˛˜¯—˘ ˝¨¯

6 ª º ß 3

6.1 ˚ º ª º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ 6

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝˛˜ Ł ˝˛˚ . . . . . . . . . . . . 9

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ . . 20

6.5 ˇ Ł Ł Œ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.6 ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł . . . . . . . . . . . . . 32

7 ˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß 36

8 ¸Ł Ø ß æ æ 37

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.2 ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.3 ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ . . . . . . . . . . . . . 43

8.4 ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı . . 47

8.5 ¸Ł Ø ß æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 ¸Ł Ø ß ß ºŁ Ø æ æ 58

9.1 ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı . . . . . . . 58

9.2 Ł ºŁ Ø ª Œ ºŁ Ø

æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.3 — ª Ł Œ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . 68

9.4 ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . . 71

1

2 ˛˜¯—˘ ˝¨¯

9.5 Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª

Ł Ł ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ˆº 6

ª º ß

6.1 ˚ º ª º

ˇ æ k Œ ŁŒæŁ º .

˛ º Ł 6.1.1. ª º Ł æ ª x Œ º k ß æ º ß Ł Ł

,

ª x æŁ º Ł æ ª , α_i º ß º k , Ł æ ß

0, æ (∃ n ∈ N) (∀ i > n ) α_i = 0.

´ º Øł ª º ß Æ Æ f (x ), g (x ), h (x ), f ₁ (x ), f ₂ (x ),...ŁºŁ Œ f , g , h , f ₁ , f ₂ ,...

(6.1)

¯æºŁ ª º (6.1), ª º Æ ß º ß Ł Æ 0.

˛ º Ł 6.1.2. º ª ß α_{i x} ⁱ Æ ß º Ł ª -

º (6.1), º ß α_i Æ ß Œ Ł Ł Ł ª º

(6.1).

3

¯æºŁ ª º (6.1) ∀ i > n α_i = 0, Æ Łæ :

ŁºŁ f (x ) = α ₀ + α ₁ x + ··· + α_n xⁿ . (6.2)

i =0

˙ æ Ł ı ŁæŁ (6.1) Œ ŁæŁ (6.2) ß Łł α ₀ æ α ₀ x ⁰ . ˇ Ł α ₀ ß æ æ Æ ß º ª º f (x ).

˛ º Ł 6.1.3. º ª ª º f _{(x )} ß æ ŁÆ º łŁØ ºŁ ª º Œ Ł Ł ª ª º .

˛Æ Ł degf (x ) æ ª º f (x ).

¯æºŁ ŁæŁ (6.2) α_n 6= 0, æ ª º f (x ) n , æ degf (x ) = n . ´ æº , α_n xⁿ ß æ æ łŁ º

ª º , α_n ß æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º .

æ æ ı ª º Ł æ ª x º k Æ -

æ k _{[x ]} Ł ß æ Œ º ª º º k .

ˇ æ

.

˛ º Ł 6.1.4. ˜ ª º f (x ),g (x ) ∈ k [x ] ß æ ß Ł, æºŁ ß æ Łı Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x ,

æ (∀ 0 6 i < ∞) α_i = β_i .

´ æ k _{[x ]} ŁŁ: æº Ł Ł Ł -

ª º .

˛ º Ł 6.1.5. Ø ı ª º f Ł g ß æ -

ª º

.

ˇ Ł Ł ı ª º f Ł g ß æ ª º

, ª γ i = X α ν β µ .

νν,µ +µ >=0i

6.1. ˚ º ª º

˙ _Ł 6.1.1_. º º Ł , º ª , Æß

Ł ª º , æ Œ ßØ º ª ª º Ł Œ ßØ º ª ª º Ł Ł æ Ł Æß º ß.

˛ º Ł 6.1.5 Œ Œ æ ßæº , f _{+ g} Ł f _{· g} Øæ Łº Æ ª º Ł. Œ Œ Œ f Ł g ª º ß, (∃ _n ∈

∈ N) (∀ i > n ) α_i = 0, β_i = 0. ª (∀ i > n ) α_i + β_i = 0 ⇒ f + g

º æ ª º .

˜º f · g æ Ł γ_i , ∀ i > 2n . Œ Œ Œ i = ν + µ , Ł æº Ł

i > 2n ⇒ ν > n ŁºŁ µ > n ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = ^P α_ν β_µ = 0 º i > 2n . , f · g º æ ª º . — ææ Ł æ æ Ł æ ß Ł Ł Ł ı ª º .

ˇ æ f 6= 0 Ł g 6= 0 ª º ß Ł k [x ],

.

ˇ æ degf = n , æ α_n 6= 0, degg = m , æ β_m 6= 0. ˛Æ Ł

N = max(n,m ).

— ææ Ł

æ , . º -

º , deg(f + g ) 6 N . ˙ Ł , deg(f + g ) 6 max(degf, degg ). ˙ Œ

æ æ Łª æ , Ł , Ł n 6_{= m} .

— ææ Ł

ª γ i = X α ν β µ .

νν,µ +µ >=0i

¯æºŁ i > n + m , ν > n ŁºŁ µ > m ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = 0.

ˇ º degf · g 6 n + m . ˙ Ł , degf · g 6 degf + degg .

æ Ł

.

Œ Œ Œ α_n 6= 0 Ł β_m 6= 0, α_n β_m 6= 0. ´ æº γ_{n +m} 6= 0 Ł

degf · g = degf + degg .

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ

¯˛—¯ 6.2.1 ( º ŁŁ æ æ Œ ). ˇ æ _k º , _f Ł g ∈ k [x ], Ł g 6= 0. ª æ ø æ Ł æ ª -

º q,r ∈ k [x ] Œ ,

1) f = gq + r ;

2) r = 0 (ŁºŁ r 6= 0, degr < degg ).

˜ Œ º æ . I) ø æ Ł ª º q Ł r .

) ˇ æ f = 0 (ŁºŁ f 6= 0, degf < degg ). ´ æº Łæ f = 0 · g + f, (q = 0, r = f ). æº Ł 1) Ł 2) ß º ß.

Æ) f 6= 0 Ł degf > degg . ˇ æ

f = α_n xⁿ + ... + α ₀ , α_n 6= 0, g = β_m x^m + ... + β ₀ , β_m 6= 0.

degf = n, degg = m, n > m . ˇ æ Ł ª º

(1)

ºŁ n ₁ > m , , Æ æ łŁØ Œ Ł Ł f ₁ , æ Ł

ª º

(2)

6.2. º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ ˛ ª º f ₂ æ Ł æ ŒŁ Æ , Æß Ł Ł æ -

łŁØ º ª º f ₁ . ¨ f ₂ = 0 ŁºŁ f ₂ 6= 0 Ł degf ₂ = n ₂ < n ₁ .

¯æºŁ n _{2 < m} , ææ æ Ł ª º Œ Ł . ¯æºŁ n ₂ > m , º Ł . .

˙ Ł , æ Ł ª º f , f ₁ , f ₂ , f ₃ ,... Æ æ ª

Æß ø æº º æ º ßı Łæ º, ª Œ Œ -

º Ł n > n ₁ > n ₂ > ... > n_s , ª n_s < m .

(s )

ª f_s = 0 ŁºŁ f_s 6= 0 Ł degf_s = n_s < m .

º Ł º æ æ (1), (2),..., (s ), º Ł

˛Æ Ł f_{s r} , æ Ł æŒ ÆŒŁ q . ˇ º Ł r _{= f s} −

− qg ⇒ f = qg + r , æ º ŁºŁ æ 1), ª r = 0 ∨ (r 6=

6= 0 ∧ degr < degg ) æº Ł 2).

II) ¯ Ł æ æ q Ł r .

˜ æ Ł , æ Ø ª º q Ł r , æ º ßı æ Ł I), æ ø æ ª ª º q Ł r , º ø

æº Ł 1) Ł 2), æ f = qg + r Ł r = 0 ∨ (r = 06 ∧ degr < degg ).

¨

qg + r = qg + r ⇒ (q − q )g = r − r. (∗) ˇ Œ , q − q = 0. ˜ æ Ł Ł , æ q − q 6= 0. ˇ æ α _{6= 0} æ łŁØ Œ Ł Ł ª ª º , ª æ łŁØ Œ -

Ł Ł ª º (q −q )g Æ αβ_m 6= 0. ¯æºŁ Æß αβ_m = 0, α = 0.

˙ Ł deg(q − q )g = deg(q − q ) + degg > degg .

ª Ø æ ß r − r = 0 ŁºŁ r − r 6= 0, deg(r − r ) < degg . ß

º ŁºŁ, æ (_∗) æº æ Ł ª º , æ Œ ª ł deg_g , æ æ Ł º Ø ª º ŁºŁ ª º , æ Œ ª ł deg_g . Ł æ Ł Ł . ˛ º Ł 6.2.1. ´ Æ Ł ı ß 6.2.1 ª º ß q Ł r ß æ æ æ º ß æ ß Ł æ Œ º Ł

ª º f ª º g .

¯˛—¯ 6.2.2 (` ). ˛æ Œ º Ł ª º _{f (x )} x − γ Ł ª º f (x ) Ł x = γ , æ f (γ ).

˜ Œ º æ . ˇ æ f (x ) = q (x )(x − γ ) + r (x ), r (x ) = 0 ∨ (r (x ) 6= 6= 0 ∧ degr (x ) < 1). ˇ º r (x ) = 0 ∨ degr (x ) = 0, º Æ æº

r (x ) = r ∈ k .

ˇ æ q (x ) = β ₀ +β ₁ x +... +β_s x^s , ª f (x ) = q (x )·x −q (x )γ +r =

= β ₀ x + β ₁ x ² + ... + β_s x^{s +1} − β ₀ γ − β ₁ xγ − ... − β_s x^s γ + r .

æ Ł f (γ ) = β ₀ γ +β ₁ γ ² +... +β_s γ^{s +1} −β ₀ γ −β ₁ γ ² −... +β_s γ^{s +1} +r =

= r . ŒŁ Æ , r = f (γ ).

ˇ æ º Ł æ º Ł ª º f (x ) (x − γ ) Œ ß Ø æı ˆ .

ˇ æ f (x ) = α ₀ xⁿ + α ₁ x^{n −1} + ... + α_n ,α ₀ 6= 0. — ºŁ f (x )

(x − γ ) æ æ Œ , º Ł f (x ) = q (x )(x − γ ) + r . ª º q (x )

Æ ŁæŒ Ł q (x ) = β ₀ x^{n −1} + β ₁ x^{n −2} + ... + β_{n −1} . ˝ ł Ø Ł Œ Ł Ł ß β ₀ ,β ₁ ,...,β_{n −1} Ł æ Œ r .

ˇ æ Ł æ ł Ł æ q _{(x )} Ł f _{(x )} Łı Ł . ¨ , . ˜

ŒŁ Æ Ł , Œ Ł Ł ß º ª æ ª Ł æ -

Œ ı æ æ ø Ł ßı ß Łæº ŁØ, Ł , Æß Ø-

Ł β_k = β_{k −1} γ +α_k . Ł ß Łæº Ł Æ Łæß Ł æº ø Ø æı ß ˆ .

ˇ Ł : f (x ) = x ⁵ − 2x ⁴ + 3x ³ − 4x ² + x − 1. ˝ Ø f (4).

f (4) = 643, f (x ) = (x ⁴ + 2x ³ + 11x ² + 40x + 161)(x − 4) + 643.

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º Ł Ł ł Æø Œ

˛ º Ł 6.3.1. ˆ , ª º f _{(x )} ºŁ æ ª -

º g (x ) 6= 0 ŁºŁ, ª º g (x ) ºŁ ª º f (x ) ŁºŁ,

ª º g _{(x )} º æ ºŁ º ª º f _{(x )} ŁºŁ, ª º f _{(x )} Œ ª º g _{(x )} , æºŁ æ ø æ Œ Ø ª º q _{(x )} ,

f (x ) = q (x ) · g (x ).

˛ º Ł 6.3.2. ˆ , ª º f _{(x )} ºŁ æ ª º

g (x ) 6= 0, æºŁ æ Œ º Ł f (x ) g (x ) º .

, ª º g (x ) ºŁ f (x ) Æ æ Œ Œ g |f .

˛ º Ł 6.3.3. ˜ º ßı ª º f _{(x )} Ł g _{(x )} ß æ ææ ŁŁ ß Ł f _{∼ g} , æºŁ Ł ºŁ æ ª ª Ł º ß º Ø Œ æ , æ f = αg , α ∈ k ^∗ = k \{0}.

Øæ ºŁ æ Ł

1. (∀ f 6= 0) f |f .

2. (∀ g 6= 0) g |0.

3. ˜ º ßı ª º ææ ŁŁ ß ª Ł º Œ ª ,

æ ß, æ æºŁ g |f Ł degf = 0, degg = 0.

7. ˝ º Œ æ ºŁ º Ø ª º , æ æºŁ

degg = 0, (∀ f ) g |f .

8. ¯æºŁ g |f Ł f 6= 0, degg 6 degf , Ł Œ æ æ Łª æ ª Ł º Œ ª , Œ ª g _{∼ f} .

9. ˛ ł Ł ºŁ æ Ł, æ ł Ł Œº ææ Ł ææ ŁŁ -

ßı ª º , æ æºŁ g |f , g ₁ ∼ g , f ₁ ∼ f , g ₁ |f ₁ .

˜ Œ º æ . 1) f (x ) = 1 · f (x ), æ f |f Ł q (x ) = 1.

2) 0 = 0 · g (x ), æ g |0 Ł q (x ) = 0.

3) ) ˝ Æı Ł æ .

ˇ æ f ∼ g , ª f = αg , ª α ∈ k ^∗ , æ g |f Ł q = α . Œ Œ Œ

α 6= 0, g = α ⁻¹ f , æ f |g Ł q = α ⁻¹ .

b) ˜ æ æ .

ˇ æ g |f Ł f |g . ¨ , f = qg , g = q ₁ f , æº º f = q (q ₁ f ), æ (1−qq ₁ )f = 0. Œ Œ Œ f 6= 0, 1−qq ₁ = 0, æ qq ₁ = 1. ˙ Ł degqq ₁ = 0 ⇒ degq + degq ₁ = 0 ⇒ degq = degq ₁ = 0, æº º q Ł q ₁ Œ æ ß. ¨ f = qg , ª q ∈ k ^∗ ⇒ f ∼ g .

4) ¨ g = qh, f = q ₁ g . ª f = q ₁ (qh ) = (q ₁ q )h ⇒ h |f .

5) ¨ g = qh , f = q ₁ h . ª ug = uqh , vf = vq ₁ h . — ææ Ł

ug + vf = (uq + vq ₁ )h ⇒ h |(ug + vf ).

6) ¨ degf = 0 Ł f = qg ⇒ degf = degq + degg = 0 ⇒ degq = = degg = 0, æ q Ł g Œ æ ß.

7) Œ Œ Œ degg = 0, g ∈ k ^∗ , æ ø æ g ⁻¹ ∈ k ^∗ . ª

f = (fg ⁻¹ )g ⇒ g |f .

8) ¨ f = qg ⇒ degf = degg + degq ⇒ degf > degg . ´Ł ,

⇒ f ₁ = (β ⁻¹ qα )g ₁ ⇒ g ₁ |f ₁ .

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß.

˜ Œ º æ . 1) ⇒ 2)

Œ Œ Œ æ Ł ºŁ º Ø ª º d ı Ł æ æ ª º d , æº Ł 1), d º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, ª

æº Ł 1) d ⁰ æ æ Ł Ł ºŁ º Ø ª º d , æ d

ºŁ æ d ⁰ .

2) ⇒ 1)

´ß º Ł æº Ł 1) æ Ł ł ª . ) ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ºŁ º ª º d . ¨ d ⁰ _|d , æº Ł

2) (∀ 1 6 i 6 s ) d |f_i ⇒ (∀ 1 6 i 6 s ) d ⁰ |f_i , æ d ⁰ º æ ÆøŁ

ºŁ º æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

Æ) ˛Æ . ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º æŁæ ß ª º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }. ª æº Ł 2) ª º d ºŁ æ d ⁰ , æ d ⁰ º æ ºŁ º ª º d .

˛ º Ł 6.3.5. ˝ ŁÆ º łŁ ÆøŁ ºŁ º (˝˛˜) æŁæ ß

ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, ß æ º Æ Ø º Ø ª º d , º øŁØ º Æ Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.3.1.

˛ º Ł 6.3.6. ˝˛˜ æŁæ ß ª º ß æ Œ Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß ª º .

º _{æ Ł} 6.3.1.1_. ¯æºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º æ ø æ ,

º æ æ ææ ŁŁ æ Ł.

˜ Œ º æ . ˇ æ d ₁ , d ₂ ˝˛˜ æŁæ ß ª º

f ₁ ,f ₂ ,...,f_s , Æ ææ Ł d ₁ Œ Œ ˝˛˜ æŁæ ß, d ₂ Œ Œ ˛˜ æŁæ ß f ₁ ,f ₂ ,...,f_s . ª º Ł 6.3.6 d ₂ |d ₁ . ˇ º Ł d ₁ Ł d ₂ , æ d ₁ Æ ææ Ł Œ Œ ˛˜, d ₂ Œ Œ ˝˛˜

æŁæ ß f ₁ ,f ₂ ,...,f_s . ˇ º Ł 6.3.6 d ₁ |d ₂ , ª 3 æ Øæ ºŁ æ Ł d ₁ ∼ d ₂ .

´ ŁŒ æ æ ßØ æ: æ ø æ ºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }? ˛ æ º Ł º ßØ. Æ Ł æ æ º º æŁæ ß Ł 2-ı ª º . ß Œ æ ø æ Ł ˝˛˜ 2-ı ª º Ł Œ ºª Ł ª ı Ł .

ºª Ł ß æ ºª Ł ¯ ŒºŁ Ł æ æº º ª º Ł . ˇ æ f Ł g º ßı ª º , degf > degg . — ºŁ f g æ æ Œ , º Ł

f = q ₁ g + r ₁ , ª r ₁ = 0 ŁºŁ (r ₁ = 06 Ł degr ₁ < degg ).

¯æºŁ r _{1 = 0} , ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r ₁ 6_{= 0} , ºŁ g r ₁ æ æ Œ , º Ł

g = q ₂ r ₁ + r ₂ , ª r ₂ = 0 ŁºŁ (r ₂ = 06 Ł degr ₂ < degr ₁ ).

¯æºŁ r _{2 = 0} , ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r ₂ 6_{= 0} , ºŁ r ₁ r ₂ æ æ Œ , º Ł

r ₁ = q ₃ r ₂ + r ₃ , ª r ₃ = 0 ŁºŁ (r ₃ = 06 Ł degr ₃ < degr ₂ ).

¨ Œ º . ´ ŁŒ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł æ Œ Æ æ ª Æß ø æº -

º æ º ßı Łæ º, Ł degg > degr ₁ > degr ₂ > deg_{r 3 > ...} , Œ Æß Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º -

Ł æ

r k −2 = q k r k −1 + r k ;

r k −1 = q k +1r k ,

ª r_k æº ŁØ ßØ º æ Œ ºª Ł ¯ ŒºŁ .

¯˛—¯ 6.3.2. ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º 2-ı º ßı ª -

º f Ł g æ ø æ Ł æº º æ Œ

ºª Ł ¯ ŒºŁ , Ł Œ ª º f Ł g .

˜ Œ º æ . ˙ Łł æ , º øŁ ºª Ł ¯ ŒºŁ

Œ ª º f Ł g

f = q ₁ g + r ₁ ⇒ r ₁ = f − q ₁ g ; (1) g = q ₂ r ₁ + r ₂ ⇒ r ₂ = g − q ₂ r ₁ ; (2) r ₁ = q ₃ r ₂ + r ₃ ⇒ r ₃ = r ₁ − q ₃ r ₂ ; (3)

...

r k −2 = q k r k −1 + r k ⇒ r k = r k −2 − q k r k −1; (k )

r k −1 = q k +1r k . (k + 1) ¨ æº ª æ Ł , r_k |r_{k −1} .

¨ æ (k ) Ł , r_k |r_{k −2} .

¨ æ (k − 1) Ł , r_k |r_{k −3} .

... r k |r 2, r k |r 1

¨ æ (2) Ł , r_k |_g .

¨ æ (1) Ł , r_k |_f .

º º r_k º æ ÆøŁ ºŁ º æŁæ ß ª º

{_f,g }. ˇ æ d º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {_f,g }, ª

Ł æ (1) Ł , d |_{r 1} , Ł æ (2) Ł , d |_{r 2} ,

...

Ł æ (k ) Ł , d |r_k , æ r_k ÆøŁØ ºŁ º {_{f,g }} , Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø

ÆøŁØ ºŁ º {_f,g }. ª º Ł 6.3.6 r_k ˝˛˜ {_f,g }.

ø æ Ł ˝˛˜ º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º æ -

ºŁ æ æº ø Ø Ø, Œ Œ ª ı -

Ł .

¯˛—¯ 6.3.3 ( Œ º ). ˝˛˜ Œ Ø æŁæ -

ß ª º æ ø æ Ł Ł æ ºŁ æ ł Ł

HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s } = HOD {HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} },f_s }.

˜ Œ º æ . ˇ Ł Ł Ł æŒ Ø Ł Œ ŁŁ s . ¯æ-

ºŁ s _{= 2} , Ł ß Ł . ˇ º Ł ,

º (_{s − 1)} ª º , æ ß º ª æ , æ ø æ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} }. ˛Æ Ł d ¯ = HOD {d,f_s }. ¨ , d ¯|d, d ¯|f_s ,

Œ ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d |f_i , ª Ł Ł æ Ł ºŁ-

æ Ł (∀ 1 6 i 6 s − 1) d ¯|f_i , d ¯|f_s , æº º d ¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }. ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }, ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d ⁰ |f_i Ł d ⁰ |f_s æº -

º d ⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} }. ª º Ł 6.3.6 d ⁰ |d . ŒŁ Æ d ⁰ |d, d ⁰ |f_s æº º d ⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {_{d,f s} }. ª Ł º Ł 6.3.6 æº d ⁰ |_d ^¯ .

¨ Œ d ¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s } Ł d ¯ ºŁ æ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }. ª º Ł 6.3.6

d ^¯ = HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }.

¯˛—¯ 6.3.4 (Œ Ł ŁØ ˝˛˜ æŁæ ß ª º ).

˜º ª Æß ª º d º ºæ ˝˛˜ æŁæ ß ª º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } Æı Ł Ł æ , Æß ª º d Æߺ

˛˜ Ø æŁæ ß Ł Æß ºŁ Ø ß ºæ Ł ª º -

ß, æ (∃ u ₁ ,u ₂ ,...,u_s , ∈ k [x ]) d = u ₁ f ₁ + u ₂ f ₂ + ... + u_s f_s .

˜ Œ º æ . 1) ˜ æ æ .

ˇ æ d º æ ˛˜ {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } Ł ∃ u ₁ ,u ₂ ,...,u_s ∈ k [x ] d =

= u ₁ f ₁ +u ₂ f ₂ +... +u_s f_s . ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

, (∀ ₁ 6 i 6 s _{) d} ⁰ |_{f i} . ª 5 æ Øæ ºŁ-

æ Ł d ⁰ |(u ₁ f ₁ + u ₂ f ₂ + ... + u_s f_s ), æ d ⁰ |d . ˇ º Ł 6.3.6 d = HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

2)˝ Æı Ł æ .

d = r k −2 − q k r k −1 = r k −2 − q k (r k −3 − q k −1r k −2) =

= (1 + q_k q_{k −1} )r_{k −2} − q_k r_{k −3} = ... = ug + vf.

ˇ º Ł , Ł ß æ ºŁ º æŁæ ß, æ æ ø Ø Ł (_{s − 1)} ª º . ˜ Œ æ ºŁ æ º æŁæ , æ æ øŁı Ł s ª º . ˇ 6.3.3 ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } æ æ ˝˛˜

2-ı ª º {d ₁ ,f_s }, ª d ₁ ˝˛˜ {f ₁ ,...f_{s −1} }. ˇ º Ł Ł Œ ŁŁ æ ø æ ª º ß v ₁ ,...,v_{s −1} ∈ k [x ] ŒŁ ,

d ₁ = v ₁ f ₁ + v ₂ f ₂ + ... + v_{s −1} f_{s −1} . Œ Œ Œ d º æ ˝˛˜ {d ₁ ,f_s }, æ ø æ ª º ß w ₁ ,w ₂ ∈ k [x ] ŒŁ , d = w ₁ d ₁ +w ₂ f_s . ¨

d = w 1v 1f 1 + ··· + w 1v s −1f s −1 + w 2f s = u 1f 1 + u 2f 2 + ... + u s f s . ˛ º Ł 6.3.7. ª º ß æ Ł ß , æºŁ ª æ łŁØ Œ Ł Ł 1.

æ , Œ Œº ææ ææ ŁŁ ßı ª º æ ø æ

Ł ßØ ª º . ´ æ æ Ł æ Ł ˝˛˜ æŁæ ß ª º -

, Œ ß º æ æ æ ææ ŁŁ æ Ł, æ ø æ Ł æ ßØ Ł ßØ ˝˛˜. Ł ßØ ˝˛˜

Æ Æ (f ₁ ,f ₂ ,...,f_s ).

˛ º Ł 6.3.8. Łæ ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } ß æ Ł æ Ø æ Œ æ Ł, æºŁ Ł ßØ ˝˛˜

(f ₁ ,f ₂ ,...,f_s ) = 1. ´ æº ı ª º ª , Ł Ł æ ß .

¯˛—¯ 6.3.5 (æ Øæ Ł æ ßı ª º ).

ºŁ ß æº øŁ Ł .

1. Łæ ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } Ł æ æ Œ æ Ł ª Ł º Œ ª , Œ ª Œ Łı ºŁ Ø Œ ÆŁ -

Ł Ł Ł , æ (∃ u ₁ ,...,u_s ∈ k [x ]) u ₁ f ₁ +... +u_s f_s = 1;

2. ¯æºŁ ;

3. ¯æºŁ (f,h ) = 1 Ł (g,h ) = 1, (fg,h ) = 1;

4. ¯æºŁ h |fg Ł (h,g ) = 1 , h |f ;

5. ¯æºŁ h |f Ł g |f Ł (h,g ) = 1, hg |f .

˜ Œ º æ . 1) ˇ º Ł 6.3.4 d = 1. æ , d -

º æ ˛˜ æŁæ ß {f ₁ ,f ₂ ...,f_s }, ª 6.3.4 d = 1 Æ

˝˛˜ {f 1,f 2 ...,f s } ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ø æ ª º ß

u ₁ ,u ₂ ,...,u_s ∈ k [x ] ŒŁ , u ₁ f ₁ + ... + u_s f_s = 1.

2) Œ Œ Œ HOD{f ₁ ,f ₂ ...,f_s } = d , 6.3.4 æ ø æ

ª º ß u ₁ ,u ₂ ,...,u_s ∈ k [x ] ŒŁ , d = u ₁ f ₁ +... +u_s f_s . — ºŁ

Æ æ Ł æ , Ł æ Øæ 1 æº ,

.

3) Œ Œ Œ (f,g ) = 1, 6.3.4 ∃ u,v ∈ k [x ] 1 = uf +

+ vh . Œ Œ Œ (g,h ) = 1, (∃ u ₁ ,v ₁ ∈ k [x ]) 1 = u ₁ g + v ₁ h . ˇ º

Ł Ł æ ł Ł . 1 = (uu ₁ )fg + (vu ₁ g + uv ₁ f + vv ₁ h )h . ˇ

æ Øæ 1 Ł ºŁ Ø Œ ÆŁ Ł ª º fg Ł h

Ł Ł , æº º (fg,h ) = 1.

4) Œ Œ Œ (h,g ) = 1, ∃ u,v ∈ k [x ] uh + vg = 1. Ł Æ æ Ł ª æ f , º Ł uhf + vgf = f . Œ Œ Œ h |fg ,

fg = qh , ª uhf + vqh = f ⇒ (uf + vq )h = f ⇒ h |f .

5) Œ Œ Œ h |f , f = qh . ¨ g |qh Ł (g,h ) = 1, æ Øæ 4 º , g |q , æº º q = q ₁ g . ŒŁ Æ f = q ₁ gh ⇒

⇒ gh |f .

` ææ Ł æŁæ ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s },

Œ ßØ Ł Œ ßı º . ˜º ŒŁı æŁæ ª º Ł º -

Ł Ł Ł ł ª Æø ª Œ ª (˝˛˚) æı , º ªŁ Ø Ł Ł ˝˛˜.

˛ º Ł 6.3.9. ª º m ß æ ÆøŁ Œ ß æŁæ ß

ª º {f 1,f 2,...,f s }, Œ ßØ Ł Œ ßı ºŁ º , æºŁ ºŁ æ æ ª º ß Ø æŁæ ß, æ (∀ ₁ 6 i 6 s _{) f i} |_m .

¯˛—¯ 6.3.6. ˇ æ {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } æŁæ º ßı ª -

º Ł m 6= 0 ( Œ ßØ º Ø ª º ). — æŁº ß æº øŁ Ł :

1) æ Œ æ Œ ßı ª º m æ æ æ Œ æ

˛˚ æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s };

2) ª º m º æ ˛˚ {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, Œ ºŁ º Æ ª ˛˚ Ø æŁæ ß.

¯˛—¯ 6.3.7. ¯æºŁ æ ø æ ˝˛˚ 2-ı º Æßı º ßı -

ª º , æ ø æ ˝˛˚ Ł º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º -

, Ł Ł æ æº ø Ł Œ Ł º :

HOK{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s } = HOK{HOK{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} },f_s }.

6.3.7 æ Ł ı Ł ˝˛˚ æŁæ ß ª º Œ ı Ł ˝˛˚ 2-ı ª º .

¯˛—¯ 6.3.8. ¯æºŁ f Ł g º ßı ª º , Łı ˝˛˚

æ ø æ Ł .

Ł

.

ˇ æ Øæ 2 ß 6.3.5 Ł . ˇ 4 æ Øæ -

ß 6.3.5 Ł . ª u = _{( f,g} ^g ₎ q. M = uf = _{( f,g} ^fg ₎ q = mq . ´Ł , m |_M . ˇ º Ł 6.3.11 m º æ ˝˛˚ {_f,g }.

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ

ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł, α ∈ _k ^∗ _{= k} \{₀ }. ¨ æ ,

α |f Ł αf |f .

˛ º Ł 6.4.1. Ł Ł º ß Ł ºŁ º Ł ª º f º Ł-

º Ø æ Ł ß æ º ß Œ æ ß Ł ª º ß, ææ ŁŁ ß æ ª º f .

º _{æ Ł .} ˜ ºŁ º d ª º f º æ Ł Ł º ß ª Ł

º Œ ª , Œ ª 0 < degd < degf .

º _{æ Ł .} ª º f º Ł º Ø æ Ł Ł Ł Ł º ß

ºŁ ºŁ ª Ł º Œ ª , Œ ª ª æ Ł Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł ª º

f , æ (∃ u,v ∈ k [x ]) f = uv , ª degu, degv < degf .

˛ º Ł 6.4.2. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k , æºŁ Ł Ł º º Œ Ł Ł º ß ºŁ ºŁ. ´ Ł æº , ª º P ß æ

Ł Ł ß .

˛ º Ł 6.4.3. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k , æºŁ ª º æ Ł Ł º Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł

ª º P .

˙ _Ł 6.4.1_. ˇ Ł Ł Ł æ Ł æ ø æ ŁæŁ æ-

ª º k . Œ, Ł , ª º f = x ² −2 = (x +√2)( x −√2)

Ł Ł º Q. ˝ Ł Ł º R.

˙ _Ł 6.4.2_. ª º ß 1-Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

æº Ł ª , ª º ß 1-Ø æ Ł Ł º Œ Ł-

Ł º ß ºŁ ºŁ.

¯˛—¯ 6.4.1 (æ Øæ Ł Ł ßı ª º ). ºŁ ß æº øŁ Ł :

1. ¯æºŁ ª º P º æ Ł Ł ß , Ł º Æ Ø ææ ŁŁßØ æ Ł ª º Œ º æ Ł Ł ß .

2. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º , f º Æ Ø ª º , ºŁÆ

(P,f ) = 1, ºŁÆ P |f .

3. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º Ł P |fg , P |f ŁºŁ P |g .

4. ¯æºŁ P Ł Q Ł Ł ßı ª º , ºŁÆ (P,Q ) = 1, ºŁÆ P Ł Q ææ ŁŁ ß.

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ P Ł Ł ßØ ª º . — ææ Ł αP , ª α ∈ _k ^∗ . ˝ Œ , αP º æ Ł Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ αP æ Ł Ł º ßØ ºŁ º , æ

(∃ d ∈ k [x ]) d |αP , ª 0 < degd < degαP = degP . ¨ , d |αP Ł αP |P ⇒ d |P Ł 0 < degd < degP . Ł Ł Ł Ł æ Ł ª º P .

2) ˛Æ Ł (P,f ) = d . ¨ d |P . Œ Œ Œ P Ł Ł , d

º Æß Ł Ł º ß ºŁ º , æ ºŁÆ d _{= α ∈ k} ^∗ , ºŁÆ d ∼ P . ´ æº Ł (P,f ) = 1. ´ æº , Ł P |d

Ł d |f ⇒ P |f .

3) ˇ æ P |_fg . ¯æºŁ P |_f , æ Œ . ¯æºŁ P - f , æ Øæ 2 (P,f ) = 1. ¨ Œ, P |fg Ł (P,f ) = 1, ª æ Øæ 4 ß 6.3.5

P |g .

4) ˇ æ P Ł Q Ł Ł ßı ª º . ¯æºŁ (_{P,Q ) = 1} ,

æ Œ . ˇ æ (P,Q ) 6= 1, ª æ Øæ 2 P |Q . º Ł

P Ł Q , º Q |P ⇒ P ∼ Q .

¯˛—¯ 6.4.2 ( º ŁŁ Ł Ł ß Ł ºŁ).

¸ Æ Ø ª º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß

æ º Ł f = αP ₁ · P ₂ · ... · P_s , ª α ∈ k ^∗ , P_i Ł -

ß Ł Ł ß k ª º ß. æ º Ł Ł æ

æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł Æı Ł , Æß α º º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f .

˜ Œ º æ . 1) ø æ Ł .

— ææ Ł æ M æ ı Ł ßı ºŁ º Ø º Ł-

º Ø æ Ł ª º f . ´ æ M ßÆ ª º

P ₁ Ł ł Ø æ Ł. ˇ Œ , ª º P ₁ º æ Ł-

Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ ª º P ₁ º æ Ł Ł-

ß . º º P ₁ = du , ª 0 < degd < degP ₁ , Ł Ł

ßÆ ª º P ₁ . ¨

f = P ₁ f ₁ , ª 0 6 degf ₁ < degf. (1) ¯æºŁ deg_{f 1 = 0} , ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø Œ Ł æ . ¯æºŁ deg_{f 1 > 0} , æ ª º f ₁ Ł ææ Ł , Ł æ ª º f . ˇ º Ł , ª º f ₁ æ Ł ßØ Ł Ł ßØ Ł º P ₂ . ` Ł

f ₁ = P ₂ f ₂ , ª 0 6 degf ₂ < degf ₁ . (2)

¯æºŁ deg_{f 2 = 0} , ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø -

Œ Ł . ¯æºŁ deg_{f 2 > 0} , ææ º . ¨ Œ º . ´ Ł-

Œ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł ª º f ₁ ,f ₂ ,... Æ æ ª Æß ø æº º æ

º ßı Łæ º degf > degf ₁ > degf ₂ > ... , Œ Æß

Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º Ł

f_{s −1} = P_s f_s , ª degf_s = 0. (s )

, f s = α ∈ k ∗. ˇ Ł º æ æ

(1), (2),..., (s ), º Ł f = αP ₁ ·P ₂ ·... ·P_s . Œ Œ ŒP_i º æ Łß Ł ª º Ł, æ Ł æ Œ Ł Ł ß Ł æ ł Ø æ Ł x , º Ł , α º æ æ łŁ Œ Ł Ł -

ª º f .

2) ¯ Ł æ æ .

ˇ æ æ æ º Ł f = αP ₁ · P ₂ · ... · P_s Ł æ

ª æ º Ł f = βQ ₁ · Q ₂ · ... · Q_t , ª β ∈ k ^∗ , Q_j Ł ß Ł Ł ß k ª º ß. ª , Œ ßł , β º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f , æ β _{= α} .

f = αP ₁ · P ₂ · ... · P_s = βQ ₁ · Q ₂ · ... · Q_t . (∗)

— æ (∗) Œ ß , P ₁ |(Q ₁ · Q ₂ · ... · Q_t ). ˇ æ Øæ 3 ß 6.4.1 (∃ 1 6 j 6 t ) P ₁ |Q_j . ` æ Ł , P ₁ |Q ₁ . ª

æ Øæ 4 ß 6.4.1 P _{1 ∼ Q 1} . Œ Œ Œ Æ ª º Ł ß, P ₁ = Q ₁ . ª æ (∗) æ Œ ø P ₁ . ˇ º Ł

P ₂ · ... · P_s = Q ₂ · ... · Q_t . (∗∗)

ª º P ₂ ææ Œ , Œ Œ æ ª º P ₁ . — æ

(∗∗) Œ ß , P ₂ |(Q ₂ ·... ·Q_t ) ⇒ (∃ 2 6 j 6 t ) P ₂ |Q_j . ` æ Ł , P ₂ |Q ₂ . ª P ₂ ∼ Q ₂ ⇒ P ₂ = Q ₂ . ¨ Œ º . ¯æºŁ s = t ,

Œ Œ º Ł P_s = Q_s . ºŁ s _{6= t} ? ˇ º Ł , s < t , ª æ Œ ø æ

(∗) P ₁ · P ₂ · ... · P_s º Ł , 1 = Q_{s +1} · ... · Q_t ª Æß

Œ Œ Œ æº æ Ł ª º º Ø æ Ł, æ ª -

º º Ł º Ø æ Ł. º ªŁ Æß Ł s > t ŒŁ

Æ Q_j æ ß P_i , º Œ Łæ ß ª Œ .

¯˛—¯ 6.4.3 ( Œ Ł æŒ æ º ŁŁ). _{¸ Æ Ø ª -}

º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß æ º

Ł , ª α ∈ k ^∗ , P_i ºŁ ß Ł ß , Ł Ł ß k ª º ß, k_i ∈ N. æ º Ł

Ł æ æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł α Æı Ł º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f .

˜ Œ º æ . ˇ 6.4.2 Ł f = αP ₁ ·P ₂ ·... ·P_s . ˛Æœ Ł

æ º ŁŁ Ł Ł Ł Œ ßı Ł º Ø æ Ł,

º Ł

.

˛ º Ł 6.4.4. ˇ æ º Ł ª º f Ł ß æ Œ Ł æŒŁ æ º Ł ª º

f . ª º ß ß æ º ß Ł ºŁ º Ł

ª º f . ˝ º ß Łæº k ₁ ,k ₂ ,...,k_t ß æ Œ æ Ł Ł Ł ßı ª º P ₁ ,P ₂ ,...,P_t ª º f .

ˇ æ γ _{∈ k} . ß ŁºŁ, ª º ß 1-Ø æ Ł Ł -

Ł ß º Æß º k . ´ æ æ Ł x _{− γ} º æ Ł ß

Ł Ł ß k ª º , ª Ł Œ æ Ł

ª º x − γ ª º f .

˛ º Ł 6.4.5. ˚ æ º γ _{∈ k} ª º f ßæ Œ æ Ł Ł ª ª º x − _γ ª º f .

˛ º Ł 6.4.6. º γ _{∈ k} ß æ Œ ª º

f (x ), æºŁ f (γ ) = 0.

ˇ º Ł 6.4.1. ˜º ª , Æß º γ ∈ k Æߺ Œ -

ª º f (x ) Æı Ł Ł æ , Æß ª º f ºŁºæ x − γ , æ , Æß º γ Ł º º Ł º Œ æ

ª º f .

˜ Œ º æ . ´ æ º , ` f (x ) = Q (x )(x − γ ) +

+ f (γ ), ª (x − γ )|f (x ) ⇔ f (γ ) = 0, æ º Ł 6.4.6 γ º æ Œ f (x ).

º æ Ł . º γ ∈ _k º æ Œ ª º f _{(x )} ª Ł º Œ ª , Œ ª º γ Ł º Œ æ ª º

f (x ).

˛ º Ł 6.4.7. ˚ γ ª º f _{(x )} ß æ æ ß , æºŁ Ł Œ æ .

ˇ æ Œ Ł æŒ æ º Ł ª º f Ł Ł

, ª degP_i > 2.

´Ł ,

deg æ

k ₁ + k ₂ + ... + k_s 6 degf.

æ , (∀ 1 6 i 6 s ) f