МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-43
Селюкова Н.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1. Основные определения, обозначения и используемые результаты
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Список литературы
Введение
Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.
2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.
3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры
нормальна в
(теорема(3)).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1
Пусть
--- некоторое непустое множество и пусть
, отображение
-ой декартовой степени
в себя, тогда
называют
-арной алгебраической операцией
.
Определение 1.2
Универсальной алгеброй
называют систему
состоящую из некоторого множества
с заданной на нем некоторой совокупностью операций
.
Определение 1.3
Пусть
--- некоторая универсальная алгебра и
(
), тогда
называют подалгеброй универсальной алгебры
, если
замкнута относительно операций из
.
• Для любой операции
, где
и
.
• Для любой операции
элемент
фиксируемый этой операцией в
принадлежит .
Определение 1.4
Всякое подмножество
называется бинарным отношением
на
.
Определение 1.5
Бинарное отношение называется эквивалентностью
, если оно:
• рефлексивно
• транзитивно
и
• симметрично
Определение 1.6
Пусть
некоторая эквивалентность на
, тогда через
обозначают множество
. Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности
содержащий элемент
. Множество всех таких классов разбиения обозначают через
и называют фактормножеством
множества
по эквивалентности
.
Определим
-арную операцию на фактормножестве
следующим образом:
Определение 1.7
Эквивалентность
на алгебре
называется ее конгруэнцией
на
, если выполняется следующее условие:
Для любой операции
для любых элементов
таких, что
имеет место .
Определение 1.8
Если
и
--- конгруэнции на алгебре
,
, то конгруэнцию
на алгебре
назовем фактором
на
.
тогда и только тогда, когда
.
или
или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры
.
Лемма 1.1 (Цорна).
Если любая цепь частично упорядоченного множества
содержит максимальные элементы, то и само множество
содержит максимальные элементы.
Определение 1.9
Пусть
--- бинарное отношение на множестве
. Это отношение называют частичным порядком на
, если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.
Определение 1.10
Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством
.
Теорема Мальцев А.И.
Конгруэнции на универсальной алгебре
перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор
, что для любых элементов
выполняется равенство
. В этом случае оператор
называется мальцевским.
Определение 1.11
Алгебра
называется нильпотентной
, если существует такой ряд конгруэнций
, называемый центральным
, что
для любого
.
Определение 1.12
Подалгебра алгебры
называется собственной
, если она отлична от самой алгебры
.
Определение 1.13
Подалгебра
универсальной алгебры
называется нормальной
в
, если
является смежным классом по некоторой конгруэнции
алгебры .
Определение 1.14
Пусть
и
--- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение
называется гомоморфизмом
, если
1)
и
имеет место
;
2)
, где
и
элементы фиксируемой операцией
в алгебрах
и
соответственно.
Определение 1.15
Гомоморфизм
называется изоморфизмом
между
и
, если обратное к нему соответствие
также является гомоморфизмом.
Теорема Первая теорема об изоморфизмах
Пусть
- гомоморфизм,
--- конгруэнция, тогда
.
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах
Пусть
--- есть
-алгебра,
--- подалгебра алгебры
и
--- конгруэнция на
. Тогда
является подалгеброй алгебры
,
--- конгруэнцией на
и .
Теорема Третья теорема об изоморфизмах
Пусть
--- есть
-алгебра и
и
--- такие конгруэнции на
, что
. Тогда существует такой единственный гомоморфизм
, что
. Если
, то
является конгруэнцией на
и
индуцирует такой изоморфизм .
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Определение 2.1
Пусть
и
--- конгруэнции на алгебре
. Тогда
централизует
(записывается:
), если на
существует такая конгруэнция
, что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие
.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1
Пусть
. Тогда:
1) существует единственная конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1;
2)
;
3) если
то
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции
на алгебре
всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая
. Она называется централизатором
конгруэнции
в
и обозначается
.
В частности, если
, то централизатор
в
будем обозначать .
Лемма 2.2
Пусть
,
--- конгруэнции на алгебре
,
,
,
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
;
2)
, где
;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из
всегда следует
Доказательство:
1) Очевидно, что
--- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и
.
2)
--- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению
2.1. Значит
3) Пусть
.
Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор
такой, что
Тогда получим
т.е.
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно,
где
--- мальцевский оператор.
Тогда
то есть
.
Так как
то
.
Таким образом
. Лемма доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3
Любая подалгебра алгебры
, содержащая диагональ
, является конгруэнцией на алгебре
.
Доказательство:
Пусть
Тогда из
следует, что
Аналогичным образом из
получаем, что
Итак,
симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4
Пусть
. Тогда
для любой конгруэнции
на алгебре .
Доказательство:
Обозначим
и определим на алгебре
бинарное отношение
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
где
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что
--- конгруэнция на алгебре
, причем
Пусть
то есть
Тогда
и, значит
Пусть, наконец, имеет место
Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор
к этим трем соотношениям, получаем
Из леммы 2.2 следует, что
Так как
то
Значит,
Но
, следовательно,
.
Итак,
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5
Пусть
,
--- конгруэнции на алгебре
,
и
--- изоморфизм, определенный на .
Тогда для любого элемента
отображение
определяет изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором .
В частности,
.
Доказательство.
Очевидно, что
--- изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором конгруэнции
,
изоморфны соответственно конгруэнциям
и .
Так как
то определена конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм
алгебры
на алгебру
индуцирует в свою очередь изоморфизм
алгебры
на алгебру
такой, что
для любых элементов
и
, принадлежащих
. Но тогда легко проверить, что
--- конгруэнция на алгебре
, изоморфная конгруэнции .
Это и означает, что
Лемма доказана.
Определение 2.2
Если
и
--- факторы на алгебре
такие, что
то конгруэнцию
обозначим через
и назовем централизатором фактора
в
.
Определение 2.3
Факторы
и
назыавются перспективными
, если либо
либо
Теорема
Пусть
,
,
,
--- конгруэнции на алгебре
. Тогда:
1) если
, то
2) если
, то
3) если
,
и факторы
,
перспективны, то
4) если
- конгруэнции на
и
, то
где
,
.
Доказательство.
1) Так как конгруэнция
централизует любую конгруэнцию и
, то
2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что
а в силу леммы 2.4 получаем, что
Пусть
- изоморфизм
. Обозначим
По лемме 2.5
, а по определению
Следовательно,
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции
и
на алгебре
имеет место равенство
Покажем вналале, что
Обозначим
. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре
существует такая конгруэнция
, что выполняются следующие свойства:
а) если
, то
б) для любого элемента
,
в) если
то
Построим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и
Покажем, что
--- конгруэнция на
.
Пусть
для
. Тогда
и
Так как
--- конгруэнция, то для любой
-арной операции
имеем
Очевидно, что
и
Следовательно,
Очевидно, что для любой пары
Значит,
Итак, по лемме 2.3,
- конгруэнция на
. Покажем теперь, что
удовлетворяет определению 2.1, то есть
централизует
. Пусть
Тогда
Так как
,
и
, то
. Следовательно,
удовлетворяет определению 2.1.
Если
, то
значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда
Так как
и
, то
, следовательно,
. Из (2) следует, что
, а по условию
. Значит,
и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1, то есть
централизует
.
Докажем обратное включение.
Пусть
Тогда на алгебре
определена конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и
,
.
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
--- конгруэнция на алгебре
. Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что
. Покажем поэтому, что
централизует .
Так как
то
то есть
удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если
, то
следовательно,
Пусть имеет место (3) и
.
Так как
то
Из (4) следует, что
, следовательно,
то есть
На основании леммы 2.2 заключаем, что
Следовательно,
.
А так как
, то
, то есть
4) Обозначим
. Пусть
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение
на
следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
--- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.
Это и означает, что
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Определение 3.1
Конгруэнция
универсальной алгебры
называется фраттиниевой
, если
, для любой собственной подалгебры
из
;
Определение 3.2
Собственная подалгебра
универсальной подалгебры
называется максимальной
, если из того, что для некоторой подалгебры
выполняется
, всегда следует, что либо
, либо .
Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.
Теорема
Конгруэнция
универсальной алгебры
является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры
из
имеет место равенство .
Доказательство:
Пусть
--- фраттиниева конгруэнция алгебры
и
--- максимальная подалгебра из .
Так как
и
, то
.
Обратно. Пусть
удовлетворяет свойству
и пусть
--- любая собственная подалгебра алгебры .
Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра
алгебры
, что
, но .
Тем самым теорема доказана.
Определение 3.3
Пусть
--- конгруэнция на универсальной алгебре
, тогда
называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией
, если
тогда и только тогда, когда существуют
такие, что
.
Определение 3.4
Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры
назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры
и будем обозначать
.
Теорема
Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.
Доказательство:
Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства
, где
--- произвольная подалгебра алгебры
. Напомним, что
Так как
, то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций
, что
. Это означает, что существует последовательность элементов, что .
Так как
и
, то
. Аналогичным образом получаем, что .
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Напомним следующее определение из книги.
Определение 3.5
Пусть
--- множество всех максимальных подалгебр алгебры
,
--- конгруэнция алгебры
, порожденная всеми такими конгруэнциями
на
, что
, .
Лемма 3.1
Конгруэнция
является фраттиниевой конгруэнцией на
и всякая фраттиниева конгруэнция на
входит в .
Доказательство:
Пусть
--- произвольная собственная подалгебра алгебря
. Тогда найдется такая максимальная в
подалгебра
, что
. Значит,
и тем более
. Следовательно,
фраттиниева конгруэнция на .
Пусть теперь
--- произвольная фраттиниева алгебры
,
--- произвольная максимальная подалгебра из
. Тогда
, т.е.
. Следовательно,
. Лемма доказана.
Определение 3.6
Подалгебра Фраттини
универсальной алгебры
называется пересечение всех максимальных подалгебр из
, и обозначается через
.
Теорема
Пусть
--- алгебра. Тогда
.
Доказательство:
От противного. Предположим, что
. Тогда существует элемент
такой, что
не принадлежит
. Так как
, то существует
и, следовательно,
для любой максимальной подалгебры
и
--- фраттиниева. Значит,
принадлежит любой максимальной подалгебре из
. Следовательно,
. Теорема доказана.
Лемма 3.2
Пусть
--- максимальная подалгебра алгебры
такая, что
, где
, тогда .
Доказательство:
Определим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда существует элементы
и .
Как показано в работе
--- конгруэнция на алгебре
.
Покажем, что
, т.е.
является смежным классом по конгруэнции
.
Пусть
и пусть
. В силу определения
найдутся такие элементы
и
, что
Применим мальцевский оператор
. Отсюда получаем
Следовательно,
.
Лемма доказана.
Лемма 3.3
Пересечение нормальных подалгебр алгебры
является нормальной подалгеброй алгебры
.
Теорема
Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры
нормальна в
.
Доказательство:
Пусть алгебра
--- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций,
, где
. Очевидно, что для любой максимальной подалгебры
алгебры
всегда найдется такой номер
, что
и .
По лемме 3.2.
. Отсюда следует, что
. Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то
.
Теорема доказана.
Заключение
В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры
нормальна в
.
Список использованной литературы
Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.
Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с
-центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34
Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.
|