Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Топологическая определяемость верхних полурешёток.
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Малых Константин Леонидович
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров 2005
Оглавление.
Введение …………………………………………………………………стр. 3
Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4
1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4
2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5
3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8
4. Топологические пространства……………………………………стр.10
Глава 2…………………………………………………………………….стр.11
1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11
2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15
Список литературы……………………………………………………….стр.21
Введение.
Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P
(
L
)
простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L
,
но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P
(
L
)
характеризовало решётку L
,
необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P
(
L
)
топологию.
В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.
Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1.
1. Упорядоченные множества.
Определение
:
Упорядоченным множеством
называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение
, удовлетворяющее для всех
следующим условиям:
1.Рефлексивность:
.
2.Антисимметричность: если
и
, то
.
3.Транзитивность: если
и
, то
.
Если
и
, то говорят, что
меньше
или
больше
, и пишут
или .
Примеры упорядоченных множеств:
1. Множество целых положительных чисел, а
означает, что
делит
.
2. Множество всех действительных функций
на отрезке
и
означает, что
для
.
Определение:
Цепью
называется упорядоченное множество, на котором для
имеет место
или
.
Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества
. Изобразим каждый элемент множества
в виде небольшого кружка, располагая
выше
, если
. Соединим
и
отрезком. Полученная фигура называется диаграммой
упорядоченного множества
.
Примеры диаграмм упорядоченных множеств:
2. Решётки
Определение:
Верхней гранью
подмножества
в упорядоченном множестве
называется элемент
из
, больший или равный всех
из .
Определение:
Точная верхняя грань
подмножества
упорядоченного множества
– это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом
и читается «супремум X».
Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.
Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается
и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань
существует, то она единственна.
Определение:
Решёткой
называется упорядоченное множество
, в котором любые два элемента
и
имеют точную нижнюю грань, обозначаемую
, и точную верхнюю грань, обозначаемую .
Примеры решёток:
1. Любая цепь является решёткой, т.к.
совпадает с меньшим, а
с большим из элементов
.
2.
Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают
, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают
.
На решётке можно рассматривать две бинарные операции:
- сложение и
- произведение
Эти операции обладают следующими свойствами:
1.
,
идемпотентность
2.
,
коммутативность
3.
,
ассоциативность
4.
,
законы поглощения
Теорема
. Пусть
- множество с двумя бинарными операциями
, обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение
(или
) является порядком на
, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:
Доказательство.
Рефлексивность отношения
вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):
Если
и
, то есть
и
, то в силу свойства (2), получим
. Это означает, что отношение
антисимметрично.
Если
и
, то применяя свойство (3), получим:
, что доказывает транзитивность отношения .
Применяя свойства (3), (1), (2), получим:
,
.
Следовательно,
и
Если
и
, то используя свойства (1) – (3), имеем:
, т.е.
По определению точней верхней грани убедимся, что
Из свойств (2), (4) вытекает, что
и
Если
и
, то по свойствам (3), (4) получим:
Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что
, т.е.
Таким образом,
. ■
Пусть
решётка, тогда её наибольший элемент
характеризуется одним из свойств:
1.
2.
.
Аналогично характеризуется наименьший элемент
:
1.
2.
.
3. Дистрибутивные решётки.
Определение:
Решётка
называется дистрибутивной
, если для
выполняется:
1.
2.
В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.
Теорема:
Решётка
с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
Доказательство этого факта можно найти в книге [2].
Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём
).
Определение:
Непустое множество
называется идеалом
в решётке
, если выполняются условия:
1.
2.
Определение:
Идеал
в решётке
называется простым
, если
или
.
Идеал, порождённый множеством Н
(т.е. наименьший идеал, содержащий H
), будет обозначаться (Н].
Если Н = {
a
}
, то вместо ({
a
}]
будем писать (
a
]
и называть (
a
] главным идеалом.
Обозначим через I
(
L
)
множество всех идеалов решётки L. I
(
L
)
будем называть решёткой идеалов.
Определение:
Решётки
и
называются изоморфными
(обозначение:
), если существует взаимно однозначное отображение
, называемое изоморфизмом,
множества
на множество
, такое, что
,
.
4. Топологические пространства.
Определение:
Топологическое пространство
– это непустое множество
с некоторой системой
выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:
1. Пустое множество и само пространство
принадлежит системе
:
.
2. Пересечение любого конечного числа множеств из
принадлежит
, т.е.
.
3. Объединение любого семейства множеств из
принадлежит
, т.е.
.
Таким образом, топологическое пространство – это пара <
,
>, где
- такое множество подмножеств в
, что
и
замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из
называют открытыми, а их дополнения в
замкнутыми.
Определение:
Пространство называется компактным
, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение:
Подмножество пространства называется компактным
, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение:
Топологическое пространство называется
- пространством
, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.
Глава 2.
1. Верхние полурешётки.
Определение:
Ч.у. множество называется верхней полурешёткой
, если sup
{
a
,
b
}
существует для любых элементов a
и b
.
Определение:
Непустое множество I
верхней полурешётки L
называется идеалом
, если для любых
включение
имеет место тогда и только тогда, когда
.
Определение
: Верхняя полурешётка
называется дистрибутивной
, если неравенство
≤
(
,
,
L) влечёт за собой существование элементов
, таких, что
,
, и
=
.(рис.1). Заметим, что элементы
и
не обязательно единственны.
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1
:
(*). Если <
,
> - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка
дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка
дистрибутивна.
(**). Если верхняя полурешётка
дистрибутивна, то для любых
существует элемент
, такой, что
и
. Следовательно, множество
является решёткой.
(***). Верхняя полурешётка
дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество
является дистрибутивной решёткой.
Доказательство.
(*).
<
,
> - дистрибутивна и
, то для элементов
,
, справедливо равенство :
значит, полурешётка <
,
> - дистрибутивна.
<
,
> - дистрибутивна. Пусть решётка
содержит диамант или пентагон (рис.2).
1) Пусть решётка
содержит пентагон,
. Нужно найти такие элементы
и
, чтобы выполнялось равенство
. Но множество элементов меньших b
или c
состоит из элементов {0,
b
,
c
}
и их нижняя граница не даст a
.
Получили противоречие с тем, что <
,
> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка
не содержит пентагона.
2) Пусть решётка
содержит диамант,
. Аналогично, множество элементов меньших b
или c
состоит из элементов {0,
b
,
c
},
их нижняя граница не даст a
.
Значит, решётка
не содержит диаманта.
Можно сделать вывод, что решётка
дистрибутивна.
(**). Имеем
, поэтому
, где
(по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того,
является нижней границей элементов
и .
Рассмотрим идеалы, содержащие элемент
и
-
и
. Тогда
Ø ,т.к.
, нижняя граница элементов a
и b
, содержится там.
Покажем, что I
(
L
)
– решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A
и B
.
Покажем, что
совпадает с пересечением идеалов A
и B
.
Во-первых,
- идеал. Действительно,
и
и
Во-вторых, пусть идеал
и
. Тогда
, т.е.
- точная нижняя грань идеалов A
и B
,
т.е.
.
Теперь покажем, что
совпадает с пересечением всех идеалов
, содержащих A
и B
.
Обозначим
. Поскольку
для
для
,
то C
идеал. По определению C
он будет наименьшим идеалом, содержащим A
и B
.
(***).
Пусть
– верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что
.
Пусть
, т.е.
(рис.3), для некоторых
Понятно, что
. По дистрибутивности, существуют
такие, что
. Т.к. A
– идеал, то
, потому что
. Аналогично,
. Т.е.
. Точно также,
. Если
, то легко показать, что .
Доказали, что
- идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A
и B
.
Если C
содержит A
и B
, то C
будет содержать элементы
для любых
, т.е.
Поэтому
, поскольку
является верхней гранью идеалов A
и B
и содержится в любой верхней грани.
Теперь покажем, что выполняется равенство:
.
. Пусть
, где
,
. Т.к.
, то
, откуда
и следовательно
. Аналогично,
, значит,
. Пусть
,где
.
Отсюда следует дистрибутивность решётки
.
– дистрибутивная решётка,
. Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:
(
,будет нижней границей для
). Поэтому
, что и доказывает дистрибутивность полурешётки
. ■
2. Стоуново пространство.
Определение
: Подмножество
верхней полурешётки
называется коидеалом
, если
из неравенства
следует
и
существует нижняя граница
множества
, такая, что .
Определение:
Идеал
полурешётки
называется простым
, если
и множество
является коидеалом.
В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна.
Пусть
A
– множество и
X
– непустое подмножество множества
P
(
A
). Предположим, что
X
обладает следующим свойством: если
C
– цепь в <
>, то
. Тогда
X
обладает максимальным элементом.
Лемма 2
: Пусть
– произвольный идеал и
– непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки
. Если
, то в полурешётке
существует простой идеал
такой, что
и .
Доказательство.
Пусть X
– множество всех идеалов в L
,
содержащих I
и не пересекающихся с D
. Покажем, что X
удовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C
–
произвольная цепь в X
и
Если
, то
для некоторых
Пусть для определённости
. Тогда
и
, т.к.
- идеал. Поэтому
. Обратно, пусть
, тогда
, для некоторого
Получаем
, откуда .
Доказали, что M –
идеал, очевидно, содержащий I
и не пересекающийся с D
, т.е.
. По лемме Цорна X
обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P
среди содержащих I
и не пересекающихся с D
.
Покажем, что P
– простой. Для этого достаточно доказать, что L
\
P
является коидеалом. Пусть
L
\
P
и
. Поскольку
, то
, иначе в противном случае
по определению идеала. Следовательно,
. Если
, то
и
пересекающихся с D
в силу максимальности P
.
Получаем
и
для некоторых элементов
. Существует элемент
такой, что
и
, по определению коидеала, следовательно
и
для некоторых
Заметим, что
и не лежат в P
,
т.к. в противном случае
.
Далее,
, поэтому
для некоторых
и
. Как и прежде
. Кроме того
, поэтому
- нижняя грань элементов a
и b
,
не лежащая в P
. ■
В дальнейшем, через
будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через
множество всех простых идеалов полурешётки
.
Множества вида
представляют элементы полурешётки
в ч.у. множестве
(т.е.
). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.
Обозначим через
топологическое пространство, определённое на множестве
. Пространство SpecL
будем называть стоуновым пространством
полурешётки L
.
Лемма 3
: Для любого идеала
I
полурешётки
L
положим:
Тогда множества вида
исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве
SpecL
.
Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда
,
но 0 лежит в любом идеале, а значит
.
2) Возьмём произвольные идеалы
и
полурешётки
и рассмотрим
Пусть
. Тогда существуют элементы a
и
Отсюда следует, что
, где L
\
P
– коидеал. По определению коидеала существует элемент d
такой, что
и
, значит,
. Т.к.
, следовательно,
. Получаем, что .
Обратное включение очевидно.
2) Пусть
- произвольное семейство идеалов. Через
обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства
. Покажем, что
- идеал. Пусть
, тогда
, где
для некоторого идеала
. Тогда
лежит в идеале
, следовательно,
и
, т.е. . Обратно очевидно.
Доказали, что
- идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.
■
Лемма 4
: Подмножества вида
пространства
можно охарактеризовать как компактные открытые множества.
Доказательство.
Действительно, если семейство
открытых множеств покрывает множество
, т.е.
, то
Отсюда следует, что
для некоторого конечного подмножества
, поэтому
. Таким образом, множество компактно.
Пусть открытое множество r
(
I
)
компактно, тогда
и можно выделить конечное подпокрытие
для некоторых
.
Покажем, что I
порождается элементом
.
Предположим, что это не так, и в идеале I
найдётся элемент b
не лежащий в
. Тогда [
b
)
– коидеал, не пересекающийся с
. По лемме 2 найдётся простой идеал P
содержащий
и не пересекающийся с [
b
).
Получаем,
, т.к.
(т.е.
), но
, т.к.
, противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r
(
I
)
будет только в случае, если
- главный идеал.■
Предложение 5:
Пространство
является
- пространством.
Доказательство.
Рассмотрим два различных простых идеала
и Q
. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что
. Тогда r
(
P
)
содержит Q
, но не содержит P
,
т.е. SpecL
является
- пространством. ■
Теорема 6
: Стоуново пространство
определяет полурешётку
с точностью до изоморфизма.
Доказательство.
Нужно показать, что две полурешётки
и
изоморфны тогда и только тогда, когда пространства
и
гомеоморфны.
Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.
Пусть
и
гомеоморфны (
) и
. Тогда a
определяет компактное открытое множество r
(
a
)
.
Множеству r
(
a
)
соответствует компактное открытое множество
, с однозначно определённым элементом
по лемме 4. Таким образом получаем отображение
:
, при котором
. Покажем, что
- изоморфизм решёток. Если a
,
b
–
различные элементы из
, то
, следовательно,
, поэтому
и
- инъекция.
Для произвольного
открытому множеству
соответствует
и очевидно
, что показывает сюръективность .
Пусть a
,
b
–
произвольные элементы из
. Заметим, что
. Открытому множеству
при гомеоморфизме
соответствует открытое множество
, а
соответствует
. Следовательно,
=
. Поскольку
=
, то
, т.е. ■
Литература.
1. Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.
2. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.
3. Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.
|