изменяется при перенормировке R_b (Т_с ) = Т_с просто потому, что он не может “решить”, к какому аттрактору ему следует направиться, На языке динамических систем мы говорим, что Т_с - репеллер процесса перенормировки. Если температура магнита даже весьма незначительно отклоняется от Т_с , то это отклонение увеличивается перенормировкой, а повторения (итерации) этого процесса ведут к одному из известных случаев, т. е. к идеальному порядку (Т=0) или к полному беспорядку (Т=¥ ).

Будем считать, что при Т = Т_с в магните существуют когерентные (согласованные) флуктуации любых масштабов, сплетенные воедино: малые флуктуации включены в большие и т. д. Короче говоря, флуктуации при критической температуре имеют самоподобную форму.

2.2.3. Перенормировка

В конечном итоге, используя эту основную идею, удалось получить количественные результаты и вполне удовлетворительно объяснить физику фазовых переходов. Путь от идеи перенормировки до ее конкретной законченной формы оказался столь трудноуловимым, что Каданову не удалось его отыскать. В 1970 году К. Г. Вильсону в Корнелльском университете удалось преодолеть эти трудности. Он развил метод перенормировок, превратив его в технический инструмент, который доказал теперь свою ценность в огромном числе приложений.

Развитие идеи перенормировки от предвидения Каданова до практического метода Вильсона имело любопытный побочный эффект: интуитивно ясная картина самоподобных флуктуаций в критической точке постепенно отошла на задний план, а сам метод стал весьма технически сложным и менее понятным.

Исследователи стали заниматься в основном вопросом о том, как быстро перенормировка выводит из окрестности критической точки. Кажется удивительным, что для объяснения экспериментальных результатов, касающихся феноменологии фазовых переходов, не нужно было явно использовать самоподобные структуры.

Однако недавно в теории перенормировок неожиданно появились фрактальные границы раздела фаз. При этом обнаружилась интуитивно привлекательная (хоть пока еще и не связанная с экспериментом) связь с идеей Каданова о самоподобии [2].

2.3. Фрактальные структуры

Иногда для описания сложных иерархических систем удобно применять фрактальный подход.

Фракталы - понятие, которое возникло в конце 80-х годов благодаря работам Б. Мандельброта [3]. Согласно его собственному пробному определению фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [4]. Иными словами, вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фрактальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Реальные же объекты имеют довольно четко ограниченный интервал масштабов, в которых они проявляют свою фрактальную природу.

Распространенность фрактальных структур в природе невообразима. Фрактальны пористые минералы и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др. системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф и многое другое. Мало того, фрактальны практически все поверхности твердых тел. В последнее время появляются теории фрактального строении физического вакуума.

Свойство частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподобием . Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных пород [5] и сплавов металлов до десятков километров при рассмотрении рельефа местности [6] и формы облаков. В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталонного" образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру.

Другим важным свойством фракталов является их иерархичность , т.е. способность повторяться в разных масштабах пространства и времени. Однако, существует четкий критерий принадлежности объекта к фракталам - объект нельзя считать фрактальным, если он не обладает свойством самоподобия, но можно - если он не иерархичен.

2.3.1. Регулярные фракталы

Интуитивно можно констатировать, что свойства природных фрактальных объектов чрезвычайно разнообразны и сложны, в силу чего для их исследования используются модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам. Такие искусственные фрактальные объекты носят название "регулярные фракталы ".

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Для выяснения смысла этого фрактального показателя решим несложную задачу. Требуется подсчитать длину ломаной линии, полученной преобразованием отрезка единичной длины (рис. 2.5.). Алгоритм преобразования следующий:

1. отрезок единичной длины (рис. 11а) делится на 3 части, средняя часть отрезка отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2 отрезков длины 1/3 (рис. 2.5.б);

2. каждый прямой отрезок полученной ломаной преобразуется согласно пункту 1, и мы получаем более изощренную ломаную линию, показанную на рис. 2.5.в;

3. пункты 1 и 2 повторяются до исчерпания технических возможностей чертежного приспособления (рис. 2.5.д). Если продолжить этот процесс до бесконечности, мы получим линию, называемую кривой Кох . Поскольку на каждом шаге мы разбивали каждый отрезок на три части, точнее она называется триадной кривой Кох . Ведь каждый отрезок можно разбивать и на большее количество частей.

На первом шаге алгоритма длина отрезка а составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто

L = 4*1/3 = 4/3 = 1,33 (2.2)

На втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка а =1/9, длина кривой

L = 16*1/9 = 16/9 = 1,777 (2.3)

На третьем шаге алгоритма а =1/27

L = 64*1/27 = 64/27 = 2,370370 (2.4)

и т.д. Можно заметить, что с увеличением n длина элементарного отрезка а ® 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

L= (4/3)ⁿ (2.5)

a = (1/3)ⁿ (2.6)

где n = 1,2,3. Выражая n из (2.6), получаем: n = (1/ln3)*ln(1/a ). Подставляя n в (2.5), получим

L = exp(n *ln(4/3))=exp((ln(4/3)/ln3)*ln(1/a ) (2.7)

Обозначив D = ln4/ln3, получаем

L =a *(1/a )D -1 (2.8)

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается только величина D , поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой данной линии "кривая Кох". Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, на сколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского (рис. 2.6.).

Кривую Кох можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность кривой Кох D =ln4/ln3 » 1,263 больше топологической размерности. Таким образом кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью.

Похожий алгоритм используется для построения салфетки Серпинского (рис. 2.6.). Здесь из середины плоского треугольника вырезается треугольник с длиной стороны, равной половине длины стороны исходного треугольника. Фрактальная размерность этого построения лежит между 1 и 2.

2.3.2. Фрактальные кластеры

Для описания фрактальных структур, встречающихся на микромасштабах, широко используют понятие кластер (рис. 2.7). Это - скопление близко расположенных, тесно связанных друг с другом частиц любой природы (атомов, молекул, ионов и иногда ультрадисперсных частиц) общим количеством 2-100 частиц. В последнее время термин кластер распространяется и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц.

Введено также понятие фрактального кластера , под которым понимают структуру, образующуюся в результате ассоциации частиц при условии диффузионного характера их движения. Основной чертой фрактального кластера является то, что средняя плотность частиц в нем r (r ) падает по мере удаления от образующего центра по закону

r (r )= const / ra , (2.9)

где r - расстояние от центра.

Связь между размером кластера и числом частиц N (или массой фрактала) можно представить в виде:

N ~ R^D , (2.10)

где R - расстояние от центра кластера;

D = d - a - фрактальная размерность кластера;

d - размерность объемлющего пространства.

В другом виде это же соотношение можно представить следующим образом:

N =r (R /R ₀ )^D при N ®¥ , (2.11)

где R ₀ - размер частицы или мономера (все частицы полагаются равными по размеру);

r - плотность массы - учитывает тип упаковки и форму кластера.

Размерность кластера D не зависит ни от его формы, ни от типа упаковки в нем частиц. Она лишь служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство [4]. Из соотношения (2.10) следует, что фрактальная система обладает свойством самоподобия. Оно формулируется следующим образом: если в окрестности точки, занятой кластером, выделить область относительно небольшого объема, то попадающие в него участки кластера будут подобны в физическом смысле. Таким образом, фрактальный кластер, построенный по случайному закону, имеет внутренний порядок, а свойство самоподобия следует понимать статистически[4].

Разработано множество модельных механизмов формирования фрактальных кластеров. Это во многом связано с развитием и все более широким внедрением вычислительной техники. Проведено огромное количество численных экспериментов [например, 5, 6, 7, 8], в которых выявлялись закономерности фрактальной природы реальных объектов на основе модельных механизмов. Среди моделей агрегации следует выделить модель агрегации, ограниченной диффузией (DLA или ОДА), модель ограниченной диффузией кластерной агрегации (DLCA) и модель кластер-кластерной агрегации (CCA).

Многие реальные физические процессы хорошо описываются DLA- моделью. Это прежде всего электролиз, кристаллизация жидкости на подложке, осаждение частиц при напылении твердых аэрозолей. В DLA- процессе на начальном этапе в центре области устанавливается затравочное зерно, затем из удаленного источника на границе области поочередно выпускаются частицы, которые совершают броуновское движение и в конечном итоге прилипают к неподвижному зерну. Таким образом происходит рост DLA- кластера.

При помощи ССА-процесса моделируются гелеобразование и формирование связанно-дисперсных систем (рис. 2.8). В этом процессе нет затравочного зерна. Все частицы совершают случайные блуждания и образуют кластеры, которые продолжают диффундировать, формируя кластеры больших размеров. В пределе система может превратиться в один гигантский кластер (рис. 2.8 в)[4].

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами.

Это приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая замена вполне оправдана. В то же время, известны ситуации, когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо.

В металлических материалах существуют ячеистые или зернистые микроструктуры. Они могут иметь фрактальный или нефрактальный характер [10]. В последнем случае границы зерен, вследствие своей большой изрезанности обладают дробной фрактальной размерностью D Î[2; 3]. Такая структура характерна для высокодеформированных границ. Существует даже термин “зубчатые границы”. Для них характерно самоподобие в широкой области пространственных масштабов[11].

2.3.3. Перколяция

В последнее время идеи фрактальной геометрии находят все большее применение при количественной оценке параметров реальных кристаллов, которые зачастую имеют очень сильные отклонения от правильной формы евклидовых многогранников [12]. В частности. это относится к дендритам - своеобразным “пористым” кристаллам, обладающим свойством самоподобия (рис. 2.9). Удобной мерой, характеризующей отклонение степени заполнения дендритом пространства от таковой для идеального кристалла, является его фрактальная размерность.

Фрактальные идеи с успехом применяются для описания протекания жидкостей через пористые среды. Иначе процесс протекания называется перколяцией (от англ. percolation - просачивание). Перколяция имеет место в ряде важных процессов: при фильтрации, в геологии при просачивании нефти сквозь тот или иной слой породы и т.д. Во всех этих случаях необходимо выяснить, будет ли протекать жидкость сквозь пористую среду, а если будет, то с какой скоростью?

Для решения этих задач используется решеточная модель. Рассматривается решетка, состоящая из узлов и связей между ними. Каждому узлу задается число X _i,j в интервале [0; 1], которое характеризует вероятность того, что в данную ячейку может просочиться жидкость

X _i,j Î [0; 1], i = 1..N; j = 1..M, (2.12)

где N и M - размеры решетки по горизонтали и вертикали.

Задается пороговое значение вероятности X _П (например X _П = 0,45), которое определяет нижнее значение вероятности, при котором жидкость все еще может протечь в ячейку. В данном случае все ячейки с присвоенной им вероятностью X _i,j > 0,45 принципиально лишены возможности пропускать сквозь себя жидкость. X _П называется порогом перколяции и определяет степень пористости среды.

Ячейки с вероятностями меньшими пороговой способны заполняться и пропускать сквозь себя жидкость. Они называются порами . Компьютерное моделирование процесса протекания при заданном X _П заключается в том, что в решетку с одной стороны начинают "впрыскивать жидкость". Впрыснутая жидкость из любой поры может вторгнуться только в пору, непосредственно находящуюся рядом с данной. Так моделируются капиллярные каналы, или "связи" между порами.

Жидкость просачивается в поровое пространство, образуя кластер протекания или перколяционный кластер . Меняя значение порога перколяции X _П , получают перколяционные кластеры различных размеров. Условием успешного протекания жидкости является возникновение кластера, который простирался бы вдоль всей решетки и соединял бы ее противоположные стороны.

Можно представить два варианта перколяции. Идеальный вариант состоит в допущении, что поры среды, через которую осуществляется перколяция, заполнены вакуумом. Более реально рассматривать вариант, когда протекающая жидкость вытесняет какую-либо текучую среду, уже содержащуюся в пористом пространстве. Он может происходить при вытеснении несмешивающихся жидкостей, например в случае вытеснения воды маслом. На рис. 2.10 изображен перколяционный кластер, полученный в модели с вытеснением.

Выяснено, что для квадратной решетки существует определенное критическое значение пористости X _Пкр = 0,59275, при котором впервые появляется кластер, простирающийся на всю длину решетки. Численное моделирование на очень больших решетках показало, что вероятность образования кластера, протекающего на всю длину решетки, стремится к нулю при размере решетки, стремящейся к бесконечности.

При X _П >X _Пкр и X _П ® X _Пкр определяют вероятность протекания P _¥ . Она определяется как вероятность того, что жидкость, впрыснутая в случайно выбранном узле решетки, оросит бесконечное множество пор:

P _¥ ~ (X _П - X _Пкр )b , (2.13)

где b = 5/36 = 0,1389... для двумерного и b = 0,4 для трехмерного протекания.

Сложность моделирования заключается в том, что в реальной пористой среде существует большой разброс пор по размерам. Необходимо численно смоделировать процесс протекания, одновременно учитывая поры всех размеров. Для преодоления такого рода сложностей вводят два пространственных масштаба: минимальный a ₀ и максимальный, называемый длиной корреляции x . На масштабах больших x реальную пористую среду можно считать однородной и представлять в виде блоков с размерами x ´ x ´ x .

С другой стороны обнаружено, что при пористости среды X _П » X _Пкрит на масштабах [a ₀ ; x ] все характеристики среды подобны. При этом реальную пористую среду можно считать самоподобной в промежутке от минимального a ₀ до максимального x масштабов. Свойство самоподобия позволяет рассматривать поведение пористого слоя на произвольном масштабе L [a₀ ; x ].

2.4. Граница, предел роста и фрактальные множества

В различных физических процессах и математических задачах может иметь место ситуация конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. В результате такого соперничества редко возникают простые границы между территориями. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки.беспорядку, от намагниченного состояния к не намагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей, которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс.

Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению. Это так сказать “диссиденты”, не желающие “принадлежать”.

Подобного рода границы могут быть описаны исключительно фрактальной геометрией. Инструментом для описания подобных объектов служат фрактальные множества. Наиболее известными среди них являются множества Мандельброта и Жюлиа, которые сами обладают свойством самоподобия. На рис. 2.11а показано множество Мандельброта. Светлым квадратом

Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к выделена область, которая в увеличенном виде показана на рис. 2.11б. На рис. 2.11в изображена деталь границы с рис. 2.11б. Множество Жюлиа и одна из его деталей в увеличенном виде показаны на рис. 2.12.

2.5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

2.5.1. Моделирование регулярных фрактальных поверхностей

При изучении поверхностных явлений, например явления адсорбции, для воспроизведения реальных поверхностей необходимо искусственно задавать неоднородность. Выяснилось, что ее можно успешно формировать, используя методы фрактальной геометрии. Известно несколько способов, основанных на различных моделях регулярных фракталов.

Первый способ: поверхность обобщенной триады Кох. Вначале строится фрактальная кривая в масштабе h , а затем вся фрактальная кривая переносится параллельно самой себе на длину порядка L . В результате получается “гофрированная” поверхность, которая служит моделью неоднородной поверхности. Можно рассчитать длину фрактальной кривой (обобщенной кривой Кох), которая является профилем этой поверхности:

L _h = h(L/h)^D (2.14)

L _h - зависимость длины кривой от масштаба h .

Здесь фрактальная размерность D определяется выражением:

D =(ln(k -p )+(p ² +4m ² )^1/2 )/ lnk (2.15)

где k - количество частей, на которые делится отрезок длины L

p - количество частей из набора k -частей, на которых производится операция дальнейшего преобразования

m - высота треугольника при построении кривой Кох.

Тогда площадь поверхности Sh определится выражением:

S h =L(h)L =h(L /h)^D (L /h )*h=h² (L /h)^{D +1} (2.16)

Отсюда следует, что фрактальная размерность увеличивается на единицу в том направлении, в котором поверхность однородна: D _S =D +1 (рис. 2.13). Если вместо параллельного переноса образуется другая фрактальная кривая с другим значением масштаба и фрактальной размерности, то:

S h =h₁ h₂ (L /h₁ )^{D 1} *(L /h₂ )^{D 2 2} =L (h₁ )*L (h ₂ ) (2.17)

Второй способ: неоднородная поверхность, образованная ямками и впадинами губки Менгера. Этот способ напоминает образование “горных хребтов” на первоначальной плоской поверхности. Выделяют участок плоской поверхности в форме квадрата со стороной L . Делят получившуюся плоскость на k частей и выделяют на ней квадраты со стороной L/k . Выделяют в центре плоской поверхности площадку размером p ² =(L/k )² (p - число квадратов со стороной L/k ), строят куб высоты p*L /k . Подсчитывают площадь получившейся прямоугольной “горы” (рис. 2.14).

Ее площадь определяется как:

S ₁ =(k ² - p ² )*(L /k )² + 5p ² (L /k )² = (k ² + 4p ² )( L /k )² (2.18)

Процедуру продолжают далее в каждом из квадратов со стороной L /k . В итоге, площадь получившейся поверхности определяется:

S _n =(k ² + 4p ² )*(L /k ⁿ )² , h =L /k ⁿ . (2.19)

Переходя к масштабу h:

S _h = h ² (L /h)^D , (2.20)

где D = [ln(k ² + 4p ² )/ lnk ] > 2, 1 £ p £ k- 2 (2.21)

Таким образом, для моделей фрактальных поверхностей, рассмотренных здесь, показатель D лежит в интервале (2; 3).

2.5.2. Моделирование неоднородных пористых поверхностей

Поскольку поверхности реальных объектов имеют случайный, иногда сильно изрезанный характер, их моделирование при помощи регулярных фракталов типа кривой Кох зачастую невозможно. Далее приведена модель образования фрактальных пористых систем, которые получили название губки Менгера ( по фамилии ученого, впервые предложившего такой механизм моделирования фрактальных объектов).

Губка Менгера образуется следующим образом. Выбирается куб с длиной стороны, равной h = L . Затем сторона куба делится на три части и получается, что в объеме куб состоит из 3? 3? 3 = 27 меньших кубиков со стороной h ₁ =L /3. Из центральной части объема исходного куба удаляются 7 таких меньших кубиков (рис. 2.15а). В каждом из оставшихся 20 кубиков совершается процедура, аналогичная вышеописанной. Объем оставшейся части куба на каждом этапе построения можно определить по формулам:

1 этап V ₁ =20(L /3)³ , h₁ = L/3

. . .

n этап V_n =20ⁿ (L /3ⁿ )³ , h _n = L /3ⁿ (2.22)

Исключая n , получим следующий результат:

V _h =h³ (L /h )^D (2.23)

Здесь D = ln20/ln3 = 2,726833.

Еще более реалистичные модели пористых систем можно образовать из модели фрактала под названием обобщенной губки Менгера (рис. 2.15б). Этот фрактал получается следующим образом. Сторона ребра исходного куба размера L делится на К частей. Затем из центра куба изымается р кубиков со стороной ребра L /К . Подсчитывается доля оставшихся. Затем та же процедура изъятия р кубиков осуществляется уже для каждого оставшегося кубика размером L/К . Эта процедура продолжается n раз. На первом этапе доля оставшихся кубиков определяется следующим выражением:

12р* ((k - p )/2)² +8* ((k -p )/2)³ = k ³ - 3kp ² + 2p ³ . (2.24)

Число кубиков масштаба L /kⁿ равно (k ³ -3kp ² +2p ³ )ⁿ . Объем обобщенной губки Менгера дается выражением:

V _h = (k ³ - 3kp ² +2p ³ )ⁿ (2.25)

(L/kⁿ )³ = h³ (L/h)^D (2.26)

Здесь:

D = [ln(k ³ -3kp ² +2p ³ )]/lnk (2.27)

D - фрактальная размерность обобщенной губки Менгера (0 < р £ k -2).

Классической губке Менгера соответствует К =3, р =1. Исследование выражения для D показывает, что 2< D< 3, причем р =1 соответствует случаю малой доли пор с D близкой к трем. Другой предельный случай:

D = ln[4(3k - 4)]/ lnk (2.28)

соответствует случаю развитой пористости или большей доли пор. Под пористостью здесь понимается доля изъятых кубов из исходного куба объема L³ . Cуммарная площадь порового пространства для обобщенной губки Менгера также фрактальна и характеризуется параметром D s (фрактальной размерностью). Расчет площади производится с помощью выражения:

S _h = G _f [(L/h )^{D -2} -1]. (2.29)

Здесь G _f - геометрический форм-фактор:

G _f = [12p* (k - p )]/(N - k ² ) = [12p* (k - p )]/(k ³ - 3kp ² + 2p ³ - k ² ), (2.30)

D определяется формулой, описанной выше для фрактальной размерности обобщенной губки Менгера. Значит, между фрактальными размерностями D и D s существует корреляция:

D s= D -2 (2.31)

Следует отметить, что для произвольного объемного фрактала такой простой связи между Sh и Vh не существует. Здесь для каждого фрактала необходим свой предварительный анализ, определяемый геометрической формой фрактала.

Формула для площади порового пространства здесь может быть переписана в виде:

S _h = G _{f h} [(L/h )^D - (L/h )² ] (2.32)

Можно полагать, что классификация фракталов по различным геометрическим свойствам в приложении к реальным объектам, в том числе и к поверхностям раздела конденсированных сред, уже практически сложилась. Сейчас существует целый ряд экспериментальных методов измерения и наблюдения фрактальных структур, результаты которых затем в каждом отдельном случае сопоставляются с различными математическими и компьютерными моделями. Аппарат фрактальной геометрии будет часто необходим нам в дальнейших главах для описания явлений формирования и разрушения конструкционных материалов.