Курсовая работа
"Решетки субнормальных и
-субнормальных подгрупп"
Введение
В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие
-субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.
В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие
-субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории
-субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не
-группы.
В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства
Определение.
Пусть
– подгруппа группы
. Цепь подгрупп
в которой
для любого
,
,…,
, называется субнормальной
-цепью, а число
– длиной этой цепи. Наименьшее
, при котором существует хотя бы одна субнормальная
-цепь длины
, называется дефектом подгруппы
в
и обозначается через .
Определение.
Пусть
– подгруппа группы
. Если существует хотя бы одна субнормальная
-цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .
Лемма.
Если
субнормальна в
, и
субнормальна в
, то
субнормальна в .
субнормальна в
, следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная
-цепь
субнормальна в
, следовательно, существует субнормальная
-цепь
Таким образом, мы получили субнормальную
-цепь
то есть
субнормальна в
по определению. Лемма доказана.
Теорема.
Если подгруппа
субнормальна, но не нормальна в
, то существует такой элемент
, что
Доказательство.
Пусть
– дефект подгруппы
в группе
. Рассмотрим субнормальную
-цепь длины :
Из того, что
не нормальна в
, следует, что
.
не нормальна и в
, иначе мы получаем противоречие с тем, что
– дефект подгруппы
в группе
, так как в этом случае подгруппу
в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент
такой, что . Теперь имеем
Так как
, то
. С другой стороны,
и
, откуда получаем
. Теорема доказана.
Определение.
Пусть
– субнормальная подгруппа дефекта
в
. Субнормальная
-цепь
называется канонической, если для любой субнормальной
-цепи
имеет место
,
,
,…, .
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема.
Если
субнормальна в
, то существует единственная каноническая субнормальная
-цепь.
Доказательство.
Пусть
– дефект подгруппы
в группе
. Будем рассматривать все возможные субнормальные
-цепи длины .
все субнормальные
-цепи длины
(
– второй индекс). Положим
. Так как
, то для любого
,
,…, мы имеем
Таким образом, цепь
является субнормальной
-цепью длины
и, следовательно, не имеет повторений. Так как
при любых
и
, то теорема доказана.
Теорема.
Если
субнормальна в
и
– подгруппа
, то пересечение
есть субнормальная подгруппа .
Доказательство.
Рассмотрим субнормальную
-цепь минимальной длины
:
Положим
. Получаем цепь
Ясно, что она будет субнормальной, так как
. Действительно, пусть
, значит,
и
. Тогда для любого
, так как
и .
Мы получили субнормальную
-цепь. Теорема доказана.
Следствие.
Пусть
и
– подгруппы группы
. Если
субнормальна в
и
– подгруппа
, то
субнормальна в .
Доказательство.
Пусть
и цепь
является субнормальной
-цепью.
Положив
, получим субнормальную
-цепь
что и требовалось.
Теорема.
Пусть
субнормальна в
и
субнормальна в
. Тогда пересечение
есть субнормальная подгруппа в.
Доказательство.
Пусть
– наибольший из дефектов подгрупп
и
в группе
. Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи
Положим
,
,
,…,
. Из
,
следует, что
нормальна в
. Следовательно, цепь
является субнормальной
-цепью, что и доказывает теорему.
Лемма.
Если
субнормальна в
, а
– нормальная подгруппа группы
, то произведение есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство.
субнормальна в
, следовательно, существует субнормальная
-цепь
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно, так как
и
, то
. Лемма доказана.
Лемма.
Если подгруппы
и
субнормальны в
и
, топроизведение
есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство.
Если
нормальна в
, то результат следует по лемме 1.9.
Предположим, что
не нормальна в
, то есть
. Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим
. Таким образом, если
и
субнормальны в
причем
и
, то по индуктивному предположению
субнормальна в .
Пусть
– каноническая субнормальная
-цепь. Так как
нормализует подгруппу
, то для любого
цепь
будет субнормальной
-цепью. По свойству канонической субнормальной
-цепи
, а значит,
для любого
,
,…,
(по определеделению).
Следовательно,
содержится в
для любого
. Так как
и
, то по индукции
субнормальна в
. По следствию 1.7.1
субнормальна в
. Так как
и
, то
. Таким образом,
,
, а значит, по лемме 1.9 подгруппа
субнормальна в
. К тому же
, то мы получаем . Лемма доказана.
Теорема.
Если
и
– субнормальный подгруппы группы
, то
есть также субнормальная подгруппа .
Доказательство.
Положим
. Среди субнормальных подгрупп группы
, содержащихся в
, выберем подгруппу
, имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1
субнормальна в
. Докажем, что
нормальна в
. Предположим противное, то есть что
не нормальна в
. Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент
, что
,
и
. Так как
субнормальна в
и
, то
субнормальна в
. Получается следующая ситуация:
и
субнормальны в
,
. По лемме 1.10
субнормальна в
. Ввиду выбора
отсюда следует
, что противоречит .
Итак,
нормальна в
, а значит,
и
нормализуют подгруппу
. По лемме 1.10
и
субнормальны в
. Так как
и
, то ввиду выбора
получаем
. Следовательно,
, откуда вытекает, что . Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема (Виландт).
Множество всех субнормальных подгрупп группы
образует подрешетку решетки
.
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема.
Пусть
– некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы
, удовлетворяющее следующим условиям:
1) если
и
, то
;
2) если
,
,
,
, то .
Тогда
для любой подгруппы
.
Доказательство.
Возьмем произвольную подгруппу
из
. Если
не нормальна в
, то по теореме 1.4 найдется такой элемент
, что
,
,
. По условиям 1) и 2)
,
. Если
не нормальна в
, то найдется
такой, что
,
,
. Тогда
и
. Если
не нормальна, то описанную процедуру применяем к
. Так как
конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы
, представимой в виде
, где
– некоторые элементы из
. Очевидно, , и теорема доказана.
Следствие.
Если
– непустой радикальный класс, то
содержит все субнормальные
-подгруппы группы .
Доказательство.
Пусть
– множество всех субнормальных
-подгрупп из
. Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что
удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.
Следствие.
Для любой субнормальной подгруппы
группы
справедливы следующие утверждения:
1) если
–
-группа, то
;
2) если
нильпотентна, то
;
3) если
-нильпотентна, то
;
4) если
разрешима, то
.
2. Минимальные не
-группы
Лемма [3].
Пусть
, где
– локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа
монолитична с монолитом
2)
–
-группа для некоторого простого
;
3)
–
-эксцентральный главный фактор
;
4)
;
5) если группа
неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту
;
6) если
абелева, то она элементарна;
7) если
, то
– экспонента
; при
экспонента
не превышает 4;
8) для любой
-абнормальной максимальной подгруппы
из
имеет место
9) любые две
-абнормальные максимальные подгруппы группы
сопряжены в
;
10) если
и подгруппа
содержит
, то
для любого полного локального экрана
формации ;
11) если
–
-абнормальная максимальная подгруппа группы
и
– некоторый полный локальный экран
, то
– минимальная не
-группа и либо
, либо .
Доказательство.
1) Пусть
– минимальная нормальная подгруппа из
такая, что
. Очевидно, что
. Противоречие. Итак,
– минимальная нормальная подгруппа
. Так как
– формация, то, нетрудно заметить, что
– единственная минимальная нормальная подгруппа из
. А это значит, что
Отсюда следует, что
2) Выше мы показали, что
– главный
-фактор. Покажем, что
–
-группа. Предположим противное. Пусть простое число
делит
, но не делит
. По лемме 4.4 из [5]
, где
– содержащаяся в
силовская
-подгруппа из . Тогда
Отсюда и из насыщенности
получим
. Но тогда
, что невозможно.
Пусть
– главный фактор группы
. Ввиду 2)
является
-группой и
. Следовательно, каждая
-абнормальная масимальная подгруппа группы
является
-нормализатором группы
. Так как
-нормализатор группы
покрывает только
-центральные главные факторы, то мы получаем, что
-гиперцентральна в
. Согласно следствию 9.3.1 из [5]
. Отсюда следует, что
, т.е. .
Обозначим через
коммутант группы
. Так как
–
-корадикал группы
, то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы
на участке от
до
-эксцентрален. Отсюда и из
-гиперцентральности
заключаем, что . Так как
то мы получаем тaкже рaвенство
. Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.
Докажем 7). Предположим, что
неабелева. Пусть
– произвольный элемент из
. Ввиду 4)
, причем
. Следовательно,
для всех элементов
,
из
. Это означает, что
имеет экспоненту
. Учитывая это и то, что
содержится в
, получаем для любых
, из
при :
Значит, отображение
является
-эндоморфизмом группы
. Так как
то
-гиперцентральна в
. Вспоминая, что
–
-эксцентральный главный фактор, получаем равенство
. Так как
имеет экспоненту
, то утверждение 7) при доказано.
Пусть
. Тогда
где
. Рассматривая отображение
как и выше получаем, что
. Значит
имеет экспоненту не больше 4.
Докажем 8). Выше мы доказали, что
. Пусть
. Тогда в
найдется такая максимальная подгруппа
, что
. Так как
, то
. Отсюда
. Противоречие. Итак,
. По теореме 9.4 из [5] имеем
для любой
-абнормальной максимальной подгруппы
группы
. Нетрудно показать, что .
По теореме 7.11 из [5],
Так как
, то
Ввиду того, что
и
– главный фактор
, имеем
. Итак,
. Пусть
– любая
-абнормальная максимальная подгруппа группы
. Тогда . Ясно, что
Не ограничивая общности, положим
. Тогда
– единственная минимальная нормальная подгруппа
. Легко видеть, что
и
. Но
–
-группа. Значит,
. По условию
. Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место
то
. Таким образом, всякая собственная подгруппа группы
принадлежит
. Допустим, что
. Тогда
и поэтому
. Полученное противоречие показывает, что
, т.е.
– минимальная не
-группа.
Предположим теперь, что
. Покажем, что
. Не теряя общности, можно положить, что
. Тогда
,
. Пусть
, где
и
, где
. Для всякого
через
обозначим подгруппу
. Предположим, что все
отличны от
. Так как
, то
– дополнение к
в
. Если
для всех различных
и , то
и поэтому
. Противоречие. Значит
для некоторых различных
и
. Из последнего вытекает
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что
для некоторого
и, следовательно,
. Лемма доказана.
Лемма [4].
Пусть
– наследственная локальная формация,
– такая нормальная подгруппа группы
, что
. Тогда
равносильно .
Доказательство.
Пусть
. Тогда
, и если
– произвольная максимальная подгруппа
, то
, а значит, и
принадлежит
. Следовательно, .
Предположим теперь, что
. Понятно, что
.Пусть
– произвольная максимальная подгруппа
, тогда
. Пусть
– произвольный
-главный фактор из
. Обозначим
. Пусть
– максимальный внутренний локальный экран формации
, и пусть
. Так как
, то
. Покажем, что
. По лемме 8.7 из [6] формация
наследственна. Следовательно, если
, то сразу получим
. Если же
, то
вытекает из изоморфизма
. Итак, всякий
-главный фактор из
,
-централен в
. Значит,
. Таким образом, . Лемма доказана.
Лемма [3].
Пусть
– локальная наследственная формация,
– некоторый ее полный экран. Группа
принадлежит
тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1)
;
2)
, где
– главный
-фактор группы
,
– минимальная не
-группа.
Доказательство.
Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть
и
– произвольные максимальные подгруппы
. Покажем, что
. Если
-абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем
. Значит,
. Пусть . По условию
Следовательно,
и по лемме 2.1
–
-группа. Значит по лемме 8.2 из [6]
. Итак,
. Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что
. Лемма доказана.
Лемма [3].
Пусть
– локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
для любого
из
;
2)
тогда и только тогда, когда
для любого
из
,
– главный
фактор
, .
Доказательство.
1) Пусть
– произвольная группа из
. Покажем, что
. Предположим противное. Пусть
– подгруппа наименьшего порядка из
, не принадлежащая
. Очевидно, что
. Так как
– постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5]
для любого
из
. Если
, то из того, что
следует
. Получили противоречие. Итак,
– собственная подгруппа из
. Но тогда , что невозможно.
2) Пусть
. Покажем, что
. Так как
то, не ограничивая общности, можно считать, что
. Пусть
– произвольная
-абнормальная максимальная подгруппа группы
. Тогда по лемме 2.1
, где
. Очевидно, что
. Отсюда следует, что
–
-группа. Так как
и
– постоянный экран, то
. Пусть
– произвольная собственная подгруппа из
. Так как формация
наследственна, то
. Кроме того,
. Отсюда . Следовательно,
Если теперь
, то
. Отсюда нетрудно заметить, что
. Противоречие. Итак,
. Из леммы 2.1 следует, что
есть главный
-фактор группы
.
Пусть теперь
. Очевидно, что
. Пусть
– собственная подгруппа из
.Рассмотрим подгруппу
. Если
, то тогда
Согласно пункту 1
. Пусть
. Тогда
– собственная подгруппа группы
. Тогда
Отсюда
. А это значит, что
. Итак,
. Так как
, то по лемме 2.1
. Лемма доказана.
Лемма.
Пусть
– непустая наследственная формация. Тогда:
1) если
– подгруппа группы
и
, то
-субнормальна в ;
2) если
-субнормальна в
,
– подгруппа группы
, то
-субнормальна в ;
3) если
и
-субнормальные подгруппы
, то
–
-субнормальная подгруппа ;
4) если
-субнормальна в
, а
-субнормальна в
, то
-субнормальна в ;
5) если все композиционные факторы группы
принадлежат формации
, то каждая субнормальная подгруппа группы
является
-субнормальной;
6) если
–
-субнормальная подгруппа группы
, то
-субнормальна в
для любых .
Лемма.
Пусть
– непустая формация,
– подгруппа группы
,
– нормальная подгруппа из
. Тогда:
1) если
-субнормальна в
, то
-субнормальна в
и
-субнормальна в ;
2) если
, то
-субнормальна в
тогда и только тогда, когда
-субнормальна в .
3. Формации с решеточным свойством
Лемма [1].
Пусть
– наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп;
2) группа
принадлежит
, если
,
–
-субнормальные
-подгруппы группы ;
3)
– формация Фиттинга и всякая
-субнормальная
-подгруппа группы
содержится в
-радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть
– контрпример минимального порядка. В этом случае
, где
-субнормальная
-подгруппа группы
,
, и
не принадлежит
. Пусть
– минимальная нормальная подгруппа группы
. Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора
имеем, что
. В виду теоремы 4.3 из [7] формация
является насыщенной. Поэтому группа
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и .
Если
, то
– простая группа. Так как
и
–
-субнормальная подгруппа группы
,
, то либо
, либо
. Значит,
. Противоречие с выбором группы .
Пусть
. Рассмотрим подгруппы
и
. Так как
– собственная
-субнормальная подгруппа
и
, то нетрудно видеть, что
– собственная подгруппа
,
. Покажем, что .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть
– абелева группа. Тогда
–
-группа,
– простое число. Так как
и подгруппа
-субнормальна в
, то по лемме 2.6 получаем
, .
2. Пусть
– неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и
.
Рассмотрим подгруппу
. Так как подгруппа
-субнормальна в
, то ввиду леммы 2.4 и подгруппа
-субнормальна в группе . Пусть
Ввиду леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна в
для любого
из
. Так как формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп, то
–
-субнормальная подгруппа
. Кроме того, из
следует, что
. Если
, то
. Получили противоречие с
. Значит,
. Так как
нормальна в
, то
нормальна в . Но
где
– неабелева простая группа и
для всех
. Поэтому
Из
и наследственности формации
следует, что
. Но тогда
. Далее, так как
, то по лемме 2.5 подгруппа
-субнормальна в
. Значит, она
-субнормальна и в
,
. Тогда из получаем что
Пусть
– добавление к подгруппе
в группе
. Так как
, то
. В силу насыщенности формации из
и
получаем, что
. Итак,
,
и .
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если предположить, что
, то
. В этом случае
Так как
, то
не может быть
-субнормальной подгруппой в
. Следовательно, можно считать, что
, .
Так как подгруппа
-субнормальна в группе
и
, то из наследственности формации
следует, что подгруппа
-субнормальна в .
Так как формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп, то
–
-субнормальная подгруппа группы
. Кроме того, из
и наследственности формации
имеем
. Обозначим
,
, и рассмотрим подгруппу
. Если
, то
, что невозможно ввиду
-субнормальности в
подгруппы .
Пусть
. Из
, нормальности
в
и нормальности
в
следует, что
нормальна в .
Так как
то
Таким образом получаем
Так как
, то
– подгруппа из
. Тогда из
-субнормальности в
подгрупп
и
следует, что подгруппа
-субнормальна в
. Это невозможно ввиду равенства
. Значит,
. Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть
, где
– нормальная
-подгруппа группы
,
. Так как
и
, то
. Из наследственности формации
получаем, что подгруппа
-субнормальна в
. Ввиду леммы 2.6 подгруппа
теперь
-субнормальна в
,
. Так как выполняется условие 2) леммы, то
Следовательно,
– формация Фиттинга.
Пусть
–
-субнормальная
-подгруппа группы
. Ввиду леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна в
для всех
. Так как выполняются условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы
. Пусть
и
–
-субнормальные подгруппы группы
и
. Если
– минимальная нормальная подгруппа группы
, то можно считать, что
. Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что
–
-субнормальная подгруппа группы
. На основании леммы 2.6 тогда подгруппа
-субнормальна в
. Если
, то по индукции подгруппа
-субнормальна в
, и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.
Будем далее считать, что
для любой минимальной нормальной подгруппы группы
. Ясно, что
. Если
, то в силу леммы 3.1.3
субнормальна в
. Но тогда ввиду [8]
Это означает, что
. Противоречие. Значит
и
. Аналогично доказывается, что
. Итак,
и .
По условию леммы
– формация Фиттинга и
,
. Следовательно,
Пусть
– минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащейся в
. Тогда
Из наследственности формации
следует, что
–
-субнормальная подгруппа группы .
Итак, порождение двух
-субнормальных подгрупп
и
группы
-субнормальна в
. Ввиду леммы 2.5
– также
-субнормальная подгруппа группы
. Значит, формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1].
Пусть
– наследственная локальная формация. Если
замкнута относительно расширений, то формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации
и
обладают решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
Пусть
обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть
– некоторое семейство классов групп. Обозначим через
класс всех групп
, представимых в виде
где
и
,
.
Лемма [1].
Справедливы следующие утверждения:
1) пусть
– наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп,
. Тогда и формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп;
2) пусть
– некоторое семейство наследственных локальных формаций и
для любых
. Тогда и только тогда формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп, когда для каждого
формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
Пусть формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп,
. Ввиду леммы 3.1
и
– формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что
также является формацией Фиттинга.
Пусть
–
-субнормальная подгруппа группы
и
. Ясно, что подгруппа
-субнормальна в
для любого
. Так как
и
, то ввиду леммы 3.1 получаем, что
и . Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп. Отметим, что
. Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация
обладает решеточным свойством для
- субнормальных подгрупп.
Обратно, пусть для любого
формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп. Пусть
Индукцией по порядку группы
покажем, что любая группа
, где
,
–
-субнормальные
-подгруппы группы
принадлежат .
Пусть
– минимальная нормальная подгруппа группы
. Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что
. Так как
– насыщенная формация, то
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
. Ясно, что
Отметим также, что
где
– изоморфные простые группы для
.
Докажем, что
. Рассмотрим группу
. Так как подгруппа
-субнормальна в
, то
. Тогда по индукции
Рассмотрим пересечение
. Если
то
Отсюда и из того факта, что
– нормальная подгруппа
и
следует, что .
Пусть
. Так как
– нормальная подгруппа из
, то
– нормальная подгруппа из
. А это значит, что
Из наследственности формации
и
получаем, что
. Но тогда .
Из строения
и
для любых
, следует, что
для некоторого
. Так как
то нетрудно видеть, что группа
имеeт
-холловскую подгруппу
.
Так как
, то
–
-субнормальная подгруппа группы
. Так как
,
и
,
–
-субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что
Отсюда и из
ввиду
получаем
. Аналогично доказывается, что
. Таким образом,
Отсюда и из
-субнормальности
и
в
нетрудно заметить, что
,
–
-субнормальные подгруппы группы
. Из
и
ввиду наследственности
следует, что
и
. Так как по условию формация
обладает решеточным свойством для
- субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1
Итак,
содержит некоторую группу
, где
,
–
-субнормальные
-подгруппы группы
. Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1].
Пусть
– нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все
-субнормальные подгруппы образуют решетку, то
имеет вид
где
для любых
из
;
2) если
– формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
1) Покажем, что
является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что
и
.
Пусть
– максимальный внутренний локальный экран формации
. Согласно лемме 2.3
где
– единственная минимальная нормальная подгруппа группы
,
(
– простое число), а
– максимальная подгруппа группы
, являющейся минимальной не
-группой.
Докажем, что
– циклическая
-группа для некоторого простого числа
. Допустим противное. Тогда в
найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы
и
. Рассмотрим в
подгруппу
,
. Ясно, что
-субнормальна в
,
. Из
,
и
по лемме 3.1 получаем, что
. Получили противоречие с выбором .
Следовательно,
– циклическая группа порядка
, где
– некоторое простое число,
,
– натуральное число. Допустим, что
. Обозначим через
– регулярное сплетение циклических групп
и
соответственно порядков
и .
По теореме 6.2.8 из [2]
изоморфна некоторой подгруппе группы
. Так как
и
, то ввиду теоремы 2.4 из [5] .
Рассмотрим регулярное сплетение
, где
. Тогда
, где
– элементарная абелева
-группа. Так как
, то . Из
следует что
.
Рассмотрим в
подгруппы
и
, где
– база сплетения
. Ясно, что
-субнормальна в
,
. Кроме того, . Отсюда
Так как
, то
по лемме 3.1. Получили противоречие.
Следовательно,
и
– группа Шмидта. Если
и
, то по лемме 1.1.6
также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не
-группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12
является наследственной формацией.
Покажем, что формация
имеет такой локальный экран
, что
p(F)
p'(F)
p(F)
Действительно. Пусть
– локальный экран формации
. Так как
для любого простого числа
из
, то
. Покажем обратное.
Пусть
– группа минимального порядка из
. Так как
– наследственная формация и
– насыщенная формация, то
– минимальная не
-группа и
. Теперь, согласно лемме 2.3
где
– единственная минимальная нормальная подгруппа группы
, причем
–
-группа,
, а
– минимальная не
-группа. Как показано выше
является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть
– группа простого порядка. Так как
, то очевидно, что
. Противоречие.
Пусть
– группа Шмидта. Тогда
– группа простого порядка, причем
,
. Так как
, то очевидно, что
Отсюда следует, что
. Получили противоречие. Следовательно
.
Итак,
и
– полный локальный экран формации
.
Покажем, что
либо
для любых простых
, .
Вначале докажем, что из
следует
. Допустим противное. Пусть
. Рассмотрим точный неприводимый
-модуль
над полем
, который существует по лемме 18.8 из [6].
Возьмем группу
. Так как
и
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый
-модуль
над полем
. Рассмотрим группу
Так как
то
. Ясно, что
. Так как
, то найдется
такой, что
. Заметим, что
. Тогда
Так как
, то
-субнормальна в
и
-субнормальна в
. По лемме 3.1
. Получили противоречие. Таким образом, если
, то .
Пусть теперь
. Тогда
. Предположим, что найдется такое простое число
, которое не принадлежит
. Рассмотрим точный неприводимый
-модуль
над полем .
Группа
принадлежит
ввиду
и
. Теперь рассмотрим точный неприводимый
-модуль
. Группа
формации
не принадлежит, так как
. Ясно, что
. Рассуждая как и выше, можно показать, что
для некоторого
, причем подгруппы
,
-субнормальны в
, причем
,
принадлежат
. Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.
Следовательно, если
, то
, а значит
. Более того, если
где
и
, то
и
, а значит, .
Таким образом, множество
можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде
, где
для любых
из
и
для
. Покажем, что
Обозначим
Так как для любого
имеет место
, то включение
очевидно.
Допустим, что множество
непусто, и выберем в нем группу
наименьшего порядка. Так как
– наследственная формация, то
. Группа
непримарна в силу равенства
и локальности формации
. Из строения
и
нетрудно показать, что
– группа Шмидта. Ясно, что
. Тогда по теореме 26.1 из [5]
, где
– элементарная абелева
-группа,
– некоторые простые числа. Так как , то
Как показано выше,
для некоторого номера
. Но тогда
. Получили противоречие с выбором
. Следовательно,
где
для всех
.
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация
тогда и только тогда обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп, когда
Заключение
В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и
-субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток
-субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не
-групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не
-группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не
-подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.
9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.
10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.
|