Определенный интеграл
Содержание
Лекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
2. Геометрический смысл определенного интеграла
3. Основные свойства определенного интеграла
4. Формула Ньютона–Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
2. Объем тела вращения
3. Длина дуги плоской кривой
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Литература
Лекция 1.
Определенный интеграл
1.
Понятие определенного интеграла
Пусть функция
определена на отрезке
,
. Выполним следующие операции:
1) разобьем отрезок
точками
на n частичных отрезков
;
2) в каждом из частичных отрезков
,
выберем произвольную точку
и вычислим значение функции в этой точке: ;
3) найдем произведения
, где
– длина частичного отрезка
, ;
4) составим сумму
, (1)
которая называется интегральной суммой функции
y
=
f
(
x
) на отрезке
[
а,
b
].
С геометрической точки зрения интегральная сумма
представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки
, а высоты равны
соответственно (рис. 1). Обозначим через
длину наибольшего частичного отрезка ;
5) найдем предел интегральной суммы, когда
.
Рис. 1
Определение.
Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка
на частичные отрезки, ни от выбора точек
в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции
на отрезке
и обозначается .
Таким образом,
.
В этом случае функция
называется интегрируемой на
. Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,
– подынтегральной функцией,
– подынтегральным выражением,
– переменной интегрирования; отрезок
называется промежутком интегрирования.
Теорема 1.
Если функция
непрерывна на отрезке
, то она интегрируема на этом отрезке.
2.
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке
задана непрерывная неотрицательная функция
. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции
y
=
f
(
x
), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми
x
=
a
и
x
=
b
(рис. 2).
Рис. 2
Определенный интеграл
от неотрицательной функции
с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
, слева и справа – отрезками прямых
и
, снизу – отрезком
оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1.
Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
.
2.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
3.
Если
, то, по определению, полагаем
4.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
5.
Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
6.
Если функция
интегрируема на
и
, то
.
7.
( теорема о среднем
). Если функция
непрерывна на отрезке
, то на этом отрезке существует точка
, такая, что .
4. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.
Теорема 2.
Если функция
непрерывна на отрезке
и
– какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
, (2)
которая называется формулой Ньютона–Лейбница.
Разность
принято записывать следующим образом:
,
где символ
называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
.
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную
для подынтегральной функции
; на втором – находится разность
значений этой первообразной на концах отрезка .
Пример 1.
Вычислить интеграл
.
Решение. Для подынтегральной функции
произвольная первообразная имеет вид
. Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:
. Тогда .
Пример 2.
Вычислить интеграл
.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
. Тогда, если: 1) функция
и ее производная
непрерывны при
; 2) множеством значений функции
при
является отрезок
; 3)
,
, то справедлива формула
, (3)
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования
и
(для этого надо решить относительно переменной t уравнения
и
)).
На практике часто вместо подстановки
используют подстановку
. В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается:
, .
Пример 3
. Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле
. Определим
и
. Возведя в квадрат обе части равенства
, получим
, откуда
. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу
подставим старые пределы
и
. Получим:
, откуда
и, следовательно,
;
, откуда
и, следовательно, . Таким образом:
.
Пример 4.
Вычислить интеграл
.
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим
, откуда
,
. Найдем новые пределы интегрирования: если
, то
; если
, то
. Значит,
. Следовательно:
.
Пример 5.
Вычислить интеграл
.
Решение. Положим
, тогда
, откуда
. Находим новые пределы интегрирования:
;
. Имеем:
. Следовательно:
.
6.
Интегрирование по частям
Теорема 4.
Пусть функции
и
имеют непрерывные производные на отрезке
. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:
. (4)
Доказательство
Так как
, то функция
является первообразной для функции
. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем
,
откуда
.
Пример 6.
Вычислить
.
Решение. Положим
, отсюда
. По формуле (4) находим
.
Пример 7.
Вычислить
.
Решение. Пусть
, тогда
. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Пример 8.
Вычислить
.
Решение. Полагая
, определяем
. Следовательно:
[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям:
; следовательно:
] =
=
.
Лекция 2.
Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
1.
Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция
неотрицательна и непрерывна на отрезке
. Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью
, слева и справа – прямыми
и
(см. рис. 2) вычисляется по формуле
. (5)
Пример 9.
Найти площадь фигуры, ограниченной линией
и осью
.
Решение. Графиком функции
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью
(прямой
). Для этого решаем систему уравнений
Получаем:
, откуда
,
; следовательно,
, .
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
(кв. ед.).
Если функция
неположительна и непрерывна на отрезке
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью
, слева и справа – прямыми
и
, вычисляется по формуле
. (6)
В случае если функция
непрерывна на отрезке
и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
. (7)
Рис. 4
Пример 10.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью
и графиком функции
при
.
Рис. 5
Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей
и
. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему
Получим
,
. Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь
заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке
функций
и
,
а слева и справа – прямыми
и
(рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений
находим
,
; следовательно,
,
. На отрезке
имеем:
. Значит, в формуле (8) в качестве
возьмем x , а в качестве
– . Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
, .
Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью
, слева и справа – прямыми
и
, сверху – графиками функций
и
. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой
на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий
и
). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.);
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми
и
, осью
и непрерывной на
кривой
(рис. 9), то ее площадь находится по формуле
.
2.
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке
функции
, осью
, прямыми
и
, вращается вокруг оси
(рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13.
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой
, прямыми
,
и осью .
Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи следует, что
,
. По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке
функции
(рис. 12), определяется по формуле
. (10)
Рис. 12
Пример 14
. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2
= 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования:
,
. По формуле (10) получаем:
.
Рис. 13
3.
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая
, заданная уравнением
, где
, лежит в плоскости
(рис. 14).
Рис. 14
Определение.
Под длиной дуги
понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция
и ее производная
непрерывны на отрезке
, то длина дуги кривой
вычисляется по формуле
. (11)
Пример 15
. Вычислить длину дуги кривой
, заключенной между точками, для которых
.
Решение. Из условия задачи имеем
. По формуле (11) получаем:
.
4.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла
предполагалось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и
являются конечными;
б) подынтегральная функция
ограничена на отрезке
.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение.
Пусть функция
определена и непрерывна на промежутке
, тогда
(12)
называется несобственным интегралом
с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).
Если
существует и конечен, то несобственный интеграл
называется сходящимся
; если данный предел не существует или равен
, то несобственный интеграл называется расходящимся
.
Геометрически несобственный интеграл
от неотрицательной функции
выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
, снизу – осью
, слева – отрезком прямой
и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала
. Интеграл
сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
Пример 16.
Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)
; б)
; в)
; г) .
Решение. а)
, следовательно, данный интеграл расходится;
б)
. Так как при
предел
не существует, то интеграл
расходится;
в)
Значит, несобственный интеграл
сходится и его значение равно
;
г)
= [выделим в знаменателе полный квадрат:
] =
[замена:
] =
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно
.
5.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция
непрерывна на конечном промежутке
, но не ограничена на этом промежутке.
Определение.
Несобственным интегралом
от функции у= f ( x ) на промежутке
называется предел
, т.е.
. (15)
Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции
непрерывной, но не ограниченной на промежутке
:
. (16)
Если функция
не ограничена при
, где
, и непрерывна при
и
, то несобственный интеграл от функции у= f ( x ) на отрезке
обозначается
и определяется равенством
. (17)
Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 17.
Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)
; б)
.
Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция
не определена в точке
, при
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена:
] =
, следовательно, данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
Литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I . – М.: Наука, 1982. – 616 с.
2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
|