РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Метрология, стандартизация и технические измерения
Специфика проведения измерений и обработки результатов
Задание 1. Однократное измерение
Условие задания
При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.
Экспериментальные данные:
Информация о средстве измерения:
Вид закона распределения нормальный
Значение оценки среднего квадратичного отклонения
Доверительная вероятность
Мультипликативная поправка
Расчет
Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:
;
,
где Е - доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона
,
где t - квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения
, при этом следует учитывать, что
. t = 1,64 при P=0,9
.
Используя правила округления, получим:
.
С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:
;
.
Вносим мультипликативную поправку:
,
,
.
Записываем результат:
<Q<
; P=0,9
Задание 2. Многократное измерение
Условие задания
При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений
. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
484
|
481
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
485
|
485
|
485
|
492
|
484
|
481
|
480
|
481
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
|
484
|
485
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Для обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе
критерия.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.
Далее определяем значения
критерия для каждого значения результата измерений
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью
с учетом
находим из соответствующей таблицы значение
, которое зависит от числа измерений
и .
При
, следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие
.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
484
|
481
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
485
|
485
|
485
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
|
|
485
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
|
|
Заново определяем значения
критерия для каждого значения результата измерений
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью
с учетом
находим из соответствующей таблицы значение
, которое зависит от числа измерений
и .
Условие
выполняется для всех результатов измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с
и
.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью
и для уровня значимости
определяем из соответствующей таблицы квантили распределения
и .
Значение
соответствует условию
. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью
и для уровня значимости
с учетом
по соответствующим таблицам определяем значения
и .
Для
из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения
определяем значение
и рассчитываем E:
,
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения
и
.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
1,41
|
0,41
|
2,41
|
1,59
|
1,59
|
0,41
|
0,41
|
1,59
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
1,41
|
1,41
|
1,41
|
0,41
|
2,59
|
3,59
|
2,59
|
0,41
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
|
|
1,41
|
1,41
|
0,41
|
0,59
|
0,59
|
1,41
|
|
|
Мы видим, что не более m разностей
превосходят
, следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью
.
Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.
Так как закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется следующим образом:
Определяем доверительный интервал
Закон распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной доверительной вероятности
определяется из распределения Стьюдента
, где
определяется из соответствующей таблицы.
,
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие задания
При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (
) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Вычислить результат многократных измерений.
Серия измерений 1.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
484
|
481
|
485
|
485
|
485
|
492
|
Серия измерений 2.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Обработка результатов производится для каждой серии отдельно.
Для обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе
критерия.
Серия измерений 1.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 1.
Далее определяем значения
критерия для каждого значения результата серии измерений
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью
с учетом
находим из соответствующей таблицы значение
, которое зависит от числа измерений
и .
При
, следовательно, значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие
.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
484
|
481
|
485
|
485
|
485
|
|
Заново определяем значения
критерия для каждого значения результата серии измерений
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью
с учетом
находим из соответствующей таблицы значение
, которое зависит от числа измерений
и .
Условие
выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с
и
.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью
и для уровня значимости
определяем из соответствующей таблицы квантили распределения
и .
Значение
соответствует условию
. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью
и для уровня значимости
с учетом
по соответствующим таблицам определяем значения
и .
Для
из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения
определяем значение
и рассчитываем E:
,
.
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения
и
.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1
|
0
|
2
|
2
|
1
|
0
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
0
|
3
|
1
|
1
|
1
|
|
Мы видим, что не более
разностей
превосходят значение
. Следовательно, второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью
.
Серия измерений 2.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 2.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Далее определяем значения
критерия для каждого значения результата серии измерений
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью
с учетом
находим из соответствующей таблицы значение
, которое зависит от числа измерений
и .
При
, следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие
.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
|
Заново определяем значения
критерия для каждого значения результата серии измерений
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью
с учетом
находим из соответствующей таблицы значение
, которое зависит от числа измерений
и .
Условие
выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с
и
.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью
и для уровня значимости
определяем из соответствующей таблицы квантили распределения
и .
Значение
соответствует условию
. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью
и для уровня значимости
с учетом
по соответствующим таблицам определяем значения
и .
Для
из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения
определяем значение
и рассчитываем E:
,
.
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения
и
.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
0,82
|
2,18
|
3,18
|
2,18
|
0,82
|
1,82
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
1,82
|
0,82
|
0,18
|
0,18
|
1,82
|
|
Мы видим, что не более
разностей
превосходят значение
. Следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью .
Далее необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.
Для этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности:
Задавшись доверительной вероятностью
, определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения
значение
и сравниваем
с .
Условие
выполняется. Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью
можно признать незначимым.
Далее необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.
Для этого определяем значение:
И, задавшись доверительной вероятностью
, определяем из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера
.
Условие
выполняется. Серии с доверительной вероятностью
считаем рассеянными.
Выше было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому необходимо определить оценку результата измерения
и среднеквадратического отклонения
.
Задавшись доверительной вероятностью
, определяем из таблиц распределения Стьюдента значение
для числа степеней свободы
Затем определяем доверительный интервал
:
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
.
Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)
Условие задания
При многократных измерениях независимых величин
и
получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления
, (вид функции
и характер величин
представлены в таблице 3).
Вид функциональной зависимости
.
Характер и единицы величин:
- ЭДС, мВ;
- сопротивление, Ом;
- сила тока, А.
Обработка результатов измерений величин
и
проведена в задании 3 первой расчетно-графической работы.
Средние значения и среднеквадратические отклонения для величин
и
имеют вид
Гипотеза о нормальности распределения величин
и
подтверждается.
Определим оценку среднего значения функции:
Определим поправку
Определим оценку стандартного отклонения функции
Определяем доверительный интервал для функции
Законы распределения вероятности результатов измерения
и
признаны нормальными,
можно определить для принятой доверительной вероятности
из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы
определяется из выражения
Используя правила округления, получим:
Результат запишется в виде:
Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей
Условие задания
При многократных совместных измерениях величин
и
получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии
по
: .
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
61;602
|
62;613
|
63;620
|
64;631
|
65;639
|
66;648
|
67;656
|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
68;662
|
69;667
|
70;682
|
9;87
|
19;188
|
29;286
|
39;386
|
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
|
49;485
|
59;575
|
69;667
|
79;770
|
89;868
|
99;966
|
|
В качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида
.
Параметры прямой определим по методу наименьших квадратов.
Далее проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить критерии серий и инверсий.
Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений, рассчитанных для того же аргумента:
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
-4,67
|
-0,67
|
0,33
|
3,33
|
5,33
|
-1,67
|
5,93
|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
7,23
|
4,53
|
5,83
|
4,13
|
3,43
|
1,73
|
-1,97
|
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
|
-6,67
|
-6,67
|
-1,37
|
-0,67
|
0,33
|
1,33
|
|
последовательность ∆Yi записана по мере возрастания Х
Критерий серий:
Рассчитываем число серий в полученной последовательности: N=6
Задавшись доверительной вероятностью
, для n=20 определяем по таблице допустимые границы
и :
Критерий инверсий:
Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности
: А=106.
Задавшись доверительной вероятностью
для n=20 определяем по таблице допустимые границы
и :
Оба неравенства выполняются
и
|