| Содержание
1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. 2
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 5
3. Интегральное исчисление функции одного переменного 8
1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
1. Вычислить предел
2. Найти асимптоты функции
Отметим, что данная функция не существует при
.
Исследуем прямую
на вертикальную асимптотичность:
Отсюда следует, что прямая
является вертикальной асимптотой.
Проверим функцию на существование горизонтальных асимптот:
Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.
Проверим функцию на существование наклонной асимптоты:
Отсюда следует, что функция имеет наклонную асимптоту
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту
и наклонную асимптоту
3. Определить глобальные экстремумы
при х
Î[-2,0]
Для определения глобальных экстремумов, вычислим производную 1-го порядка для данной функции:
Найдем значения аргумента, при которых данная производная будет равна 0:
Отсюда имеем
;
Продолжая решение:
По теореме Виета, получим:
По условию задания глобальные экстремумы определяются на отрезке х
Î[-2,0]. Таким образом, имеем, что на отрезке [-2, -1] значение производной отрицательно, на отрезке
[-1, 0] – положительно. Таким образом, при
, функция принимает минимальное значение на заданном отрезке:
Исследуем значения функции на концах заданного отрезка:
,
Таким образом, при
функция принимает максимальное значение на заданном отрезке.
Ответ:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
Для исследования функции на монотонность, найдем производную 1-го порядка:
, Определим значения аргумента, при которых производная равна 0
На промежутке
- функция монотонно убывает
На промежутке
- функция монотонно убывает
На промежутке
- функция монотонно возрастает
То есть при х=0, функция принимает минимальное значение у=0
Таким образом, эскиз графика функции, выполненный по условию задания, выглядит следующим образом:
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
По теореме Виета:
Далее определим промежутки выпуклости функции
На промежутке
; - выпуклость вверх
На промежутке
; - выпуклость вниз
На промежутке
- выпуклость вверх
Значения функции в точках перегиба:
Тогда точки перегиба функции:
и N
2.
Дифференциальное исчисление функций и его приложение
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
1) Функция
не является четной, не является нечетной. Функция не периодична.
2) Функция
не существует при
. Проверим гипотезу об асимптоте
:
Таким образом
является вертикальной асимптотой данной функции
3) Проверим гипотезу о существовании горизонтальной асимптоты:
Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.
4) Проверим гипотезу о существовании наклонной асимптоты:
аналогично при
Таким образом, наклонная асимптота имеет вид:
5)
единственно при
, и не существует при
Исследуем знаки постоянства функции:
на промежутке
на промежутке
6) Исследуем функцию на монотонность:
;
при
На интервале
- функция возрастает
На интервале
- функция убывает
На интервале
- функция убывает
На интервале
- функция убывает
На интервале
-функция возрастает
Точки экстремума:
- локальный максимум
- локальный минимум
7) Исследуем функцию на выпуклость:
данное уравнение корней не имеет;
Производная второго порядка не существует при
На промежутке
- функция выпукла вверх
На промежутке
- функция выпукла вниз
Таким образом, учитывая все вышеуказанное, эскиз графика функции будет выглядеть следующим образом:
2. Найти локальные экстремумы функции
Найдем первые производные:
Составим систему:
Найдем вторые производные:
Поскольку производные 2-го порядка для данной функции не существуют, то вопрос о локальных экстремумах остается открытым.
3. Определить экстремумы функции
, если у2
+
2х2
=12, х
>0, у
>0
- Составляем функцию Лагранжа:
- Найдем первые частные производные функции Лагранжа:
- Составим систему уравнений:
По условию: х
>0, у
>0
Таким образом: х = у
- Определи вторые производные функции Лагранжа:
- Учитывая значения переменных, полученные в п.3, имеем:
- Найдем производные условной функции:
- Таким образом:
Видим, что в точке (2,2) исходная функция
при условии у2
+
2х2
=12, х
>0, у
>0, будет иметь строгий условный максимум, при этом
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1-3 Найти неопределенный интеграл:
а.
б.
в.
4 Вычислить
Таким образом:
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
|