Алгебра и начала анализа.
|
1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.
|
Ответ
|
2. Квадратичная функция y = ax2
+ bx + c, её свойства и график.
|
Ответ
|
3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).
|
Ответ
|
4. Показательная функция y = ax
, её свойства и график.
|
Ответ
|
5. Логарифмическая функция y = loga
x, её свойства и график.
|
Ответ
|
6. Функция y = sin(x), её свойства и график.
|
Ответ
|
7. Функция y = cos(x), её свойства и график.
|
Ответ
|
8. Функция y = tg(x), её свойства и график.
|
Ответ
|
9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.
|
Ответ
|
10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.
|
Ответ
|
11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
|
Ответ
|
12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.
|
Ответ
|
13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.
|
Ответ
|
14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.
|
Ответ
|
15. Формулы приведения (с выводом).
|
Ответ
|
16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).
|
Ответ
|
17. Тригонометрические функции двойного аргумента.
|
Ответ
|
18. Тригонометрические функции половинного аргумента.
|
Ответ
|
19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).
|
Ответ
|
20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.
|
Ответ
|
21. Логарифм произведения, степени, частного.
|
Ответ
|
22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.
|
Ответ
|
23. Правила вычисления производной.
|
Ответ
|
- Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
- Областью определения линейной функции служит множество R
всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
- График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k
0.
- Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
- График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.
Ответ №2. Опр
. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2
+ bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а
0. Графиком квадратичной функции является парабола. Свойства функции y = ax2(частный случай)
при а > 0. 1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х
0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости. 3. График функции симметричен относительно оси Oy. 4. Функция убывает в промежутке (-
; 0] и возрастает в промежутке [0; +
). 5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; +
). Свойства функции y = ax2
при а < 0. 1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х
0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости. 3. График функции симметричен относительно оси Oy. 4. Функция убывает в промежутке [0; +
) и возрастает в промежутке (-
; 0]. 5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (-
; 0]. И, так, график функции y = ax2
+ bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m =
, n=
. Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.
Ответ 3
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой
, где
- коэффициент обратной пропорциональности.
- Область определения функции
- есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е.
.
- Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
- Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.
№ 4. Опр.
Функция, заданная формулой y = ax
, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной. 1. Функция y = ax
при а>1 а) область определения - множество всех действительных чисел; б) множество значений - множество всех положительных чисел; в) функция возрастает; г) при х = 0 значение функции равно 1; д) если х > 0, то ax
> 1; е) если х < 0, то 0< ax
<1; 2. Функция y = ax
при 0< а <1 а) область определения - множество всех действительных чисел; б) множество значений - множество всех положительных чисел; в) функция убывает; г) при х = 0 значение функции равно 1; д) если х > 0, то 0< ax
<1; е) если х < 0, то ax
> 1.
№5.Опр
. Функцию, заданную формулой y = loga
x называют логарифмической функцией с основанием а. Свойства функции y = loga
x при a>1: а) D(f) = R+; б) E(f) = R; в) функция возрастает; г) если x = 1, то loga
x = 0; д) если 0<x<1, то loga
x < 0; е) если x > 1, то loga
x > 0. Свойства функции y = loga
x при 0<a<1: а) D(f) = R+; б) E(f) = R; в) функция убывает; г) если x = 1, то loga
x = 0; д) если 0 < x < 1, то loga
x > 0; е) если x > 1, то loga
x < 0.
№6. Опр
. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin
).
- область определения - множество всех действительных чисел;
- множество значений - [-1; 1];
- функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех
;
- функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
- sin(x) = 0 при x =
;
- sin(x) > 0 для всех
;
- sin(x) < 0 для всех
;
- функция возрастает на
;
- функция убывает на
.
№ 7.Опр
. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos
)
- область определения - множество всех действительных чисел;
- множество значений - [-1; 1];
- функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех
;
- функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
- cos(x) = 0 при
;
- cos(x) > 0 для всех
;
- cos(x) > 0 для всех
;
- функция возрастает на
;
- функция убывает на
№8.Опр
. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg
).
- область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
- множество значений - вся числовая прямая;
- функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
- функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
- tg(x) = 0 при х =
;
- tg(x) > 0 для всех
;
- tg(x) < 0 для всех
;
- функция возрастает на
.
№9.Опр
. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg
)
- область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
- множество значений - вся числовая прямая;
- функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
- функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
- ctg(x) = 0 при x =
;
- ctg(x) > 0 для всех
;
- ctg(x) < 0 для всех
;
- функция убывает на
.
Ответ № 10
- Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
- Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2
- а1
= а3
- а2
= ... = ak
- ak-1
= ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d
.
- Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn
), достаточно знать ее первый член а1
и разность d
.
- Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
- Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
(1)
- Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an
= a1
+ d(n-1)
. (2)
- Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
(3)
- Если в формулу (3) подставить вместо аn
его выражение по формуле (2), то получим соотношение
- Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1
+ an
= a2
+ an-1
= ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
- Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
- Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2
:b1
= b3
:b2
= ... = bn
:bn-1
= bn+1
:bn
= ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q
.
- Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn
), достаточно знать ее первый член b1
и знаменатель q
.
- Если q
> 0 (
), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1
= -2, q
= 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q
= 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
- Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn
) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.
(1)
- Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
(2)
- Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
,
(3)
- Если в формулу (3) подставить вместо bn
его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение.
,
(4)
- Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1
bn
= b2
bn-1
= …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
- Пусть (xn
) - геометрическая прогрессия со знаменателем q
, где
и
. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию
, называется предел суммы n
первых ее членов при
.
- Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S
. Тогда верна формула
.
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
- формула для корней уравнения sin(x) = a, где
, имеет вид:
Частные случаи:
- sin(x) = 0, x =
- sin(x) = 1, x =
- sin(x) = -1, x =
- формула для корней уравнения sin2
(x) = a, где
, имеет вид: x=
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
- Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
- При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х =
; sin(x) = -1, если x =
>; sin(x) > 0, если
; sin(x) < 0, если
.
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
- Формула для корней уравнения cos(x) = a, где
, имеет вид:
.
- Частные случаи:
cos(x) = 1, x =
; cos(x) = 0,
; cos(x) = -1, x =
- Формула для корней уравнения cos2
(x) = a, где
, имеет вид:
.
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
- Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если
; cos(x) = -1, если x =
; cos(x) = 1, если x =
; cos(x) > 0, если
; cos(x) > 0, если .
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
- Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид:
.
- Частные случаи:
tg(x) = 0, x =
; tg(x) = 1,
; tg(x) = -1,
.
- Формула для корней уравнения tg2
(x) = a, где
, имеет вид:
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
- Важно знать, что:
tg(x) > 0, если
; tg(x) < 0, если
; Тангенс не существует, если
.
№ 15
- Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов
,
,
,
, выражаются через значения sin
, cos
, tg
и ctg .
- Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
Функция
|
Аргумент
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin
|
cos
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos
|
-cos
|
-sin
|
sin
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos
|
-cos
|
-sin
|
sin
|
cos
|
cos
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
- Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов
,
к функциям угла
название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот; при переходе от функций углов
,
к функциям угла
название функции сохраняют; б) считая
острым углом (т. е.
), перед функцией угла
ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов
,
, .
Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом: Любая тригонометрическая функция угла 90°n +
по абсолютной величине равна той же функции угла
, если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n +
. положительна, когда
- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.
№ 16
- Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1 Рис.2 Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол
и на угол
(рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов
и
. Пусть координаты точки В равны х1
и y1,
координаты точки С равны х2
и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
и
. По определению скалярного произведения векторов:
= х1
х2 +
y1
y2
. (1) Выразим скалярное произведение
через тригонометрические функции углов
и
. Из определения косинуса и синуса следует, что х1
= R cos
, y1
= R sin
, х2
= R cos
, y2
= R sin
. Подставив значения х1
, х2
, y1
, y2
в правую часть равенства (1), получим:
= R2
cos
cos
+ R2
sin
sin
= R2
(cos
cos
+ sin
sin
). С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
=
cos
BOC = R2
cos
BOC. Угол ВОС между векторами
и
может быть равен
-
(рис.1),
- (
-
) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
BOC = cos (
-
). Поэтому
= R2
cos (
-
). Т.к.
равно также R2
(cos
cos
+ sin
sin
), то cos(
-
) = cos
cos
+ sin
sin
. cos(
+
) = cos(
- (-
)) = cos
cos(-
) + sin
sin(-
) = cos
cos
- sin
sin
. Значит, cos(
+
) = cos
cos
- sin
sin.
- Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin(
+
) = cos(
/2 - (
+
)) = cos((
/2 -
) -
) = cos(
/2 -
) cos
+ sin(
/2 -
) sin
= sin
cos
+ cos
sin
. Значит, sin(
+
) = sin
cos
+ cos
sin
. sin(
-
) = sin(
+ (-
)) = sin
cos(-
) + cos
sin(-
) = sin
cos
- cos
sin
. Значит, sin(
-
) = sin
cos
- cos
sin.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2
, cos 2
, tg 2
, ctg 2
через тригонометрические функции угла
. Положим в формулах sin(
+
) = sin
cos
+ cos
sin
, cos(
+
) = cos
cos
- sin
sin
,
,
.
равным . Получим тождества:
sin 2
= 2 sin
cos
; cos 2
= cos2
- sin2
= 1 - sin2
= 2 cos2
- 1;
;
.
№ 18
Формулы половинного аргумента
- Выразив правую часть формулы cos 2
= cos2
- sin2
через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2
= 1 - sin2
, cos 2
= 2 cos2
- 1. Если в данных соотношениях положить
=
/2, то получим: cos
= 1 - 2 sin2
/2, cos 2
= 2 cos2
/2 - 1. (1)
- Из формул (1) следует, что
(2),
(3).
- Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4).
- В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол
/2.
- Полезно знать следующую формулу:
.
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения. Чтобы представить в виде произведения сумму sin
+ sin
, положим
= x + y и
= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим: sin
+ sin
= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy. Решив теперь систему уравнений
= x + y,
= x - y относительно x и y, получим х =
, y =
. Следовательно, sin
+ sin
= 2 sin
cos
. Аналогичным образом выводят формулы: sin
-sin
= 2 cos
sin
; cos
+ cos
= 2 cos
cos
; cos
+ cos
= -2 sin
sin .
№ 20
Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2
+ p
x + q
= 0, где
, достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить
. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение
=
- q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2
= m только внешним видом:
стоит вместо x
и
- q
- вместо m
. Находим
=
. Отсюба х = -
. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если
< q
. Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если
= q
. Возращаемся к обычному виду
. 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2
+ p
x + q
= 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1
+ х2
= -р
, а х1
х2
= q
. 2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р
, q
, х1
, х2
таковы, что х1
+ х2
= -р
и х1
х2
= q
, то х1 и
х2
- корни уравнения x2
+ p
x + q
= 0.
№ 21
Опр
. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b. Формулу
(где b > 0, a > 0 и a
1) называют основным логарифмическим тождеством. Свойства логарифмов:
-
;
-
;
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
. Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x =
, y =
. Перемножим почленно эти равенства, получаем: xy =
=
. Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
- Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
. Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
- Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
. При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.
№ 22
- Производной функции f(x) в точке х0
называется предел отношения приращения
функции в точке х0
к приращению
аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так:
.
- Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0
только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0
, включая эту точку.
- Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
- Существование производной функции f в точке х0
эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0
; f(х0
)) графика, при этом угловой коэффициент касательной
равен
. В этом состоит геометрический смысл производной
.
- Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
- Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
.
- Если функция u
и v
дифференцируемы в точке х0
то их производные дифференцируемы в этой точке и
.
- Если функция u
и v
дифференцируемы в точке х0
, а С
- постоянная, то функция Cu
дифференцируема в этой точке и
.
- Если функция u
и v
дифференцируемы в точке х0
и функция v
не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0
и
.
|