Последняя цифра степени - реферат

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 уч. год

Содержание:

· Введение.

· Цели работы.

· Последняя цифра степени.

· Закономерности возведения в степень

· Две последних цифры степени.

· Задачи.

· Заключение.

· Использованная литература .

Введение.

Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

1¹⁹⁸⁹ + 2¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁸⁹ + 4¹⁹⁸⁹ + 5¹⁹⁸⁹ +…+ 1989¹⁹⁸⁹ .

Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели работы:

· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

· Найти закономерность в них.

· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2¹⁰⁰ . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴ , 2⁸ , 2¹² , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰ , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2²² , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

• Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
• Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
• При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
• Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
• Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.