Инварианты напряженного состояния по заданным компонентам

I ₁ = σ _x +σ _y +σ _z =460

I ₂ = σ _y ּσ _z +σ _z ּσ _x +σ _x ּσ _y -τ _xy ² -τ _zy ² -τ _xz ² = -224200

σ _x τ _xy τ _xz

I ₃ =τ _xy σ _y τ _zy = (σ _x ּσ _y ּσ _z + τ _xy ּτ _zy ּτ _xz + τ _xy ּτ _zy ּτ _xz )- (τ _xz ּσ _y ּτ _xz +τ _xy ּτ _xy ּσ _z +τ _zy ּτ _zy ּσ _x )

τ _xz τ _zy σ _z =-85345000

Нахождение главных напряжений решением кубического уравнения

σ _k ³ – σ _k ² ּI ₁ + σ _k ּI ₂ – I ₃ = 0

σ _k ³ – σ _k ² ּ4 60 – σ _k ּ224200 – 85345000 = 0

Приводим уравнение к каноническому виду

q = = 21878796,29

p = = -98244,45

r = = 313,44 ( т . к . q > 0)

= = 0,7105 = 44,72 ˚ = 14,9 ˚

y ₁ = = -605,8

y ₂ = = 442,49

y ₃ = = 163,31

σ₁ = = -452,4

σ₂ = = 595,82

σ₃ = = 316,64

σ₁ >σ₂ >σ₃ σ₁ = -452,4; σ₂ = 595,82; σ₃ = 316,64

Проверка

I _1г = σ ₁ + σ ₂ + σ ₃ = 460

I _{2 г} = σ₁ ּσ₂ +σ₁ ּσ₃ +σ₂ ּσ₃ = -224200

I _{3 г} = σ₁ ּσ₂ ּσ₃ = -85345000

Δ I₁ = (I_{1 г} – I₁ )/ I₁ =0

Δ I₂ = (I_{2 г} – I₂ )/ I₂ =0

Δ I ₃ = ( I _3г – I ₃ )/ I ₃ =0

1.2 Проверка прочности

Условие прочности: n > [ n ] n = [ n ] =

Материал 12ХН3А

σ _Т =700 МПа

σ _В =950 МПа

[ n ] = = 1,74

n = = 1,279

n < [ n ] условие прочности не выполняется.

2. Компоненты тензора напряжений и проверка прочности в простейших случаях сопротивления бруса

2.1. Расчет на прочность конструкций типа кронштейнов, подвесок, валов, элементы которых работают на равномерное растяжение, сжатие

2.1.1 Силовая задача

l ₁ = l ₂ = 24 см

l ₃ = l ₄ =31 см

A ₁ = A ₂ = 2,5 см²

A₃ = A₄ = 2 см ²

F= 120 КН

α₁ =53°

α₂ =40°

Материал – 12ХНЗА

2.1.2 Определение статической неопределимости

2.1.3 Уравнение деформации

Используя закон Гука имеем:

;

;

2.1.4 Определение внутренних усилий

;

;

;

;

N ₄ =313,3 кН;

кН

N ₁ = N ₂ = 99,69 кН

N ₃ = N ₄ = 313,3 кН.

2.1. 5 Нахождение напряжений в стержнях

2.1.6 Проверка прочности

Условие прочности: n >[ n ] n = [ n ] =

[ n ] = = 1,74

n = = 4,47 МПа

n > [ n ] условие прочности выполняется

2.2 Расчет на прочность и жесткость конструкций типа валов, осей, работающих на кручение

M ₁ = -30 кН·м

M ₂ = -25 кН·м

M ₃ = 10 кН·м

К _{D 1} = 6.5

К _{D 2} = 6.0

К _{D 3} = 2,5

К _{d 1} = 5.5

К _{d 2} = 5.5

К _{d 3} = 2.0

l ₁ = 0,65 м; l ₂ = 0,5 м; l ₃ = 0,45 м

Материал – Ст. 45; = 360МПа; = 610 МПа; G = 80 ГПа

2.2.1 Определение величины реактивного погонного момента

;m = -69,23 кН·м

2.2.2 Система в данном случае статически определена

Рассмотрим 3 участка

I)

= – m · x ₁

= 69,23· x ₁

x ₁ =0; M _кр1 =0

x ₁ = l ₁ =0.65; M _кр1 = 45 КН·м

II )

M _кр2 = M ₁ - m · l ₁ = -30 – (– 45) = 15 КН·м

III )

M _кр3 = M ₁ + M ₂ – m · l ₁ = – 30 – 25 – (-45) = -10 КН·м

2.2.3 Определение опасного сечения

участок №1

участок №2

участок №3

2.2.4 Определение геометрического параметра r , D_i и d_i из условия прочности в опасном сечении

[n] = =

[ σ ] = = [ ]=113.2 МПа

r³ = = r =

D_i = K_Di ·r

D ₁ = 0,204 м

D ₂ = 0,0816 м

D ₃ = 0,0707 м

d_i = K_di ·к

d ₁ = 0,19 м

d ₂ = 0,054 м

d ₃ = 0,054 м

2.2.5 Определение значений в различных сечениях бруса

76,4 МПа

113,3 МПа

144,3 МПа

2.2.6 Определение погонного углов закручивания θ и φ

I_p1 = м ⁴

I_p2 = м ⁴ I_p3 = м ⁴

θ ₁ = рад / м

θ ₂ = рад / м

θ ₃ = рад / м

φ₁ = = θ₁ · x =

φ₂ = = φ₁ +θ₂ · x =

φ₃ = φ₂ +θ₃ · x =

Условие жесткости по

условие жесткости выполняется

3.Прочность и проектирование бруса, работающего при плоском поперечном прямом изгибе

3.1 Проектирование и расчет на прочность «оптимальной» балки с составным поперечным сечением

l ₁ = l ₃ = 1,6 м F = 35 кН М = 60 кНм

l ₂ = 1,8 м q = 35 кН/м

3.1.1 Построение эпюры перерезывающих (поперечных) сил и изгибающих моментов

1) 0 ≤ x ≤ l ₃

2) l ₃ ≤ x ≤ l ₃ + l ₂

КН

КН

КН·м

КН·м

3) l ₃ + l ₂ ≤ x ≤ l ₃ + l ₂ + l ₁

КН

КН

КН · м

КН · м

3.2 Определение параметров поперечного сечения тонкостенной балки и полная проверка прочности

3.2.1 Определение опорных реакций

3.2.2. Построение эпюр перерезывающих сил (поперечных) и изгибающих моментов:

1) 0 ≤ x ≤ l ₁

2) l ₁ ≤ x ≤ l ₁ + l ₂

3) 0≤ x ≤ l ₃

3.2.3 Определение координаты опасного сечения, как сечения, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины

M_zmax =25,9 КН·м в точке с координатой x = l ₃ – опасное сечение

3.2.4 Определение величины параметра t из условия прочности по переменным напряжениям

3.2.5 Определение максимального касательного напряжения в сечении, в котором перерезывающая сила достигает наибольшей величины

3.2. 6 Проверка прочности по касательным напряжениям

n <[ n ] – условие прочности не выполняется

3.2.7 Построение эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте сечения, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины

3.2.8 Определение главных, эквивалентных напряжений и построение эпюры эквивалентных напряжений по высоте сечения; определение опасной точки сечения

3.2.9 Проверка прочности балки

n =

n > [ n ] условие прочности не выполняется

Список использованной литературы

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М: Наука, 1976

2. Копнов В.А. Сопротивление материалов. М: Высш. Шк., 2003

3. Писаренко Г.С. и др. Справочник по сопротивлению материалов. 1975