МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИЕКТОРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
Исполнитель:
студент группы H.01.01.01 М-43
Векшин П.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Основные обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
4. Биекторы и их свойства
Заключение
Список использованных источников
Введение
В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Биекторы конечных групп". Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать свойства конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта.
Моя курсовая работа состоит из четырех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе.
Во втором пункте были введены используемые результаты для дальнейшего изучения биекторов и их свойств. Здесь излагаются шесть теорем, три следствия и шесть лемм.
В третьем пункте изложены основные свойства проекторов и инъекторов, даны определения подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Так же рассмотрены два примера
-биекторов,
-биекторов, а так же пример, когда группа не является метанильпотентной, но
-проекторы и
-инъекторы совпадают между собой.
В четвертом пункте изучена и рассмотрена сама тема моей курсовой работы, которая и является названием данного пункта. Здесь показывается, что
-биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда
совпадает с классом
всех разрешимых
-групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование
-биекторов, превращает его в
-холловскую подгруппу.
Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы, (1),(2).
При доказательстве некоторых теорем и лемм использовались ссылки на теоремы, следствия и леммы, формулировки которых можно найти в используемых результатах.
Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из пяти источников.
|
группа
|
|
класс всех разрешимых групп
|
|
класс всех нильпотентных групп
|
|
является подгруппой группы
|
|
является нормальной подгруппой группы
|
|
прямое произведение подгрупп
и
|
|
подгруппа Фраттини группы
|
|
фактор-группа группы
по
|
|
множество всех простых делителей натурального числа
|
|
множество всех простых делителей порядка группы
|
|
коммутант группы
|
|
индекс подгруппы
в группе
|
2. Используемые результаты
Лемма
Если
--- класс Шунка, то
.
Лемма
Пусть
--- класс Шунка и
--- конечная нильпотентная группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-проектором в
тогда и только тогда, когда
---
-холловская подгруппа.
Лемма
Пусть
--- радикальный класс и
--- конечная нильпотентная группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-инъектором в
тогда и только тогда, когда
---
-холловская подгруппа.
Теорема
Если
--- класс Фиттинга и
--- гомоморф, то
.
Следствие
Если
и
--- радикальные формации, то
.
Теорема
Если
--- разрешимый класс Шунка, а
--- разрешимая насыщенная формация, то
--- разрешимый класс Шунка.
Следствие
Если
и
--- разрешимые насыщенные формации, то
--- разрешимая насыщенная формация.
Теорема
Если
и
--- классы Фиттинга, то
--- класс Фиттинга и .
Лемма
Пусть
--- разрешимая группа, тогда
1) если
, то
;
2) если
, то
;
3) если
, то
.
В частности, если
и
--- разрешимые группы
;
4)
.
Теорема
Для любого класса Шунка
в каждой разрешимой группе
любой
-проектор является
-покрывающей подгруппой и любые две
-покрывающие подгруппы группы
сопряжены между собой.
Лемма
Пусть
--- разрешимая группа. Тогда:
1)
;
2)
.
Лемма
Для любого гомоморфа
и любой группы
справедливы следующие утверждения:
1) если
-
-проектор группы
и
максимальна в
, то
-
-покрывающая подгруппа группы ;
2) если
-
-покрывающая подгруппа в группе
и
, то
-
-покрывающая подгруппа в ;
3) если
-
-покрывающая подгруппа группы
и
, то
-
-покрывающая подгруппа фактор-группы ;
4) если
и
---
-покрывающая подгруппа фактор-группы
, то каждая
-покрывающая подгруппа из
является
-покрывающей подгруппой из .
Теорема
Пусть
--- класс Фиттинга и
--- разрешимая группа. Тогда
является
-инъектором группы
тогда и только тогда, когда
будет
-максимальной в
и
---
-инъектор коммутанта .
Следствие
Пусть
--- класс Фиттинга и
--- разрешимая группа. Если
---
-инъектор группы
и
, то
---
-инъектор в .
Теорема
Если
--- максимальная подгруппа разрешимой группы
, то
,где .
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
Определение.
Пусть
--- группа и
--- класс групп. Если
и
, то
---
-подгруппа группы
.
Определение.
-максимальной подгруппой группы
называется такая
-подгруппа
группы
, которая не содержится ни в какой большей
-подгруппе.
Определение.
-проектором группы
называется такая подгруппа
группы
, что
,
является максимальной в .
Определение.
Пусть
--- класс групп. Подгруппа
группы
называется
-инъектором
, если для каждой субнормальной подгруппы
группы
пересечение
является
-максимальной подгруппой в .
Определение.
Пусть
--- класс групп. Подгруппа
группы
называется
-биектором
, если
является
-максимальной подгруппой в
, а
является
-максимальной в
для каждой нормальной подгруппы .
Ясно, что
-биектор одновременно является
-проектором и
-инъектором группы .
Пример
Примерами
-биекторов служат силовские
-подгруппы групп для класса
всех
-групп.
Пример
В группе
силовская 2-подгруппа является
-биектором.
Пример
Группа
не является метанильпотентной, но
-проекторы и
-инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.
Для локальной формации
каждая конечная разрешимая группа
обладает единственным классом мопряженных
-проекторов. Если
--- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных
-инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании
-биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .
В настоящей работе показывается, что
-биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда
совпадает с классам
всех разрешимых
-групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование
-биектора превращает его в
-холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности
это свойство нарушается.
Пусть
--- класс групп. Через
обозначается совокупность всех простых чисел
, для которых в
существует неединичная
-подгруппа, т. е.
. Множество
называется характеристикой класса
.
Для любого множества простых чисел
через
обозначается класс всех нильпотентных
-групп.
Лемма
Если
--- класс Шунка, то
.
Доказательство. Пусть
. Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если
--- произвольная примитивная факторгруппа группы
, то
имеет простой порядок
. Так как
, то
. Из определения класса Шунка получаем, что
. Таким образом,
. Обратно, если
, то для любого простого делителя порядка
существует подгруппа индекса
. Так как
, то
и . Лемма доказана.
Следствие
Если
--- локальная формация, то
.
Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.
Лемма
Пусть
--- класс Шунка и
--- конечная нильпотентная группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-проектором в
тогда и только тогда, когда
---
-холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть
---
-проtктор в группе
. Так как
, то по лемме подгруппа
является
-подгруппой. Пусть
---
-холловская в
подгруппа. Ясно, что
. Nак как
, то
---
-подгруппа и .
Обратно, пусть
---
-холловская подгруппа и пусть
---
-проектор в
. Так как
, то
---
-подгруппа и .
Лемма
Если
--- радикальныи класс, то
.
Доказательство. Если
, то в
существует субнормальная подгруппа
простого порядка
, для любого
. Поэтому
,
, и .
Обратно, пусть
, тогда для каждого
в
существует подгруппа
. Значит все
-подгруппы содержатся в
. Так как
замкнут относительно прямых произведений, то
. Лемма доказана.
Лемма
Пусть
--- радикальный класс и
--- конечная нильпотентная группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-инъектором в
тогда и только тогда, когда
---
-холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть
---
-инъектор в
. Так как
, то
будет
-подгруппой в
. Если
---
-холловская в
подгруппа, то
и
---
-подгруппа. Поэтому .
Обратно, если
---
-холловская подгруппа в
, то
. Если
---
-инъектор, то
и
---
подгруппа, поэтому
. Лемма доказана.
Пусть
, где
--- пробегает все группы из
. Если
--- разрешимый радикальный класс, то .
Следствие
Пусть
--- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе
существует
-биектор
и подгруппа
является
-холловской подгруппой группы .
Доказательство получаем из лемм и .
Следствие
Пусть
--- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе
существует
-биектор
и подгруппа
является
-холловской подгруппой группы .
Обозначим через
совокупность всех
-проекторов группы
, а через
совокупность всех
-инъекторов.
Теорема
Пусть
--- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе
существует
-биектор
, то
является
-холловской подгруппой группы .
Доказательство. Пусть
. Так как в разрешимой группе все
-проекторы и все
-инъекторы сопряжены между собой, то .
Пусть
--- подгруппа Фиттинга. Так как
---
-инъектор в
, то по лемме подгруппа
является
-холловской подгруппой в .
Так как
нильпотентна и
является
-проектором в
, то
будет
-холловской подгруппой в
по лемме . Поскольку
, то
-
-подгруппа. Кроме того,
и
есть
-число. Значит,
--- -холловская подгруппа.
Следствие
Пусть
--- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе
существует
-биектор
, то
является
-холловской подгруппой группы .
Замечание.
Группа
не является метанильпотентной, но
-проекторы и
-инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .
Теорема
Пусть
--- радикальный класс Шунка и
--- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе
существует
-биектор, то .
Доказательство. Предположим, что
не содержится в
, и пусть
--- группа наименьшего порядка из разности
. Если
имеет простой порядок
, то
и
, противоречие. Значит,
--- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в
подгруппу
. Так как
и
---
-подгруппа в
, то
и .
Пусть
---
-биектор в
. Тогда
---
-инъектор в
и
. Поскольку
является
-проектором в
, то
-максимальна в
. Так как
--- гомоморф, то
, а по выбору группы
получаем, что
, т. е.
и
, противоречие. Значит, допущение не верно и .
Следствие
Если
--- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует
-биектор, то
.
Следствие
Если
--- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует
-биектор, то
.
Для натурального числа
через
обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более
. При
имеем класс всех нильпотентных групп, а при
--- класс всех метанильпотентных групп.
Лемма
Для любого натурального числа
, класс
является радикальной насыщенной наследственной формацией.
Доказательство. Применим индукцию по
. При
имеем класс
всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для
. По следствию (3)
Но класс
состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной
, т. е.
, поэтому
Согласно следствию (2) класс
насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс
является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.
Лемма
Пусть
--- разрешимая группа и
. Если
---
-проектор группы
, то .
Доказательство. Поскольку
--- насыщенная формация, то
-проектор в группе
существует согласно следствию . Поскольку
, то
. Если
, то
и утверждение доказано. Пусть
и
. По лемме(2),
, а поскольку
---
-проектор группы
, то
. Тогда
, следовательно,
, и . Теорема доказана.
Теорема
Если в разрешимой группе
существует
-биектор и
, то .
Применим индукцию по порядку группы. Пусть
---
-биектор группы
. Нам надо доказать, что
. Предположим, что
и
. Тогда
является
-биектором подгруппы
по лемме и следствию . По индукции
,следовательно,
--- максимальная подгруппа группы .
Так как
--
-инъектор группы
, то
-радикал
и
. По теореме ,
(2)
Поскольку
-
-проектор группы
, то
и
согласно лемме . Следовательно,
(3)
Согласно лемме (2)
, а из равенств (2) и (3) находим, что
.Получили противоречие. Теорема доказана.
Заметим что в условии этой теоремы требование
не является лишним. Для
в симметрической группе
силовская
-подгруппа является
-биектором.
Заключение
В данной курсовой работе было показано, что
-биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда
совпадает с классом
всех разрешимых
-групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование
-биекторов, превращает его в
-холловскую подгруппу.Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема1
Пусть
--- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе
существует
-биектор
, то
является
-холловской подгруппой группы .
Теорема2
Пусть
--- радикальный класс Шунка и
--- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе
существует
-биектор, то .
Теорема 3
Если в разрешимой группе
существует
-биектор и
, то .
Список использованных источников
Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 -- Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156
Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. -- М.: Наука. -1989. --- 256с.
Шеметков Л.А., Формации конечных групп. -- М.: Наука. -- 1978. --- 272с.
|