Введение

Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».

Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.

Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.

1. Статистические характеристики

1) Среднее арифметическое значение случайной величины:

x = (x₁ +x₂ +x₃ +۰۰۰+x_n ) = (Σ x_i ) / n,

где n – количество наблюдений в выборке.

2) Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:

S_n = √ Σ(x_i – x)² / (n-1)

Берется только положительное значение.

3) Дисперсия:

D_n = S_n ² = Σ(x_i – x)² / (n-1)

Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.

4) Доверительный интервал:

‌ x – x ‌ ≤ S_n / √n∙t_{α ( n )} ,

где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);

t_{α ( n )} – коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α.

5) Коэффициент вариации:

ν_х = S_n /х · 100% или ν_х = S_n /х

2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену

Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:

По напряжениям n = σ_раз /σ_{max экв} ≥ [n]

По нагрузкам n = R/Q ≥ [n],

где n – запас прочности;

σ_раз – разрушающее напряжение;

σ_{max экв} – максимальное эквивалентное действующее напряжение;

R – разрушающая нагрузка;

Q – действующая нагрузка;

[n] – допускаемый запас прочности.

В основе оценки лежат:

1) статистическая природа прочности пластмассы;

2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.

Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению σ и пределу прочности σ_в . При этом запас статистической прочности будет равен:

n = σ_в / σ_max .

Считаем, что σ_в и σ_max известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σ_А и σ_в < σ_А , возможно разрушение.

Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:

Р_раз = Р (σ > σ_А )·Р(σ_в < σ_А ) = S,

где S – площадь заштрихованного участка.

Вероятность того, что случайная величина σ_А будет меньше заданного значения σ, равна:

Р (σ > σ_А ) = ½ + Ф[(σ_А – σ) / S_д ],

где Ф – табулированная функция Лапласа;

S_д – среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.

Табулированная функция Лапласа равна:

₂

Ф[(σ_А – σ)·/S_д ] = 1/√2π · ∫е^{-1/2 ξ} ·dξ

где ξ = (σ_А -σ_ср ) / S_д ; dξ = dσ_А / S_д

Вероятность того, что случайная величина σ_А будет больше заданного значения σ_в , равна:

Р(σ_в < σ_А ) = ½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср} ) / S_в ],

где S_в – среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.

В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:

Р_раз = {½ + Ф[(σ_А – σ)/S_д ]}· {½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср} )/S_в ]}

Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:

_{2 2}

Р(х) = 1/(S·√2π)· e ^{– ( x - x ср) /2 S}

Для точки А величина σ может быть найдена из равенства:

_{2 2 2 2}

1/S_д ·e^{-( σ А- σ ср) / 2 S д} = 1/S_в ·e^{-( σ А- σ вср) / 2 S в}

или Z_д ² – Z_в ² = -2 ln(S_д /S_в ),

где Z_д = (σ_А -σ_ср )/ S_д ; Z_в = (σ_А -σ_вср )/ S_в .

Величины Z_д и Z_в называются нормированными отклонениями.

Последнее уравнение решается относительно σ_А . Затем определяется Р_раз , представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.

Через Р_раз можно найти коэффициент надежности Н:

Н = lg (1/P_раз )

Р_раз = 1 – Р_нер ; Р_нер = 1 – Р_раз

При вероятности неразрушения Р_нер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.

3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам

Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.

Изделие считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:

R– Q > 0

Вероятность такого события определяет надежность изделия:

α = Вер [(R – Q) > 0]

Обозначим разность нагрузок через Х:

Х= R – Q

Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно:

Х₀ = R₀ – Q₀

Стандартное отклонение:

S_x = √ S_R ² + S_Q ²

Надежность:

2 2

α = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e^{-1/2·(( x - x ср) / S} x⁾ ·dx

С учетом нормированной функции Лапласа:

α = Ф(У),

где У = X₀ / S_x (У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).

После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q₀ получим:

У = (R₀ /Q₀ – 1) / √S_R ² / Q₀ ² + S_Q ² / Q₀ ²

Введем обозначения:

n₀ = R₀ / Q₀ – средний наиболее вероятный запас прочности;

ν_R = S_R / R₀ ; ν_Q = S_Q / Q₀ – коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.

Тогда:

У = (n₀ –1)/√ n₀ ² ·ν_R ² + ν_Q ²

Для трубы при r >> h, где r – радиус, а h– толщина стенки, принимают:

ν_{R =} √ ν_в ² + ν_h ²

Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.

Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.

Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 ⁰ С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.

Если труба изготовлена из АГ-4С, и σ_в = 9,75 МПа; σ_д = 5,1 МПа; ν_R = 0,095; ν_д = 0,3, то:

n₀ = 9,75 / 5,1 = 1,91

У = (1,91 – 1) / √ 1,91² ·0,095² + 0,3² = 2,5

По таблице для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.

При нагреве до 60 ⁰ С:

n₀ = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147

У = (1,147 – 1) / √ 1,147² ·0,095² + 0,3² = 0,445

По таблице для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.

Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.

Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации ν_в .

Из уравнения для У можно определить запас прочности:

n₀ = (1 + У·√ν_R ² + ν_Q ² – У² ·ν_R ² ·ν_Q ² ) / (1 – У² ·ν_R ² )

4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности

Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q.

q´_усл = q / (l·Q),

а за единицу прочности примем величину:

k_в = l·R / q,

где R – разрушающая нагрузка.

Из этих уравнений выводим:

q´_усл = n / k_в

Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен:

n₀ = [1 + У·√ν_в ² + ν_F ² + ν_Q ² – У² ·ν_Q ² ·(ν_в ² + ν_F ² )] / [(1 – У² ·(ν_в ² + ν_F ² )]

Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:

k_{0 σ} = σ_в0 / γ,

где γ – удельный вес материала.

Пусть q_0усл ´= n₀ / k_{0 σ} .

После подстановок получим:

q₀ ´_усл = 1 / k_{0 σ} ·[(1-У² ·(ν_в ² +ν_F ² )] / [1+У·√ν_в ² +ν_F ² +ν_Q ² –У² ·ν_Q ² ·(ν_в ² +ν_F ² )]

Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:

k´_{0 σ} = k_{0 σ} · [(1-У² ·(ν_в ² +ν_F ² )] / [1+У·√ν_в ² +ν_F ² +ν_Q ² –У² ·ν_Q ² ·(ν_в ² +ν_F ² )]

Из уравнения видно, что k´_{0 σ} учитывает неоднородность материала (ν_в ), вариацию действующих напряжений (ν_Q ), рассеивание размеров (ν_F ) и заданную надежность α = Ф(У).

Упростив уравнение и приняв, что ν_Q = ν_F = 0, получим:

k´_{0 σ} = k_{0 σ} ·(1 – У· ν_в )

Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k´_{0 σ} имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются.

Заключение

В процессе написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.

Литература

1.Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.

2.Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.

3.Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.