НТИ НИЯУ МИФИ
Кафедра автоматизации управления
ОТЧЕТ
по лабораторной работе №2
по курсу: «Основы теории управления»
на тему: «КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ»
Выполнил: ст. гр. АУ-47Д
Андреев В.А.
Руководитель:
Мухаматшин И.А.
“ ___ ” декабря 2010 г.
Новоуральск 2010
Задание
Определить устойчивость системы по алгебраическим критериям устойчивости (критерий Рауса, критерий Гурвица) и по частотным критериям (критерий Михайлова, критерий Найквиста). Структурная схема представлена на рис 1.
Рис 1
Таблица 1 – Исходные данные
Значение постоянных времени (для всех вариантов):
Составление передаточной функции для замкнутой системы
Если представить передаточную функцию в виде
,
то операторный коэффициент передачи:
характеристический полином:
Получили полином второго порядка, тогда его коэффициенты определятся:
Устойчивость системы по критерию Рауса
Этот критерий формулируется в табличной форме. Таблица Рауса состоит из
– коэффициентов, связанных с коэффициентами
полинома
, где
– номер столбца,
– номер строки (их число равно ):
где
, при
Формулировка критерия Рауса
САУ устойчива, если коэффициенты первого столбца таблицы при
положительны:
,
,
, …, .
Для многочлена второго порядка коэффициенты:
Поскольку все коэффициенты 1-го столбца положительны, то по критерию Рауса система устойчива.
Устойчивость системы по критерию Гурвица
Суть критерия устойчивости Гурвица: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны при
.
Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:
Матрица Гурвица примет вид:
Ее диагональные миноры:
получились положительными
Для устойчивости системы необходимо, чтобы все n диагональных миноров были положительны
.
Поскольку все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны (Δ1 > 0, Δ2 > 0) при a0 > 0, то система устойчива.
Устойчивость системы по критерию Михайлова
Формулировка критерия Михайлова:
Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке an, при изменении частоты 0£w£¥ последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.
Задан характеристический полином системы:
Построим годограф Михайлова в Маткад при изменении частоты от 0 до 10000 с-1 (рис 2)
Рис 2
Годограф, изображенный на рис 2 начинается на действительной положительной оси и проходит последовательно две четверти (равно степени полинома D(p)), (очень незначительно выступает на второй квадрант, возможно из-за того, что один из коэффициентов полинома очень мал a0 = 0.0000081, близок к нулю). Т.е наблюдаемая устойчивость на грани.
Поскольку годограф пересекает последовательно 2 квадранта для полинома второго порядка, то по критерию Михайлова система устойчива.
Устойчивость системы по критерию Найквиста
Для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии:
Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1,j0).
Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку:
Для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1,j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1,j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число полюсов передаточной функции W(p) разомкнутой системы с положительной действительной частью.
Передаточная функция разомкнутой системы:
тогда АФЧХ:
Построим АФЧХ разомкнутой системы (рис 3)
Рис 3
Из рис 3: годограф не охватывает точку (-1,j0),следовательно, система устойчива.
Вывод
|