| Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»
математический факультет
кафедра Алгебры.
РЕФЕРАТ
По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».
Выполнила:
Студентка
3
группы 6 курса
Браницкая Нина Анатольевна
Научный руководитель:
Ширшова Елена Евгеньевна.
Москва, 2010
Содержание:
Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4
Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3
1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем
3
a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4
b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4
2. Множество квадратных матриц
над полем
5
3. Тело кватернионов К
над полем
5
a. Основные свойства.......................................................................................................... 6
4. Алгебра Грассмана над полем
9
a. Следствия..................................................................................................... 10
5. Список литературы............................................................................................................ 11
1.
Основные понятия и определения.
Определение:
Пусть F
– поле, V
- некоторое множество, на котором заданы следующие операции:
1. операция сложения:
2. операция умножения:
Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F
, если выполняются следующие условия:
- абелева группа;
Элементы множества V называются векторами
, а элементы поля F – скалярами
.
Определение:
Векторное пространство А
над полем Р
называется алгеброй
, если выполняются следующие условия:
Определение (И.Л. Бухбиндер):
Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй
, если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам
сопоставляется единственный элемент, обозначаемый
:
, при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:
.
Определение:
Алгебра
называется ассоциативной
, если
.
Определение:
Алгебра
называется коммутативной
, если
.
Определение:
Если в алгебре
существует элемент
, обладающий свойством единицы, то есть
, то данная алгебра называется алгеброй с единицей
, а элемент
- единицей алгебры
.
2.
Примеры некоммутативных алгебр.
1.
Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем
, в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.
Определение: Векторным произведением
вектора
на вектор
называется вектор
, который удовлетворяет следующим условиям:
1.
;
2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, как на сторонах, т.е.
, где ;
3. векторы
,
и
образуют правую тройку векторов.
Обозначение:
, где
.
Свойства векторного произведения.
1.
При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть
Доказательство:
Векторы
и
коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки
,
,
и
,
,
противоположной ориентации). Следовательно, .
2.
Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть
.
Доказательство
: Пусть
. Вектор
перпендикулярен векторам
и
. Вектор
также перпендикулярен векторам
и
(векторы
,
лежат в одной плоскости). Значит, векторы
и
коллинеарные, сонаправленые (
), имеют одинаковую длину ()
Поэтому
. Аналогично доказывается при
.
3.
Два ненулевых вектора
и
коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть
.
Доказательство:
. Следовательно,
.
В частности,
.
4.
Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть
Выражение векторного произведения через координаты.
Таблица векторного произведения векторов
Пусть заданы два вектора
и
, такие, что
,
Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле:
.
Проверим, является ли векторное пространство
линейной алгеброй.
Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера,
- алгебра.
Проверим, является ли
ассоциативной алгеброй.
Следовательно,
не является ассоциативной алгеброй.
Проверим, является ли
коммутативной алгеброй.
, такие образом,
.
Следовательно,
не является коммутативной алгеброй.
Замечание:
является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.
2.
Множество квадратных матриц
над полем
,
в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц
.
Замечание:
является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей
.
3.
Тело кватернионов К
над полем
.
Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.
,
где
- мнимые единицы со следующей таблицей умножения:
Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:
Определение:
Кватернион
называется сопряженным
к
.
Определение:
называется модулем
кватерниона
.
Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.
Рассмотрим базис:
Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:
Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:
,
здесь
- комплексно-сопряженные числа к
.
Основные свойства.
1.
комплексному числу соответствует диагональная матрица;
2.
сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица
.
3.
квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы
.
Докажем это свойство:
Следовательно,
.
Проверим, является ли
алгеброй.
1.
- векторное пространство?
а).
- абелева группа?
1).
2).
3).
4).
Из 1) - 4) следует, что
- абелева группа.
б).
в).
г).
д).
Из а) - д) следует, что
- векторное пространство.
2.
Аналогично проверяется, что
3.
Аналогично проверяется, что
.
Из 1-3 следует, что
- алгебра над полем
.
Замечание:
- некоммутативная алгебра с единицей Е над полем
.
4.
Алгебра Грассмана над полем
.
Определение:
Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана
, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов
, обладающих свойствами:
(a) *свойство антикоммутативности*
(1)
(b) любое другое соотношение между образующими элементами
является следствием соотношения (1), в частности
Обозначение:
- алгебра Грассмана с
образующими элементами.
Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.
Начнем с алгебры
. В этом случае имеется только один образующий элемент
, причем
, и, поэтому
. Следовательно, произвольный элемент алгебры
есть .
Рассмотрим алгебру
, содержащую два образующих элемента
, причем
.
Путем их перемножения можно построить еще один элемент
. Таким образом, произвольный элемент алгебры
выглядит так:
.
Обратимся теперь к общему случаю
. Здесь мы имеем
образующих элементов
. Перемножая эти элементы получим мономы
, где индексы
принимают значения .
Заметим теперь, что любой моном
, где
, всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей
какой-нибудь из элементов
встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение
.В результате, мы получаем следующие независимые мономы:
. Следовательно, произвольный элемент алгебры
имеет вид:
(2)
где
. По повторяющимся индексам
подразумевается суммирование от 1 до
в каждом слагаемом.
Следствия.
1
. Любой моном, содержащий ровно
сомножителей, равен с точностью до знака произведению
.
2
. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента
некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами
Подсчитаем число базисных элементов.
Число образующих
равно
, число мономов
- числу сочетаний из
элементов по 2, то есть
, число мономов
- числу сочетаний из
элементов по 3, то есть
, и так далее.
В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет
Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности
.
Список литературы.
1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.
3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.
|