МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Контрольная работа
по дисциплине: «Математика»
Вариант 1
Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5
Проверил:___________________________
Тюмень 2007 год
Содержание
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного
переменного……………………………………………………………………2
«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6
«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»
1. Вычислить предел:
.
Решение.
При
имеем
Следовательно,
.
2. Найти асимптоты функции:
.
Решение.
Очевидно, что функция не определена при
.
Отсюда получаем, что
Следовательно,
– вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
.
Следовательно,
– горизонтальная асимптота при
.
3. Определить глобальные экстремумы:
при
.
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим
.
А затем находим критические точки.
.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравнивая значения, получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции:
.
Решение.
Сначала находим
.
.
Затем находим критические точки.
.
x
|
|
0
|
|
1
|
|
3
|
|
|
+
|
0
|
+
|
0
|
–
|
0
|
+
|
|
возрастает
|
нет экстр.
|
возрастает
|
max
|
убывает
|
min
|
возрастает
|
Отсюда следует, что функция возрастает при
, убывает при
.
Точка
– локальный максимум.
Точка
– локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
.
Решение.
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
.
x
|
|
2
|
|
|
–
|
0
|
+
|
|
выпуклая
|
перегиб
|
вогнутая
|
Отсюда следует, что функция
выпуклая при
,
вогнутая при
.
Точка
– точка перегиба.
«Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
.
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Поскольку
, функция не является четной или нечетной.
3) Точки пересечения с осями:
а) с о
x
:
б) с oy
.
4) Асимптоты.
а)
.
Следовательно,
– вертикальная асимптота.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда получаем, что
– наклонная асимптота при
.
5) Критические точки
К тому же
не существует при
.
6)
К тому же
не существует при
x
|
|
0
|
|
2
|
|
4
|
|
|
+
|
0
|
–
|
Не сущ.
|
–
|
0
|
+
|
|
–
|
–
|
–
|
Не сущ.
|
+
|
+
|
+
|
y
|
возрастает
выпуклая
|
max
|
убывает
выпуклая
|
не сущ.
|
убывает
вогнутая
|
min
|
возрастает
вогнутая
|
Эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции
.
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили две критические точки
. Далее проведем исследование этих точек.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки
:
.
Следовательно, точка
не является точкой экстремума.
Для точки
:
.
Следовательно, точка
не является точкой экстремума.
Вывод – локальных экстремумов у функции
нет.
3. Определить экстремумы функции
, если
.
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
И исследуем ее
То есть мы получили две критические точки:
.
В силу условия
нам подходит только точка
.
Поэтому будем исследовать эту точку
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
Для точки
получаем
.
Следовательно,
То есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.
Следовательно,
является точкой условного локального минимума.
«Интегральное исчисление функции одного переменного»
1–3. Найти неопределенный интеграл
1.
.
Решение.
2.
.
Решение.
3.
.
Решение.
4. Вычислить
.
Решение.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
.
Решение.
.
|