| ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
§1. Основные определения.
При изучении различных физических процессов и явлений нам приходится иметь дело с объектами разной природы. Некоторые величины в физике, механике и технике полностью описываются заданием их числовых
значений. Такими величинами, например, являются длина, объём тела, его масса, температура, электрический заряд и другие.
Эти величины называются скалярными
или просто скалярами.
Однако, чтобы задать такие величины как скорость, ускорение, силу, напряженность магнитного поля и так далее, необходимо указать не только численное значение этой величины, но и её направление в пространстве.
Определение 1.
Величина, для которой указаны ее численное значение и направление
, называется векторной или вектором.
Векторы изображаются направленными прямолинейными отрезками и обозначаются
или
, где точки
и
– начало и конец вектора соответственно. Так фиксируется его направление.
Численное значение векторной величины называется длиной или модулем
вектора и обозначается
или
(длина отрезка).
Если
, то
– нулевой вектор; направление нулевого вектора
не определено, т. е. его можно считать произвольным.
Определение 2.
Если задан ненулевой вектор
, то единичный вектор того же направления
называется ортом
вектора
.
Определение 3.
Два вектора
и
называются коллинеарными
, если они параллельны одной прямой. Это обычно обозначают так
. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Определение 4.
Три вектора называются компланарными
, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.
Определение 5.
Два вектора равны
, т.е.
, если выполнены три условия:
1. модули их равны
=
;
2. они параллельны друг другу
;
3. вектора
и
одинаково направлены.
Из определения равенства векторов следует, что параллельное перемещение не меняет вектора
. Этим свойством можно пользоваться, чтобы приводить векторы к общему началу, т. е. откладывать их из одной точки. Такие вектора называют свободными
.
§2. Линейные операции над векторами.
Операции сложения
, вычитания векторов и умножения
вектора на скаляр
называются линейными.
Сложение и вычитание векторов.
Сумму двух векторов
и
можно найти по правилу параллелограмма
.
Для этого надо привести их к общему началу и построить на этих векторах параллелограмм
как на сторонах. Тогда диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов
и
и будет их суммой (рис.1).
.
Вычитание
векторов можно выполнять
как сложение вектора
и
, т.е.
.
Тогда вторая
диагональ параллелограмма, исходящая из конца вектора
даст нам вектор
, представляющий собой разность
векторов
и
:
.
Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то, учитывая определение равенства двух векторов, сумму векторов
и
можно представить как третий вектор
, начало которого совпадает с началом вектора
, а конец –
с концом вектора
.
Такой способ построения суммы
векторов называют правилом треугольника
.
Для этого начало вектора
надо совместить с концом вектора
, а затем соединить начало вектора
с концом вектора .
Тогда, как видно из рис.1, получим вектор
.
Для нахождения разности векторов приведём
их к общему началу. Соединив их концы, построим треугольник. Тогда имеем
.
Отсюда легко можно получить правило для нахождения суммы большего числа векторов.
Сумму
нескольких
векторов можно найти по правилу многоугольника: чтобы найти
вектор, представляющий собой сумму
заданных векторов, нужно последовательно совместить
начало следующего вектора-слагаемого с концом
предыдущего, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего, будет суммой заданных векторов.
Например, вектор
есть сумма
заданных векторов
и
:
. Свойства
сложения векторов:
1)
–
переместительное св-во (коммутативность);
2)
–
сочетательное св-во (ассоциативность). Оба свойства операции сложения векторов следуют непосредственно из определения операции.
Для любых двух векторов
и
справедливо неравенство треугольника:
(если векторы
и
неколлинеарны, то сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны). Очевидно, что это неравенство выполняется и для любого числа векторов, т.е. .
Умножение вектора на скаляр
.
Пусть
– ненулевой вектор,
– скаляр.
Произведением
вектора
на скаляр
называется вектор
, обладающий следующими свойствами:
а)
,
;
б)
, т.е. они коллинеарны;
в)
сонаправлен вектору
(т.е. направлен одинаково с ним), если
, и направлен в противоположную сторону, если .
Замечание.
Из определения следует, что
1. вектор
нулевой
, если один из его сомножителей равен нулю;
2. критерий коллинеарности двух векторов:
если
, при
(существует такое
).
Свойства
умножения вектора на скаляр:
1. Перестановочное (или коммутативное)
2. Сочетательное (или ассоциативное):
, где
- скаляры.
3. Распределительное (дистрибутивное):
, где
и
- скаляры;
.
Доказательства этих свойств непосредственно вытекают из определения равенства векторов и сложения векторов.
3.
Линейная зависимость
и независимость векторов
.
Пусть даны векторы
и скаляры
.
Определение
1.
Вектор
называется линейной
комбинацией
векторов
.
Определение
2.
Векторы
называются линейно независимыми
, если равенство
выполняется только
при условии, что
при всех
(только при нулевом наборе коэффициентов
).
Определение
3.
Векторы называются линейно
зависимыми
, если их линейная комбинация обращается в ноль при условии, что хоть один
из скаляров
отличен от нуля.
Это значит, что среди всех наборов коэффициентов
, при которых линейная комбинация обращается в ноль, есть хоть один ненулево
й.
Замечание.
Пусть
, а какой-то
отличен от нуля. Например, пусть
. Тогда имеем
.
Следовательно, если система векторов
линейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов.
Поэтому любые два коллинеарных вектора (
) линейно зависимы, и любые три компланарных вектора (
) тоже линейно зависимы.
Справедливы и обратные
утверждения: любые два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы и любые три некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы.
Действительно,
если ненулевые векторы
и
неколлинеарны, то из
следует
. Иначе есть ненулевой набор коэффициентов
, что противоречит предположению о неколлинеарности.
Если
же
три ненулевых вектора
и
некомпланарны (два вектора всегда компланарны), то из равенства
следует, что
. Иначе опять придём к противоречию:
если, например,
, то
и по определению операции сложения векторов данные вектора
и
образуют треугольник, через который можно провести плоскость.
Определение
4.
Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости и любая тройка векторов в пространстве называется базисом
множества всех векторов, расположенных соответственно на плоскости или в пространстве.
Сами эти векторы называют базисными векторами
.
Из замечания следует, что, если два компланарных
вектора
и
не коллинеарны
, то любой третий вектор
, компланарный с ними, можно представить в виде
, т.е., как говорят, можно разложить по базису (
,
). Числа
и
в этом случае называются координатами вектора
в базисе (
,
). . Разложение вектора
по базису (
,
) единственно, т.е. координаты
и
можно найти единственным образом. Покажем это.
Действительно
.Пусть заданы векторы
, причем
и
неколлинеарны. Если вектор
коллинеарен одному из векторов, например, вектору
, тогда
или
, где .
Если вектор
неколлинеарен ни одному из векторов
и
, то приведём вектора
к одному началу
. Продолжим прямые, на которых лежат вектора
и
, а затем проведем прямые, параллельные векторам
и
через конец вектора
, достроив таким образом параллелограмм OPQR
.
. Вектор
является диагональю параллелограмма. Тогда по правилу параллелограмма имеем
, но
Из построения следует и единственность
такого разложения вектора по базису
. Количество базисных векторов называется размерностью
векторного пространства: так плоскость называется двумерным пространством и обозначается
.
Любые три некомпланарных
вектора
,
,
в пространстве линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства
; всякий
четвертый
вектор
этого пространства можно единственным
образом разложить по базису (
,
,
), т.е. представить в виде
, где a, b, g – координаты вектора
в базисе (
,
, ),.
Доказательство
можно провести аналогично предыдущим рассуждениям.
Определение 5.
Три некомпланарных вектора
,
,
называются правой
тройкой векторов, если из конца третьего
вектора (
) кратчайший поворот от первого
вектора (
) ко второму
вектору (
) виден происходящим
в положительном направлении (против часовой стрелки).
И, соответственно, – левой
тройкой, если по часовой стрелке.
§
4. Проекция вектора на ось.
Проекцией
точки
А
на заданную ось называется точка, которая является основание перпендикуляра
, опущенного из точки А
на ось.
Проекцию точки на ось можно также определить как точку пересечения оси с проектирующей
плоскостью, т. е. с плоскостью, проведённой через данную точку перпендикулярно оси.
Пусть в пространстве заданы два вектора
и
.
Приведём их к общему началу. Углом между векторами
и
называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов,
чтобы его направление совпало с направлением другого вектора. Из этого определения следует, что
.
Пусть дан вектор
и некоторая ось
. Опустим из точек
и
перпендикуляры на ось
и обозначим проекции этих точек на ось
через
и
, соотвественно. Получим вспомогательный вектор
. Определение 1.
Проекцией вектора
на ось
называется длина отрезка
, взятая со знаком плюс
, если вектор
и ось
одинаково направлены, и со знаком минус, если они направлены в разные стороны.
Проекцию вектора
на ось
будем обозначать следующим образом:
или .
Очевидно, что
, если угол между векторами
и
острый, и
, если угол между векторами
и
– тупой.
Проекцию можно вычислить по формуле
,
где
– угол наклона вектора
к оси
.
Теорема 1
.
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство
.
Пусть
. Обозначим через
проекции на ось
точек A
,
B
и C
соответственно. Пусть точки
имеют по оси
соответственно координаты
. Тогда
,
и
,
что и требовалось доказать.
Эта теорема легко обобщается на случай любого числа слагаемых.
Теорема 2
.
Если вектор
умножить на число
, то и его проекция на ось умножится на число
.
Доказательство
.
Заметим, что если
, то вектор
направлен в ту же сторону, что и вектор
и составляет с осью
тот же угол
, что вектор
. Если
, то вектор
направлен противоположно вектору
и составляет с осью
угол ().
1). Пусть
, тогда по формуле
.
2)пусть
, тогда по формуле
что и требовалось доказать.
Следствие
.
Проекция разности двух векторов на ось
равна разности проекций этих векторов на ту же ось.
Произведение проекции вектора
на ось
на единичный вектор этой оси (его называют ортом
) называется составляющей вектора
по оси
.
§5. Координаты вектора в декартовом базисе
Определение
1.
Три некомпланарных вектора
,
,
называются правой
тройкой векторов, если из конца третьего
вектора (
) кратчайший поворот от первого
вектора (
) ко второму
вектору (
) виден происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки) и левой
тройкой в противном случае.
Мы уже говорили, что ортом
ненулевого вектора
называется единичный вектор
, направленный одинаково
с вектором
.
Выберем в пространстве произвольную точку
и проведём через неё три взаимно перпендикулярные оси. Перенумеруем их. Ось с выбранным на ней началом отсчёта и единицей длины называется координатной
осью.
Упорядоченная система (т.е. перенумерованная система) трёх взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом отсчёта и общей единицей длины называется прямоугольной
системой координат в пространстве (её называют также декартовой
системой координат или ортогональной
системой координат).
В этой системе координат первую ось будем называть осью абсцисс
(или осью
), вторую – осью ординат
(или осью
), третью – осью аппликат
(или осью
).
Плоскости, содержащие любые две координатные оси будем называть координатными плоскостями:
плоскостью
или
, если она содержит оси
и ,
плоскостью
или
, если она содержит оси
и ,
плоскостью
или
, если она содержит оси
и .
Эти плоскости будут перпендикулярны координатным осям
,
и
соответственно.
Введём единичные векторы
, направления которых совпадают с положительным направлением соответственно осей
,
,
, т.е.
,
, .
Векторы
в дальнейшем будем называть ортами
осей прямоугольной или декартовой системы координат.
Различают правую и левую координатные системы. В дальнейшем будем использовать правую систему координат.
Векторы
некомпланарны и, следовательно, образуют базис трёхмерного пространства. Эти векторы взаимно перпендикулярны и модули их равны единице
.
Такая система базисных векторов называется ортогональной
и нормированной
.
Иногда говорят, что правая тройка взаимно ортогональных ортов
образует декартов базис.
Рассмотрим произвольный вектор
и найдем проекции этого вектора на оси координат. Эти проекции будем называть координатами
вектора
в декартовом базисе
.
Поместим начало вектора
в точку O
. Тогда
.
Проведем через конец вектора OM
плоскости, параллельные координатным плоскостям. Они отсекут на координатных осях отрезки, которые представляют собой проекции вектора OM
на соответствующие координатные оси. В результате такого построения получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор
.
По правилу сложения векторов
,
но
,
.
Следовательно,
.
Рис.4
В правой части стоят составляющие вектора
по осям координат:
,
,
,
Тогда разложение вектора
по ортам декартовой системы координат запишется в виде
.
Часто используется более короткое обозначение
.
Зная проекции вектора
на координатные оси, можно легко найти
. Действительно
, так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов его сторон, то
.
Вектор
(
– начало координат) называется радиус-вектором точки M
. Координатами
точки
в пространстве называются проекции её радиуса-вектора
на координатные оси , т.е. координаты вектора
совпадают с координатами точки M
.
Заметим, что радиус-вектор точки является связанным
вектором, так как его начало всегда
совпадает с началом координат.
Пусть
и
– точки пространства. Найдем координаты вектора
. По правилу сложения векторов имеем
,
.
Рис. 5
Таким образом, проекции вектора на координатные оси равны разностям
соответствующих координат конца
и начала
вектора.
Теперь мы можем определить расстояние между двумя точками
пространства как длину соответствующего вектора
Вспомним основные теоремы о проекциях. Пусть даны два вектора
,
и скаляр
. Тогда из свойств проекций вектора на ось следует
Пусть
. Проектируя это равенство на оси координат, получим
,
,
. Следовательно, одноимённые координаты у этих векторов пропорциональны
.
Это условие коллинеарности
векторов в координатной форме.
Косинусы углов, которые вектор
образует с осями координат, называются направляющими косинусами
вектора
.
,
где
– угол между вектором
и осью
.
;
; ,
где
и
– углы между вектором
и осями
,
и
соответственно.
,
таким образом,
.
§6. Скалярное произведение двух векторов
Определение.
Скалярным произведением
двух векторов
и
называется произведение их модулей на косинус угла между ними (т.е. число или скаляр):
.
Свойства
скалярного произведения двух векторов:
1) Из определения следует переместительное свойство
;
2) Скалярное произведение равно нулю, т.е.
или
в двух следующих случаях:
а)
или
б)
(ортогональны)
Таким образом, равенство нулю скалярного произведения двух векторов является необходимым
и достаточным
условием
их перпендикулярности
(или ортогональности)
.
3) Рассмотрим скалярное произведение двух коллинеарных векторов.
Если
, то
. Если же
, то мы имеем скалярное произведение вектора
самого на себя .
Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом и обозначается
.
4) Распределительное свойство
.
Действительно, заметим, что
.
Тогда
5) Если
– скаляр, то
.
6) Непосредственно из определения операции скалярного умножения векторов следуют формулы
;
,
7) Для базисных векторов
справедливы равенства:
;
;
; .
8) Найдём теперь выражение для скалярного произведения в координатной форме.
Пусть
,
. Скалярное произведение
Таким образом,
.
Условие ортогональности векторов в координатной форме:
.
Замечание.
Выясним механический смысл скалярного произведения.
Пусть под действием постоянной силы
точка перемещается по прямой из положения
в положение
. Сила
образует с прямой
угол
. Работа силы
на этом перемещении равна
.
Если ввести вектор перемещения
, то выражение для работы можно переписать в виде
.
Следовательно, работа силы
равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
§7. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора
на вектор
называется вектор
, который определяется следующим образом:
а)
,
т.е.
численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах;
б)
и
, т.е. он перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы;
в)
,
,
образуют правую
тройку векторов, то есть, если из конца вектора (
) кратчайший поворот от вектора (
) к вектору (
) виден происходящим против хода часовой стрелки.
Векторное произведение
векторов
и
обозначается
или
.
Рис. 6.
Свойства векторного умножения векторов
1.
.
Т.к.
,
причем векторы
и
коллинеарны, но направлены противоположно.
2.
, если
или
или .
Действительно, если оба вектора ненулевые, то при
.
В частности
для любого вектора
.
Таким образом, для коллинеарности двух ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.
3. Ассоциативность (или сочетательность) относительно скалярного множителя: если
– скаляр, то справедливо равенство
.
Действительно.
.
Пары векторов
и
лежат в одной плоскости,
. Также легко можно убедиться в справедливости и второй части равенства.
4. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
.
5. Векторные произведения координатных ортов.
,
,
;
,
где
– координатные орты;
6. Найдем теперь координаты векторного произведения векторов в декартовом базисе
.
Пусть
и
.
Используя уже рассмотренные свойства, получим
Итак, если
и
, то
.
§8.
Смешанное произведение трех векторов.
Если взять вектор
и умножить его векторно на вектор
, а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор
, то получим векторно-скалярное или смешанное произведение трёх векторов.
Определение.
Смешанным
произведением трех векторов
,
и
называется скалярное произведение вектора
на вектор
. Смешанное произведение векторов обозначается так .
Свойства
смешанного произведения.
1.
, тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
2. Выясним геометрический смысл
смешанного произведения. Смешанное произведение
некомпланарных отличных от нуля векторов
по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах
.
Покажем это. Приведём все три вектора к одному началу и построим на них параллелепипед. Пусть основанием параллелепипеда является параллелограмм, построенный на векторах
. Площадь этого параллелограмма
. Обозначим через
единичный вектор, перпендикулярный плоскости основания нашего параллелепипеда, а через
– угол между векторами
и
. Тогда
. Скалярное произведение векторов
, взятое по абсолютной величине, равно высоте h
нашего параллелепипеда (если тройка векторов правая, то
, а если вектора
,
и
образуют левую тройку векторов, то ).
Объем параллелепипеда
=
.
Очевидно, что правая и левая части этого равенства равны по абсолютной величине и имеют одинаковые знаки.
Таким образом, смешанное произведение трёх векторов есть число, модуль которого равен объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах. Это число положительное, если векторы образуют правую тройку векторов и отрицательное в противном случае.
3. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не меняет его величины, так как при круговой перестановке векторов правая тройка векторов остаётся правой, а левая – левой, т. е.
.
4. Из определения смешанного произведения и векторного произведения следует, что при перестановке местами двух соседних сомножителей смешанного произведения оно меняет знак, так как при такой перестановке векторов правая тройка становится левой, а левая – правой, то есть
.
5. Найдем смешанное произведение трех векторов, заданных разложениями в декартовом базисе.
Пусть
,
и
.
.
Следовательно,
.
Итак,
|