Тема: «
Преобразование графиков функции
»
Цели:
1) Систематизировать приемы построения графиков.
2) Показать их применение при построении:
а) графиков сложных функций;
б) при решении заданий ЕГЭ из части C.
Рассмотрим основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций
1)
Преобразование симметрии относительно оси x
f(x)
-f(x)
График функции y=-f(x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси x.
Замечание.
Точки пересечения
графика с осью x остаются неиз
мен
ными.
2)
Преобразование симметрии относительно оси y
f(x)
f(
-
x)
График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси y.
Замечание.
Точка пересечения графика с осью y остается неизменной.
3) Параллельный перенос вдоль оси x
f(x)
f(x-a)
График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a<0.
4)
Параллельный перенос вдоль оси y
f(x)
f(x)+b
График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b<0.
5)
Сжатие и растяжение вдоль оси x
f(x)
f(
x), где
>0
>1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз.
6) Сжатие и растяжение вдоль оси y
f(x)
kf(x), где k>0
k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.
7) Построение графика функции y=|f(x)|
Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x, остаются без изменения, а лежащие ниже оси x – симметрично отображаются относительно этой оси (вверх).
Замечание.
Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).
8) Построение графика функции y=f(|x|)
Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси y, удаляется, а часть, лежащая правее оси y – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси y (влево). Точка графика лежащая на оси y, остается неизменной.
Замечание.
Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси y).
9) Построение графика обратной функции
График функции y=g
(x), обратной функции y=f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно прямой y=x.
Замечание.
Описанное построение производить только для функции, имеющей обратную.
Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Применение правил преобразования графиков при решении заданий ЕГЭ
(части C).
Решить систему уравнений:
В одной системе координат, построим графики функций: а)
Решить уравнение: f(g(x))+g(f(x))=32
,
если известно, чтои
Решение
:
Преобразуем функцию f(x).
Так как , то
Тогда g(f(x))=20.
Подставим в уравнение f(g(x))+g(f(x))=32, получим f(g(x))+20=32;
f(g(x))=12
Пусть g(x)=t, тогда f(t)=12 или
а)
График данной функции получается построением графика
В системе x’o’y’, где o’(1;0).
б)
В системе x”o”y”, где o”(6;4), построим график функции
Вывод:
Мы видим, что правила преобразования графиков существенно упрощают построение графиков сложных функций.
Помогают найти нетрадиционное решение сложных задач.
Тема: «
Преобразование графиков функции
»
|