Омский государственный технический университет
Кафедра “Авиа- и ракетостроение”
Специальность 160801 - “Ракетостроение”
Курсовая работа
по дисциплине
“Строительная механика летательных аппаратов”
Основы расчёта оболочек
Омск 2005
Содержание
1. Расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами
2. Исследование напряжённо-деформированного состояния полусферической оболочки, заполненной жидкостью
3. Исследование напряжённо-деформированного состояния сферической оболочки, заполненной жидкостью
4. Расчёт сферического топливного бака с опорой по экватору
5. Расчёт бака на прочность
Список литературы
1.
РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ ШПАНГОУТАМИ
Условие задачи.
Рассмотрим цилиндрическую оболочку постоянной толщины
, радиуса
, подкрепленную шпангоутами, равномерно расположенными по её длине. Сечение шпангоута:
. Оболочка нагружена избыточным давлением
(рис.1).
Цель расчета.
Определить минимальное расстояние между шпангоутами
, которое позволяет исключить взаимное влияние на оболочку двух соседних шпангоутов.
Рис.1. Расчетная схема
Исходные данные
Погонная нагрузка
МПа;
Радиус оболочки
м;
Толщина оболочки
м;
Ширина шпангоута
, м;
Толщина шпангоута
, м;
Материал оболочки:
марка ВТ6С (О);
коэффициент Пуассона
;
модуль Юнга
Выполнение расчёта
Расчётная схема 1. Шпангоуты абсолютно жёсткие
Определим цилиндрическую жёсткость оболочки
по формуле:
;
Вычислим коэффициент затухания
гармонической функции
по формуле:
;
Определим силу взаимодействия
между шпангоутами и оболочкой:
Определим перерезывающую силу
на краю оболочки:
Определим погонный изгибающий момент
в месте установки шпангоута:
Погонный изгибающий момент
по длине оболочки, затухающий по периодическому закону, вычислим по следующей формуле:
где
- число расчётных точек на всей области существования функции
.
Принимаем
.
Так как область существования гармонической функции
определяется условием
, то находим шаг вычислений
момента
из выражения:
;
Результаты расчёта заносим в таблицу 1 и вычерчиваем график функции
(рис.2, рис.3).
С использованием графика
определяем координату
второй точки пересечения графика функции
с осью абсцисс и находим минимальное расстояние между шпангоутами :
Расчётная схема 2. Расчёт подкреплённой оболочки с податливыми (упругими) шпангоутами
Найдём площадь поперечного сечения шпангоута
:
Определим коэффициент податливости шпангоута
:
Погонный изгибающий момент по длине оболочки
с учётом податливости шпангоута:
Результаты вычислений заносим в таблицу 1 и строим график функции
, совмещённый с графиком
(рис.2, рис.3).
Определим в процентах снижение величины изгибающего момента
при учёте податливости шпангоута:
;
Таблица 1
2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Условие задачи:
Тонкостенный сосуд (рис.1), выполненный в виде полусферы, частично заполнен жидкостью. Закрепление оболочки по диаметру окружности – свободное.
Цель расчета:
1. Построить эпюры погонных меридиональных
и кольцевых
усилий.
2. Определить толщину стенки оболочки, без учёта её собственного веса.
Исходные данные:
Радиус сферы:
м;
Угол зеркала жидкости:
;
Плотность жидкости (горючее):
;
Коэффициент безопасности
;
Материал оболочки:
Марка ВТ6С (О);
предел прочности
.
Выполнение расчёта
1. Расчёт участка оболочки над уровнем жидкости
Рассмотрим участок оболочки
(рис. 1). На расстоянии
от полюса
отсекаем часть оболочки нормальным коническим сечением с углом широты
(рис. 2).
1.1 Определяем границы участка BC:
.
1.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:
,
где
- вес жидкости, заполняющей полусферу;
- координаты расчётного сечения;
- меридиональная погонная сила.
1.3 Определяем высоту столба жидкости в полусферической оболочке:
1.4 Находим объём шарового сегмента, заполненного жидкостью:
1.5 Вычисляем вес жидкости по формуле:
1.6 Определяем текущий радиус кольцевого сечения оболочки:
1.7 Находим погонное меридиональное усилие
из уравнения равновесия отсечённой части оболочки:
.
1.8 Определяем погонное кольцевое усилие
для участка
, используя уравнение Лапласа:
,
где
,
– главные радиусы кривизны расчётного сечения оболочки;
– интенсивность внешней нагрузки на стенку в расчётном сечении оболочки.
Для сферы R1
= R2
и для участка
= -.
Результаты расчёта заносим в таблицу 1
при условии
.
Таблица 1
№ точки
|
, град.
|
, Н/м
|
, Н/м
|
1
|
90
|
1035
|
-1035
|
2
|
87
|
1037
|
-1037
|
3
|
84
|
1046
|
-1046
|
4
|
81
|
1061
|
-1061
|
5
|
78
|
1081
|
-1081
|
6
|
75
|
1109
|
-1109
|
7
|
72
|
1144
|
-1144
|
8
|
69
|
1187
|
-1187
|
9
|
66
|
1240
|
-1240
|
10
|
63
|
1303
|
-1303
|
11
|
60
|
1380
|
-1380
|
2. Расчёт участка оболочки под уровнем жидкости
Рассмотрим участок оболочки
(рис.1). Построим нормальное коническое сечение на расстоянии
от полюса оболочки. Положение расчётного сечения определяется углом широты
2.1 Определим границы участка
:
.
2.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:
,
где
- вес жидкости, заключённой в шаровом сегменте высотой
;
- давление жидкости в расчётном сечении;
- площадь поперечного сечения оболочки на уровне
;
- радиус поперечного сечения оболочки на уровне .
2.3 Определяем составляющие уравнения равновесия:
Объём шарового сегмента:
,
где
.
Вес жидкости:
.
Давление жидкости на уровне
от зеркала жидкости:
.
Площадь поперечного сечения
,
где
.
Значения составляющих уравнения равновесия заносим в таблицу 2.
Таблица 2
№ точки
|
, град.
|
Vшс
, м3
|
G, Н
|
q, Па
|
S, м2
|
r, м
|
1
|
60
|
0,932
|
7313
|
0
|
3,443
|
0,974
|
2
|
54
|
0,656
|
5145
|
775,06
|
3,217
|
0,910
|
3
|
48
|
0,436
|
3419
|
1493
|
2,955
|
0,836
|
4
|
42
|
0,270
|
2118
|
2147
|
2,661
|
0,753
|
5
|
36
|
0,153
|
1199
|
2728
|
2,337
|
0,661
|
6
|
30
|
0,077
|
601,96
|
3232
|
1,988
|
0,563
|
7
|
24
|
0,032
|
254,83
|
3651
|
1,617
|
0,458
|
8
|
18
|
0,011
|
82,72
|
3982
|
1,229
|
0,348
|
9
|
12
|
0,00212
|
16,64
|
4222
|
0,827
|
0,234
|
10
|
6
|
0,000134
|
1,05
|
4366
|
0,416
|
0,118
|
11
|
0
|
0
|
0
|
4415
|
0
|
0
|
2.4 Подставим найденные значения
в уравнение равновесия и определим меридиональное усилие
:
.
2.5 Получим выражение для погонного кольцевого усилия
из уравнения Лапласа при
R
1
=
R
2
=
R
,
.
Результаты расчёта заносим в таблицу 3
при условии
.
Таблица 3
№ точки
|
φ, град.
|
, Н/м
|
,Н/м
|
1
|
60
|
1380
|
-1380
|
2
|
54
|
1548
|
-676,2
|
3
|
48
|
1716
|
-35,93
|
4
|
42
|
1877
|
538,4
|
5
|
36
|
2026
|
1,044
|
6
|
30
|
2158
|
1477
|
7
|
24
|
2272
|
1836
|
8
|
18
|
2363
|
2118
|
9
|
12
|
2429
|
2320
|
10
|
6
|
2470
|
2442
|
11
|
0
|
2483
|
2483
|
По данным таблиц строим эпюры погонных усилий. Схема эпюры приведена на рис. 4.
С помощью эпюры определяем наиболее напряжённое сечение оболочки и максимальные усилия
.
3.
Определение толщины стенки оболочки
3.1 Найдём допускаемое напряжение материала оболочки:
3.2 Определим толщину стенки:
,
3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Условие задачи:
Построить эпюры безмоментных напряжений
и
для сферического сосуда (рис. 1), полностью заполненного жидкостью.
Исходные данные:
Радиус оболочки:
м;
Плотность жидкости (окислитель):
;
Толщина стенки оболочки:
.
Рис. 1. Схема оболочки
Выполнение расчёта
1. Выводы расчётных зависимостей для верхней полусферы
В верхней полусфере отсечём часть оболочки нормальным коническим сечением с углом
при вершине конуса и составим уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 2):
,
где
– равнодействующая сил давления жидкости
на стенку оболочки в проекции на
вертикальную ось.
Жидкость действует на стенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости на вертикальную ось определим по формуле:
,
где
– объём цилиндра;
– объём шарового сегмента, рис. 2.
,
где
- высота столба жидкости в расчётном сечении.
Рис. 2. Расчётная схема
Получаем:
.
Из уравнения равновесия после подстановки выражения для силы
имеем:
.
Отсюда меридиональное напряжение:
.
Определим кольцевое напряжение
. Для этого обратимся к уравнению Лапласа, учитывая, что для сферической оболочки R
1
=
R
2
=
R
::
,
где
- давление жидкости в рассматриваемом сечении оболочки.
После подстановки в уравнение Лапласа
получаем:
.
Принимая угол
в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла
, равным 10˚,в таблицу 1.
Таблица 1
, град.
|
л
, м3
|
, м3
|
, Н
|
, Па
|
, Па
|
, Па
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
10
|
0,002049
|
0,001027
|
11,445
|
191,409
|
2,442
|
7,350
|
20
|
0,032
|
0,016
|
174,869
|
759,818
|
9,616
|
2,925
|
30
|
0,15
|
0,077
|
818,854
|
1688
|
2,107
|
6,528
|
40
|
0,432
|
0,226
|
2314
|
2948
|
3,603
|
1,148
|
50
|
0,938
|
0,503
|
4870
|
4501
|
5,338
|
1,768
|
60
|
1,677
|
0,932
|
8349
|
6300
|
7,161
|
2,506
|
70
|
2,599
|
1,512
|
12170
|
8290
|
8,869
|
3,354
|
80
|
3,585
|
2,213
|
15360
|
10410
|
1,019
|
4,307
|
90
|
4,473
|
2,982
|
16700
|
12600
|
1,074
|
5,371
|
2. Выводы расчётных зависимостей для нижней полусферы
Рис. 3. Расчётная схема
Отсечём нормальным коническим сечением часть сферы (рис. 3). Вес жидкости в объёме шарового сегмента
и равнодействующая от гидростатического давления жидкости
, находящейся выше рассматриваемого сечения, уравновешиваются реакцией опоры N и результирующим меридиональным усилием от погонных меридиональных сил, распределённых по круговому контуру шарового сегмента в сечении
. Отсюда получим следующее уравнение равновесия:
,
где
- реакция опоры, равная весу жидкости в объёме шара.
Н;
- гидростатическое давление жидкости;
- площадь поперечного сечения;
- вес жидкости в объёме шарового сегмента.
После подстановки получим:
Отсюда имеем:
.
Для нижней части полусферы
определяем из уравнения Лапласа:
, где
.
Отсюда:
.
Принимая угол
в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла
, равным 10˚,в таблицу 2.
Таблица 2
, град.
|
, Па
|
S, м2
|
, Н
|
, Па
|
, Па
|
90
|
12600
|
3,976
|
33410
|
1,074
|
5,371
|
80
|
14790
|
3,856
|
24790
|
9,958
|
6,568
|
70
|
16910
|
3,511
|
16940
|
6,922
|
7,957
|
60
|
18910
|
2,982
|
10440
|
-1,908
|
9,667
|
50
|
20700
|
2,333
|
5633
|
-1,411
|
1,2
|
40
|
22260
|
1,643
|
2529
|
-4,314
|
1,57
|
30
|
23520
|
0,994
|
859,303
|
-1,095
|
2,298
|
20
|
24450
|
0,465
|
178,593
|
-3,038
|
4,288
|
10
|
25020
|
0,12
|
11,508
|
-1,361
|
1,489
|
0
|
25210
|
0
|
0
|
-1,362
|
1,362
|
Выводы
В опорной точке сферы безмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствием обращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения
. В реальных условиях сосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеет место лишь в расчётной схеме.
Рис. 4. Эпюра напряжений
и
4. РАСЧЁТ СФЕРИЧЕСКОГО ТОПЛИВНОГО БАКА С ОПОРОЙ ПО ЭКВАТОРУ
Условие задачи:
Сферический топливный бак с опорой по экватору, заполненный жидкостью, находится под давлением наддува (рис.1, рис. 2).
Цель расчёта:
Определить толщину стенки и массу конструкции бака при заданных размерах и нагрузке.
Исходные данные:
Радиус оболочки:
м;
Плотность жидкости (горючее):
;
Давление наддува:
;
Уровень жидкости:
;
Коэффициент осевой перегрузки:
;
Коэффициент безопасности:
;
Материал оболочки:
марка ВТ6С (О);
предел прочности
;
плотность
.
Примечание:
Для упрощения принимаем:
.
Выполнение расчёта
1. Расчёт оболочки над опорой
Формулы для расчёта погонных меридиональных
и кольцевых
усилий над опорой
от действия давления жидкости и давления наддува имеют вид:
;
,
где
– угол, отсчитываемый в плоскости меридиана от верхнего полюса;
– ускорение свободного падения.
Принимая угол
в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения кольцевых и меридиональных усилий с шагом угла
, равным 10˚,в таблицу 1.
Таблица 1
, град
|
, Н/м
|
, Н/м
|
0
|
140600
|
140600
|
10
|
140800
|
141000
|
20
|
141100
|
142200
|
30
|
141800
|
144100
|
40
|
142600
|
146800
|
50
|
143500
|
150200
|
60
|
144500
|
154100
|
70
|
145400
|
158700
|
80
|
146100
|
163900
|
90
|
146400
|
169600
|
2. Расчёт оболочки под опорой
Выведем расчётные формулы для погонных меридиональных и кольцевых усилий от действия давления жидкости и давления наддува под опорой топливного бака
. Составим уравнение равновесия внешних и внутренних сил для выделенного сечения оболочки (рис. 2) в проекции на вертикальную ось
. Получим:
,
где
– давление в рассматриваемом сечении; S
– площадь расчётного поперечного сечения;
– вес жидкости в шаровом сегменте, отсечённом нормальным коническим сечением с углом
;
– равнодействующая погонных меридиональных усилий
в проекции на ось
.
Давление
в произвольном сечении оболочки равно давлению наддува плюс давление столба жидкости над рассматриваемым сечением:
,
где h
– высота столба жидкости от зеркала жидкости до расчётного сечения.
,
,
где
- радиус рассматриваемого сечения.
Определим вес жидкости в шаровом сегменте:
,
где
– объём шарового сегмента, отсечённого нормальным коническим сечением с углом
.
.
Спроектируем погонные меридиональные усилия
в расчётном сечении на вертикальную ось
:
.
Величина равнодействующей
от распределённых по кольцу радиуса r
меридиональных сил
определяется по формуле:
.
Окончательно получаем
.
Принимая угол
в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла
, равным 10˚,в таблицу 2.
Таблица 2
, град
|
,
МПа
|
S
, м2
|
,
|
, Н
|
90
|
0,2809
|
3,976
|
2,982
|
81910
|
80
|
0,2863
|
3,856
|
2,213
|
60790
|
70
|
0,2915
|
3,511
|
1,512
|
41530
|
60
|
0,2964
|
2,982
|
0,932
|
25600
|
50
|
0,3008
|
2,333
|
0,503
|
13810
|
40
|
0,3046
|
1,643
|
0,226
|
6201
|
30
|
0,3077
|
0,994
|
0,077
|
2107
|
20
|
0,3099
|
0,465
|
0,016
|
437,881
|
10
|
0,3113
|
0,120
|
0,001027
|
28,215
|
0
|
0,3118
|
0
|
0
|
0
|
Подставляем полученные выражения
,
S
,
,
в уравнение равновесия и преобразовываем.
Получаем формулу для вычисления погонных меридиональных усилий:
.
Подставляя полученное выражение
в уравнение Лапласа, определим погонные кольцевые усилия
. Уравнения Лапласа в усилиях имеет вид:
,
где
,
– главные радиусы кривизны оболочки;
–
давление в рассматриваемом сечении.
Для сферического бака R
1
=
R
2
=
R
, поэтому уравнение Лапласа принимает вид:
.
Подставив выражение
в уравнение Лапласа и проведя преобразования, получим формулу для вычисления
:
.
Принимая угол
в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла
, равным 10˚,в таблицу 3.
Таблица 3
, град
|
, Н/м
|
, Н/м
|
90
|
169600
|
146400
|
80
|
169900
|
152200
|
70
|
170600
|
157300
|
60
|
171500
|
161900
|
50
|
172500
|
165900
|
40
|
173400
|
169200
|
30
|
174300
|
171900
|
20
|
174900
|
173800
|
10
|
175300
|
175000
|
0
|
175400
|
175400
|
Погонные усилия в сферическом баке принимают наибольшее значение в нижнем полюсе. Кроме того, в нижнем полюсе
=
. Сравнивая результаты вычислений значений
,
на экваторе для участков над опорой и под опорой, делаем вывод: усилия
,
терпят разрыв.
Определение толщины стенки бака
Расчёт на прочность производим по максимальным погонным усилиям.
Определяем напряжения в нижнем полюсе бака:
,
где
– толщина стенки бака.
Подставив в эти формулы выражения для погонных меридиональных и кольцевых усилий, получим:
.
Минимальную толщину оболочки можно получить по формуле:
,
где
– допускаемые напряжения.
Определяем массу оболочки бака:
,
где
– площадь поверхности оболочки;
– плотность материала оболочки.
Построим эпюру погонных усилий
,
(рис. 3):
Рис. 3. Эпюра погонных усилий
,
5. РАСЧЁТ БАКА НА ПРОЧНОСТЬ
Условие задачи:
Цилиндрический бак с верхним полуэллиптическим и нижним полусферическими днищами (рис.1) находится под действием давления наддува
и заполнен жидкостью до уровня H
.
Цель расчёта:
1. Определить величину безмоментных напряжений
;
2. Определить толщину обечайки и днищ бака.
Исходные данные:
Радиус бака:
м;
Размеры эллиптического днища:
Высота столба жидкости:
;
Плотность жидкости (окислитель):
;
Давление наддува:
;
Коэффициент безопасности:
;
Материал оболочки:
марка ВТ6С (О);
предел прочности
;
.
Выполнение расчёта
Участок верхнего эллиптического днища
Рис. 2. Схема эллиптического днища
В днище нормальным коническим сечением I
–
I
отсечём верхнюю часть оболочки и составим для неё уравнение равновесия. Выбираем оси координат так, как показано на рис. 2. Из уравнения равновесия и уравнения Лапласа получаем выражения для
в расчётном сечении эллиптического днища в виде:
,
где
,
– радиусы кривизны рассматриваемого сечения оболочки,
,
,
где x,
y
– координаты точки в рассматриваемом сечении оболочки.
Для построения эпюр задаёмся значениями x. Координату y определяем из уравнения эллипса
. Отсюда получаем
.
Меньшую полуось b разбиваем на 5 равных частей, для каждого сечения производим расчёты, результаты расчётов заносим в таблицу 1.
Таблица 1
№ сечения
|
x
,
м
|
y
,
м
|
R
1
, м
|
R
2
, м
|
, МПа
|
, МПа
|
1
|
0
|
1,125
|
0,18
|
1,125
|
|
|
2
|
0,09
|
1,102
|
0,24
|
1,238
|
|
|
3
|
0,18
|
1,031
|
0,449
|
1,526
|
|
|
4
|
0,27
|
0,9
|
0,884
|
1,913
|
|
|
5
|
0,36
|
0,675
|
1,639
|
2,349
|
|
|
6
|
0,45
|
0
|
2,813
|
2,813
|
|
|
Участок цилиндра над зеркалом жидкости
Рис. 3. Сечение II
–
II
Нормальным сечением к оси бака II
–
II
отсечём часть цилиндра, расположенную над зеркалом жидкости (рис. 3). Составим уравнение равновесия для верхней отсеченной части оболочки в проекции на вертикальную ось:
.
Отсюда меридиональное напряжение:
Па.
Для цилиндра
;
, поэтому из уравнения Лапласа получаем кольцевое напряжение:
Па.
Участок цилиндра под зеркалом жидкости
Рис. 4. Сечение III
–
III
Для сечения III
–
III
расчётная схема (рис. 4) будет отличаться от показанной на рис. 3 тем, что здесь необходимо дополнительно учесть давление на стенку цилиндрической части бака со стороны жидкости.
Уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось бака остаётся без изменений:
.
Поэтому меридиональное напряжение не меняется:
Па.
Окружное напряжение определяем из уравнения Лапласа
,
где
Па.
Отсюда
Па.
Участок нижнего полусферического днища
Рис. 5. Сечение IV
–
IV
Для нижнего днища нормальным коническим сечением IV
–
IV
с углом
при вершине отсечём нижнюю часть сферической оболочки (рис. 5). Составим для неё уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось оболочки:
,
где r
– радиус кольцевого сечения оболочки,
;
S
– площадь поперечного сечения,
;
- давление в расчётном сечении оболочки,
;
G
– вес жидкости в объёме шарового сегмента,
;
Vc
– объём шарового сегмента,
.
Подставляя значения r
,
S
,
,
G
в уравнение равновесия определяем меридиональное напряжение
:
Уравнение Лапласа для сферической оболочки имеет вид:
.
Подставляя в уравнение Лапласа
, находим кольцевое напряжение
в сечении IV
–
IV
:
.
Построим таблицу 2
значений
и
в зависимости от угла
в диапазоне от 0˚ до 90˚ с шагом в 15˚:
Таблица 2
, град
|
, МПа
|
, МПа
|
0
|
|
|
15
|
|
|
30
|
|
|
45
|
|
|
60
|
|
|
75
|
|
|
90
|
|
|
По полученным напряжениям в характерных сечениях бака строим эпюры напряжений
и
(рис. 6).
Определение толщины стенок бака
Для определения толщины днищ и обечайки бака используем следующее условие:
σ
max
≤ [σ
], где [σ
] =
Па
Толщина стенки
.
Получаем: для верхнего днища
м;
для обечайки бака
м;
для нижнего днища
м.
Из расчётов видно, что δ
max
= δ
2
= 0,518 мм – окончательная толщина стенки бака. По расчётной толщине стенки подбираем толщину листа согласно ГОСТ 22178 – 76:
.
Рис.6. Эпюры безмоментных напряжений
и
Список литературы
|